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Theorem fourierdlem90 42358
Description: Given a piecewise continuous function, it is still continuous with respect to an open interval of the moved partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem90.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem90.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem90.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem90.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem90.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem90.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem90.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem90.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem90.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem90.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem90.h 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem90.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem90.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem90.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem90.J 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem90.17 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem90.u 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem90.g 𝐺 = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
fourierdlem90.r 𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈)))
fourierdlem90.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem90 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑖,𝐿,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑖,𝑘,𝑥,𝑦   𝑦,𝑈   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑓,𝑚,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐺(𝑥,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑦,𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem90
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem90.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem90.m . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem90.q . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
41, 2, 3fourierdlem11 42280 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
54simp1d 1134 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
64simp2d 1135 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
75, 6iccssred 41656 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
84simp3d 1136 . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
9 fourierdlem90.J . . . . . 6 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
105, 6, 8, 9fourierdlem17 42286 . . . . 5 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
11 fourierdlem90.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐵𝐴)
12 fourierdlem90.e . . . . . . 7 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
135, 6, 8, 11, 12fourierdlem4 42273 . . . . . 6 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
14 fourierdlem90.c . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
15 fourierdlem90.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
16 elioore 12756 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
18 elioo4g 12785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
1915, 18sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2019simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2120simpld 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 < 𝐷)
22 fourierdlem90.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
23 fourierdlem90.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
24 fourierdlem90.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
25 fourierdlem90.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
2611, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 23, 24, 25fourierdlem54 42322 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
2726simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
2827simprd 496 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
2927simpld 495 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3022fourierdlem2 42271 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
3228, 31mpbid 233 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
3332simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)))
34 elmapi 8417 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
36 fourierdlem90.17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
37 elfzofz 13041 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
3935, 38ffvelrnd 6844 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
4013, 39ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆𝐽)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
4110, 40ffvelrnd 6844 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
427, 41sseldd 3965 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
435rexrd 10679 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
44 iocssre 12804 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
4543, 6, 44syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
46 fzofzp1 13122 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
4736, 46syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
4835, 47ffvelrnd 6844 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
4913, 48ffvelrnd 6844 . . . 4 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐵))
5045, 49sseldd 3965 . . 3 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
51 eqid 2818 . . 3 ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
52 fourierdlem90.u . . . 4 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
5348, 50resubcld 11056 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
5452, 53eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
55 eqid 2818 . . 3 (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))
56 fourierdlem90.g . . . 4 𝐺 = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
57 eleq1 2897 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
5857anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 → ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
59 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆𝑗) = (𝑆𝐽))
6059fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆𝑗)) = (𝐸‘(𝑆𝐽)))
6160fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
62 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
6362fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑗 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
6463fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
6561, 64oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
6659fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼‘(𝑆𝑗)) = (𝐼‘(𝑆𝐽)))
6766fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
6866oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
6968fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
7067, 69oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
7165, 70sseq12d 3997 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) ↔ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
7258, 71imbi12d 346 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
7311oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
7473oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
7574eleq1i 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
7675rexbii 3244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄))
7877rabbiia 3470 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
7978uneq2i 4133 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
8023, 79eqtri 2841 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
81 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
8211eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵𝐴) = 𝑇
8382oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 · (𝐵𝐴)) = (𝑘 · 𝑇)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑘 · (𝐵𝐴)) = (𝑘 · 𝑇))
8581, 84oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
8685eleq1d 2894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
8786rexbidv 3294 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
8887cbvrabv 3489 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
8988uneq2i 4133 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
9080, 89eqtri 2841 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
91 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2))) = ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2)))
92 fourierdlem90.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
9311, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 90, 24, 25, 12, 9, 91, 92fourierdlem79 42347 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))))
9472, 93vtoclg 3565 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
9594anabsi7 667 . . . . . . . 8 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
9636, 95mpdan 683 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
9796resabs1d 5877 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
9897eqcomd 2824 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
991, 2, 3, 11, 12, 9, 92fourierdlem37 42306 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐿‘(𝐸𝑥))})))
10099simpld 495 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
101100, 39ffvelrnd 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
102101ancli 549 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
103 eleq1 2897 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
104103anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))))
105 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
106 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
107106fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
108105, 107oveq12d 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
109108reseq2d 5846 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
110108oveq1d 7160 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
111109, 110eleq12d 2904 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
112104, 111imbi12d 346 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))))
113 fourierdlem90.fcn . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
114112, 113vtoclg 3565 . . . . . . 7 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
115101, 102, 114sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
116 rescncf 23432 . . . . . 6 (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ)))
11796, 115, 116sylc 65 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
11898, 117eqeltrd 2910 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
11956, 118eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))–cn→ℂ))
120 fourierdlem90.r . . 3 𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈)))
12142, 50, 51, 54, 55, 119, 120cncfshiftioo 42051 . 2 (𝜑𝑅 ∈ ((((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))–cn→ℂ))
122120a1i 11 . . 3 (𝜑𝑅 = (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
12352oveq2i 7156 . . . . . . 7 ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
124123a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
12564, 61oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
12663, 59oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
127125, 126eqeq12d 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
12858, 127imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))))
12980fveq2i 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
130129oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
13124, 130eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
132 isoeq5 7063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
13380, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
134133iotabii 6333 . . . . . . . . . . . . . 14 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
13525, 134eqtri 2841 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
136 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗))))
