Theorem fourierdlem100 47185

Description: A piecewise continuous function is integrable on any closed interval. This lemma uses local definitions, so that the proof is more readable. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierlemiblglemlem.p	⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem100.t	⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
fourierdlem100.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem100.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
fourierdlem100.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem100.per	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
fourierdlem100.fcn	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem100.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
fourierdlem100.l	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem100.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem100.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem100.o	⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem100.n	⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem100.h	⊢ 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem100.s	⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem100.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem100.j	⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem100.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem100	⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻,𝑦   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑖,𝑀,𝑚,𝑝   𝑥,𝑀,𝑦   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑥,𝑅,𝑦   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚, 𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑅(𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑚, 𝑝)   𝐸(𝑚, 𝑝)   𝐹(𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝐻(𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝐼(𝑚, 𝑝)   𝐽(𝑓, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝐿(𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑝)   𝑀(𝑓, 𝑘)   𝑂(𝑥, 𝑦, 𝑓, 𝑖, 𝑘, 𝑚, 𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem100

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem100.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
2		fourierdlem100.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
3		fourierdlem100.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
4		elioore 13499	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
6	2, 5	iccssred 13558	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
7	1, 6	feqresmpt 6952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) = (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹‘𝑥)))
8		fourierdlem100.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
9		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘𝑖) = (𝑝‘𝑗))
10		oveq1 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 + 1) = (𝑗 + 1))
11	10	fveq2d 6887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑝‘(𝑖 + 1)) = (𝑝‘(𝑗 + 1)))
12	9, 11	breq12d 5116	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
13	12	cbvralvw 3241	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)) ↔ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))
14	13	anbi2i 635	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1))))
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) → ((((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1))) ↔ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))))
16	15	rabbiia 3417	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))} = {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))}
17	16	mpteq2i 5201	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
18	8, 17	eqtri 2784	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑗) < (𝑝‘(𝑗 + 1)))})
19		fourierdlem100.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝐵 − 𝐴)
20		fourierlemiblglemlem.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝‘𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝‘𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
21		fourierdlem100.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
22		fourierdlem100.q	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
23		elioo4g 13530	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞)))
24	3, 23	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞)))
25	24	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < 𝐷 ∧ 𝐷 < +∞))
26	25	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐷)
27		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → 𝑦 = 𝑥)
28	19	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 − 𝐴) = 𝑇
29	28	oveq2i 7429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑘 · 𝑇)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑘 · (𝐵 − 𝐴)) = (𝑘 · 𝑇))
31	27, 30	oveq12d 7436	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
32	31	eleq1d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
33	32	rexbidv 3187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
34	33	cbvrabv 3423	. . . . . . 7 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
35	34	uneq2i 4112	. . . . . 6 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
36		fourierdlem100.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
37		fourierdlem100.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
38	29	eqcomi 2770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))
39	38	oveq2i 7429	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴)))
40	39	eleq1i 2852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄)
41	40	rexbii 3110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄)
42	41	rgenw 3081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄)
43		rabbi 3442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})
44	42, 43	mpbi 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}
45	44	uneq2i 4112	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})
46	37, 45	eqtri 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})
47	46	fveq2i 6886	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
48	47	oveq1i 7428	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
49	36, 48	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
50		fourierdlem100.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
51		isoeq5 7327	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
52	46, 51	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
53	52	iotabii 6522	. . . . . . 7 ⊢ (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
54	50, 53	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
55	19, 20, 21, 22, 2, 5, 26, 8, 35, 49, 54	fourierdlem54 47139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵 − 𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
56	55	simpld 500	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁)))
57	56	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
58	56	simprd 501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (𝑂‘𝑁))
59	1, 6	fssresd 6747	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)):(𝐶[,]𝐷)⟶ℂ)
60		ioossicc 13557	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ ((𝑆‘𝑗)[,](𝑆‘(𝑗 + 1)))
61	2	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	61	rexrd 11352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
63	3	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
64	63, 4	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ)
65	64	rexrd 11352	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐷 ∈ ℝ*)
66	8, 57, 58	fourierdlem15 47101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
67	66	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
68		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑗 ∈ (0..^𝑁))
69	62, 65, 67, 68	fourierdlem8 47094	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆‘𝑗)[,](𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
70	60, 69	sstrid 3942	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1))) ⊆ (𝐶[,]𝐷))
71	70	resabs1d 5999	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
72	21	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ)
73	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑄 ∈ (𝑃‘𝑀))
74	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
75		fourierdlem100.per	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
76	75	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹‘𝑥))
77		fourierdlem100.fcn	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
78	77	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
79		fourierdlem100.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵 − 𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
80		fourierdlem100.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
81		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))
82		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
83		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))))) = (𝑦 ∈ (((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) + ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))) ↦ ((𝐹 ↾ ((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))‘(𝑦 − ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))))))
84		fourierdlem100.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑖) ≤ (𝐽‘(𝐸‘𝑥))}, ℝ, < ))
85	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 82, 83, 84	fourierdlem90 47175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
86	71, 85	eqeltrd 2861	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ∈ (((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))–cn→ℂ))
87		fourierdlem100.r	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
88	87	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝑅 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘𝑖)))
89		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)
90	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 88, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 89	fourierdlem89 47174	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
91	71	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))))
92	91	oveq1d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)) = (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
93	90, 92	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝑅)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐽‘(𝐸‘(𝑆‘𝑗))))) ∈ (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘𝑗)))
94		fourierdlem100.l	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
95	94	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) limℂ (𝑄‘(𝑖 + 1))))
96		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿) = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
97	20, 19, 72, 73, 74, 76, 78, 95, 61, 63, 8, 37, 36, 50, 79, 80, 68, 81, 84, 96	fourierdlem91 47176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
98	91	oveq1d 7433	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐹 ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))) = (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
99	97, 98	eleqtrd 2863	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → if((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆‘𝑗)) + 1)), ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)‘(𝐼‘(𝑆‘𝑗))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))))) ∈ (((𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ↾ ((𝑆‘𝑗)(,)(𝑆‘(𝑗 + 1)))) limℂ (𝑆‘(𝑗 + 1))))
100	18, 57, 58, 59, 86, 93, 99	fourierdlem69 47154	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐶[,]𝐷)) ∈ 𝐿1)
101	7, 100	eqeltrrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∪ cun 3897  ifcif 4482  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   ↾ cres 5653  ℩cio 6491  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537   Isom wiso 6538  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840  supcsup 9425  ℂcc 11191  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198  +∞cpnf 11333  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337   − cmin 11534   / cdiv 11966  ℕcn 12328  ℤcz 12686  (,)cioo 13469  (,]cioc 13470  [,]cicc 13472  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781  ⌊cfl 13923  ♯chash 14467  –cn→ccncf 25190  𝐿¹cibl 25931   lim_ℂ climc 26175

