Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfioobdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfioobdlem 44227
Description: 𝐺 actually extends 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfioobdlem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
cncfioobdlem.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
cncfioobdlem.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
cncfioobdlem (𝜑 → (𝐺𝐶) = (𝐹𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem cncfioobdlem
StepHypRef Expression
1 cncfioobdlem.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
3 cncfioobdlem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfioobdlem.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
63rexrd 11213 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7 cncfioobdlem.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87rexrd 11213 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9 elioo2 13314 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
106, 8, 9syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
115, 10mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
1211simp2d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐶)
1312adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
14 eqcom 2740 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶𝐶 = 𝑥)
1514biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶𝐶 = 𝑥)
1615adantl 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑥)
1713, 16breqtrd 5135 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝑥)
184, 17gtned 11298 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐴)
1918neneqd 2945 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
2019iffalsed 4501 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
21 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
225elioored 43877 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
2421, 23eqeltrd 2834 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
2511simp3d 1145 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 < 𝐵)
2625adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
2721, 26eqbrtrd 5131 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐵)
2824, 27ltned 11299 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐵)
2928neneqd 2945 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
3029iffalsed 4501 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
3121fveq2d 6850 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
3220, 30, 313eqtrd 2777 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝐶))
33 ioossicc 13359 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3433, 5sselid 3946 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35 cncfioobdlem.f . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
3635, 5ffvelcdmd 7040 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑉)
372, 32, 34, 36fvmptd 6959 1 (𝜑 → (𝐺𝐶) = (𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4490   class class class wbr 5109  cmpt 5192  wf 6496  cfv 6500  (class class class)co 7361  cr 11058  *cxr 11196   < clt 11197  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-ioo 13277  df-icc 13280
This theorem is referenced by:  cncfioobd  44228
  Copyright terms: Public domain W3C validator