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Theorem fourierdlem89 40926
Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the lower bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem89.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem89.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem89.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem89.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem89.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem89.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem89.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem89.limc ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem89.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem89.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem89.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem89.12 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem89.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem89.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem89.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem89.z 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem89.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem89.u 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem89.20 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
fourierdlem89.21 𝑉 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem89 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑖,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝑈(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑍(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem89
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem89.q . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem89.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem89.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 40840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simpld 482 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
8 elmapi 8034 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
10 fzossfz 12695 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
11 fourierdlem89.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐵𝐴)
12 fourierdlem89.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
13 fourierdlem89.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
14 fourierdlem89.20 . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
153, 2, 1, 11, 12, 13, 14fourierdlem37 40875 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))})))
1615simpld 482 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
17 fourierdlem89.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
18 fourierdlem89.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
19 elioore 12409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
21 elioo4g 12438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2218, 21sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2322simprd 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2423simpld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 < 𝐷)
25 fourierdlem89.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
26 oveq1 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
2726eleq1d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2827rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2928cbvrabv 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
3029uneq2i 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
31 fourierdlem89.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
32 fourierdlem89.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
3332fveq2i 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
3433oveq1i 6805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
3531, 34eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
36 fourierdlem89.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
37 isoeq5 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3832, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
3938iotabii 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4036, 39eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4111, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40fourierdlem54 40891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
4241simpld 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
4342simprd 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
4442simpld 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4525fourierdlem2 40840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4743, 46mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
4847simpld 482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)))
49 elmapi 8034 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
51 fourierdlem89.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
52 elfzofz 12692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5450, 53ffvelrnd 6505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
5516, 54ffvelrnd 6505 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
5610, 55sseldi 3750 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0...𝑀))
579, 56ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
5857rexrd 10294 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
5958adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
60 fzofzp1 12772 . . . . . . . . . 10 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
629, 61ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ)
6362rexrd 10294 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
6463adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
653, 2, 1fourierdlem11 40849 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
6665simp1d 1136 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6765simp2d 1137 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6866, 67iccssred 40245 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6965simp3d 1138 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7066, 67, 69, 13fourierdlem17 40855 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
7166, 67, 69, 11, 12fourierdlem4 40842 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
7271, 54ffvelrnd 6505 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆𝐽)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
7370, 72ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7468, 73sseldd 3753 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7574adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7657adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7766rexrd 10294 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
78 iocssre 12457 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
7977, 67, 78syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
80 fzofzp1 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
8151, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
8250, 81ffvelrnd 6505 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
8371, 82ffvelrnd 6505 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐵))
8479, 83sseldd 3753 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
8547simprrd 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
86 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝐽))
87 oveq1 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐽 → (𝑖 + 1) = (𝐽 + 1))
8887fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
8986, 88breq12d 4800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝐽 → ((𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
9089rspccva 3459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9185, 51, 90syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9254, 82posdifd 10819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
9391, 92mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
9451ancli 538 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
95 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
9695anbi2d 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
97 oveq1 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
9897fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑗 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9998fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
100 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆𝑗) = (𝑆𝐽))
101100fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆𝑗)) = (𝐸‘(𝑆𝐽)))
102101fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
10399, 102oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
10498, 100oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
105103, 104eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
10696, 105imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))))
10711oveq2i 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
108107oveq2i 6806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
109108eleq1i 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
110109rexbii 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
111110rgenw 3073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
112 rabbi 3269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
