Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem1 44819
Description: If π‘Œ is a multiple of Ο€ then it belongs to an open inerval (𝐴(,)𝐡) such that for any other point 𝑦 in the interval, cos y/2 and sin y/2 are nonzero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
dirkercncflem1.b 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
dirkercncflem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
dirkercncflem1.ymod0 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Œ   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3 pire 25968 . . . . . . 7 Ο€ ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11642 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ Ο€) ∈ ℝ)
65rexrd 11264 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ Ο€) ∈ ℝ*)
71, 6eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8 dirkercncflem1.b . . . 4 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
92, 4readdcld 11243 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Ο€) ∈ ℝ)
109rexrd 11264 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Ο€) ∈ ℝ*)
118, 10eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
12 pipos 25970 . . . . . 6 0 < Ο€
13 ltsubpos 11706 . . . . . 6 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (0 < Ο€ ↔ (π‘Œ βˆ’ Ο€) < π‘Œ))
1412, 13mpbii 232 . . . . 5 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ βˆ’ Ο€) < π‘Œ)
154, 2, 14syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ Ο€) < π‘Œ)
161, 15eqbrtrid 5184 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < π‘Œ)
17 ltaddpos 11704 . . . . . 6 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (0 < Ο€ ↔ π‘Œ < (π‘Œ + Ο€)))
1812, 17mpbii 232 . . . . 5 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ π‘Œ < (π‘Œ + Ο€))
194, 2, 18syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ < (π‘Œ + Ο€))
2019, 8breqtrrdi 5191 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝐡)
217, 11, 2, 16, 20eliood 44211 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡))
22 eldifi 4127 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
2322elioored 44262 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2423adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2524recnd 11242 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
26 2cnd 12290 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 2 ∈ β„‚)
27 picn 25969 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ β„‚
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
29 2ne0 12316 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 2 β‰  0)
313, 12gt0ne0ii 11750 . . . . . . . . 9 Ο€ β‰  0
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Ο€ β‰  0)
3325, 26, 28, 30, 32divdiv1d 12021 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝑦 / 2) / Ο€) = (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
34 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
35 2rp 12979 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
37 pirp 25971 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ+
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ+)
3936, 38rpmulcld 13032 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
40 mod0 13841 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
412, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
4234, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
43 peano2zm 12605 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
4644zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
481, 5eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4948, 39rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝐴 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
5139rpred 13016 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
5251adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
5339rpne0d 13021 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
5524, 52, 54redivcld 12042 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
5651recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
5756, 53dividd 11988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((2 Β· Ο€) / (2 Β· Ο€)) = 1)
5857eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 = ((2 Β· Ο€) / (2 Β· Ο€)))
5958oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ ((2 Β· Ο€) / (2 Β· Ο€))))
602recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
6160, 56, 56, 53divsubdird 12029 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ ((2 Β· Ο€) / (2 Β· Ο€))))
6259, 61eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) = ((π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)))
632, 51resubcld 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
6427mullidi 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 Β· Ο€) = Ο€
6564eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ο€ = (1 Β· Ο€)
66 1lt2 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
67 1re 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
68 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
6967, 68, 3, 12ltmul1ii 12142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 < 2 ↔ (1 Β· Ο€) < (2 Β· Ο€))
7066, 69mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 Β· Ο€) < (2 Β· Ο€)
7165, 70eqbrtri 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ < (2 Β· Ο€)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
734, 51, 2, 72ltsub2dd 11827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) < (π‘Œ βˆ’ Ο€))
7473, 1breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) < 𝐴)
7563, 48, 39, 74ltdiv1dd 13073 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) < (𝐴 / (2 Β· Ο€)))
7662, 75eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝐴 / (2 Β· Ο€)))
7776adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝐴 / (2 Β· Ο€)))
7848adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7939adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
8022adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
817adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
83 elioo2 13365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡)))
8481, 82, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡)))
8580, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡))
8685simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 < 𝑦)
8778, 24, 79, 86ltdiv1dd 13073 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝐴 / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
8847, 50, 55, 77, 87lttrd 11375 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
8988adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
9023ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
912ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
9239ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
93 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ 𝑦 < π‘Œ)
9490, 91, 92, 93ltdiv1dd 13073 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
9560, 56, 53divcld 11990 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
9695adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
97 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 1 ∈ β„‚)
9896, 97npcand 11575 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1) = (π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
9998eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1))
10099adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1))
10194, 100breqtrd 5175 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1))
102 btwnnz 12638 . . . . . . . . 9 ((((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∧ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1)) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
10345, 89, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
10442ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
1052ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
10624adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
10779adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
10824adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1092ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
110 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑦 ≀ π‘Œ)
111 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) β†’ 𝑦 β‰  π‘Œ)
112111necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘Œ β‰  𝑦)
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ β‰  𝑦)
114108, 109, 110, 113leneltd 11368 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑦 < π‘Œ)
115114stoic1a 1775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Œ)
116105, 106ltnled 11361 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Œ))
