Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem1 42265
Description: If 𝑌 is a multiple of π then it belongs to an open inerval (𝐴(,)𝐵) such that for any other point 𝑦 in the interval, cos y/2 and sin y/2 are nonzero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem1.b 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem1.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem1.ymod0 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4 𝐴 = (𝑌 − π)
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
3 pire 24971 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → π ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11056 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ)
65rexrd 10679 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ*)
71, 6eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
8 dirkercncflem1.b . . . 4 𝐵 = (𝑌 + π)
92, 4readdcld 10658 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ)
109rexrd 10679 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ*)
118, 10eqeltrid 2914 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
12 pipos 24973 . . . . . 6 0 < π
13 ltsubpos 11120 . . . . . 6 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ (𝑌 − π) < 𝑌))
1412, 13mpbii 234 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌 − π) < 𝑌)
154, 2, 14syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 − π) < 𝑌)
161, 15eqbrtrid 5092 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝑌)
17 ltaddpos 11118 . . . . . 6 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ 𝑌 < (𝑌 + π)))
1812, 17mpbii 234 . . . . 5 ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 < (𝑌 + π))
194, 2, 18syl2anc 584 . . . 4 (𝜑𝑌 < (𝑌 + π))
2019, 8breqtrrdi 5099 . . 3 (𝜑𝑌 < 𝐵)
217, 11, 2, 16, 20eliood 41649 . 2 (𝜑𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22 eldifi 4100 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
2322elioored 41701 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℝ)
2423adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
2524recnd 10657 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
26 2cnd 11703 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
27 picn 24972 . . . . . . . . 9 π ∈ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
29 2ne0 11729 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
313, 12gt0ne0ii 11164 . . . . . . . . 9 π ≠ 0
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
3325, 26, 28, 30, 32divdiv1d 11435 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
35 2rp 12382 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
37 pirp 24974 . . . . . . . . . . . . . . 15 π ∈ ℝ+
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ∈ ℝ+)
3936, 38rpmulcld 12435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
40 mod0 13232 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
412, 39, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
4234, 41mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
43 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4544ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
4644zred 12075 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
481, 5eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4948, 39rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5049adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5139rpred 12419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
5339rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ≠ 0)
5524, 52, 54redivcld 11456 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℝ)
5651recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
5756, 53dividd 11402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((2 · π) / (2 · π)) = 1)
5857eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 = ((2 · π) / (2 · π)))
5958oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
602recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
6160, 56, 56, 53divsubdird 11443 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
6259, 61eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)))
632, 51resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) ∈ ℝ)
6427mulid2i 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 · π) = π
6564eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π = (1 · π)
66 1lt2 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
67 1re 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
68 2re 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
6967, 68, 3, 12ltmul1ii 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 < 2 ↔ (1 · π) < (2 · π))
7066, 69mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 · π) < (2 · π)
7165, 70eqbrtri 5078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π < (2 · π)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → π < (2 · π))
734, 51, 2, 72ltsub2dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < (𝑌 − π))
7473, 1breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < 𝐴)
7563, 48, 39, 74ltdiv1dd 12476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) < (𝐴 / (2 · π)))
7662, 75eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
7776adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
7848adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ)
7939adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ+)
8022adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
817adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
83 elioo2 12767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
8481, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵)))
8580, 84mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦𝑦 < 𝐵))
8685simp2d 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 < 𝑦)
8778, 24, 79, 86ltdiv1dd 12476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
8847, 50, 55, 77, 87lttrd 10789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
8988adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
9023ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
912ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
9239ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
93 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
9490, 91, 92, 93ltdiv1dd 12476 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝑌 / (2 · π)))
9560, 56, 53divcld 11404 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
97 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
9896, 97npcand 10989 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1) = (𝑌 / (2 · π)))
9998eqcomd 2824 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
10099adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
10194, 100breqtrd 5083 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
102 btwnnz 12046 . . . . . . . . 9 ((((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10345, 89, 101, 102syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
10442ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
1052ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
10624adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
10779adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
10824adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
1092ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
110 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦𝑌)
111 eldifsni 4714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦𝑌)
112111necomd 3068 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑌𝑦)
113112ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑌𝑦)
114108, 109, 110, 113leneltd 10782 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
115114stoic1a 1764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ 𝑦𝑌)
116105, 106ltnled 10775 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑌))
117115, 116mpbird 258 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 < 𝑦)
