Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnbllem 44525
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbllem.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbllem.n (𝜑𝐼 ≠ ∅)
qndenserrnbllem.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbllem.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbllem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbllem (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnbllem
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnbllem.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 inss1 4188 . . . . . 6 (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ
3 qex 12886 . . . . . 6 ℚ ∈ V
4 ssexg 5280 . . . . . 6 (((ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ ∧ ℚ ∈ V) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 690 . . . . 5 (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V)
7 qndenserrnbllem.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
8 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℝ)
109adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
11 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
1210, 11ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ)
1312rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ*)
14 qndenserrnbllem.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1514rpred 12957 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
17 ne0i 4294 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐼𝐼 ≠ ∅)
1817adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐼 ≠ ∅)
19 hashnncl 14266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
2120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐼) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
2218, 21mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
2322nnred 12168 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
24 0red 11158 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 ∈ ℝ)
2522nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 < (♯‘𝐼))
2624, 23, 25ltled 11303 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
2723, 26resqrtcld 15302 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
2823, 25elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
2928sqrtgt0d 15297 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
3024, 29gtned 11290 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
3116, 27, 30redivcld 11983 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
3212, 31readdcld 11184 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
3332rexrd 11205 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
3414adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
3527, 29elrpd 12954 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
3634, 35rpdivcld 12974 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
3712, 36ltaddrpd 12990 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
38 qbtwnxr 13119 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑘) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑋𝑘) < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
3913, 33, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
40 df-rex 3074 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
4139, 40sylib 217 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
42 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ℚ)
4313adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ*)
4433adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
45 qre 12878 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
4645ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ℝ)
47 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑋𝑘) < 𝑞)
48 simprrr 780 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
4943, 44, 46, 47, 48eliood 43726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
5042, 49elind 4154 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
5150ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
5251eximdv 1920 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
5341, 52mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
54 n0 4306 . . . . 5 ((ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
5553, 54sylibr 233 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ≠ ∅)
561, 6, 55choicefi 43411 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
572a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 Fn 𝐼 → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ)
5857sseld 3943 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 Fn 𝐼 → ((𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
5958ralimdv 3166 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Fn 𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
6059imdistani 569 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
61 ffnfv 7066 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℚ ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
6260, 61sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑦:𝐼⟶ℚ)
6362adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦:𝐼⟶ℚ)
643a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℚ ∈ V)
65 elmapg 8778 . . . . . . . . 9 ((ℚ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6664, 1, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6766adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6863, 67mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
69 reex 11142 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
7045ssriv 3948 . . . . . . . . . . 11 ℚ ⊆ ℝ
71 mapss 8827 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
7269, 70, 71mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
7473, 68sseldd 3945 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
751adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐼 ∈ Fin)
76 qndenserrnbllem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ≠ ∅)
7776adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐼 ≠ ∅)
78 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐼) = (♯‘𝐼)
797adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
80 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝜑)
81 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦𝑘) = (𝑦𝑖))
82 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
8382oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) = ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
8482, 83oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) = ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
8584ineq2d 4172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) = (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8681, 85eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ↔ (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
8786cbvralvw 3225 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8887biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
90 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
91 rspa 3231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
9289, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
9392adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
94 elinel2 4156 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
96 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
979ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
98973adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
99 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
10099elioored 43777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ℝ)
10198rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ*)
10215adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
10376, 20mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
104103nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
105104adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
106 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
107103nngt0d 12202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 < (♯‘𝐼))
108106, 104, 107ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
109108adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
110105, 109resqrtcld 15302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
111 sqrtgt0 15143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐼) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐼)) → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
112104, 107, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
113106, 112gtned 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
114113adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
115102, 110, 114redivcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
11697, 115readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
117116rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
1181173adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
119 ioogtlb 43723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑋𝑖) < (𝑦𝑖))
120101, 118, 99, 119syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) < (𝑦𝑖))
12198, 100, 120ltled 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ≤ (𝑦𝑖))
12298, 100, 121abssuble0d 15317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) = ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)))
1231163adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
124 iooltub 43738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑖) < ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
125101, 118, 99, 124syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) < ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
126100, 123, 98, 125ltsub1dd 11767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)) < (((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) − (𝑋𝑖)))
12798recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
128104, 108resqrtcld 15302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
12915, 128, 113redivcld 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
130129recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
1311303ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
132127, 131pncan2d 11514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) − (𝑋𝑖)) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
133126, 132breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
134122, 133eqbrtrd 5127 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
13580, 95, 96, 134syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
136135adantlrl 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
13714adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
138104, 107elrpd 12954 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
139138adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
140139rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
141137, 140rpdivcld 12974 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
142 qndenserrnbllem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
14375, 77, 78, 79, 74, 136, 141, 142rrndistlt 44521 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑋𝐷𝑦) < ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
144137rpcnd 12959 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐸 ∈ ℂ)
145139rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
146145sqrtcld 15322 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
147140rpne0d 12962 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
148144, 146, 147divcan2d 11933 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) = 𝐸)
149143, 148breqtrd 5131 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)
15074, 149jca 512 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸))
151142rrxmetfi 24776 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1521, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
153 metxmet 23687 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
15515rexrd 11205 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
156 elbl 23741 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
157154, 7, 155, 156syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
158157adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
159150, 158mpbird 256 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
16068, 159jca 512 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
161160ex 413 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))))
162161eximdv 1920 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))))
16356, 162mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
164 df-rex 3074 . 2 (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
165163, 164sylibr 233 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282   class class class wbr 5105   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  cq 12873  +crp 12915  (,)cioo 13264  chash 14230  csqrt 15118  abscabs 15119  distcds 17142  ∞Metcxmet 20781  Metcmet 20782  ballcbl 20783  ℝ^crrx 24747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-staf 20304  df-srng 20305  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-cnfld 20797  df-refld 21009  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-nm 23938  df-tng 23940  df-tcph 24533  df-rrx 24749
This theorem is referenced by:  qndenserrnbl  44526
  Copyright terms: Public domain W3C validator