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-inf2 9635  ax-cc 10506  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-pre-sup 11271  ax-addf 11272

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-symdif 4199  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-oadd 8473  df-omul 8474  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-fi 9396  df-sup 9427  df-inf 9428  df-oi 9497  df-dju 9975  df-card 10013  df-acn 10016  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-q 13069  df-rp 13114  df-xneg 13234  df-xadd 13235  df-xmul 13236  df-ioo 13473  df-ioc 13474  df-ico 13475  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-fl 13925  df-mod 14003  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-cj 15259  df-re 15260  df-im 15261  df-sqrt 15395  df-abs 15396  df-limsup 15631  df-clim 15648  df-rlim 15649  df-sum 15847  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-rest 17586  df-topn 17587  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-topgen 17607  df-pt 17608  df-prds 17611  df-xrs 17667  df-qtop 17672  df-imas 17673  df-xps 17675  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-submnd 18972  df-mulg 19271  df-cntz 19524  df-cmn 19989  df-psmet 21663  df-xmet 21664  df-met 21665  df-bl 21666  df-mopn 21667  df-cnfld 21672  df-top 23205  df-topon 23222  df-topsp 23244  df-bases 23257  df-cld 23330  df-ntr 23331  df-cls 23332  df-nei 23409  df-lp 23447  df-cn 23538  df-cnp 23539  df-cmp 23698  df-tx 23874  df-hmeo 24067  df-xms 24632  df-ms 24633  df-tms 24634  df-cncf 25192  df-ovol 25778  df-vol 25779  df-mbf 25933  df-itg1 25934  df-itg2 25935  df-ibl 25936  df-itg 25937  df-0p 25984  df-limc 26179

This theorem is used by:  fourierdlem105  47190