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Theorem fourierdlem91 41075
Description: Given a piecewise continuous function and changing the interval and the partition, the limit at the upper bound of each interval of the moved partition is still finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem91.p 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem91.t 𝑇 = (𝐵𝐴)
fourierdlem91.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem91.q (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
fourierdlem91.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
fourierdlem91.6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
fourierdlem91.fcn ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
fourierdlem91.l ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
fourierdlem91.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
fourierdlem91.d (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
fourierdlem91.o 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
fourierdlem91.h 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
fourierdlem91.n 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
fourierdlem91.s 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
fourierdlem91.e 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
fourierdlem91.J 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
fourierdlem91.17 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
fourierdlem91.u 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
fourierdlem91.i 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
fourierdlem91.w 𝑊 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem91 (𝜑 → if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆‘(𝐽 + 1))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑘,𝑦   𝐴,𝑖,𝑥,𝑘,𝑦   𝐴,𝑚,𝑝,𝑖   𝐵,𝑓,𝑘,𝑦   𝐵,𝑖,𝑥   𝐵,𝑚,𝑝   𝐶,𝑓,𝑦   𝐶,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐶   𝐷,𝑓,𝑦   𝐷,𝑖,𝑚,𝑝   𝑥,𝐷   𝑓,𝐸,𝑘,𝑦   𝑖,𝐸,𝑥   𝑖,𝐹,𝑥,𝑦   𝑓,𝐻   𝑥,𝐻   𝑓,𝐼,𝑘,𝑦   𝑖,𝐼,𝑥   𝑖,𝐽,𝑥,𝑦   𝑖,𝑀,𝑥   𝑚,𝑀,𝑝   𝑓,𝑁,𝑘,𝑦   𝑖,𝑁,𝑥   𝑚,𝑁,𝑝   𝑄,𝑓,𝑘,𝑦   𝑄,𝑖,𝑥   𝑄,𝑝   𝑆,𝑓,𝑘,𝑦   𝑆,𝑖,𝑥   𝑆,𝑝   𝑇,𝑓,𝑘,𝑦   𝑇,𝑖,𝑥   𝑥,𝑈,𝑦   𝑥,𝑊,𝑦   𝑖,𝑍,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑘,𝑦   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑝)   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑄(𝑚)   𝑆(𝑚)   𝑇(𝑚,𝑝)   𝑈(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐸(𝑚,𝑝)   𝐹(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐻(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐼(𝑚,𝑝)   𝐽(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)   𝐿(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑀(𝑦,𝑓,𝑘)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑊(𝑓,𝑖,𝑘,𝑚,𝑝)   𝑍(𝑓,𝑘,𝑚,𝑝)

Proof of Theorem fourierdlem91
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem91.q . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃𝑀))
2 fourierdlem91.m . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 fourierdlem91.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐴 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
43fourierdlem2 40987 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
52, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∈ (𝑃𝑀) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
61, 5mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) ∧ (((𝑄‘0) = 𝐴 ∧ (𝑄𝑀) = 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))))
76simpld 488 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)))
8 elmapi 8086 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑀)) → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
10 fzossfz 12701 . . . . . . . . . 10 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
11 fourierdlem91.t . . . . . . . . . . . . 13 𝑇 = (𝐵𝐴)
12 fourierdlem91.e . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)))
13 fourierdlem91.J . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (𝑦 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑦 = 𝐵, 𝐴, 𝑦))
14 fourierdlem91.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ))
153, 2, 1, 11, 12, 13, 14fourierdlem37 41022 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀) ∧ (𝑥 ∈ ℝ → sup({𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑖) ≤ (𝑍‘(𝐸𝑥))})))
1615simpld 488 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼:ℝ⟶(0..^𝑀))
17 fourierdlem91.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
18 fourierdlem91.d . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞))
19 elioore 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) → 𝐷 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
21 elioo4g 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐷 ∈ (𝐶(,)+∞) ↔ ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2218, 21sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐶 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*𝐷 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞)))
2322simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐶 < 𝐷𝐷 < +∞))
2423simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 < 𝐷)
25 fourierdlem91.o . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑂 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ {𝑝 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑚)) ∣ (((𝑝‘0) = 𝐶 ∧ (𝑝𝑚) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑚)(𝑝𝑖) < (𝑝‘(𝑖 + 1)))})
26 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)))
2726eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2827rexbidv 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄))
2928cbvrabv 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}
3029uneq2i 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
31 fourierdlem91.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁 = ((♯‘𝐻) − 1)
32 fourierdlem91.h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
3332fveq2i 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (♯‘𝐻) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))
3433oveq1i 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝐻) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
3531, 34eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1)
36 fourierdlem91.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻))
37 isoeq5 6767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
