Theorem dirkercncflem1 43603

Description: If 𝑌 is a multiple of π then it belongs to an open inerval (𝐴(,)𝐵) such that for any other point 𝑦 in the interval, cos y/2 and sin y/2 are nonzero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkercncflem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem1.b	⊢ 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem1.ymod0	⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)

Assertion

Ref	Expression
dirkercncflem1	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem dirkercncflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkercncflem1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑌 − π)
2		dirkercncflem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3		pire 25603	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11391	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ*)
7	1, 6	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		dirkercncflem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑌 + π)
9	2, 4	readdcld 10992	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11013	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ*)
11	8, 10	eqeltrid 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		pipos 25605	. . . . . 6 ⊢ 0 < π
13		ltsubpos 11455	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ (𝑌 − π) < 𝑌))
14	12, 13	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌 − π) < 𝑌)
15	4, 2, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) < 𝑌)
16	1, 15	eqbrtrid 5109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑌)
17		ltaddpos 11453	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ 𝑌 < (𝑌 + π)))
18	12, 17	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 < (𝑌 + π))
19	4, 2, 18	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑌 + π))
20	19, 8	breqtrrdi 5116	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝐵)
21	7, 11, 2, 16, 20	eliood 42995	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22		eldifi 4061	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
23	22	elioored 43046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	recnd 10991	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
26		2cnd 12039	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
27		picn 25604	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
29		2ne0 12065	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
31	3, 12	gt0ne0ii 11499	. . . . . . . . 9 ⊢ π ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
33	25, 26, 28, 30, 32	divdiv1d 11770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34		dirkercncflem1.ymod0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
35		2rp 12723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
37		pirp 25606	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ+
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ+)
39	36, 38	rpmulcld 12776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
40		mod0 13584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
41	2, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
42	34, 41	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
43		peano2zm 12351	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
45	44	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
46	44	zred 12414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
48	1, 5	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
49	48, 39	rerpdivcld 12791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
51	39	rpred 12760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
52	51	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
53	39	rpne0d 12765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ≠ 0)
55	24, 52, 54	redivcld 11791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℝ)
56	51	recnd 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
57	56, 53	dividd 11737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) / (2 · π)) = 1)
58	57	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 = ((2 · π) / (2 · π)))
59	58	oveq2d 7284	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
60	2	recnd 10991	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
61	60, 56, 56, 53	divsubdird 11778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
62	59, 61	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)))
63	2, 51	resubcld 11391	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) ∈ ℝ)
64	27	mulid2i 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 · π) = π
65	64	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π = (1 · π)
66		1lt2 12132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
67		1re 10963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
68		2re 12035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
69	67, 68, 3, 12	ltmul1ii 11891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 · π) < (2 · π))
70	66, 69	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 · π) < (2 · π)
71	65, 70	eqbrtri 5095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π < (2 · π)
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → π < (2 · π))
73	4, 51, 2, 72	ltsub2dd 11576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < (𝑌 − π))
74	73, 1	breqtrrdi 5116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < 𝐴)
75	63, 48, 39, 74	ltdiv1dd 12817	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) < (𝐴 / (2 · π)))
76	62, 75	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
78	48	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ)
79	39	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ+)
80	22	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
81	7	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
83		elioo2 13108	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
84	81, 82, 83	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
85	80, 84	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
86	85	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 < 𝑦)
87	78, 24, 79, 86	ltdiv1dd 12817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
88	47, 50, 55, 77, 87	lttrd 11124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
