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Theorem qndenserrnbllem 44621
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbllem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbllem.n (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
qndenserrnbllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbllem.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
qndenserrnbllem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbllem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnbllem
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnbllem.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 inss1 4189 . . . . . 6 (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) βŠ† β„š
3 qex 12891 . . . . . 6 β„š ∈ V
4 ssexg 5281 . . . . . 6 (((β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) βŠ† β„š ∧ β„š ∈ V) β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 691 . . . . 5 (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∈ V)
7 qndenserrnbllem.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
8 elmapi 8790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
109adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
11 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
1210, 11ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1312rexrd 11210 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
14 qndenserrnbllem.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1514rpred 12962 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
17 ne0i 4295 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐼 β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
1817adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
19 hashnncl 14272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
2120adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
2218, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•)
2322nnred 12173 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
24 0red 11163 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ ℝ)
2522nngt0d 12207 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 < (β™―β€˜πΌ))
2624, 23, 25ltled 11308 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
2723, 26resqrtcld 15308 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
2823, 25elrpd 12959 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
2928sqrtgt0d 15303 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 < (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
3024, 29gtned 11295 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
3116, 27, 30redivcld 11988 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
3212, 31readdcld 11189 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
3332rexrd 11210 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ*)
3414adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
3527, 29elrpd 12959 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ+)
3634, 35rpdivcld 12979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ+)
3712, 36ltaddrpd 12995 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
38 qbtwnxr 13125 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ* ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ β„š ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
3913, 33, 37, 38syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ β„š ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
40 df-rex 3071 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ž ∈ β„š ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
4139, 40sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
42 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž ∈ β„š)
4313adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
4433adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ*)
45 qre 12883 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ β„š β†’ π‘ž ∈ ℝ)
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
47 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž)
48 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
4943, 44, 46, 47, 48eliood 43822 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž ∈ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
5042, 49elind 4155 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
5150ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))))
5251eximdv 1921 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ βˆƒπ‘ž π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))))
5341, 52mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ž π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
54 n0 4307 . . . . 5 ((β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ž π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
5553, 54sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β‰  βˆ…)
561, 6, 55choicefi 43508 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))))
572a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) βŠ† β„š)
5857sseld 3944 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ ((π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„š))
5958ralimdv 3163 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„š))
6059imdistani 570 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„š))
61 ffnfv 7067 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„š ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„š))
6260, 61sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„š)
6362adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„š)
643a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„š ∈ V)
65 elmapg 8781 . . . . . . . . 9 ((β„š ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„š))
6664, 1, 65syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„š))
6766adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„š))
6863, 67mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼))
69 reex 11147 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
7045ssriv 3949 . . . . . . . . . . 11 β„š βŠ† ℝ
71 mapss 8830 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ∈ V ∧ β„š βŠ† ℝ) β†’ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
7269, 70, 71mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
7473, 68sseldd 3946 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
751adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
76 qndenserrnbllem.n . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
7776adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
78 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜πΌ) = (β™―β€˜πΌ)
797adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
80 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
81 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘–))
82 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘–))
8382oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) = ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
8482, 83oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) = ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
8584ineq2d 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) = (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
8681, 85eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ↔ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))))
8786cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
8887biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
8988adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
90 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
91 rspa 3230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
9289, 90, 91syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
9392adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
94 elinel2 4157 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
96 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
979ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ)
98973adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ)
99 simp2 1138 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
10099elioored 43873 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ℝ)
10198rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
10215adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
10376, 20mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•)
104103nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
105104adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
106 0red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
107103nngt0d 12207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΌ))
108106, 104, 107ltled 11308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
109108adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
110105, 109resqrtcld 15308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
111 sqrtgt0 15149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ 0 < (β™―β€˜πΌ)) β†’ 0 < (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
112104, 107, 111syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 0 < (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
113106, 112gtned 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
114113adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
115102, 110, 114redivcld 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
11697, 115readdcld 11189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
117116rexrd 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ*)
1181173adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ*)
119 ioogtlb 43819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ* ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) < (π‘¦β€˜π‘–))
120101, 118, 99, 119syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) < (π‘¦β€˜π‘–))
12198, 100, 120ltled 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ≀ (π‘¦β€˜π‘–))
12298, 100, 121abssuble0d 15323 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))) = ((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)))
1231163adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
124 iooltub 43834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ* ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) < ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
125101, 118, 99, 124syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) < ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
126100, 123, 98, 125ltsub1dd 11772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)) < (((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)))
12798recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ β„‚)
128104, 108resqrtcld 15308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
12915, 128, 113redivcld 11988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
130129recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ β„‚)
1311303ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ β„‚)
132127, 131pncan2d 11519 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)) = (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
133126, 132breqtrd 5132 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)) < (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
134122, 133eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))) < (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
13580, 95, 96, 134syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))) < (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
136135adantlrl 719 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))) < (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
13714adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
138104, 107elrpd 12959 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
140139rpsqrtcld 15302 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ+)
141137, 140rpdivcld 12979 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ+)
142 qndenserrnbllem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
14375, 77, 78, 79, 74, 136, 141, 142rrndistlt 44617 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
144137rpcnd 12964 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
145139rpcnd 12964 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„‚)
146145sqrtcld 15328 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ β„‚)
147140rpne0d 12967 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
148144, 146, 147divcan2d 11938 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) = 𝐸)
149143, 148breqtrd 5132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)
15074, 149jca 513 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸))
151142rrxmetfi 24792 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
1521, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
153 metxmet 23703 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
15515rexrd 11210 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
156 elbl 23757 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
157154, 7, 155, 156syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
158157adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
159150, 158mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))
16068, 159jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸)))
161160ex 414 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))))
162161eximdv 1921 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))))
16356, 162mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸)))
164 df-rex 3071 . 2 (βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸)))
165163, 164sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283   class class class wbr 5106   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  β„•cn 12158  β„šcq 12878  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  β™―chash 14236  βˆšcsqrt 15124  abscabs 15125  distcds 17147  βˆžMetcxmet 20797  Metcmet 20798  ballcbl 20799  β„^crrx 24763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xadd 13039  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-dvr 20117  df-rnghom 20153  df-drng 20199  df-field 20200  df-subrg 20234  df-staf 20318  df-srng 20319  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-cnfld 20813  df-refld 21025  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-nm 23954  df-tng 23956  df-tcph 24549  df-rrx 24765
This theorem is referenced by:  qndenserrnbl  44622
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