Theorem cncfioobdlem 45878

Description: 𝐺 actually extends 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfioobdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
cncfioobdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfioobdlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cncfioobdlem	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem cncfioobdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfioobdlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
3		cncfioobdlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfioobdlem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	3	rexrd 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		cncfioobdlem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		elioo2 13307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
10	6, 8, 9	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	5, 10	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
12	11	simp2d 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
14		eqcom 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑥)
15	14	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐶 = 𝑥)
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑥)
17	13, 16	breqtrd 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝑥)
18	4, 17	gtned 11269	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐴)
19	18	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
20	19	iffalsed 4489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
22	5	elioored 45531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	21, 23	eqeltrd 2828	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	11	simp3d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
27	21, 26	eqbrtrd 5117	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐵)
28	24, 27	ltned 11270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐵)
29	28	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
30	29	iffalsed 4489	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
31	21	fveq2d 6830	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
32	20, 30, 31	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝐶))
33		ioossicc 13354	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34	33, 5	sselid 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35		cncfioobdlem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
36	35, 5	ffvelcdmd 7023	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑉)
37	2, 32, 34, 36	fvmptd 6941	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4478   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  (,)cioo 13266  [,]cicc 13269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-ioo 13270  df-icc 13273

This theorem is referenced by:  cncfioobd  45879