Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qndenserrnbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qndenserrnbllem 42572
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbllem.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbllem.n (𝜑𝐼 ≠ ∅)
qndenserrnbllem.x (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbllem.d 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
qndenserrnbllem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbllem (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnbllem
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnbllem.i . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
2 inss1 4205 . . . . . 6 (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ
3 qex 12354 . . . . . 6 ℚ ∈ V
4 ssexg 5220 . . . . . 6 (((ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ ∧ ℚ ∈ V) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 690 . . . . 5 (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∈ V)
7 qndenserrnbllem.x . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
8 elmapi 8422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋:𝐼⟶ℝ)
109adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑋:𝐼⟶ℝ)
11 simpr 487 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
1210, 11ffvelrnd 6847 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ)
1312rexrd 10685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ*)
14 qndenserrnbllem.e . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1514rpred 12425 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
1615adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
17 ne0i 4300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘𝐼𝐼 ≠ ∅)
1817adantl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐼 ≠ ∅)
19 hashnncl 13721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
2120adantr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐼) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
2218, 21mpbird 259 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
2322nnred 11647 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
24 0red 10638 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 ∈ ℝ)
2522nngt0d 11680 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 < (♯‘𝐼))
2624, 23, 25ltled 10782 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
2723, 26resqrtcld 14771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
2823, 25elrpd 12422 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
2928sqrtgt0d 14766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝐼) → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
3024, 29gtned 10769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
3116, 27, 30redivcld 11462 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
3212, 31readdcld 10664 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
3332rexrd 10685 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
3414adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ+)
3527, 29elrpd 12422 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
3634, 35rpdivcld 12442 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
3712, 36ltaddrpd 12458 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐼) → (𝑋𝑘) < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
38 qbtwnxr 12587 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑘) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑋𝑘) < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) → ∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
3913, 33, 37, 38syl3anc 1367 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
40 df-rex 3144 . . . . . . 7 (∃𝑞 ∈ ℚ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ↔ ∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
4139, 40sylib 220 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
42 simprl 769 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ℚ)
4313adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑋𝑘) ∈ ℝ*)
4433adantr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
45 qre 12347 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 ∈ ℝ)
4645ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ℝ)
47 simprrl 779 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑋𝑘) < 𝑞)
48 simprrr 780 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
4943, 44, 46, 47, 48eliood 41765 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
5042, 49elind 4171 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝐼) ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
5150ex 415 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐼) → ((𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
5251eximdv 1914 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐼) → (∃𝑞(𝑞 ∈ ℚ ∧ ((𝑋𝑘) < 𝑞𝑞 < ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
5341, 52mpd 15 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐼) → ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
54 n0 4310 . . . . 5 ((ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ≠ ∅ ↔ ∃𝑞 𝑞 ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
5553, 54sylibr 236 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐼) → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ≠ ∅)
561, 6, 55choicefi 41455 . . 3 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
572a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 Fn 𝐼 → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ⊆ ℚ)
5857sseld 3966 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 Fn 𝐼 → ((𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
5958ralimdv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Fn 𝐼 → (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
6059imdistani 571 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
61 ffnfv 6877 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐼⟶ℚ ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ ℚ))
6260, 61sylibr 236 . . . . . . . 8 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → 𝑦:𝐼⟶ℚ)
6362adantl 484 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦:𝐼⟶ℚ)
643a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℚ ∈ V)
65 elmapg 8413 . . . . . . . . 9 ((ℚ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6664, 1, 65syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6766adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:𝐼⟶ℚ))
6863, 67mpbird 259 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼))
69 reex 10622 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
7045ssriv 3971 . . . . . . . . . . 11 ℚ ⊆ ℝ
71 mapss 8447 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ∈ V ∧ ℚ ⊆ ℝ) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
7269, 70, 71mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (ℚ ↑m 𝐼) ⊆ (ℝ ↑m 𝐼))
7473, 68sseldd 3968 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
751adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐼 ∈ Fin)
76 qndenserrnbllem.n . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐼 ≠ ∅)
7776adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐼 ≠ ∅)
78 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (♯‘𝐼) = (♯‘𝐼)
797adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
80 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝜑)
81 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (𝑦𝑘) = (𝑦𝑖))
82 fveq2 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → (𝑋𝑘) = (𝑋𝑖))
8382oveq1d 7165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) = ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
8482, 83oveq12d 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) = ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
8584ineq2d 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑖 → (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) = (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8681, 85eleq12d 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑖 → ((𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ↔ (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))))
8786cbvralvw 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ↔ ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8887biimpi 218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
