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Theorem qndenserrnbllem 45605
Description: n-dimensional rational numbers are dense in the space of n-dimensional real numbers, with respect to the n-dimensional standard topology. (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
qndenserrnbllem.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
qndenserrnbllem.n (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
qndenserrnbllem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
qndenserrnbllem.d 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
qndenserrnbllem.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
Assertion
Ref Expression
qndenserrnbllem (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐼   𝑦,𝑋   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem qndenserrnbllem
Dummy variables 𝑖 π‘˜ π‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qndenserrnbllem.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
2 inss1 4224 . . . . . 6 (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) βŠ† β„š
3 qex 12967 . . . . . 6 β„š ∈ V
4 ssexg 5317 . . . . . 6 (((β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) βŠ† β„š ∧ β„š ∈ V) β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∈ V)
52, 3, 4mp2an 691 . . . . 5 (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∈ V
65a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∈ V)
7 qndenserrnbllem.x . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
8 elmapi 8859 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
97, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑋:πΌβŸΆβ„)
11 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
1210, 11ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
1312rexrd 11286 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
14 qndenserrnbllem.e . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
1514rpred 13040 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
1615adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
17 ne0i 4330 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ 𝐼 β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
19 hashnncl 14349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
201, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
2120adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
2218, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•)
2322nnred 12249 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
24 0red 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ ℝ)
2522nngt0d 12283 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 < (β™―β€˜πΌ))
2624, 23, 25ltled 11384 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
2723, 26resqrtcld 15388 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
2823, 25elrpd 13037 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
2928sqrtgt0d 15383 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 0 < (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
3024, 29gtned 11371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
3116, 27, 30redivcld 12064 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
3212, 31readdcld 11265 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
3332rexrd 11286 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ*)
3414adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
3527, 29elrpd 13037 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ+)
3634, 35rpdivcld 13057 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ+)
3712, 36ltaddrpd 13073 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
38 qbtwnxr 13203 . . . . . . . 8 (((π‘‹β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ* ∧ (π‘‹β€˜π‘˜) < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ β„š ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
3913, 33, 37, 38syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ž ∈ β„š ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
40 df-rex 3066 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘ž ∈ β„š ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ↔ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
4139, 40sylib 217 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
42 simprl 770 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž ∈ β„š)
4313adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
4433adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ*)
45 qre 12959 . . . . . . . . . . 11 (π‘ž ∈ β„š β†’ π‘ž ∈ ℝ)
4645ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž ∈ ℝ)
47 simprrl 780 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž)
48 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
4943, 44, 46, 47, 48eliood 44806 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž ∈ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
5042, 49elind 4190 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
5150ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))))
5251eximdv 1913 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘ž(π‘ž ∈ β„š ∧ ((π‘‹β€˜π‘˜) < π‘ž ∧ π‘ž < ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ βˆƒπ‘ž π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))))
5341, 52mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ž π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
54 n0 4342 . . . . 5 ((β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘ž π‘ž ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
5553, 54sylibr 233 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β‰  βˆ…)
561, 6, 55choicefi 44496 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))))
572a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) βŠ† β„š)
5857sseld 3977 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ ((π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„š))
5958ralimdv 3164 . . . . . . . . . 10 (𝑦 Fn 𝐼 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„š))
6059imdistani 568 . . . . . . . . 9 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„š))
61 ffnfv 7123 . . . . . . . . 9 (𝑦:πΌβŸΆβ„š ↔ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ β„š))
6260, 61sylibr 233 . . . . . . . 8 ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„š)
6362adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑦:πΌβŸΆβ„š)
643a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„š ∈ V)
65 elmapg 8849 . . . . . . . . 9 ((β„š ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„š))
6664, 1, 65syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„š))
6766adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ↔ 𝑦:πΌβŸΆβ„š))
6863, 67mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼))
69 reex 11221 . . . . . . . . . . 11 ℝ ∈ V
7045ssriv 3982 . . . . . . . . . . 11 β„š βŠ† ℝ
71 mapss 8899 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ∈ V ∧ β„š βŠ† ℝ) β†’ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
7269, 70, 71mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼)
7372a1i 11 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (β„š ↑m 𝐼) βŠ† (ℝ ↑m 𝐼))
7473, 68sseldd 3979 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
751adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
76 qndenserrnbllem.n . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
7776adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
78 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (β™―β€˜πΌ) = (β™―β€˜πΌ)
797adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
80 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ πœ‘)
81 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘¦β€˜π‘˜) = (π‘¦β€˜π‘–))
82 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (π‘‹β€˜π‘˜) = (π‘‹β€˜π‘–))
8382oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) = ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
8482, 83oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) = ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
8584ineq2d 4208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) = (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