113111, 112mpbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
114113uneq2i 3915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
115114fveq2i 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
116115oveq1i 6805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
11735, 116eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
118 isoeq5 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
119114, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
120119iotabii 6015 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
12140, 120eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
122 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗))))
1233, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 117, 121, 12, 13, 122fourierdlem65 40902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)))
124106, 123vtoclg 3417 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
12551, 94, 124sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
12693, 125breqtrrd 4815 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
12774, 84posdifd 10819 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
128126, 127mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
129 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝜑)
130102, 99oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
131100fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼‘(𝑆𝑗)) = (𝐼‘(𝑆𝐽)))
132131fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
133131oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
134133fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
135132, 134oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
136130, 135sseq12d 3783 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) ↔ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
13796, 136imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
138 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2))) = ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2)))
13911, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40, 12, 13, 138, 14fourierdlem79 40916 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))))
140137, 139vtoclg 3417 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
141140anabsi7 650 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
142129, 51, 141syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
14357, 62, 74, 84, 128, 142fourierdlem10 40848 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∧ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
144143simpld 482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
145144adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
146 neqne 2951 . . . . . . . 8 (¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ≠ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
147146adantl 467 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ≠ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
14876, 75, 145, 147leneltd 10396 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
149143simprd 483 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15074, 84, 62, 128, 149ltletrd 10402 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
151150adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15259, 64, 75, 148, 151eliood 40238 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
153 fvres 6350 . . . . 5 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
154152, 153syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
155154eqcomd 2777 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
156155ifeq2da 4257 . 2 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) = if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
157 fourierdlem89.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
158 fdm 6192 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
159157, 158syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
160159feq2d 6170 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:ℝ⟶ℂ))
161157, 160mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
162 ioosscn 40234 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ
163162a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ)
164 ioossre 12439 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℝ
165164, 159syl5sseqr 3803 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ dom 𝐹)
166 fourierdlem89.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
16782, 84resubcld 10663 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
168166, 167syl5eqel 2854 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
169168recnd 10273 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
170 eqid 2771 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}
17174, 84, 168iooshift 40264 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)})
172 ioossre 12439 . . . . . . 7 (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ ℝ
173172, 159syl5sseqr 3803 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ dom 𝐹)
174171, 173eqsstr3d 3789 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} ⊆ dom 𝐹)
175 elioore 12409 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
17667, 66resubcld 10663 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
17711, 176syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
178177recnd 10273 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
17966, 67posdifd 10819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18069, 179mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
181180, 11syl6breqr 4829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑇)
182181gt0ne0d 10797 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ 0)
183169, 178, 182divcan1d 11007 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
184183eqcomd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
185184oveq2d 6811 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
186185adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
187186fveq2d 6337 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
188157adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
189177adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
19084recnd 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
19182recnd 10273 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
192190, 191negsubdi2d 10613 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
193192eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
194193oveq1d 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
195166oveq1i 6805 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇)
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇))
19712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
198 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
199 oveq2 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
200199oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
201200fveq2d 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
202201oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
203198, 202oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
204203adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
20567, 82resubcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
206205, 177, 182redivcld 11058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
207206flcld 12806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
208207zred 11688 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
209208, 177remulcld 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
21082, 209readdcld 10274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
211197, 204, 82, 210fvmptd 6432 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
212211oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
213208recnd 10273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℂ)
214213, 178mulcld 10265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
215191, 214pncan2d 10599 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
216212, 215eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
217216, 214eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
218217, 178, 182divnegd 11019 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
219194, 196, 2183eqtr4d 2815 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
220216oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
221213, 178, 182divcan4d 11012 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
222220, 221eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
223222, 207eqeltrd 2850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
224223znegcld 11690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
225219, 224eqeltrd 2850 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
226225adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
227 simpr 471 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
228 fourierdlem89.per . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
229228adantlr 694 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
230188, 189, 226, 227, 229fperiodmul 40032 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
231187, 230eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