1371, 11, 2, 3, 14, 15, 22, 131, 135, 12, 9, 136fourierdlem65 42333 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)))
138128, 137vtoclg 3565 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
139138anabsi7 667 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
14036, 139mpdan 683 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
14150recnd 10657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
14248recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
14314, 17iccssred 41656 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
144 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
145143, 144sstrdi 3976 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
14622, 29, 28fourierdlem15 42284 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
147146, 38ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
148145, 147sseldd 3965 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
149142, 148subcld 10985 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) ∈ ℂ)
15042recnd 10657 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
151141, 149, 150subsub23d 41429 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
152140, 151mpbird 258 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
153152eqcomd 2824 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
154153oveq1d 7160 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
155141, 149subcld 10985 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
156155, 142, 141addsub12d 11008 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
157141, 149, 141sub32d 11017 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
158141subidd 10973 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = 0)
159158oveq1d 7160 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
160 df-neg 10861 . . . . . . . . . 10 -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
161142, 148negsubdi2d 11001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
162160, 161syl5eqr 2867 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
163157, 159, 1623eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
164163oveq2d 7161 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
165142, 148pncan3d 10988 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑆𝐽))
166156, 164, 1653eqtrd 2857 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆𝐽))
167124, 154, 1663eqtrd 2857 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
16852oveq2i 7156 . . . . . 6 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
169141, 142pncan3d 10988 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
170168, 169syl5eq 2865 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
171167, 170oveq12d 7163 . . . 4 (𝜑 → (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
172171mpteq1d 5146 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
173 fourierdlem90.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
174173feqmptd 6726 . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)))
175174reseq1d 5845 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
176 ioossre 12786 . . . . . 6 ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ
177176a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ⊆ ℝ)
178177resmptd 5901 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑦)) ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐹𝑦)))
17956fveq1i 6664 . . . . . . 7 (𝐺‘(𝑦𝑈)) = ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈))
180179a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐺‘(𝑦𝑈)) = ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)))
18142adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
182181rexrd 10679 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
18350adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
184183rexrd 10679 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ*)
185177sselda 3964 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
18654adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑈 ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 11056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) ∈ ℝ)
18839rexrd 10679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ*)
189188adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) ∈ ℝ*)
19048rexrd 10679 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
191190adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
192 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
193 ioogtlb 41646 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝐽) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) < 𝑦)
194189, 191, 192, 193syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆𝐽) < 𝑦)
195167adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
196185recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
197186recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑈 ∈ ℂ)
198196, 197npcand 10989 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) + 𝑈) = 𝑦)
199194, 195, 1983brtr4d 5089 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) < ((𝑦𝑈) + 𝑈))
200181, 187, 186ltadd1d 11221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑦𝑈) ↔ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) < ((𝑦𝑈) + 𝑈)))
201199, 200mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝑦𝑈))
202 iooltub 41662 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆𝐽) ∈ ℝ* ∧ (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
203189, 191, 192, 202syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
204170adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
205203, 198, 2043brtr4d 5089 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) + 𝑈) < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))
206187, 183, 186ltadd1d 11221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝑦𝑈) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ ((𝑦𝑈) + 𝑈) < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)))
207205, 206mpbird 258 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
208182, 184, 187, 201, 207eliood 41649 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) ∈ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
209 fvres 6682 . . . . . . 7 ((𝑦𝑈) ∈ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦𝑈)))
210208, 209syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐹 ↾ ((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦𝑈)))
21152oveq2i 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑈) = (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
212211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) = (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
213142adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
214141adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
215196, 213, 214subsub2d 11014 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑦 + ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
216214, 213subcld 10985 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
2176, 5resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
21811, 217eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
219218recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
220219adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℂ)
2215, 6posdifd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
2228, 221mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
223222, 11breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝑇)
224223gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ≠ 0)
225224adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ≠ 0)
226216, 220, 225divcan1d 11405 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
227226eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))
228227oveq2d 7161 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦 + ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇)))
229212, 215, 2283eqtrd 2857 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝑦𝑈) = (𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇)))
230229fveq2d 6667 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦𝑈)) = (𝐹‘(𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))))
231173adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
232218adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑇 ∈ ℝ)
23312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
234 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
235 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
236235oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
237236fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
238237oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
239234, 238oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
240239adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
2416, 48resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
242241, 218, 224redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
243242flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
244243zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
245244, 218remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
24648, 245readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
247233, 240, 48, 246fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
248247oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
249244recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℂ)
250249, 219mulcld 10649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
251142, 250pncan2d 10987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
252248, 251eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
253252oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
254249, 219, 224divcan4d 11410 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
255253, 254eqtrd 2853 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
256255, 243eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
257256adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
258 fourierdlem90.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
259258adantlr 711 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
260231, 232, 257, 185, 259fperiodmul 41447 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦 + ((((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
261230, 260eqtrd 2853 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹‘(𝑦𝑈)) = (𝐹𝑦))
262180, 210, 2613eqtrrd 2858 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → (𝐹𝑦) = (𝐺‘(𝑦𝑈)))
263262mpteq2dva 5152 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐹𝑦)) = (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))))
264175, 178, 2633eqtrrd 2858 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↦ (𝐺‘(𝑦𝑈))) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
265122, 172, 2643eqtrd 2857 . 2 (𝜑𝑅 = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
266171oveq1d 7160 . 2 (𝜑 → ((((𝐿‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈))–cn→ℂ) = (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
267121, 265, 2663eltr3d 2924 1 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ (((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))–cn→ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  cun 3931  wss 3933  ifcif 4463  {cpr 4559   class class class wbr 5057  cmpt 5137  ran crn 5549  cres 5550  cio 6305  wf 6344  cfv 6348   Isom wiso 6349  (class class class)co 7145  m cmap 8395  supcsup 8892  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858  -cneg 10859   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  cz 11969  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  ..^cfzo 13021  cfl 13148  chash 13678  cnccncf 23411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-cmp 21923  df-cncf 23413
This theorem is referenced by:  fourierdlem97  42365  fourierdlem98  42366  fourierdlem100  42368  fourierdlem107  42375  fourierdlem109  42377
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