Theorem cncfioobdlem 46732

Description: 𝐺 actually extends 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfioobdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
cncfioobdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfioobdlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cncfioobdlem	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem cncfioobdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfioobdlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
3		cncfioobdlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfioobdlem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	3	rexrd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		cncfioobdlem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		elioo2 13443	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
10	6, 8, 9	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	5, 10	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
12	11	simp2d 1161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
13	12	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
14		eqcom 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑥)
15	14	bilani 510	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑥)
16	13, 15	breqtrd 5135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝑥)
17	4, 16	gtned 11373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐴)
18	17	neneqd 2962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
19	18	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
20		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
21	5	elioored 46387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
22	21	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
23	20, 22	eqeltrd 2862	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
24	11	simp3d 1162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
25	24	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
26	20, 25	eqbrtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐵)
27	23, 26	ltned 11374	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐵)
28	27	neneqd 2962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
29	28	iffalsed 4496	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
30	20	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
31	19, 29, 30	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝐶))
32		ioossicc 13490	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
33	32, 5	sselid 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
34		cncfioobdlem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
35	34, 5	ffvelcdmd 7082	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑉)
36	2, 31, 33, 35	fvmptd 6998	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  ℝcr 11127  ℝ^*cxr 11270   < clt 11271  (,)cioo 13402  [,]cicc 13405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-ioo 13406  df-icc 13409

This theorem is used by:  cncfioobd  46733