3832, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
3938iotabii 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), 𝐻)) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4036, 39eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})))
4111, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 30, 35, 40fourierdlem54 41038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)) ∧ 𝑆 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))))
4241simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ (𝑂𝑁)))
4342simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆 ∈ (𝑂𝑁))
4442simpld 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4525fourierdlem2 40987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑆 ∈ (𝑂𝑁) ↔ (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1))))))
4743, 46mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) ∧ (((𝑆‘0) = 𝐶 ∧ (𝑆𝑁) = 𝐷) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))))
4847simpld 488 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)))
49 elmapi 8086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ (ℝ ↑𝑚 (0...𝑁)) → 𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶ℝ)
51 fourierdlem91.17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))
52 elfzofz 12698 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → 𝐽 ∈ (0...𝑁))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽 ∈ (0...𝑁))
5450, 53ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℝ)
5516, 54ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
5610, 55sseldi 3761 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0...𝑀))
579, 56ffvelrnd 6554 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
5857rexrd 10347 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
5958adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ*)
60 fzofzp1 12778 . . . . . . . . . 10 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
6155, 60syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1) ∈ (0...𝑀))
629, 61ffvelrnd 6554 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ)
6362rexrd 10347 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
6463adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ*)
653, 2, 1fourierdlem11 40996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵))
6665simp1d 1172 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6766rexrd 10347 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
6865simp2d 1173 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
69 iocssre 12460 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
7067, 68, 69syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ ℝ)
7165simp3d 1174 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 < 𝐵)
7266, 68, 71, 11, 12fourierdlem4 40989 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸:ℝ⟶(𝐴(,]𝐵))
73 fzofzp1 12778 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
7451, 73syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ (0...𝑁))
7550, 74ffvelrnd 6554 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℝ)
7672, 75ffvelrnd 6554 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ (𝐴(,]𝐵))
7770, 76sseldd 3764 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
7877adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
7966, 68iccssred 40393 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
8066, 68, 71, 13fourierdlem17 41002 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
8172, 54ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆𝐽)) ∈ (𝐴(,]𝐵))
8280, 81ffvelrnd 6554 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
8379, 82sseldd 3764 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℝ)
8447simprrd 790 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)))
85 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆𝑖) = (𝑆𝐽))
86 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 𝐽 → (𝑖 + 1) = (𝐽 + 1))
8786fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑖 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
8885, 87breq12d 4824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 𝐽 → ((𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1))))
8988rspccva 3461 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)(𝑆𝑖) < (𝑆‘(𝑖 + 1)) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9084, 51, 89syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9154, 75posdifd 10872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑆𝐽) < (𝑆‘(𝐽 + 1)) ↔ 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
9290, 91mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
93 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝐽 ∈ (0..^𝑁)))
9493anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) ↔ (𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁))))
95 oveq1 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 + 1) = (𝐽 + 1))
9695fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆‘(𝑗 + 1)) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
9796fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) = (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
98 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝐽 → (𝑆𝑗) = (𝑆𝐽))
9998fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = 𝐽 → (𝐸‘(𝑆𝑗)) = (𝐸‘(𝑆𝐽)))
10099fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = 𝐽 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
10197, 100oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
10296, 98oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
103101, 102eqeq12d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
10494, 103imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))))
10511oveq2i 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 · 𝑇) = (𝑘 · (𝐵𝐴))
106105oveq2i 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) = (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴)))
107106eleq1i 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
108107rexbii 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
109108rgenw 3071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄)
110 rabbi 3268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷)(∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄) ↔ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