232175, 231sylan2 580 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
2336simprrd 757 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
234 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
235 oveq1 6802 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
236235fveq2d 6337 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
237234, 236breq12d 4800 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
238237rspccva 3459 . . . . . . . 8 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
239233, 55, 238syl2anc 573 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
24055ancli 538 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
241 eleq1 2838 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
242241anbi2d 614 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))))
243234, 236oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
244243reseq2d 5533 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
245243oveq1d 6810 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
246244, 245eleq12d 2844 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
247242, 246imbi12d 333 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))))
248 fourierdlem89.fcn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
249247, 248vtoclg 3417 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
25055, 240, 249sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
251 nfv 1995 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
252 fourierdlem89.21 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
253 nfmpt1 4882 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
254252, 253nfcxfr 2911 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑉
255 nfcv 2913 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐼‘(𝑆𝐽))
256254, 255nffv 6341 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))
257256nfel1 2928 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
258251, 257nfim 1977 . . . . . . . . 9 𝑖((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
259242biimpar 463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
2602593adant2 1125 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
261 fourierdlem89.limc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
263 fveq2 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑉𝑖) = (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
264263eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑉𝑖))
265264adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑉𝑖))
266259simprd 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
267 elex 3364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) → 𝑅 ∈ V)
268259, 261, 2673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑅 ∈ V)
269252fvmpt2 6435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑉𝑖) = 𝑅)
270266, 268, 269syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉𝑖) = 𝑅)
271265, 270eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝑅)
2722713adant2 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝑅)
273244, 234oveq12d 6813 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
274273eqcomd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2752743ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
276262, 272, 2753eltr4d 2865 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
2772763exp 1112 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))))
2782612a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))))
279277, 278impbid 202 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))))
280258, 279, 261vtoclg1f 3416 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))))
28155, 240, 280sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
282 eqid 2771 . . . . . . 7 if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) = if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
283 eqid 2771 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))[,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))[,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
28457, 62, 239, 250, 281, 74, 84, 128, 142, 282, 283fourierdlem32 40870 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
285142resabs1d 5568 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
286285oveq1d 6810 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
287284, 286eleqtrd 2852 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
288161, 163, 165, 169, 170, 174, 232, 287limcperiod 40375 . . . 4 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)))
289166oveq2i 6806 . . . . . . 7 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
290289a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
29117, 20iccssred 40245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
292 ax-resscn 10198 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
293291, 292syl6ss 3764 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
29425, 44, 43fourierdlem15 40853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
295294, 53ffvelrnd 6505 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
296293, 295sseldd 3753 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
297191, 296subcld 10597 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) ∈ ℂ)
29874recnd 10273 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
299190, 297, 298subsub23d 40014 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
300125, 299mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
301300eqcomd 2777 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
302301oveq1d 6810 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
303190, 297subcld 10597 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
304303, 191, 190addsub12d 10620 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
305190, 297, 190sub32d 10629 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
306190subidd 10585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = 0)
307306oveq1d 6810 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
308 df-neg 10474 . . . . . . . . . 10 -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
309191, 296negsubdi2d 10613 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
310308, 309syl5eqr 2819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
311305, 307, 3103eqtrd 2809 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
312311oveq2d 6811 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
313191, 296pncan3d 10600 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑆𝐽))
314304, 312, 3133eqtrd 2809 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆𝐽))
315290, 302, 3143eqtrd 2809 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
316315oveq2d 6811 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)))
317288, 316eleqtrd 2852 . . 3 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)))
318166oveq2i 6806 . . . . . . . 8 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
319190, 191pncan3d 10600 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
320318, 319syl5eq 2817 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
321315, 320oveq12d 6813 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
322171, 321eqtr3d 2807 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
323322reseq2d 5533 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
324323oveq1d 6810 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
325317, 324eleqtrd 2852 . 2 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
326156, 325eqeltrd 2850 1 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  cun 3721  wss 3723  ifcif 4226  {cpr 4319   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  ran crn 5251  cres 5252  cio 5991  wf 6026  cfv 6030   Isom wiso 6031  (class class class)co 6795  𝑚 cmap 8012  supcsup 8505  cc 10139  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   + caddc 10144   · cmul 10146  +∞cpnf 10276  *cxr 10278   < clt 10279  cle 10280  cmin 10471  -cneg 10472   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275  cz 11583  (,)cioo 12379  (,]cioc 12380  [,)cico 12381  [,]cicc 12382  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672  cfl 12798  chash 13320  t crest 16288  TopOpenctopn 16289  fldccnfld 19960  cnccncf 22898   lim climc 23845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-oadd 7720  df-er 7899  df-map 8014  df-pm 8015  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fi 8476  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-q 11996  df-rp 12035  df-xneg 12150  df-xadd 12151  df-xmul 12152  df-ioo 12383  df-ioc 12384  df-ico 12385  df-icc 12386  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-rest 16290  df-topn 16291  df-topgen 16311  df-psmet 19952  df-xmet 19953  df-met 19954  df-bl 19955  df-mopn 19956  df-cnfld 19961  df-top 20918  df-topon 20935  df-topsp 20957  df-bases 20970  df-cld 21043  df-ntr 21044  df-cls 21045  df-nei 21122  df-lp 21160  df-cn 21251  df-cnp 21252  df-cmp 21410  df-xms 22344  df-ms 22345  df-cncf 22900  df-limc 23849
This theorem is referenced by:  fourierdlem96  40933  fourierdlem100  40937  fourierdlem107  40944  fourierdlem109  40946
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