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Theorem fourierdlem89 46151
Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the lower bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem89.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem89.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem89.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem89.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem89.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem89.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem89.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem89.limc ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem89.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem89.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem89.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem89.12 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem89.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem89.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem89.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem89.z 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem89.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem89.u 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem89.20 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
fourierdlem89.21 𝑉 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem89 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑖,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝑈(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑍(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem89
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem89.q . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem89.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem89.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 46065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simpld 494 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
8 elmapi 8888 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
10 fzossfz 13715 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
11 fourierdlem89.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐵𝐴)
12 fourierdlem89.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
13 fourierdlem89.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
14 fourierdlem89.20 . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
153, 2, 1, 11, 12, 13, 14fourierdlem37 46100 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))})))
1615simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
17 fourierdlem89.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
18 fourierdlem89.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
19 elioore 13414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
21 elioo4g 13444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2218, 21sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2322simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2423simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 < 𝐷)
25 fourierdlem89.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
26 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
2726eleq1d 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2827rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2928cbvrabv 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
3029uneq2i 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
31 fourierdlem89.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
32 fourierdlem89.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
3332fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
3433oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
3531, 34eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
36 fourierdlem89.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
37 isoeq5 7341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3832, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
3938iotabii 6548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4036, 39eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4111, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40fourierdlem54 46116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
4241simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
4342simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
4442simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4525fourierdlem2 46065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4743, 46mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
4847simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)))
49 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
51 fourierdlem89.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
52 elfzofz 13712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5450, 53ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
5516, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
5610, 55sselid 3993 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0...𝑀))
579, 56ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
5857rexrd 11309 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
5958adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
60 fzofzp1 13800 . . . . . . . . . 10 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
629, 61ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ)
6362rexrd 11309 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
6463adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
653, 2, 1fourierdlem11 46074 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
6665simp1d 1141 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6765simp2d 1142 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6866, 67iccssred 13471 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6965simp3d 1143 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7066, 67, 69, 13fourierdlem17 46080 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
7166, 67, 69, 11, 12fourierdlem4 46067 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
7271, 54ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆𝐽)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
7370, 72ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7468, 73sseldd 3996 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7574adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7657adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7766rexrd 11309 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
78 iocssre 13464 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
7977, 67, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
80 fzofzp1 13800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
8151, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
8250, 81ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
8371, 82ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐵))
8479, 83sseldd 3996 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
8547simprrd 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
86 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝐽))
87 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐽 → (𝑖 + 1) = (𝐽 + 1))
8887fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
8986, 88breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝐽 → ((𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
9089rspccva 3621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9185, 51, 90syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9254, 82posdifd 11848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
9391, 92mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
9451ancli 548 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
95 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
9695anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
97 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
9897fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑗 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9998fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
100 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆𝑗) = (𝑆𝐽))
101100fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆𝑗)) = (𝐸‘(𝑆𝐽)))
102101fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
10399, 102oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
10498, 100oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
105103, 104eqeq12d 2751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
10696, 105imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))))
10711oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
108107oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
109108eleq1i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
110109rexbii 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
111110rgenw 3063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
112 rabbi 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
113111, 112mpbi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
114113uneq2i 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
115114fveq2i 6910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
116115oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
11735, 116eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
118 isoeq5 7341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
119114, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
120119iotabii 6548 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
12140, 120eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
122 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗))))
1233, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 117, 121, 12, 13, 122fourierdlem65 46127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)))
124106, 123vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
12551, 94, 124sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
12693, 125breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
12774, 84posdifd 11848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
128126, 127mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
129 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝜑)
130102, 99oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
131100fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼‘(𝑆𝑗)) = (𝐼‘(𝑆𝐽)))
132131fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
133131oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
134133fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
135132, 134oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
136130, 135sseq12d 4029 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) ↔ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
13796, 136imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
138 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2))) = ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2)))
13911, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40, 12, 13, 138, 14fourierdlem79 46141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))))
140137, 139vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
141140anabsi7 671 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
142129, 51, 141syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
14357, 62, 74, 84, 128, 142fourierdlem10 46073 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∧ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
144143simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
145144adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
146 neqne 2946 . . . . . . . 8 (¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ≠ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
147146adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ≠ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
14876, 75, 145, 147leneltd 11413 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
149143simprd 495 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15074, 84, 62, 128, 149ltletrd 11419 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
151150adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15259, 64, 75, 148, 151eliood 45451 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
153 fvres 6926 . . . . 5 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
154152, 153syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
155154eqcomd 2741 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
156155ifeq2da 4563 . 2 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) = if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
157 fourierdlem89.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
158 fdm 6746 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
159157, 158syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
160159feq2d 6723 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:ℝ⟶ℂ))
161157, 160mpbird 257 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
