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Theorem fourierdlem89 42824
Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the lower bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem89.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem89.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem89.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem89.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem89.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem89.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem89.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem89.limc ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem89.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem89.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem89.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem89.12 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem89.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem89.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem89.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem89.z 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem89.j (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem89.u 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem89.20 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
fourierdlem89.21 𝑉 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem89 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑖,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝑈(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑍(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem89
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem89.q . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem89.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem89.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 42738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simpld 498 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
8 elmapi 8415 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
10 fzossfz 13055 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
11 fourierdlem89.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐵𝐴)
12 fourierdlem89.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
13 fourierdlem89.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
14 fourierdlem89.20 . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
153, 2, 1, 11, 12, 13, 14fourierdlem37 42773 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))})))
1615simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
17 fourierdlem89.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
18 fourierdlem89.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
19 elioore 12760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
21 elioo4g 12789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2218, 21sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2322simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2423simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 < 𝐷)
25 fourierdlem89.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
26 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
2726eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2827rexbidv 3259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2928cbvrabv 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
3029uneq2i 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
31 fourierdlem89.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
32 fourierdlem89.12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
3332fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
3433oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
3531, 34eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
36 fourierdlem89.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
37 isoeq5 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3832, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
3938iotabii 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4036, 39eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4111, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40fourierdlem54 42789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
4241simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
4342simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
4442simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4525fourierdlem2 42738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4743, 46mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
4847simpld 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)))
49 elmapi 8415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
51 fourierdlem89.j . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
52 elfzofz 13052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5450, 53ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
5516, 54ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
5610, 55sseldi 3916 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0...𝑀))
579, 56ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
5857rexrd 10684 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
5958adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
60 fzofzp1 13133 . . . . . . . . . 10 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
629, 61ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ)
6362rexrd 10684 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
6463adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
653, 2, 1fourierdlem11 42747 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
6665simp1d 1139 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6765simp2d 1140 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
6866, 67iccssred 12816 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
6965simp3d 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7066, 67, 69, 13fourierdlem17 42753 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
7166, 67, 69, 11, 12fourierdlem4 42740 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
7271, 54ffvelrnd 6833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆𝐽)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
7370, 72ffvelrnd 6833 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
7468, 73sseldd 3919 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7574adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7657adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
7766rexrd 10684 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
78 iocssre 12809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
7977, 67, 78syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
80 fzofzp1 13133 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
8151, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
8250, 81ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
8371, 82ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐵))
8479, 83sseldd 3919 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
8547simprrd 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
86 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝐽))
87 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐽 → (𝑖 + 1) = (𝐽 + 1))
8887fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
8986, 88breq12d 5046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝐽 → ((𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
9089rspccva 3573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9185, 51, 90syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9254, 82posdifd 11220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
9391, 92mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
9451ancli 552 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
95 eleq1 2880 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
9695anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
97 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
9897fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑗 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9998fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
100 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆𝑗) = (𝑆𝐽))
101100fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆𝑗)) = (𝐸‘(𝑆𝐽)))
102101fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
10399, 102oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
10498, 100oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
105103, 104eqeq12d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
10696, 105imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))))
10711oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
108107oveq2i 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
109108eleq1i 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
110109rexbii 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