117115, 116mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ π‘Œ < 𝑦)
118105, 106, 107, 117ltdiv1dd 13073 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
1198, 9eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
120119, 39rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
121120adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
1222, 39rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
123122adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
124 1red 11215 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 11243 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1) ∈ ℝ)
126119adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
12785simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑦 < 𝐡)
12824, 126, 79, 127ltdiv1dd 13073 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (𝐡 / (2 Β· Ο€)))
1298oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€))
13027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
13160, 130, 56, 53divdird 12028 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))))
1324, 39rerpdivcld 13047 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο€ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
133 1red 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
134 2cn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„‚
135134, 27mulcomi 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· Ο€) = (Ο€ Β· 2)
136135oveq2i 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ο€ / (2 Β· Ο€)) = (Ο€ / (Ο€ Β· 2))
13727, 31pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0)
138 2cnne0 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
139 divdiv1 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((Ο€ / Ο€) / 2) = (Ο€ / (Ο€ Β· 2)))
14027, 137, 138, 139mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ο€ / Ο€) / 2) = (Ο€ / (Ο€ Β· 2))
14127, 31dividi 11947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ / Ο€) = 1
142141oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ο€ / Ο€) / 2) = (1 / 2)
143136, 140, 1423eqtr2i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ο€ / (2 Β· Ο€)) = (1 / 2)
144 halflt1 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) < 1
145143, 144eqbrtri 5170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ο€ / (2 Β· Ο€)) < 1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο€ / (2 Β· Ο€)) < 1)
147132, 133, 122, 146ltadd2dd 11373 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
148131, 147eqbrtrd 5171 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
149129, 148eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
150149adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
15155, 121, 125, 128, 150lttrd 11375 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
152151adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
153 btwnnz 12638 . . . . . . . . 9 (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€ ∧ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∧ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1)) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
154104, 118, 152, 153syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
155103, 154pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
15633, 155eqneltrd 2854 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€)
15725halfcld 12457 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
158 sineq0 26033 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€))
159157, 158syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€))
160156, 159mtbird 325 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0)
161160neqned 2948 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
16233oveq1d 7424 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((𝑦 / 2) / Ο€) + (1 / 2)) = ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
16342adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
1641a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€))
165164oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 + Ο€) = ((π‘Œ βˆ’ Ο€) + Ο€))
16660, 130npcand 11575 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ Ο€) + Ο€) = π‘Œ)
167165, 166eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐴 + Ο€))
168167oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 + Ο€) / (2 Β· Ο€)))
16948recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
170169, 130, 56, 53divdird 12028 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + Ο€) / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))))
171130mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο€ Β· 1) = Ο€)
172171eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Ο€ = (Ο€ Β· 1))
173 2cnd 12290 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
174173, 130mulcomd 11235 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) = (Ο€ Β· 2))
175172, 174oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Ο€ / (2 Β· Ο€)) = ((Ο€ Β· 1) / (Ο€ Β· 2)))
176 1cnd 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
17729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
17831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
179176, 173, 130, 177, 178divcan5d 12016 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((Ο€ Β· 1) / (Ο€ Β· 2)) = (1 / 2))
180175, 179eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ο€ / (2 Β· Ο€)) = (1 / 2))
181180oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))) = ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
182168, 170, 1813eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
183182adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
184124rehalfcld 12459 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
18550, 55, 184, 87ltadd1dd 11825 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) < ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
186183, 185eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
18755, 121, 184, 128ltadd1dd 11825 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) < ((𝐡 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
188129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)))
189188oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐡 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) = (((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
190180oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
191131, 190eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
192191oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) = (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
193176halfcld 12457 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
19495, 193, 193addassd 11236 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
1951762halvesd 12458 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
196195oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
197194, 196eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
198189, 192, 1973eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
199198adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝐡 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
200187, 199breqtrd 5175 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
201 btwnnz 12638 . . . . . . . 8 (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€ ∧ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) ∧ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1)) β†’ Β¬ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) ∈ β„€)
202163, 186, 200, 201syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) ∈ β„€)
203162, 202eqneltrd 2854 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ (((𝑦 / 2) / Ο€) + (1 / 2)) ∈ β„€)
204 coseq0 44580 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / Ο€) + (1 / 2)) ∈ β„€))
205157, 204syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((cosβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / Ο€) + (1 / 2)) ∈ β„€))
206203, 205mtbird 325 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) = 0)
207206neqned 2948 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
208161, 207jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
209208ralrimiva 3147 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
21021, 209jca 513 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062   βˆ– cdif 3946  {csn 4629   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  2c2 12267  β„€cz 12558  β„+crp 12974  (,)cioo 13324   mod cmo 13834  sincsin 16007  cosccos 16008  Ο€cpi 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  44821
  Copyright terms: Public domain W3C validator