Theorem cncfioobdlem 46342

Description: 𝐺 actually extends 𝐹. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cncfioobdlem.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
cncfioobdlem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
cncfioobdlem.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
cncfioobdlem.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))

Assertion

Ref	Expression
cncfioobdlem	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem cncfioobdlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cncfioobdlem.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))))
3		cncfioobdlem.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 ∈ ℝ)
5		cncfioobdlem.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
6	3	rexrd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
7		cncfioobdlem.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	7	rexrd 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
9		elioo2 13330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
10	6, 8, 9	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵)))
11	5, 10	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶 ∧ 𝐶 < 𝐵))
12	11	simp2d 1144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝐶)
14		eqcom 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 𝑥)
15	14	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → 𝐶 = 𝑥)
16	15	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 = 𝑥)
17	13, 16	breqtrd 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐴 < 𝑥)
18	4, 17	gtned 11272	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐴)
19	18	neneqd 2938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐴)
20	19	iffalsed 4478	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)))
21		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 = 𝐶)
22	5	elioored 45997	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
24	21, 23	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
25	11	simp3d 1145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝐵)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝐶 < 𝐵)
27	21, 26	eqbrtrd 5108	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 < 𝐵)
28	24, 27	ltned 11273	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → 𝑥 ≠ 𝐵)
29	28	neneqd 2938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → ¬ 𝑥 = 𝐵)
30	29	iffalsed 4478	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥)) = (𝐹‘𝑥))
31	21	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐶))
32	20, 30, 31	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 = 𝐶) → if(𝑥 = 𝐴, 𝑅, if(𝑥 = 𝐵, 𝐿, (𝐹‘𝑥))) = (𝐹‘𝐶))
33		ioossicc 13377	. . 3 ⊢ (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
34	33, 5	sselid 3920	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
35		cncfioobdlem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶𝑉)
36	35, 5	ffvelcdmd 7031	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝑉)
37	2, 32, 34, 36	fvmptd 6949	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) = (𝐹‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℝcr 11028  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-ioo 13293  df-icc 13296

This theorem is referenced by:  cncfioobd  46343