118105, 106, 107, 117ltdiv1dd 12476 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
1198, 9eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
120119, 39rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
121120adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
1222, 39rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
124 1red 10630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 10658 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) + 1) ∈ ℝ)
126119adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ)
12785simp3d 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 < 𝐵)
12824, 126, 79, 127ltdiv1dd 12476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐵 / (2 · π)))
1298oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π))
13027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → π ∈ ℂ)
13160, 130, 56, 53divdird 11442 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
1324, 39rerpdivcld 12450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π / (2 · π)) ∈ ℝ)
133 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
134 2cn 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℂ
135134, 27mulcomi 10637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 · π) = (π · 2)
136135oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π / (2 · π)) = (π / (π · 2))
13727, 31pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
138 2cnne0 11835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
139 divdiv1 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π ∈ ℂ ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π / π) / 2) = (π / (π · 2)))
14027, 137, 138, 139mp3an 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π / π) / 2) = (π / (π · 2))
14127, 31dividi 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π / π) = 1
142141oveq1i 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π / π) / 2) = (1 / 2)
143136, 140, 1423eqtr2i 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π / (2 · π)) = (1 / 2)
144 halflt1 11843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) < 1
145143, 144eqbrtri 5078 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π / (2 · π)) < 1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π / (2 · π)) < 1)
147132, 133, 122, 146ltadd2dd 10787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
148131, 147eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
149129, 148eqbrtrid 5092 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
150149adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
15155, 121, 125, 128, 150lttrd 10789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
152151adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
153 btwnnz 12046 . . . . . . . . 9 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
154104, 118, 152, 153syl3anc 1363 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
155103, 154pm2.61dan 809 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
15633, 155eqneltrd 2929 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
15725halfcld 11870 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
158 sineq0 25036 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
159157, 158syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
160156, 159mtbird 326 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
161160neqned 3020 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
16233oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) = ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
16342adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
1641a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴 = (𝑌 − π))
165164oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + π) = ((𝑌 − π) + π))
16660, 130npcand 10989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 − π) + π) = 𝑌)
167165, 166eqtr2d 2854 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑌 = (𝐴 + π))
168167oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 + π) / (2 · π)))
16948recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
170169, 130, 56, 53divdird 11442 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + π) / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
171130mulid1d 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (π · 1) = π)
172171eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π = (π · 1))
173 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
174173, 130mulcomd 10650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (2 · π) = (π · 2))
175172, 174oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (π / (2 · π)) = ((π · 1) / (π · 2)))
176 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
17729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 2 ≠ 0)
17831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → π ≠ 0)
179176, 173, 130, 177, 178divcan5d 11430 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((π · 1) / (π · 2)) = (1 / 2))
180175, 179eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (π / (2 · π)) = (1 / 2))
181180oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
182168, 170, 1813eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
183182adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
184124rehalfcld 11872 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
18550, 55, 184, 87ltadd1dd 11239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
186183, 185eqbrtrd 5079 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
18755, 121, 184, 128ltadd1dd 11239 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)))
188129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π)))
189188oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)))
190180oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
191131, 190eqtrd 2853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
192191oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
193176halfcld 11870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
19495, 193, 193addassd 10651 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
1951762halvesd 11871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
196195oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
197194, 196eqtrd 2853 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
198189, 192, 1973eqtrd 2857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
199198adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
200187, 199breqtrd 5083 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
201 btwnnz 12046 . . . . . . . 8 (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∧ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
202163, 186, 200, 201syl3anc 1363 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
203162, 202eqneltrd 2929 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
204 coseq0 42021 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
205157, 204syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
206203, 205mtbird 326 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (cos‘(𝑦 / 2)) = 0)
207206neqned 3020 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
208161, 207jca 512 . . 3 ((𝜑𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
209208ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
21021, 209jca 512 1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  cdif 3930  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  2c2 11680  cz 11969  +crp 12377  (,)cioo 12726   mod cmo 13225  sincsin 15405  cosccos 15406  πcpi 15408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-fac 13622  df-bc 13651  df-hash 13679  df-shft 14414  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-ef 15409  df-sin 15411  df-cos 15412  df-pi 15414  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  42267
  Copyright terms: Public domain W3C validator