111109, 110mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄} = {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}
112111uneq2i 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})
113112fveq2i 6382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) = (♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))
114113oveq1i 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) − 1) = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
11535, 114eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑁 = ((♯‘({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})) − 1)
116 isoeq5 6767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}) = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}) → (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄}))))
117112, 116ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})) ↔ 𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
118117iotabii 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄}))) = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
11940, 118eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 = (℩𝑓𝑓 Isom < , < ((0...𝑁), ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑦 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 + (𝑘 · (𝐵𝐴))) ∈ ran 𝑄})))
120 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆𝑗) + (𝐵 − (𝐸‘(𝑆𝑗))))
1213, 11, 2, 1, 17, 18, 25, 115, 119, 12, 13, 120fourierdlem65 41049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))) = ((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)))
122104, 121vtoclg 3418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
123122anabsi7 661 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
12451, 123mpdan 678 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
12592, 124breqtrrd 4839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))))
12683, 77posdifd 10872 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ↔ 0 < ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))))
127125, 126mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
128100, 97oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
12998fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → (𝐼‘(𝑆𝑗)) = (𝐼‘(𝑆𝐽)))
130129fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗))) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
131129oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
132131fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝐽 → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
133130, 132oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
134128, 133sseq12d 3796 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))) ↔ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
13594, 134imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → (((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1)))) ↔ ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
13632, 30eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐻 = ({𝐶, 𝐷} ∪ {𝑥 ∈ (𝐶[,]𝐷) ∣ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑥 + (𝑘 · 𝑇)) ∈ ran 𝑄})
137 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2))) = ((𝑆𝑗) + if(((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) < ((𝑄‘1) − 𝐴), (((𝑆‘(𝑗 + 1)) − (𝑆𝑗)) / 2), (((𝑄‘1) − 𝐴) / 2)))
13811, 3, 2, 1, 17, 20, 24, 25, 136, 31, 36, 12, 13, 137, 14fourierdlem79 41063 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝑗)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝑗 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝑗)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝑗)) + 1))))
139135, 138vtoclg 3418 . . . . . . . . . . . 12 (𝐽 ∈ (0..^𝑁) → ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
140139anabsi7 661 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐽 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
14151, 140mpdan 678 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
14257, 62, 83, 77, 127, 141fourierdlem10 40995 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∧ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
143142simpld 488 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ≤ (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
14457, 83, 77, 143, 127lelttrd 10453 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
145144adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
14662adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ∈ ℝ)
147142simprd 489 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
148147adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≤ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
149 neqne 2945 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ≠ (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
150149necomd 2992 . . . . . . . 8 (¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ≠ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
151150adantl 473 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)) ≠ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
15278, 146, 148, 151leneltd 10449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
15359, 64, 78, 145, 152eliood 40386 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
154 fvres 6398 . . . . 5 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
155153, 154syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
156155eqcomd 2771 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) → (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
157156ifeq2da 4276 . 2 (𝜑 → if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
158 fourierdlem91.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
159 fdm 6233 . . . . . . . 8 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
160158, 159syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
161160feq2d 6211 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ↔ 𝐹:ℝ⟶ℂ))
162158, 161mpbird 248 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
163 ioosscn 40382 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ
164163a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℂ)
165 ioossre 12442 . . . . . 6 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ ℝ
166165, 160syl5sseqr 3816 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ⊆ dom 𝐹)
167 fourierdlem91.u . . . . . . 7 𝑈 = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))
