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Theorem fourierdlem90 45497
Description: Given a piecewise continuous function, it is still continuous with respect to an open interval of the moved partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem90.p 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem90.t 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
fourierdlem90.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem90.q (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
fourierdlem90.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
fourierdlem90.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
fourierdlem90.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem90.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
fourierdlem90.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,)+∞))
fourierdlem90.o 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
fourierdlem90.h 𝐻 = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem90.n 𝑁 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
fourierdlem90.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem90.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
fourierdlem90.J 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑦 = 𝐡, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem90.17 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem90.u π‘ˆ = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
fourierdlem90.g 𝐺 = (𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
fourierdlem90.r 𝑅 = (𝑦 ∈ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)))
fourierdlem90.i 𝐼 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (πΏβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem90 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))–cnβ†’β„‚))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,π‘˜,𝑦   𝐴,𝑖,π‘₯,π‘˜,𝑦   𝐴,π‘š,𝑝,𝑖   𝐡,𝑓,π‘˜,𝑦   𝐡,𝑖,π‘₯   𝐡,π‘š,𝑝   𝐢,𝑓,𝑦   𝐢,𝑖,π‘š,𝑝   π‘₯,𝐢   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,π‘š,𝑝   π‘₯,𝐷   𝑓,𝐸,π‘˜,𝑦   𝑖,𝐸,π‘₯   𝑖,𝐹,π‘₯,𝑦   𝑦,𝐺   𝑓,𝐻,𝑦   π‘₯,𝐻   𝑓,𝐼,π‘˜   𝑖,𝐼,π‘₯   𝑖,𝐽,π‘₯,𝑦   𝑖,𝐿,π‘₯,𝑦   𝑖,𝑀,π‘₯   π‘š,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,π‘˜,𝑦   𝑖,𝑁,π‘₯   π‘š,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,π‘˜,𝑦   𝑄,𝑖,π‘₯   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,π‘˜,𝑦   𝑆,𝑖,π‘₯   𝑆,𝑝   𝑇,𝑖,π‘˜,π‘₯,𝑦   𝑦,π‘ˆ   πœ‘,𝑓,π‘˜,𝑦   πœ‘,𝑖,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘š,𝑝)   𝐢(π‘˜)   𝐷(π‘˜)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝑄(π‘š)   𝑅(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝑆(π‘š)   𝑇(𝑓,π‘š,𝑝)   π‘ˆ(π‘₯,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐸(π‘š,𝑝)   𝐹(𝑓,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐺(π‘₯,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐻(𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐼(𝑦,π‘š,𝑝)   𝐽(𝑓,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝐿(𝑓,π‘˜,π‘š,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,π‘˜)   𝑂(π‘₯,𝑦,𝑓,𝑖,π‘˜,π‘š,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem90
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem90.p . . . . . . 7 𝑃 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
2 fourierdlem90.m . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
3 fourierdlem90.q . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (π‘ƒβ€˜π‘€))
41, 2, 3fourierdlem11 45419 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐡))
54simp1d 1140 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
64simp2d 1141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
75, 6iccssred 13429 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
84simp3d 1142 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
9 fourierdlem90.J . . . . . 6 𝐿 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐡) ↦ if(𝑦 = 𝐡, 𝐴, 𝑦))
105, 6, 8, 9fourierdlem17 45425 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿:(𝐴(,]𝐡)⟢(𝐴[,]𝐡))
11 fourierdlem90.t . . . . . . 7 𝑇 = (𝐡 βˆ’ 𝐴)
12 fourierdlem90.e . . . . . . 7 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
135, 6, 8, 11, 12fourierdlem4 45412 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸:β„βŸΆ(𝐴(,]𝐡))
14 fourierdlem90.c . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
15 fourierdlem90.d . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (𝐢(,)+∞))
16 elioore 13372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐷 ∈ (𝐢(,)+∞) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
18 elioo4g 13402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐷 ∈ (𝐢(,)+∞) ↔ ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐢 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞)))
1915, 18sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝐢 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐢 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞)))
2019simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐢 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞))
2120simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 < 𝐷)
22 fourierdlem90.o . . . . . . . . . . . . 13 𝑂 = (π‘š ∈ β„• ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...π‘š)) ∣ (((π‘β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘β€˜π‘š) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^π‘š)(π‘β€˜π‘–) < (π‘β€˜(𝑖 + 1)))})
23 fourierdlem90.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
24 fourierdlem90.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = ((β™―β€˜π») βˆ’ 1)
25 fourierdlem90.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
2611, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 23, 24, 25fourierdlem54 45461 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (π‘‚β€˜π‘)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)))
2726simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑆 ∈ (π‘‚β€˜π‘)))
2827simprd 495 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (π‘‚β€˜π‘))
2927simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
3022fourierdlem2 45410 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ β„• β†’ (𝑆 ∈ (π‘‚β€˜π‘) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((π‘†β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘†β€˜π‘) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(π‘†β€˜π‘–) < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (π‘‚β€˜π‘) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((π‘†β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘†β€˜π‘) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(π‘†β€˜π‘–) < (π‘†β€˜(𝑖 + 1))))))
3228, 31mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) ∧ (((π‘†β€˜0) = 𝐢 ∧ (π‘†β€˜π‘) = 𝐷) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑁)(π‘†β€˜π‘–) < (π‘†β€˜(𝑖 + 1)))))
3332simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)))
34 elmapi 8857 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑁)) β†’ 𝑆:(0...𝑁)βŸΆβ„)
3533, 34syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆:(0...𝑁)βŸΆβ„)
