Theorem cncfioobdlem 44598

Description: 𝐺 actually extends 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfioobdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
cncfioobdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfioobdlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cncfioobdlem	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem cncfioobdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfioobdlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
3		cncfioobdlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfioobdlem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	3	rexrd 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		cncfioobdlem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		elioo2 13361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	5, 10	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
12	11	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
14		eqcom 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑥)
15	14	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐶 = 𝑥)
16	15	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑥)
17	13, 16	breqtrd 5173	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝑥)
18	4, 17	gtned 11345	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐴)
19	18	neneqd 2945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
20	19	iffalsed 4538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
21		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
22	5	elioored 44248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
23	22	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	21, 23	eqeltrd 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	11	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
26	25	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
27	21, 26	eqbrtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐵)
28	24, 27	ltned 11346	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐵)
29	28	neneqd 2945	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
30	29	iffalsed 4538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
31	21	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
32	20, 30, 31	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝐶))
33		ioossicc 13406	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34	33, 5	sselid 3979	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35		cncfioobdlem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
36	35, 5	ffvelcdmd 7084	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑉)
37	2, 32, 34, 36	fvmptd 7002	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324  df-icc 13327

This theorem is referenced by:  cncfioobd  44599