16875, 77resubcld 10716 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) ∈ ℝ)
169167, 168syl5eqel 2848 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
170169recnd 10326 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
171 eqid 2765 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}
17283, 77, 169iooshift 40411 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)})
173 ioossre 12442 . . . . . . 7 (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ ℝ
174173, 160syl5sseqr 3816 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) ⊆ dom 𝐹)
175172, 174eqsstr3d 3802 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} ⊆ dom 𝐹)
176 elioore 12412 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
17768, 66resubcld 10716 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
17811, 177syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
179178recnd 10326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
18066, 68posdifd 10872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
18171, 180mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
182181, 11syl6breqr 4853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑇)
183182gt0ne0d 10850 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ≠ 0)
184170, 179, 183divcan1d 11060 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇) = 𝑈)
185184eqcomd 2771 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 = ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))
186185oveq2d 6862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
187186adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑈) = (𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇)))
188187fveq2d 6383 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))))
189158adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
190178adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℝ)
19177recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
19275recnd 10326 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆‘(𝐽 + 1)) ∈ ℂ)
193191, 192negsubdi2d 10666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
194193eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = -((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
195194oveq1d 6861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
196167oveq1i 6856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇)
197196a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) / 𝑇))
19812a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐸 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇))))
199 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → 𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
200 oveq2 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝐵𝑥) = (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
201200oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((𝐵𝑥) / 𝑇) = ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
202201fveq2d 6383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
203202oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
204199, 203oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1)) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
205204adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 = (𝑆‘(𝐽 + 1))) → (𝑥 + ((⌊‘((𝐵𝑥) / 𝑇)) · 𝑇)) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
20668, 75resubcld 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℝ)
207206, 178, 183redivcld 11111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℝ)
208207flcld 12812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℤ)
209208zred 11734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℝ)
210209, 178remulcld 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℝ)
21175, 210readdcld 10327 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) ∈ ℝ)
212198, 205, 75, 211fvmptd 6481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)))
213212oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
214208zcnd 11735 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) ∈ ℂ)
215214, 179mulcld 10318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) ∈ ℂ)
216192, 215pncan2d 10652 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇)) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
217213, 216eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇))
218217, 215eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) ∈ ℂ)
219218, 179, 183divnegd 11072 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (-((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
220195, 197, 2193eqtr4d 2809 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) = -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇))
221217oveq1d 6861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇))
222214, 179, 183divcan4d 11065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)) · 𝑇) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
223221, 222eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) = (⌊‘((𝐵 − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇)))
224223, 208eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
225224znegcld 11736 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑆‘(𝐽 + 1))) / 𝑇) ∈ ℤ)
226220, 225eqeltrd 2844 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
227226adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑈 / 𝑇) ∈ ℤ)
228 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
229 fourierdlem91.6 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
230229adantlr 706 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
231189, 190, 227, 228, 230fperiodmul 40181 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + ((𝑈 / 𝑇) · 𝑇))) = (𝐹𝑦))
232188, 231eqtrd 2799 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
233176, 232sylan2 586 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑈)) = (𝐹𝑦))
2346simprrd 790 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)))
235 fveq2 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄𝑖) = (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
236 oveq1 6853 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 + 1) = ((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))
