Theorem cncfioobdlem 46850

Description: 𝐺 actually extends 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfioobdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
cncfioobdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfioobdlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cncfioobdlem	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem cncfioobdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfioobdlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
3		cncfioobdlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfioobdlem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	3	rexrd 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		cncfioobdlem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		elioo2 13498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	5, 10	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
12	11	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
14		eqcom 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑥)
15	14	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑥)
16	13, 15	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝑥)
17	4, 16	gtned 11426	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐴)
18	17	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
19	18	iffalsed 4493	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
21	5	elioored 46505	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
23	20, 22	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	11	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
26	20, 25	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐵)
27	23, 26	ltned 11427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐵)
28	27	neneqd 2961	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
29	28	iffalsed 4493	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
30	20	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
31	19, 29, 30	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝐶))
32		ioossicc 13545	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
33	32, 5	sselid 3929	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34		cncfioobdlem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
35	34, 5	ffvelcdmd 7077	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑉)
36	2, 31, 33, 35	fvmptd 6993	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  (,)cioo 13457  [,]cicc 13460

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-ioo 13461  df-icc 13464

This theorem is used by:  cncfioobd  46851