111110rgenw 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
112 rabbi 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
113111, 112mpbi 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
114113uneq2i 4090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
115114fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
116115oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
11735, 116eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
118 isoeq5 7057 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
119114, 118ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
120119iotabii 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
12140, 120eqtri 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
122 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗))))
1233, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 117, 121, 12, 13, 122fourierdlem65 42800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)))
124106, 123vtoclg 3518 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
12551, 94, 124sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
12693, 125breqtrrd 5061 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
12774, 84posdifd 11220 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
128126, 127mpbird 260 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
129 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝜑)
130102, 99oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
131100fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼‘(𝑆𝑗)) = (𝐼‘(𝑆𝐽)))
132131fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
133131oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
134133fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
135132, 134oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
136130, 135sseq12d 3951 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) ↔ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
13796, 136imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
138 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2))) = ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2)))
13911, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40, 12, 13, 138, 14fourierdlem79 42814 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))))
140137, 139vtoclg 3518 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
141140anabsi7 670 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
142129, 51, 141syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
14357, 62, 74, 84, 128, 142fourierdlem10 42746 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∧ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
144143simpld 498 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
145144adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
146 neqne 2998 . . . . . . . 8 (¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ≠ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
147146adantl 485 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ≠ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
14876, 75, 145, 147leneltd 10787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
149143simprd 499 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15074, 84, 62, 128, 149ltletrd 10793 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
151150adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15259, 64, 75, 148, 151eliood 42122 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
153 fvres 6668 . . . . 5 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
154152, 153syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
155154eqcomd 2807 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) → (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
156155ifeq2da 4459 . 2 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) = if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
157 fourierdlem89.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
158 fdm 6499 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
159157, 158syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
160159feq2d 6477 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:ℝ⟶ℂ))
161157, 160mpbird 260 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
162 ioosscn 12791 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ
163162a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ)
164 ioossre 12790 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℝ
165164, 159sseqtrrid 3971 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ dom 𝐹)
166 fourierdlem89.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
16782, 84resubcld 11061 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
168166, 167eqeltrid 2897 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
169168recnd 10662 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
170 eqid 2801 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}
17174, 84, 168iooshift 42146 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)})
172 ioossre 12790 . . . . . . 7 (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ ℝ
173172, 159sseqtrrid 3971 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ dom 𝐹)
174171, 173eqsstrrd 3957 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} ⊆ dom 𝐹)
175 elioore 12760 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
17667, 66resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
17711, 176eqeltrid 2897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
178177recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
17966, 67posdifd 11220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18069, 179mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
181180, 11breqtrrdi 5075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑇)
182181gt0ne0d 11197 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ 0)
183169, 178, 182divcan1d 11410 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
184183eqcomd 2807 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
185184oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
186185adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
187186fveq2d 6653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
188157adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
189177adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
19084recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
19182recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
192190, 191negsubdi2d 11006 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
193192eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
194193oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
195166oveq1i 7149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇)
196195a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇))
19712a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
198 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
199 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
200199oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
201200fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
202201oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
203198, 202oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
204203adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
20567, 82resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
206205, 177, 182redivcld 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
207206flcld 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
208207zred 12079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
209208, 177remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
21082, 209readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
211197, 204, 82, 210fvmptd 6756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
212211oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
213208recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℂ)
214213, 178mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
215191, 214pncan2d 10992 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
216212, 215eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
217216, 214eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
218217, 178, 182divnegd 11422 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
219194, 196, 2183eqtr4d 2846 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
220216oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
221213, 178, 182divcan4d 11415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
222220, 221eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
223222, 207eqeltrd 2893 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
224223znegcld 12081 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
225219, 224eqeltrd 2893 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
226225adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
227 simpr 488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