237236fveq2d 6383 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑄‘(𝑖 + 1)) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
238235, 237breq12d 4824 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ↔ (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
239238rspccva 3461 . . . . . . . 8 ((∀𝑖 ∈ (0..^𝑀)(𝑄𝑖) < (𝑄‘(𝑖 + 1)) ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
240234, 55, 239syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) < (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
24155ancli 544 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
242 eleq1 2832 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)))
243242anbi2d 622 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))))
244235, 237oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
245244reseq2d 5567 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) = (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
246244oveq1d 6861 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) = (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
247245, 246eleq12d 2838 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ) ↔ (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
248243, 247imbi12d 335 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))))
249 fourierdlem91.fcn . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∈ (((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))–cn→ℂ))
250248, 249vtoclg 3418 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ)))
25155, 241, 250sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ∈ (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))–cn→ℂ))
252 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))
253 fourierdlem91.w . . . . . . . . . . . . 13 𝑊 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
254 nfmpt1 4908 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖(𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ 𝐿)
255253, 254nfcxfr 2905 . . . . . . . . . . . 12 𝑖𝑊
256 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . 12 𝑖(𝐼‘(𝑆𝐽))
257255, 256nffv 6389 . . . . . . . . . . 11 𝑖(𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))
258257nfel1 2922 . . . . . . . . . 10 𝑖(𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))
259252, 258nfim 1995 . . . . . . . . 9 𝑖((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
260243biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
2612603adant2 1161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)))
262 fourierdlem91.l . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
263261, 262syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
264 fveq2 6379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))))
265264eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑊𝑖))
266265adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = (𝑊𝑖))
267260simprd 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
268 elex 3365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) → 𝐿 ∈ V)
269260, 262, 2683syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → 𝐿 ∈ V)
270253fvmpt2 6484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐿 ∈ V) → (𝑊𝑖) = 𝐿)
271267, 269, 270syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑊𝑖) = 𝐿)
272266, 271eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝐿)
2732723adant2 1161 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) = 𝐿)
274245, 237oveq12d 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
275274eqcomd 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
2762753ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))
277263, 273, 2763eltr4d 2859 . . . . . . . . . . 11 ((𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∧ ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ∧ (𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀))) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
2782773exp 1148 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
2792622a1i 12 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) → ((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1))))))
280278, 279impbid 203 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝐼‘(𝑆𝐽)) → (((𝜑𝑖 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐿 ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄𝑖)(,)(𝑄‘(𝑖 + 1)))) lim (𝑄‘(𝑖 + 1)))) ↔ ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))))
281259, 280, 262vtoclg1f 3417 . . . . . . . 8 ((𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀) → ((𝜑 ∧ (𝐼‘(𝑆𝐽)) ∈ (0..^𝑀)) → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))))
28255, 241, 281sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) lim (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))
283 eqid 2765 . . . . . . 7 if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
284 eqid 2765 . . . . . . 7 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) ∪ {(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))})) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t (((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))) ∪ {(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))}))
28557, 62, 240, 251, 282, 83, 77, 127, 141, 283, 284fourierdlem33 41018 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
286141resabs1d 5605 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
287286oveq1d 6861 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)))) ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
288285, 287eleqtrd 2846 . . . . 5 (𝜑 → if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) lim (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
289162, 164, 166, 170, 171, 175, 233, 288limcperiod 40522 . . . 4 (𝜑 → if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)))
290167oveq2i 6857 . . . . . 6 ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
291191, 192pncan3d 10653 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
292290, 291syl5eq 2811 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈) = (𝑆‘(𝐽 + 1)))
293292oveq2d 6862 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆‘(𝐽 + 1))))
294289, 293eleqtrd 2846 . . 3 (𝜑 → if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆‘(𝐽 + 1))))
295167oveq2i 6857 . . . . . . . . 9 ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
