Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfioobdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfioobdlem 44602
Description: 𝐺 actually extends 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfioobdlem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
cncfioobdlem.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
cncfioobdlem.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
cncfioobdlem (𝜑 → (𝐺𝐶) = (𝐹𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem cncfioobdlem
StepHypRef Expression
1 cncfioobdlem.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
3 cncfioobdlem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfioobdlem.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
63rexrd 11263 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7 cncfioobdlem.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87rexrd 11263 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9 elioo2 13364 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
115, 10mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
1211simp2d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐶)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
14 eqcom 2739 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶𝐶 = 𝑥)
1514biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶𝐶 = 𝑥)
1615adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑥)
1713, 16breqtrd 5174 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝑥)
184, 17gtned 11348 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐴)
1918neneqd 2945 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
2019iffalsed 4539 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
21 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
225elioored 44252 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
2421, 23eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
2511simp3d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 < 𝐵)
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
2721, 26eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐵)
2824, 27ltned 11349 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐵)
2928neneqd 2945 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
3029iffalsed 4539 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
3121fveq2d 6895 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
3220, 30, 313eqtrd 2776 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝐶))
33 ioossicc 13409 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3433, 5sselid 3980 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35 cncfioobdlem.f . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
3635, 5ffvelcdmd 7087 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑉)
372, 32, 34, 36fvmptd 7005 1 (𝜑 → (𝐺𝐶) = (𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7408  cr 11108  *cxr 11246   < clt 11247  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-ioo 13327  df-icc 13330
This theorem is referenced by:  cncfioobd  44603
  Copyright terms: Public domain W3C validator