162 ioosscn 13446 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ
163162a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ)
164 ioossre 13445 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℝ
165164, 159sseqtrrid 4049 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ dom 𝐹)
166 fourierdlem89.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
16782, 84resubcld 11689 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
168166, 167eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
169168recnd 11287 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
170 eqid 2735 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}
17174, 84, 168iooshift 45475 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)})
172 ioossre 13445 . . . . . . 7 (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ ℝ
173172, 159sseqtrrid 4049 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ dom 𝐹)
174171, 173eqsstrrd 4035 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} ⊆ dom 𝐹)
175 elioore 13414 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
17667, 66resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
17711, 176eqeltrid 2843 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
178177recnd 11287 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
17966, 67posdifd 11848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18069, 179mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
181180, 11breqtrrdi 5190 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑇)
182181gt0ne0d 11825 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ 0)
183169, 178, 182divcan1d 12042 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
184183eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
185184oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
186185adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
187186fveq2d 6911 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
188157adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
189177adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
19084recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
19182recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
192190, 191negsubdi2d 11634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
193192eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
194193oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
195166oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇)
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇))
19712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
198 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
199 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
200199oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
201200fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
202201oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
203198, 202oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
204203adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
20567, 82resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
206205, 177, 182redivcld 12093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
207206flcld 13835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
208207zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
209208, 177remulcld 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
21082, 209readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
211197, 204, 82, 210fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
212211oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
213208recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℂ)
214213, 178mulcld 11279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
215191, 214pncan2d 11620 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
216212, 215eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
217216, 214eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
218217, 178, 182divnegd 12054 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
219194, 196, 2183eqtr4d 2785 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
220216oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
221213, 178, 182divcan4d 12047 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
222220, 221eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
223222, 207eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
224223znegcld 12722 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
225219, 224eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
226225adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
227 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
228 fourierdlem89.per . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
229228adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
230188, 189, 226, 227, 229fperiodmul 45255 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
231187, 230eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
232175, 231sylan2 593 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
2336simprrd 774 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
234 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
235 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
236235fveq2d 6911 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
237234, 236breq12d 5161 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
238237rspccva 3621 . . . . . . . 8 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
239233, 55, 238syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
24055ancli 548 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
241 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
242241anbi2d 630 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))))
243234, 236oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
244243reseq2d 6000 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
245243oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
246244, 245eleq12d 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
247242, 246imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))))
248 fourierdlem89.fcn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
249247, 248vtoclg 3554 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
25055, 240, 249sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
251 nfv 1912 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
252 fourierdlem89.21 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
253 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
254252, 253nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑉
255 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐼‘(𝑆𝐽))
256254, 255nffv 6917 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))
257256nfel1 2920 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
258251, 257nfim 1894 . . . . . . . . 9 𝑖((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
259242biimpar 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
2602593adant2 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
261 fourierdlem89.limc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
263 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑉𝑖) = (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
264263eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑉𝑖))
265264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑉𝑖))
266259simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
267 elex 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) → 𝑅 ∈ V)
268259, 261, 2673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑅 ∈ V)
269252fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑉𝑖) = 𝑅)
270266, 268, 269syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉𝑖) = 𝑅)
271265, 270eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝑅)
2722713adant2 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝑅)
273244, 234oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
274273eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2752743ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
276262, 272, 2753eltr4d 2854 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
2772763exp 1118 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))))
2782612a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))))
279277, 278impbid 212 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))))
280258, 279, 261vtoclg1f 3570 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))))
28155, 240, 280sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
282 eqid 2735 . . . . . . 7 if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) = if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
283 eqid 2735 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))[,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))[,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
28457, 62, 239, 250, 281, 74, 84, 128, 142, 282, 283fourierdlem32 46095 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
285142resabs1d 6028 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
286285oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
287284, 286eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
288161, 163, 165, 169, 170, 174, 232, 287limcperiod 45584 . . . 4 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)))
289166oveq2i 7442 . . . . . . 7 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
290289a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
29117, 20iccssred 13471 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
292 ax-resscn 11210 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
293291, 292sstrdi 4008 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
29425, 44, 43fourierdlem15 46078 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
295294, 53ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
296293, 295sseldd 3996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
297191, 296subcld 11618 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) ∈ ℂ)
29874recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
299190, 297, 298subsub23d 45238 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
300125, 299mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
301300eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
302301oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
303190, 297subcld 11618 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
304303, 191, 190addsub12d 11641 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
305190, 297, 190sub32d 11650 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
306190subidd 11606 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = 0)
307306oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
308 df-neg 11493 . . . . . . . . . 10 -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
309191, 296negsubdi2d 11634 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
310308, 309eqtr3id 2789 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
311305, 307, 3103eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
312311oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
313191, 296pncan3d 11621 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑆𝐽))
314304, 312, 3133eqtrd 2779 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆𝐽))
315290, 302, 3143eqtrd 2779 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
316315oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)))
317288, 316eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)))
318166oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
319190, 191pncan3d 11621 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
320318, 319eqtrid 2787 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
321315, 320oveq12d 7449 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
322171, 321eqtr3d 2777 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
323322reseq2d 6000 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
324323oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
325317, 324eleqtrd 2841 . 2 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
326156, 325eqeltrd 2839 1 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cun 3961  wss 3963  ifcif 4531  {cpr 4633   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cio 6514  wf 6559  cfv 6563   Isom wiso 6564  (class class class)co 7431  m cmap 8865  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  (,)cioo 13384  (,]cioc 13385  [,)cico 13386  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  cfl 13827  chash 14366  t crest 17467  TopOpenctopn 17468  fldccnfld 21382  cnccncf 24916   lim climc 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-rest 17469  df-topn 17470  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-cmp 23411  df-xms 24346  df-ms 24347  df-cncf 24918  df-limc 25916
This theorem is referenced by:  fourierdlem96  46158  fourierdlem100  46162  fourierdlem107  46169  fourierdlem109  46171
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