296295a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
29717, 20iccssred 40393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℝ)
298 ax-resscn 10250 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
299297, 298syl6ss 3775 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶[,]𝐷) ⊆ ℂ)
30025, 44, 43fourierdlem15 41000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑆:(0...𝑁)⟶(𝐶[,]𝐷))
301300, 53ffvelrnd 6554 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ (𝐶[,]𝐷))
302299, 301sseldd 3764 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑆𝐽) ∈ ℂ)
303192, 302subcld 10650 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) ∈ ℂ)
30483recnd 10326 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
305191, 303, 304subsub23d 40163 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) ↔ ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
306124, 305mpbird 248 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))))
307306eqcomd 2771 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) = ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
308307oveq1d 6861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
309191, 303subcld 10650 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) ∈ ℂ)
310309, 192, 191addsub12d 10673 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))))
311191, 303, 191sub32d 10682 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
312191subidd 10638 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = 0)
313312oveq1d 6861 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))))
314 df-neg 10527 . . . . . . . . . . . 12 -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)))
315192, 302negsubdi2d 10666 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽)) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
316314, 315syl5eqr 2813 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0 − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
317311, 313, 3163eqtrd 2803 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1)))) = ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1))))
318317oveq2d 6862 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))))
319192, 302pncan3d 10653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐽 + 1)) + ((𝑆𝐽) − (𝑆‘(𝐽 + 1)))) = (𝑆𝐽))
320310, 318, 3193eqtrd 2803 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) − ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝑆𝐽))) + ((𝑆‘(𝐽 + 1)) − (𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) = (𝑆𝐽))
321296, 308, 3203eqtrd 2803 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈) = (𝑆𝐽))
322321, 292oveq12d 6864 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽))) + 𝑈)(,)((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) + 𝑈)) = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
323172, 322eqtr3d 2801 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)} = ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1))))
324323reseq2d 5567 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) = (𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))))
325324oveq1d 6861 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ ((𝑍‘(𝐸‘(𝑆𝐽)))(,)(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))𝑥 = (𝑦 + 𝑈)}) lim (𝑆‘(𝐽 + 1))) = ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆‘(𝐽 + 1))))
326294, 325eleqtrd 2846 . 2 (𝜑 → if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), ((𝐹 ↾ ((𝑄‘(𝐼‘(𝑆𝐽)))(,)(𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1))))‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆‘(𝐽 + 1))))
327157, 326eqeltrd 2844 1 (𝜑 → if((𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))) = (𝑄‘((𝐼‘(𝑆𝐽)) + 1)), (𝑊‘(𝐼‘(𝑆𝐽))), (𝐹‘(𝐸‘(𝑆‘(𝐽 + 1))))) ∈ ((𝐹 ↾ ((𝑆𝐽)(,)(𝑆‘(𝐽 + 1)))) lim (𝑆‘(𝐽 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  Vcvv 3350  cun 3732  wss 3734  ifcif 4245  {csn 4336  {cpr 4338   class class class wbr 4811  cmpt 4890  dom cdm 5279  ran crn 5280  cres 5281  cio 6031  wf 6066  cfv 6070   Isom wiso 6071  (class class class)co 6846  𝑚 cmap 8064  supcsup 8557  cc 10191  cr 10192  0cc0 10193  1c1 10194   + caddc 10196   · cmul 10198  +∞cpnf 10329  *cxr 10331   < clt 10332  cle 10333  cmin 10524  -cneg 10525   / cdiv 10942  cn 11278  2c2 11331  cz 11628  (,)cioo 12382  (,]cioc 12383  [,]cicc 12385  ...cfz 12538  ..^cfzo 12678  cfl 12804  chash 13326  t crest 16361  TopOpenctopn 16362  fldccnfld 20033  cnccncf 22972   lim climc 23931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-inf2 8757  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270  ax-pre-sup 10271
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-iin 4681  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-se 5239  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-isom 6079  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-map 8066  df-pm 8067  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-fi 8528  df-sup 8559  df-inf 8560  df-oi 8626  df-card 9020  df-cda 9247  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10526  df-neg 10527  df-div 10943  df-nn 11279  df-2 11339  df-3 11340  df-4 11341  df-5 11342  df-6 11343  df-7 11344  df-8 11345  df-9 11346  df-n0 11543  df-xnn0 11615  df-z 11629  df-dec 11746  df-uz 11892  df-q 11995  df-rp 12034  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12386  df-ioc 12387  df-ico 12388  df-icc 12389  df-fz 12539  df-fzo 12679  df-fl 12806  df-seq 13014  df-exp 13073  df-hash 13327  df-cj 14138  df-re 14139  df-im 14140  df-sqrt 14274  df-abs 14275  df-struct 16146  df-ndx 16147  df-slot 16148  df-base 16150  df-plusg 16241  df-mulr 16242  df-starv 16243  df-tset 16247  df-ple 16248  df-ds 16250  df-unif 16251  df-rest 16363  df-topn 16364  df-topgen 16384  df-psmet 20025  df-xmet 20026  df-met 20027  df-bl 20028  df-mopn 20029  df-cnfld 20034  df-top 20992  df-topon 21009  df-topsp 21031  df-bases 21044  df-cld 21117  df-ntr 21118  df-cls 21119  df-nei 21196  df-lp 21234  df-cn 21325  df-cnp 21326  df-cmp 21484  df-xms 22418  df-ms 22419  df-cncf 22974  df-limc 23935
This theorem is referenced by:  fourierdlem99  41083  fourierdlem100  41084  fourierdlem107  41091  fourierdlem109  41093
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