Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnbllem 46309
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbllem.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbllem.n (𝜑𝐼 ≠ ∅)
qndenserrnbllem.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbllem.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbllem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbllem (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnbllem
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnbllem.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 inss1 4237 . . . . . 6 (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ
3 qex 13003 . . . . . 6 ℚ ∈ V
4 ssexg 5323 . . . . . 6 (((ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ ∧ ℚ ∈ V) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 692 . . . . 5 (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V)
7 qndenserrnbllem.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
8 elmapi 8889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℝ)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
11 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
1210, 11ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ)
1312rexrd 11311 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ*)
14 qndenserrnbllem.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1514rpred 13077 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
17 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐼𝐼 ≠ ∅)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐼 ≠ ∅)
19 hashnncl 14405 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐼) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
2218, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
2322nnred 12281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
24 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 ∈ ℝ)
2522nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 < (♯‘𝐼))
2624, 23, 25ltled 11409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
2723, 26resqrtcld 15456 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
2823, 25elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
2928sqrtgt0d 15451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
3024, 29gtned 11396 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
3116, 27, 30redivcld 12095 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
3212, 31readdcld 11290 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
3332rexrd 11311 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
3414adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
3527, 29elrpd 13074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
3634, 35rpdivcld 13094 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
3712, 36ltaddrpd 13110 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
38 qbtwnxr 13242 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑘) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑋𝑘) < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
3913, 33, 37, 38syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
40 df-rex 3071 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
4139, 40sylib 218 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
42 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ℚ)
4313adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ*)
4433adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
45 qre 12995 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
4645ad2antrl 728 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ℝ)
47 simprrl 781 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑋𝑘) < 𝑞)
48 simprrr 782 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
4943, 44, 46, 47, 48eliood 45511 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
5042, 49elind 4200 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
5150ex 412 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
5251eximdv 1917 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
5341, 52mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
54 n0 4353 . . . . 5 ((ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
5553, 54sylibr 234 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ≠ ∅)
561, 6, 55choicefi 45205 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
572a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 Fn 𝐼 → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ)
5857sseld 3982 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 Fn 𝐼 → ((𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
5958ralimdv 3169 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Fn 𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
6059imdistani 568 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
61 ffnfv 7139 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℚ ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
6260, 61sylibr 234 . . . . . . . 8 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑦:𝐼⟶ℚ)
6362adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦:𝐼⟶ℚ)
643a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℚ ∈ V)
65 elmapg 8879 . . . . . . . . 9 ((ℚ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6664, 1, 65syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6863, 67mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
69 reex 11246 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
7045ssriv 3987 . . . . . . . . . . 11 ℚ ⊆ ℝ
71 mapss 8929 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
7269, 70, 71mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
7473, 68sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
751adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐼 ∈ Fin)
76 qndenserrnbllem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ≠ ∅)
7776adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐼 ≠ ∅)
78 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐼) = (♯‘𝐼)
797adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
80 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝜑)
81 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦𝑘) = (𝑦𝑖))
82 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
8382oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) = ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
8482, 83oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) = ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
8584ineq2d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) = (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8681, 85eleq12d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ↔ (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
8786cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8887biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
90 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
91 rspa 3248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
9289, 90, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
9392adantll 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
94 elinel2 4202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
96 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
979ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
98973adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
99 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
10099elioored 45562 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ℝ)
10198rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ*)
10215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
10376, 20mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
104103nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
106 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
107103nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 < (♯‘𝐼))
108106, 104, 107ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
110105, 109resqrtcld 15456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
111 sqrtgt0 15297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐼) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐼)) → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
112104, 107, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
113106, 112gtned 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
115102, 110, 114redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
11697, 115readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
117116rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
1181173adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
119 ioogtlb 45508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑋𝑖) < (𝑦𝑖))
120101, 118, 99, 119syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) < (𝑦𝑖))
12198, 100, 120ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ≤ (𝑦𝑖))
12298, 100, 121abssuble0d 15471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) = ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)))
1231163adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
124 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑖) < ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
125101, 118, 99, 124syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) < ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
126100, 123, 98, 125ltsub1dd 11875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)) < (((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) − (𝑋𝑖)))
12798recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
128104, 108resqrtcld 15456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
12915, 128, 113redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
130129recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
1311303ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
132127, 131pncan2d 11622 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) − (𝑋𝑖)) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
133126, 132breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
134122, 133eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
13580, 95, 96, 134syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
136135adantlrl 720 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
13714adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
138104, 107elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
140139rpsqrtcld 15450 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
141137, 140rpdivcld 13094 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
142 qndenserrnbllem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
14375, 77, 78, 79, 74, 136, 141, 142rrndistlt 46305 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑋𝐷𝑦) < ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
144137rpcnd 13079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐸 ∈ ℂ)
145139rpcnd 13079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
146145sqrtcld 15476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
147140rpne0d 13082 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
148144, 146, 147divcan2d 12045 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) = 𝐸)
149143, 148breqtrd 5169 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)
15074, 149jca 511 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸))
151142rrxmetfi 25446 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1521, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
153 metxmet 24344 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
15515rexrd 11311 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
156 elbl 24398 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
157154, 7, 155, 156syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
158157adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
159150, 158mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
16068, 159jca 511 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
161160ex 412 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))))
162161eximdv 1917 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))))
16356, 162mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
164 df-rex 3071 . 2 (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
165163, 164sylibr 234 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cin 3950  wss 3951  c0 4333   class class class wbr 5143   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  cq 12990  +crp 13034  (,)cioo 13387  chash 14369  csqrt 15272  abscabs 15273  distcds 17306  ∞Metcxmet 21349  Metcmet 21350  ballcbl 21351  ℝ^crrx 25417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-staf 20840  df-srng 20841  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-cnfld 21365  df-refld 21623  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-nm 24595  df-tng 24597  df-tcph 25203  df-rrx 25419
This theorem is referenced by:  qndenserrnbl  46310
  Copyright terms: Public domain W3C validator