228 fourierdlem89.per . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
229228adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
230188, 189, 226, 227, 229fperiodmul 41923 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
231187, 230eqtrd 2836 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
232175, 231sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
2336simprrd 773 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
234 fveq2 6649 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
235 oveq1 7146 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
236235fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
237234, 236breq12d 5046 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
238237rspccva 3573 . . . . . . . 8 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
239233, 55, 238syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
24055ancli 552 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
241 eleq1 2880 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
242241anbi2d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))))
243234, 236oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
244243reseq2d 5822 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
245243oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
246244, 245eleq12d 2887 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
247242, 246imbi12d 348 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))))
248 fourierdlem89.fcn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
249247, 248vtoclg 3518 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
25055, 240, 249sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
251 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
252 fourierdlem89.21 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
253 nfmpt1 5131 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
254252, 253nfcxfr 2956 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑉
255 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐼‘(𝑆𝐽))
256254, 255nffv 6659 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))
257256nfel1 2974 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
258251, 257nfim 1897 . . . . . . . . 9 𝑖((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
259242biimpar 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
2602593adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
261 fourierdlem89.limc . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
262260, 261syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
263 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑉𝑖) = (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
264263eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑉𝑖))
265264adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑉𝑖))
266259simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
267 elex 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) → 𝑅 ∈ V)
268259, 261, 2673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑅 ∈ V)
269252fvmpt2 6760 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑉𝑖) = 𝑅)
270266, 268, 269syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉𝑖) = 𝑅)
271265, 270eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝑅)
2722713adant2 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝑅)
273244, 234oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
274273eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
2752743ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
276262, 272, 2753eltr4d 2908 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
2772763exp 1116 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))))
2782612a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))))
279277, 278impbid 215 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))))
280258, 279, 261vtoclg1f 3517 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))))
28155, 240, 280sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))))
282 eqid 2801 . . . . . . 7 if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) = if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
283 eqid 2801 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))[,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))[,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
28457, 62, 239, 250, 281, 74, 84, 128, 142, 282, 283fourierdlem32 42768 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
285142resabs1d 5853 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
286285oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
287284, 286eleqtrd 2895 . . . . 5 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
288161, 163, 165, 169, 170, 174, 232, 287limcperiod 42257 . . . 4 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)))
289166oveq2i 7150 . . . . . . 7 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
290289a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
29117, 20iccssred 12816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
292 ax-resscn 10587 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
293291, 292sstrdi 3930 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
29425, 44, 43fourierdlem15 42751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
295294, 53ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
296293, 295sseldd 3919 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
297191, 296subcld 10990 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) ∈ ℂ)
29874recnd 10662 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
299190, 297, 298subsub23d 41905 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
300125, 299mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
301300eqcomd 2807 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
302301oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
303190, 297subcld 10990 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
304303, 191, 190addsub12d 11013 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
305190, 297, 190sub32d 11022 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
306190subidd 10978 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = 0)
307306oveq1d 7154 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
308 df-neg 10866 . . . . . . . . . 10 -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
309191, 296negsubdi2d 11006 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
310308, 309syl5eqr 2850 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
311305, 307, 3103eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
312311oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
313191, 296pncan3d 10993 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑆𝐽))
314304, 312, 3133eqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆𝐽))
315290, 302, 3143eqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
316315oveq2d 7155 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)))
317288, 316eleqtrd 2895 . . 3 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)))
318166oveq2i 7150 . . . . . . . 8 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
319190, 191pncan3d 10993 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
320318, 319syl5eq 2848 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
321315, 320oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
322171, 321eqtr3d 2838 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
323322reseq2d 5822 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
324323oveq1d 7154 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆𝐽)) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
325317, 324eleqtrd 2895 . 2 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
326156, 325eqeltrd 2893 1 (𝜑 → if((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝑉‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  Vcvv 3444  cun 3882  wss 3884  ifcif 4428  {cpr 4530   class class class wbr 5033  cmpt 5113  dom cdm 5523  ran crn 5524  cres 5525  cio 6285  wf 6324  cfv 6328   Isom wiso 6329  (class class class)co 7139  m cmap 8393  supcsup 8892  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  +∞cpnf 10665  *cxr 10667   < clt 10668  cle 10669  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  cz 11973  (,)cioo 12730  (,]cioc 12731  [,)cico 12732  [,]cicc 12733  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  cfl 13159  chash 13690  t crest 16689  TopOpenctopn 16690  fldccnfld 20094  cnccncf 23484   lim climc 24468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-rest 16691  df-topn 16692  df-topgen 16712  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-cmp 21995  df-xms 22930  df-ms 22931  df-cncf 23486  df-limc 24472
This theorem is referenced by:  fourierdlem96  42831  fourierdlem100  42835  fourierdlem107  42842  fourierdlem109  42844
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