8681, 85eleq12d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ↔ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))))
8786cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
8887biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
90 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
91 rspa 3240 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
9289, 90, 91syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
9392adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))
94 elinel2 4192 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘¦β€˜π‘–) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
96 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
979ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ)
98973adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ)
99 simp2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))
10099elioored 44857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ℝ)
10198rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ*)
10215adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐸 ∈ ℝ)
10376, 20mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•)
104103nnred 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
106 0red 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
107103nngt0d 12283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ 0 < (β™―β€˜πΌ))
108106, 104, 107ltled 11384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
110105, 109resqrtcld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
111 sqrtgt0 15229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ ∧ 0 < (β™―β€˜πΌ)) β†’ 0 < (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
112104, 107, 111syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ 0 < (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
113106, 112gtned 11371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
114113adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
115102, 110, 114redivcld 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
11697, 115readdcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
117116rexrd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ*)
1181173adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ*)
119 ioogtlb 44803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ* ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) < (π‘¦β€˜π‘–))
120101, 118, 99, 119syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) < (π‘¦β€˜π‘–))
12198, 100, 120ltled 11384 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ≀ (π‘¦β€˜π‘–))
12298, 100, 121abssuble0d 15403 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))) = ((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)))
1231163adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
124 iooltub 44818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘‹β€˜π‘–) ∈ ℝ* ∧ ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ* ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) < ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
125101, 118, 99, 124syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘¦β€˜π‘–) < ((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
126100, 123, 98, 125ltsub1dd 11848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)) < (((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)))
12798recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘–) ∈ β„‚)
128104, 108resqrtcld 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
12915, 128, 113redivcld 12064 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
130129recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ β„‚)
1311303ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ β„‚)
132127, 131pncan2d 11595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)) = (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
133126, 132breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘¦β€˜π‘–) βˆ’ (π‘‹β€˜π‘–)) < (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
134122, 133eqbrtrd 5164 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘¦β€˜π‘–) ∈ ((π‘‹β€˜π‘–)(,)((π‘‹β€˜π‘–) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))) < (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
13580, 95, 96, 134syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))) < (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
136135adantlrl 719 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (absβ€˜((π‘‹β€˜π‘–) βˆ’ (π‘¦β€˜π‘–))) < (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
13714adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝐸 ∈ ℝ+)
138104, 107elrpd 13037 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
140139rpsqrtcld 15382 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ+)
141137, 140rpdivcld 13057 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ+)
142 qndenserrnbllem.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (distβ€˜(ℝ^β€˜πΌ))
14375, 77, 78, 79, 74, 136, 141, 142rrndistlt 45601 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
144137rpcnd 13042 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝐸 ∈ β„‚)
145139rpcnd 13042 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„‚)
146145sqrtcld 15408 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ β„‚)
147140rpne0d 13045 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
148144, 146, 147divcan2d 12014 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) = 𝐸)
149143, 148breqtrd 5168 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)
15074, 149jca 511 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸))
151142rrxmetfi 25327 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
1521, 151syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
153 metxmet 24227 . . . . . . . . . 10 (𝐷 ∈ (Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
154152, 153syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)))
15515rexrd 11286 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ ℝ*)
156 elbl 24281 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜(ℝ ↑m 𝐼)) ∧ 𝑋 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ 𝐸 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
157154, 7, 155, 156syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
158157adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ∧ (𝑋𝐷𝑦) < 𝐸)))
159150, 158mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))
16068, 159jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))))) β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸)))
161160ex 412 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ (𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))))
162161eximdv 1913 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘¦(𝑦 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (π‘¦β€˜π‘˜) ∈ (β„š ∩ ((π‘‹β€˜π‘˜)(,)((π‘‹β€˜π‘˜) + (𝐸 / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))))) β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))))
16356, 162mpd 15 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸)))
164 df-rex 3066 . 2 (βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸) ↔ βˆƒπ‘¦(𝑦 ∈ (β„š ↑m 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸)))
165163, 164sylibr 233 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β„š ↑m 𝐼)𝑦 ∈ (𝑋(ballβ€˜π·)𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  Vcvv 3469   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130   + caddc 11133   Β· cmul 11135  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  β„šcq 12954  β„+crp 12998  (,)cioo 13348  β™―chash 14313  βˆšcsqrt 15204  abscabs 15205  distcds 17233  βˆžMetcxmet 21251  Metcmet 21252  ballcbl 21253  β„^crrx 25298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xadd 13117  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-field 20616  df-staf 20714  df-srng 20715  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-cnfld 21267  df-refld 21524  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-nm 24478  df-tng 24480  df-tcph 25084  df-rrx 25300
This theorem is referenced by:  qndenserrnbl  45606
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