Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem100 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem100 41350
Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierlemiblglemlem.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem100.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem100.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem100.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem100.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem100.per ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem100.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem100.r ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
fourierdlem100.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem100.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem100.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem100.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem100.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem100.h 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem100.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem100.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem100.j 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem100.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem100 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀,𝑦   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem100
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem100.f . . 3 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
2 fourierdlem100.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
3 fourierdlem100.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
4 elioore 12517 . . . . 5 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
62, 5iccssred 40639 . . 3 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
71, 6feqresmpt 6510 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹𝑥)))
8 fourierdlem100.o . . . 4 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
9 fveq2 6446 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝𝑖) = (𝑝𝑗))
10 oveq1 6929 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
1110fveq2d 6450 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
129, 11breq12d 4899 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
1312cbvralv 3367 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
1413anbi2i 616 . . . . . . 7 ((((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
1514a1i 11 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) → ((((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
1615rabbiia 3381 . . . . 5 {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
1716mpteq2i 4976 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
188, 17eqtri 2802 . . 3 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
19 fourierdlem100.t . . . . . 6 𝑇 = (𝐵𝐴)
20 fourierlemiblglemlem.p . . . . . 6 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
21 fourierdlem100.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
22 fourierdlem100.q . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
23 elioo4g 12546 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
243, 23sylib 210 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2524simprd 491 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2625simpld 490 . . . . . 6 (𝜑𝐶 < 𝐷)
27 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
2819eqcomi 2787 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵𝐴) = 𝑇
2928oveq2i 6933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 · (𝐵𝐴)) = (𝑘 · 𝑇)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑘 · (𝐵𝐴)) = (𝑘 · 𝑇))
3127, 30oveq12d 6940 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
3231eleq1d 2844 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
3332rexbidv 3237 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
3433cbvrabv 3396 . . . . . . 7 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
3534uneq2i 3987 . . . . . 6 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
36 fourierdlem100.n . . . . . . 7 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
37 fourierdlem100.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
3829eqcomi 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
3938oveq2i 6933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
4039eleq1i 2850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
4140rexbii 3224 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
4241rgenw 3106 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
43 rabbi 3307 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
4442, 43mpbi 222 . . . . . . . . . . 11 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
4544uneq2i 3987 . . . . . . . . . 10 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
4637, 45eqtri 2802 . . . . . . . . 9 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
4746fveq2i 6449 . . . . . . . 8 (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
4847oveq1i 6932 . . . . . . 7 ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
4936, 48eqtri 2802 . . . . . 6 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
50 fourierdlem100.s . . . . . . 7 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
51 isoeq5 6843 . . . . . . . . 9 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
5246, 51ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
5352iotabii 6121 . . . . . . 7 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
5450, 53eqtri 2802 . . . . . 6 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
5519, 20, 21, 22, 2, 5, 26, 8, 35, 49, 54fourierdlem54 41304 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
5655simpld 490 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
5756simpld 490 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
5856simprd 491 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
591, 6fssresd 6321 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)):(𝐶[,]𝐷)⟶ℂ)
60 ioossicc 12571 . . . . . 6 ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ ((𝑆𝑗)[,](𝑆‘(𝑗 + 1)))
612adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
6261rexrd 10426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
633adantr 474 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
6463, 4syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
6564rexrd 10426 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
668, 57, 58fourierdlem15 41266 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
6766adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
68 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
6962, 65, 67, 68fourierdlem8 41259 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆𝑗)[,](𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
7060, 69syl5ss 3832 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
7170resabs1d 5677 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
7221adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
7322adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
741adantr 474 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
75 fourierdlem100.per . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
7675adantlr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
77 fourierdlem100.fcn . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
7877adantlr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
79 fourierdlem100.e . . . . 5 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
80 fourierdlem100.j . . . . 5 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
81 eqid 2778 . . . . 5 ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
82 eqid 2778 . . . . 5 (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
83 eqid 2778 . . . . 5 (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
84 fourierdlem100.i . . . . 5 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
8520, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 82, 83, 84fourierdlem90 41340 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
8671, 85eqeltrd 2859 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
87 fourierdlem100.r . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
8887adantlr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄𝑖)))
89 eqid 2778 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
9020, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 88, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 89fourierdlem89 41339 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
9171eqcomd 2784 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
9291oveq1d 6937 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)) = (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
9390, 92eleqtrd 2861 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆𝑗))))) ∈ (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆𝑗)))
94 fourierdlem100.l . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
9594adantlr 705 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
96 eqid 2778 . . . . 5 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
9720, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 95, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 96fourierdlem91 41341 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
9891oveq1d 6937 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))) = (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
9997, 98eleqtrd 2861 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) lim (𝑆‘(𝑗 + 1))))
10018, 57, 58, 59, 86, 93, 99fourierdlem69 41319 . 2 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ 𝐿1)
1017, 100eqeltrrd 2860 1 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wrex 3091  {crab 3094  cun 3790  ifcif 4307  {cpr 4400   class class class wbr 4886  cmpt 4965  ran crn 5356  cres 5357  cio 6097  wf 6131  cfv 6135   Isom wiso 6136  (class class class)co 6922  𝑚 cmap 8140  supcsup 8634  cc 10270  cr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   · cmul 10277  +∞cpnf 10408  *cxr 10410   < clt 10411  cle 10412  cmin 10606   / cdiv 11032  cn 11374  cz 11728  (,)cioo 12487  (,]cioc 12488  [,]cicc 12490  ...cfz 12643  ..^cfzo 12784  cfl 12910  chash 13435  cnccncf 23087  𝐿1cibl 23821   lim climc 24063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-symdif 4067  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-ovol 23668  df-vol 23669  df-mbf 23823  df-itg1 23824  df-itg2 23825  df-ibl 23826  df-itg 23827  df-0p 23874  df-limc 24067
This theorem is referenced by:  fourierdlem105  41355
  Copyright terms: Public domain W3C validator