36 fourierdlem90.17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0..^𝑁))
37 elfzofz 13666 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑁))
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑁))
3935, 38ffvelcdmd 7089 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ ℝ)
4013, 39ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)) ∈ (𝐴(,]𝐡))
4110, 40ffvelcdmd 7089 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) ∈ (𝐴[,]𝐡))
427, 41sseldd 3979 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) ∈ ℝ)
435rexrd 11280 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
44 iocssre 13422 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ)
4543, 6, 44syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,]𝐡) βŠ† ℝ)
46 fzofzp1 13747 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
4736, 46syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
4835, 47ffvelcdmd 7089 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
4913, 48ffvelcdmd 7089 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐡))
5045, 49sseldd 3979 . . 3 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
51 eqid 2727 . . 3 ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) = ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
52 fourierdlem90.u . . . 4 π‘ˆ = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
5348, 50resubcld 11658 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
5452, 53eqeltrid 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
55 eqid 2727 . . 3 (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ)) = (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ))
56 fourierdlem90.g . . . 4 𝐺 = (𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
57 eleq1 2816 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 β†’ (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
5857anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
59 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘†β€˜π‘—) = (π‘†β€˜π½))
6059fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) = (πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))
6160fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—))) = (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))))
62 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 β†’ (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
6362fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘†β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
6463fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) = (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
6561, 64oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) = ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
6659fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))
6766fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—))) = (π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½))))
6866oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) + 1) = ((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1))
6968fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) + 1)) = (π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))
7067, 69oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) + 1))) = ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1))))
7165, 70sseq12d 4011 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝐽 β†’ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) + 1))) ↔ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))))
7258, 71imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) + 1)))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1))))))
7311oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ Β· 𝑇) = (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))
7473oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) = (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
7574eleq1i 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄)
7675rexbii 3089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄)
7776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄))
7877rabbiia 3431 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄}
7978uneq2i 4156 . . . . . . . . . . . . 13 ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄})
8023, 79eqtri 2755 . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄})
81 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ 𝑦 = π‘₯)
8211eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐡 βˆ’ 𝐴) = 𝑇
8382oveq2i 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = (π‘˜ Β· 𝑇)
8483a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴)) = (π‘˜ Β· 𝑇))
8581, 84oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) = (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)))
8685eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
8786rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
8887cbvrabv 3437 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄} = {π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
8988uneq2i 4156 . . . . . . . . . . . 12 ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
9080, 89eqtri 2755 . . . . . . . . . . 11 𝐻 = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {π‘₯ ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (π‘₯ + (π‘˜ Β· 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
91 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 ((π‘†β€˜π‘—) + if(((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π‘—)) < ((π‘„β€˜1) βˆ’ 𝐴), (((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π‘—)) / 2), (((π‘„β€˜1) βˆ’ 𝐴) / 2))) = ((π‘†β€˜π‘—) + if(((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π‘—)) < ((π‘„β€˜1) βˆ’ 𝐴), (((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π‘—)) / 2), (((π‘„β€˜1) βˆ’ 𝐴) / 2)))
92 fourierdlem90.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (πΏβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))}, ℝ, < ))
9311, 1, 2, 3, 14, 17, 21, 22, 90, 24, 25, 12, 9, 91, 92fourierdlem79 45486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π‘—)) + 1))))
9472, 93vtoclg 3538 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))))
9594anabsi7 670 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1))))
9636, 95mpdan 686 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1))))
9796resabs1d 6010 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) = (𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))))
9897eqcomd 2733 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) = ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))))
991, 2, 3, 11, 12, 9, 92fourierdlem37 45445 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼:β„βŸΆ(0..^𝑀) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (πΏβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘–) ≀ (πΏβ€˜(πΈβ€˜π‘₯))})))
10099simpld 494 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐼:β„βŸΆ(0..^𝑀))
101100, 39ffvelcdmd 7089 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) ∈ (0..^𝑀))