89	88	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
90	23	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
91	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
92	39	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
93		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
94	90, 91, 92, 93	ltdiv1dd 12817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝑌 / (2 · π)))
95	60, 56, 53	divcld 11739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
97		1cnd 10958	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
98	96, 97	npcand 11324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1) = (𝑌 / (2 · π)))
99	98	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
100	99	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
101	94, 100	breqtrd 5100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
102		btwnnz 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
103	45, 89, 101, 102	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
104	42	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
105	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
106	24	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
107	79	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
108	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
109	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
110		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑌)
111		eldifsni 4724	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ≠ 𝑌)
112	111	necomd 2999	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑌 ≠ 𝑦)
113	112	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑌 ≠ 𝑦)
114	108, 109, 110, 113	leneltd 11117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
115	114	stoic1a 1775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑌)
116	105, 106	ltnled 11110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑌))
117	115, 116	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 < 𝑦)
118	105, 106, 107, 117	ltdiv1dd 12817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
119	8, 9	eqeltrid 2843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
120	119, 39	rerpdivcld 12791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
121	120	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
122	2, 39	rerpdivcld 12791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
123	122	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
124		1red 10964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℝ)
125	123, 124	readdcld 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) + 1) ∈ ℝ)
126	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ)
127	85	simp3d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 < 𝐵)
128	24, 126, 79, 127	ltdiv1dd 12817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐵 / (2 · π)))
129	8	oveq1i 7278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π))
130	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
131	60, 130, 56, 53	divdird 11777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
132	4, 39	rerpdivcld 12791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) ∈ ℝ)
133		1red 10964	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
134		2cn 12036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℂ
135	134, 27	mulcomi 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · π) = (π · 2)
136	135	oveq2i 7279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π / (2 · π)) = (π / (π · 2))
137	27, 31	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
138		2cnne0 12171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
139		divdiv1 11674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π / π) / 2) = (π / (π · 2)))
140	27, 137, 138, 139	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((π / π) / 2) = (π / (π · 2))
141	27, 31	dividi 11696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / π) = 1
142	141	oveq1i 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((π / π) / 2) = (1 / 2)
143	136, 140, 142	3eqtr2i 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / (2 · π)) = (1 / 2)
144		halflt1 12179	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 2) < 1
145	143, 144	eqbrtri 5095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / (2 · π)) < 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) < 1)
147	132, 133, 122, 146	ltadd2dd 11122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
148	131, 147	eqbrtrd 5096	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
149	129, 148	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
150	149	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
151	55, 121, 125, 128, 150	lttrd 11124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
152	151	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
153		btwnnz 12384	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
154	104, 118, 152, 153	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
155	103, 154	pm2.61dan 810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
156	33, 155	eqneltrd 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
157	25	halfcld 12206	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
158		sineq0 25668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
159	157, 158	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
160	156, 159	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
161	160	neqned 2950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
162	33	oveq1d 7283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) = ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
163	42	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
164	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑌 − π))
165	164	oveq1d 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + π) = ((𝑌 − π) + π))
166	60, 130	npcand 11324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − π) + π) = 𝑌)
167	165, 166	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐴 + π))
168	167	oveq1d 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 + π) / (2 · π)))
169	48	recnd 10991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
