Theorem fourierdlem100 44437

Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierlemiblglemlem.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem100.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem100.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem100.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem100.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem100.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem100.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem100.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem100.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem100.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem100.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem100.o	⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem100.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem100.h	⊢ 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem100.s	⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem100.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem100.j	⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem100.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem100	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀,𝑦   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem100

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem100.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2		fourierdlem100.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		fourierdlem100.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
4		elioore 13294	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	2, 5	iccssred 13351	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
7	1, 6	feqresmpt 6911	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹‘𝑥)))
8		fourierdlem100.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
9		fveq2 6842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
10		oveq1 7364	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
11	10	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
12	9, 11	breq12d 5118	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
13	12	cbvralvw 3225	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
14	13	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) → ((((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
16	15	rabbiia 3411	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
17	16	mpteq2i 5210	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
18	8, 17	eqtri 2764	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
19		fourierdlem100.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
20		fourierlemiblglemlem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
21		fourierdlem100.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
22		fourierdlem100.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
23		elioo4g 13324	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞)))
24	3, 23	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞)))
25	24	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞))
26	25	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
27		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
28	19	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
29	28	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑘 · 𝑇)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑘 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑘 · 𝑇))
31	27, 30	oveq12d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
32	31	eleq1d 2822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
33	32	rexbidv 3175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
34	33	cbvrabv 3417	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
35	34	uneq2i 4120	. . . . . 6 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
36		fourierdlem100.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
37		fourierdlem100.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
38	29	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))
39	38	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴)))
40	39	eleq1i 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄)
41	40	rexbii 3097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄)
42	41	rgenw 3068	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄)
43		rabbi 3432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})
44	42, 43	mpbi 229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}
45	44	uneq2i 4120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})
46	37, 45	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})
47	46	fveq2i 6845	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
48	47	oveq1i 7367	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
49	36, 48	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
50		fourierdlem100.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
51		isoeq5 7266	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
52	46, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
53	52	iotabii 6481	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
54	50, 53	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
55	19, 20, 21, 22, 2, 5, 26, 8, 35, 49, 54	fourierdlem54 44391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
56	55	simpld 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)))
57	56	simpld 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
58	56	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁))
59	1, 6	fssresd 6709	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)):(𝐶[,]𝐷)⟶ℂ)
60		ioossicc 13350	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ ((𝑆‘𝑗)[,](𝑆‘(𝑗 + 1)))
61	2	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
63	3	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
64	63, 4	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
65	64	rexrd 11205	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
66	8, 57, 58	fourierdlem15 44353	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
67	66	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
68		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
69	62, 65, 67, 68	fourierdlem8 44346	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆‘𝑗)[,](𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
70	60, 69	sstrid 3955	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
71	70	resabs1d 5968	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
72	21	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
73	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
74	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
75		fourierdlem100.per	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
76	75	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
77		fourierdlem100.fcn	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
78	77	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
79		fourierdlem100.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
80		fourierdlem100.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
81		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
82		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
83		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
84		fourierdlem100.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
85	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 82, 83, 84	fourierdlem90 44427	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
86	71, 85	eqeltrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
87		fourierdlem100.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
88	87	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
89		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
90	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 88, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 89	fourierdlem89 44426	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
91	71	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
92	91	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)) = (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
93	90, 92	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
94		fourierdlem100.l	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
95	94	adantlr 713	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
96		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
97	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 95, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 96	fourierdlem91 44428	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
98	91	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))) = (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
99	97, 98	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
100	18, 57, 58, 59, 86, 93, 99	fourierdlem69 44406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ 𝐿1)
101	7, 100	eqeltrrd 2839	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {crab 3407   ∪ cun 3908  ifcif 4486  {cpr 4588   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ran crn 5634   ↾ cres 5635  ℩cio 6446  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496   Isom wiso 6497  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385   / cdiv 11812  ℕcn 12153  ℤcz 12499  (,)cioo 13264  (,]cioc 13265  [,]cicc 13267  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  ⌊cfl 13695  ♯chash 14230  –cn→ccncf 24239  𝐿¹cibl 24981   lim_ℂ climc 25226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230

This theorem is referenced by:  fourierdlem105  44442