102101ancli 548 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πœ‘ ∧ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) ∈ (0..^𝑀)))
103 eleq1 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) ∈ (0..^𝑀)))
104103anbi2d 628 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (πœ‘ ∧ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) ∈ (0..^𝑀))))
105 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) = (π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½))))
106 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ (𝑖 + 1) = ((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1))
107106fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) = (π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))
108105, 107oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1))))
109108reseq2d 5979 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))))
110108oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) = (((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))–cnβ†’β„‚))
111109, 110eleq12d 2822 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚) ↔ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))–cnβ†’β„‚)))
112104, 111imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑖 = (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚)) ↔ ((πœ‘ ∧ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))–cnβ†’β„‚))))
113 fourierdlem90.fcn . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
114112, 113vtoclg 3538 . . . . . . 7 ((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πœ‘ ∧ (πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))–cnβ†’β„‚)))
115101, 102, 114sylc 65 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))–cnβ†’β„‚))
116 rescncf 24791 . . . . . 6 (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) βŠ† ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))–cnβ†’β„‚) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) ∈ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))–cnβ†’β„‚)))
11796, 115, 116sylc 65 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜(πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(π‘„β€˜((πΌβ€˜(π‘†β€˜π½)) + 1)))) β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) ∈ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))–cnβ†’β„‚))
11898, 117eqeltrd 2828 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) ∈ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))–cnβ†’β„‚))
11956, 118eqeltrid 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))–cnβ†’β„‚))
120 fourierdlem90.r . . 3 𝑅 = (𝑦 ∈ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)))
12142, 50, 51, 54, 55, 119, 120cncfshiftioo 45193 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ((((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ))–cnβ†’β„‚))
122120a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝑦 ∈ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ))))
12352oveq2i 7425 . . . . . . 7 ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ) = ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
124123a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ) = ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))))
12564, 61oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))) = ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))))
12663, 59oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π‘—)) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½)))
127125, 126eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))) = ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π‘—)) ↔ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))))
12858, 127imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))) = ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π‘—))) ↔ ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½)))))
12980fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β™―β€˜π») = (β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
130129oveq1i 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β™―β€˜π») βˆ’ 1) = ((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)
13124, 130eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = ((β™―β€˜({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄})) βˆ’ 1)
132 isoeq5 7323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 = ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄}) β†’ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
13380, 132ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
134133iotabii 6527 . . . . . . . . . . . . . 14 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
13525, 134eqtri 2755 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐢, 𝐷} βˆͺ {𝑦 ∈ (𝐢[,]𝐷) ∣ βˆƒπ‘˜ ∈ β„€ (𝑦 + (π‘˜ Β· (𝐡 βˆ’ 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
136 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘†β€˜π‘—) + (𝐡 βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))) = ((π‘†β€˜π‘—) + (𝐡 βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—))))
1371, 11, 2, 3, 14, 15, 22, 131, 135, 12, 9, 136fourierdlem65 45472 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝑗 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π‘—)))) = ((π‘†β€˜(𝑗 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π‘—)))
138128, 137vtoclg 3538 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))))
139138anabsi7 670 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½)))
14036, 139mpdan 686 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½)))
14150recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∈ β„‚)
14248recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ β„‚)
14314, 17iccssred 13429 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐢[,]𝐷) βŠ† ℝ)
144 ax-resscn 11181 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
145143, 144sstrdi 3990 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐢[,]𝐷) βŠ† β„‚)
14622, 29, 28fourierdlem15 45423 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑆:(0...𝑁)⟢(𝐢[,]𝐷))
147146, 38ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ (𝐢[,]𝐷))
148145, 147sseldd 3979 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ β„‚)
149142, 148subcld 11587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½)) ∈ β„‚)
15042recnd 11258 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) ∈ β„‚)
151141, 149, 150subsub23d 44582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) = (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) ↔ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))))
152140, 151mpbird 257 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) = (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))))
153152eqcomd 2733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) = ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))))
154153oveq1d 7429 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) = (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) + ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))))