170	169, 130, 56, 53	divdird 11777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + π) / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
171	130	mulid1d 10980	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π · 1) = π)
172	171	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π = (π · 1))
173		2cnd 12039	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
174	173, 130	mulcomd 10984	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · π) = (π · 2))
175	172, 174	oveq12d 7286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) = ((π · 1) / (π · 2)))
176		1cnd 10958	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
177	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
178	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
179	176, 173, 130, 177, 178	divcan5d 11765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((π · 1) / (π · 2)) = (1 / 2))
180	175, 179	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) = (1 / 2))
181	180	oveq2d 7284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
182	168, 170, 181	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
183	182	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
184	124	rehalfcld 12208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
185	50, 55, 184, 87	ltadd1dd 11574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
186	183, 185	eqbrtrd 5096	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
187	55, 121, 184, 128	ltadd1dd 11574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)))
188	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π)))
189	188	oveq1d 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)))
190	180	oveq2d 7284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
191	131, 190	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
192	191	oveq1d 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
193	176	halfcld 12206	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
194	95, 193, 193	addassd 10985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
195	176	2halvesd 12207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
196	195	oveq2d 7284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
197	194, 196	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
198	189, 192, 197	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
199	198	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
200	187, 199	breqtrd 5100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
201		btwnnz 12384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∧ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
202	163, 186, 200, 201	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
203	162, 202	eqneltrd 2858	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
204		coseq0 43364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
205	157, 204	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
206	203, 205	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (cos‘(𝑦 / 2)) = 0)
207	206	neqned 2950	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
208	161, 207	jca 512	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
209	208	ralrimiva 3113	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
210	21, 209	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   ∖ cdif 3884  {csn 4562   class class class wbr 5074  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268  ℂcc 10857  ℝcr 10858  0cc0 10859  1c1 10860   + caddc 10862   · cmul 10864  ℝ^*cxr 10996   < clt 10997   ≤ cle 10998   − cmin 11193   / cdiv 11620  2c2 12016  ℤcz 12307  ℝ⁺crp 12718  (,)cioo 13067   mod cmo 13577  sincsin 15761  cosccos 15762  πcpi 15764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-inf2 9387  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936  ax-pre-sup 10937  ax-addf 10938  ax-mulf 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-iin 4928  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-isom 6436  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-of 7524  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-supp 7966  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-2o 8286  df-er 8486  df-map 8605  df-pm 8606  df-ixp 8674  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-fin 8725  df-fsupp 9117  df-fi 9158  df-sup 9189  df-inf 9190  df-oi 9257  df-card 9685  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-div 11621  df-nn 11962  df-2 12024  df-3 12025  df-4 12026  df-5 12027  df-6 12028  df-7 12029  df-8 12030  df-9 12031  df-n0 12222  df-z 12308  df-dec 12426  df-uz 12571  df-q 12677  df-rp 12719  df-xneg 12836  df-xadd 12837  df-xmul 12838  df-ioo 13071  df-ioc 13072  df-ico 13073  df-icc 13074  df-fz 13228  df-fzo 13371  df-fl 13500  df-mod 13578  df-seq 13710  df-exp 13771  df-fac 13976  df-bc 14005  df-hash 14033  df-shft 14766  df-cj 14798  df-re 14799  df-im 14800  df-sqrt 14934  df-abs 14935  df-limsup 15168  df-clim 15185  df-rlim 15186  df-sum 15386  df-ef 15765  df-sin 15767  df-cos 15768  df-pi 15770  df-struct 16836  df-sets 16853  df-slot 16871  df-ndx 16883  df-base 16901  df-ress 16930  df-plusg 16963  df-mulr 16964  df-starv 16965  df-sca 16966  df-vsca 16967  df-ip 16968  df-tset 16969  df-ple 16970  df-ds 16972  df-unif 16973  df-hom 16974  df-cco 16975  df-rest 17121  df-topn 17122  df-0g 17140  df-gsum 17141  df-topgen 17142  df-pt 17143  df-prds 17146  df-xrs 17201  df-qtop 17206  df-imas 17207  df-xps 17209  df-mre 17283  df-mrc 17284  df-acs 17286  df-mgm 18314  df-sgrp 18363  df-mnd 18374  df-submnd 18419  df-mulg 18689  df-cntz 18911  df-cmn 19376  df-psmet 20577  df-xmet 20578  df-met 20579  df-bl 20580  df-mopn 20581  df-fbas 20582  df-fg 20583  df-cnfld 20586  df-top 22031  df-topon 22048  df-topsp 22070  df-bases 22084  df-cld 22158  df-ntr 22159  df-cls 22160  df-nei 22237  df-lp 22275  df-perf 22276  df-cn 22366  df-cnp 22367  df-haus 22454  df-tx 22701  df-hmeo 22894  df-fil 22985  df-fm 23077  df-flim 23078  df-flf 23079  df-xms 23461  df-ms 23462  df-tms 23463  df-cncf 24029  df-limc 25018  df-dv 25019

This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  43605