Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cncfioobdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cncfioobdlem 44598
Description: 𝐺 actually extends 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cncfioobdlem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
cncfioobdlem.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
cncfioobdlem.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
Assertion
Ref Expression
cncfioobdlem (𝜑 → (𝐺𝐶) = (𝐹𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem cncfioobdlem
StepHypRef Expression
1 cncfioobdlem.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))))
21a1i 11 . 2 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))))
3 cncfioobdlem.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
5 cncfioobdlem.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
63rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
7 cncfioobdlem.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
87rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
9 elioo2 13361 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
106, 8, 9syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
115, 10mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵))
1211simp2d 1143 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 < 𝐶)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
14 eqcom 2739 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶𝐶 = 𝑥)
1514biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶𝐶 = 𝑥)
1615adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑥)
1713, 16breqtrd 5173 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝑥)
184, 17gtned 11345 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐴)
1918neneqd 2945 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
2019iffalsed 4538 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)))
21 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
225elioored 44248 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
2421, 23eqeltrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
2511simp3d 1144 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 < 𝐵)
2625adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
2721, 26eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐵)
2824, 27ltned 11346 . . . . 5 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → 𝑥𝐵)
2928neneqd 2945 . . . 4 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
3029iffalsed 4538 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥)) = (𝐹𝑥))
3121fveq2d 6892 . . 3 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
3220, 30, 313eqtrd 2776 . 2 ((𝜑𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹𝑥))) = (𝐹𝐶))
33 ioossicc 13406 . . 3 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
3433, 5sselid 3979 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35 cncfioobdlem.f . . 3 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
3635, 5ffvelcdmd 7084 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝑉)
372, 32, 34, 36fvmptd 7002 1 (𝜑 → (𝐺𝐶) = (𝐹𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147  cmpt 5230  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  cr 11105  *cxr 11243   < clt 11244  (,)cioo 13320  [,]cicc 13323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-ioo 13324  df-icc 13327
This theorem is referenced by:  cncfioobd  44599
  Copyright terms: Public domain W3C validator