155141, 149subcld 11587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) ∈ β„‚)
156155, 142, 141addsub12d 11610 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) + ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))))
157141, 149, 141sub32d 11619 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) = (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))))
158141subidd 11575 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) = 0)
159158oveq1d 7429 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) = (0 βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))))
160 df-neg 11463 . . . . . . . . . 10 -((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½)) = (0 βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½)))
161142, 148negsubdi2d 11603 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½)) = ((π‘†β€˜π½) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
162160, 161eqtr3id 2781 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0 βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) = ((π‘†β€˜π½) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
163157, 159, 1623eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) = ((π‘†β€˜π½) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
164163oveq2d 7430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + ((π‘†β€˜π½) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
165142, 148pncan3d 11590 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + ((π‘†β€˜π½) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) = (π‘†β€˜π½))
166156, 164, 1653eqtrd 2771 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (π‘†β€˜π½))) + ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) = (π‘†β€˜π½))
167124, 154, 1663eqtrd 2771 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ) = (π‘†β€˜π½))
16852oveq2i 7425 . . . . . 6 ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ) = ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
169141, 142pncan3d 11590 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
170168, 169eqtrid 2779 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ) = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
171167, 170oveq12d 7432 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ)) = ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
172171mpteq1d 5237 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ)) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ))) = (𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ))))
173 fourierdlem90.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
174173feqmptd 6961 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
175174reseq1d 5978 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
176 ioossre 13403 . . . . . 6 ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ℝ
177176a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βŠ† ℝ)
178177resmptd 6038 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) β†Ύ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) = (𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)))
17956fveq1i 6892 . . . . . . 7 (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)) = ((𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))β€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ))
180179a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)) = ((𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))β€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)))
18142adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) ∈ ℝ)
182181rexrd 11280 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) ∈ ℝ*)
18350adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
184183rexrd 11280 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∈ ℝ*)
185177sselda 3978 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
18654adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ)
187185, 186resubcld 11658 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ℝ)
18839rexrd 11280 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ ℝ*)
189188adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π½) ∈ ℝ*)
19048rexrd 11280 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
191190adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ*)
192 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
193 ioogtlb 44793 . . . . . . . . . . 11 (((π‘†β€˜π½) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π½) < 𝑦)
194189, 191, 192, 193syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜π½) < 𝑦)
195167adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ) = (π‘†β€˜π½))
196185recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
197186recnd 11258 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ π‘ˆ ∈ β„‚)
198196, 197npcand 11591 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘ˆ) + π‘ˆ) = 𝑦)
199194, 195, 1983brtr4d 5174 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ) < ((𝑦 βˆ’ π‘ˆ) + π‘ˆ))
200181, 187, 186ltadd1d 11823 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) < (𝑦 βˆ’ π‘ˆ) ↔ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ) < ((𝑦 βˆ’ π‘ˆ) + π‘ˆ)))
201199, 200mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) < (𝑦 βˆ’ π‘ˆ))
202 iooltub 44808 . . . . . . . . . . 11 (((π‘†β€˜π½) ∈ ℝ* ∧ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝑦 < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
203189, 191, 192, 202syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝑦 < (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
204170adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ) = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
205203, 198, 2043brtr4d 5174 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘ˆ) + π‘ˆ) < ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ))
206187, 183, 186ltadd1d 11823 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((𝑦 βˆ’ π‘ˆ) < (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ↔ ((𝑦 βˆ’ π‘ˆ) + π‘ˆ) < ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ)))
207205, 206mpbird 257 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ˆ) < (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
208182, 184, 187, 201, 207eliood 44796 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
209 fvres 6910 . . . . . . 7 ((𝑦 βˆ’ π‘ˆ) ∈ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))β€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)))
210208, 209syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½)))(,)(πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))β€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)))
21152oveq2i 7425 . . . . . . . . . 10 (𝑦 βˆ’ π‘ˆ) = (𝑦 βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
212211a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ˆ) = (𝑦 βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))))
213142adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) ∈ β„‚)
214141adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∈ β„‚)