8988adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → ∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
90 simpr 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
91 rspa 3206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑖𝐼 (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
9289, 90, 91syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
9392adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))
94 elinel2 4173 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝑖) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
96 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → 𝑖𝐼)
979ffvelrnda 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
98973adant2 1127 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ)
99 simp2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))
10099elioored 41817 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) ∈ ℝ)
10198rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℝ*)
10215adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → 𝐸 ∈ ℝ)
10376, 20mpbird 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
104103nnred 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
105104adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝐼) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
106 0red 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
107103nngt0d 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → 0 < (♯‘𝐼))
108106, 104, 107ltled 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 0 ≤ (♯‘𝐼))
109108adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑖𝐼) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
110105, 109resqrtcld 14771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
111 sqrtgt0 14612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐼) ∈ ℝ ∧ 0 < (♯‘𝐼)) → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
112104, 107, 111syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → 0 < (√‘(♯‘𝐼)))
113106, 112gtned 10769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
114113adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑖𝐼) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
115102, 110, 114redivcld 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
11697, 115readdcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
117116rexrd 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
1181173adant2 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ*)
119 ioogtlb 41762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑋𝑖) < (𝑦𝑖))
120101, 118, 99, 119syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) < (𝑦𝑖))
12198, 100, 120ltled 10782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ≤ (𝑦𝑖))
12298, 100, 121abssuble0d 14786 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) = ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)))
1231163adant2 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
124 iooltub 41778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑖) ∈ ℝ* ∧ ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ* ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝑦𝑖) < ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
125101, 118, 99, 124syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑦𝑖) < ((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
126100, 123, 98, 125ltsub1dd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)) < (((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) − (𝑋𝑖)))
12798recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑋𝑖) ∈ ℂ)
128104, 108resqrtcld 14771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
12915, 128, 113redivcld 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
130129recnd 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
1311303ad2ant1 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
132127, 131pncan2d 10993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) − (𝑋𝑖)) = (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
133126, 132breqtrd 5085 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → ((𝑦𝑖) − (𝑋𝑖)) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
134122, 133eqbrtrd 5081 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑖) ∈ ((𝑋𝑖)(,)((𝑋𝑖) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
13580, 95, 96, 134syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
136135adantlrl 718 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) ∧ 𝑖𝐼) → (abs‘((𝑋𝑖) − (𝑦𝑖))) < (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))
13714adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐸 ∈ ℝ+)
138104, 107elrpd 12422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
139138adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
140139rpsqrtcld 14765 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
141137, 140rpdivcld 12442 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
142 qndenserrnbllem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (dist‘(ℝ^‘𝐼))
14375, 77, 78, 79, 74, 136, 141, 142rrndistlt 42568 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑋𝐷𝑦) < ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))
144137rpcnd 12427 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝐸 ∈ ℂ)
145139rpcnd 12427 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (♯‘𝐼) ∈ ℂ)
146145sqrtcld 14791 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
147140rpne0d 12430 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
148144, 146, 147divcan2d 11412 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))) = 𝐸)
149143, 148breqtrd 5085 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)
15074, 149jca 514 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸))
151142rrxmetfi 24009 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
1521, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
153 metxmet 22938 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)))
15515rexrd 10685 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸 ∈ ℝ*)
156 elbl 22992 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
157154, 7, 155, 156syl3anc 1367 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
158157adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
159150, 158mpbird 259 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
16068, 159jca 514 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼)))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
161160ex 415 . . . 4 (𝜑 → ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → (𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))))
162161eximdv 1914 . . 3 (𝜑 → (∃𝑦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑦𝑘) ∈ (ℚ ∩ ((𝑋𝑘)(,)((𝑋𝑘) + (𝐸 / (√‘(♯‘𝐼))))))) → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))))
16356, 162mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
164 df-rex 3144 . 2 (∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸) ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸)))
165163, 164sylibr 236 1 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ (ℚ ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ball‘𝐷)𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wex 1776  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  Vcvv 3495  cin 3935  wss 3936  c0 4291   class class class wbr 5059   Fn wfn 6345  wf 6346  cfv 6350  (class class class)co 7150  m cmap 8400  Fincfn 8503  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  cmin 10864   / cdiv 11291  cn 11632  cq 12342  +crp 12383  (,)cioo 12732  chash 13684  csqrt 14586  abscabs 14587  distcds 16568  ∞Metcxmet 20524  Metcmet 20525  ballcbl 20526  ℝ^crrx 23980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-isom 6359  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-ioo 12736  df-ico 12738  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-cntz 18441  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19498  df-field 19499  df-subrg 19527  df-staf 19610  df-srng 19611  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-sra 19938  df-rgmod 19939  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-cnfld 20540  df-refld 20743  df-dsmm 20870  df-frlm 20885  df-nm 23186  df-tng 23188  df-tcph 23767  df-rrx 23982
This theorem is referenced by:  qndenserrnbl  42573
  Copyright terms: Public domain W3C validator