215196, 213, 214subsub2d 11616 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (𝑦 βˆ’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) βˆ’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))))) = (𝑦 + ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
216214, 213subcld 11587 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∈ β„‚)
2176, 5resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
21811, 217eqeltrid 2832 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
219218recnd 11258 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
220219adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
2215, 6posdifd 11817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
2228, 221mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴))
223222, 11breqtrrdi 5184 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
224223gt0ne0d 11794 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑇 β‰  0)
225224adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝑇 β‰  0)
226216, 220, 225divcan1d 12007 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) Β· 𝑇) = ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
227226eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) = ((((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) Β· 𝑇))
228227oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (𝑦 + ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) = (𝑦 + ((((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) Β· 𝑇)))
229212, 215, 2283eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (𝑦 βˆ’ π‘ˆ) = (𝑦 + ((((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) Β· 𝑇)))
230229fveq2d 6895 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)) = (πΉβ€˜(𝑦 + ((((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) Β· 𝑇))))
231173adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„‚)
232218adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
23312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇))))
234 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) β†’ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)))
235 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) β†’ (𝐡 βˆ’ π‘₯) = (𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
236235oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) β†’ ((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇) = ((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇))
237236fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
238237oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇) = ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇))
239234, 238oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (π‘†β€˜(𝐽 + 1)) β†’ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
240239adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ = (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) β†’ (π‘₯ + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ π‘₯) / 𝑇)) Β· 𝑇)) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
2416, 48resubcld 11658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
242241, 218, 224redivcld 12058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
243242flcld 13781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ β„€)
244243zred 12682 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
245244, 218remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇) ∈ ℝ)
24648, 245readdcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇)) ∈ ℝ)
247233, 240, 48, 246fvmptd 7006 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) = ((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇)))
248247oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) = (((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))))
249244recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ β„‚)
250249, 219mulcld 11250 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇) ∈ β„‚)
251142, 250pncan2d 11589 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((π‘†β€˜(𝐽 + 1)) + ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇)) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) = ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇))
252248, 251eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) = ((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇))
253252oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇) / 𝑇))
254249, 219, 224divcan4d 12012 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)) Β· 𝑇) / 𝑇) = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
255253, 254eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (βŒŠβ€˜((𝐡 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
256255, 243eqeltrd 2828 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ β„€)
257256adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ β„€)
258 fourierdlem90.6 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
259258adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜(π‘₯ + 𝑇)) = (πΉβ€˜π‘₯))
260231, 232, 257, 185, 259fperiodmul 44599 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 + ((((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽 + 1))) / 𝑇) Β· 𝑇))) = (πΉβ€˜π‘¦))
261230, 260eqtrd 2767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)) = (πΉβ€˜π‘¦))
262180, 210, 2613eqtrrd 2772 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ)))
263262mpteq2dva 5242 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ↦ (πΉβ€˜π‘¦)) = (𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ))))
264175, 178, 2633eqtrrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) ↦ (πΊβ€˜(𝑦 βˆ’ π‘ˆ))) = (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
265122, 172, 2643eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))))
266171oveq1d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ ((((πΏβ€˜(πΈβ€˜(π‘†β€˜π½))) + π‘ˆ)(,)((πΈβ€˜(π‘†β€˜(𝐽 + 1))) + π‘ˆ))–cnβ†’β„‚) = (((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))–cnβ†’β„‚))
267121, 265, 2663eltr3d 2842 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))) ∈ (((π‘†β€˜π½)(,)(π‘†β€˜(𝐽 + 1)))–cnβ†’β„‚))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βˆͺ cun 3942   βŠ† wss 3944  ifcif 4524  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674  β„©cio 6492  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542   Isom wiso 6543  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8834  supcsup 9449  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129  +∞cpnf 11261  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  -cneg 11461   / cdiv 11887  β„•cn 12228  2c2 12283  β„€cz 12574  (,)cioo 13342  (,]cioc 13343  [,]cicc 13345  ...cfz 13502  ..^cfzo 13645  βŒŠcfl 13773  β™―chash 14307  β€“cnβ†’ccncf 24770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-cmp 23265  df-cncf 24772
This theorem is referenced by:  fourierdlem97  45504  fourierdlem98  45505  fourierdlem100  45507  fourierdlem107  45514  fourierdlem109  45516
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