dirkercncflem1 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dirkercncflem1 45118

Description: If 𝑌 is a multiple of π then it belongs to an open inerval (𝐴(,)𝐵) such that for any other point 𝑦 in the interval, cos y/2 and sin y/2 are nonzero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkercncflem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem1.b	⊢ 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem1.ymod0	⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)

**Assertion**
Ref	Expression
dirkercncflem1	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))

Distinct variable groups: 𝑦,𝑌 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑦) 𝐵(𝑦)

**Proof of Theorem dirkercncflem1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkercncflem1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑌 − π)
2		dirkercncflem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3		pire 26205	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ^*)
7	1, 6	eqeltrid 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ^*)
8		dirkercncflem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑌 + π)
9	2, 4	readdcld 11248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11269	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ^*)
11	8, 10	eqeltrid 2836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ^*)
12		pipos 26207	. . . . . 6 ⊢ 0 < π
13		ltsubpos 11711	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ (𝑌 − π) < 𝑌))
14	12, 13	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌 − π) < 𝑌)
15	4, 2, 14	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) < 𝑌)
16	1, 15	eqbrtrid 5183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑌)
17		ltaddpos 11709	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ 𝑌 < (𝑌 + π)))
18	12, 17	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 < (𝑌 + π))
19	4, 2, 18	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑌 + π))
20	19, 8	breqtrrdi 5190	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝐵)
21	7, 11, 2, 16, 20	eliood 44510	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22		eldifi 4126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
23	22	elioored 44561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	recnd 11247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
26		2cnd 12295	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
27		picn 26206	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
29		2ne0 12321	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
31	3, 12	gt0ne0ii 11755	. . . . . . . . 9 ⊢ π ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
33	25, 26, 28, 30, 32	divdiv1d 12026	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34		dirkercncflem1.ymod0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
35		2rp 12984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
37		pirp 26208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ⁺
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ⁺)
39	36, 38	rpmulcld 13037	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
40		mod0 13846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
41	2, 39, 40	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
42	34, 41	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
43		peano2zm 12610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
45	44	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
46	44	zred 12671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
48	1, 5	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
49	48, 39	rerpdivcld 13052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
51	39	rpred 13021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
53	39	rpne0d 13026	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ≠ 0)
55	24, 52, 54	redivcld 12047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℝ)
56	51	recnd 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
57	56, 53	dividd 11993	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) / (2 · π)) = 1)
58	57	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 = ((2 · π) / (2 · π)))
59	58	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
60	2	recnd 11247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
61	60, 56, 56, 53	divsubdird 12034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
62	59, 61	eqtr4d 2774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)))
63	2, 51	resubcld 11647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) ∈ ℝ)
64	27	mullidi 11224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 · π) = π
65	64	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π = (1 · π)
66		1lt2 12388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
67		1re 11219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
68		2re 12291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
69	67, 68, 3, 12	ltmul1ii 12147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 · π) < (2 · π))
70	66, 69	mpbi 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 · π) < (2 · π)
71	65, 70	eqbrtri 5169	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π < (2 · π)
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → π < (2 · π))
73	4, 51, 2, 72	ltsub2dd 11832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < (𝑌 − π))
74	73, 1	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < 𝐴)
75	63, 48, 39, 74	ltdiv1dd 13078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) < (𝐴 / (2 · π)))
76	62, 75	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
78	48	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ)
79	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
80	22	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
81	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
82	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
83		elioo2 13370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
84	81, 82, 83	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
85	80, 84	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
86	85	simp2d 1142	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 < 𝑦)
87	78, 24, 79, 86	ltdiv1dd 13078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
88	47, 50, 55, 77, 87	lttrd 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
89	88	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
90	23	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
91	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
92	39	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
93		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
94	90, 91, 92, 93	ltdiv1dd 13078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝑌 / (2 · π)))
95	60, 56, 53	divcld 11995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
97		1cnd 11214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
98	96, 97	npcand 11580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1) = (𝑌 / (2 · π)))
99	98	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
100	99	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
101	94, 100	breqtrd 5174	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
102		btwnnz 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
103	45, 89, 101, 102	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
104	42	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
105	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
106	24	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
107	79	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
108	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
109	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
110		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑌)
111		eldifsni 4793	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ≠ 𝑌)
112	111	necomd 2995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑌 ≠ 𝑦)
113	112	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑌 ≠ 𝑦)
114	108, 109, 110, 113	leneltd 11373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
115	114	stoic1a 1773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑌)
116	105, 106	ltnled 11366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑌))
117	115, 116	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 < 𝑦)
118	105, 106, 107, 117	ltdiv1dd 13078	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
119	8, 9	eqeltrid 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
120	119, 39	rerpdivcld 13052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
122	2, 39	rerpdivcld 13052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
123	122	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
124		1red 11220	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℝ)
125	123, 124	readdcld 11248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) + 1) ∈ ℝ)
126	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ)
127	85	simp3d 1143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 < 𝐵)
128	24, 126, 79, 127	ltdiv1dd 13078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐵 / (2 · π)))
129	8	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π))
130	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
131	60, 130, 56, 53	divdird 12033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
132	4, 39	rerpdivcld 13052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) ∈ ℝ)
133		1red 11220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
134		2cn 12292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℂ
135	134, 27	mulcomi 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · π) = (π · 2)
136	135	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π / (2 · π)) = (π / (π · 2))
137	27, 31	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
138		2cnne0 12427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
139		divdiv1 11930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π / π) / 2) = (π / (π · 2)))
140	27, 137, 138, 139	mp3an 1460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((π / π) / 2) = (π / (π · 2))
141	27, 31	dividi 11952	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / π) = 1
142	141	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((π / π) / 2) = (1 / 2)
143	136, 140, 142	3eqtr2i 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / (2 · π)) = (1 / 2)
144		halflt1 12435	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 2) < 1
145	143, 144	eqbrtri 5169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / (2 · π)) < 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) < 1)
147	132, 133, 122, 146	ltadd2dd 11378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
148	131, 147	eqbrtrd 5170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
149	129, 148	eqbrtrid 5183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
150	149	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
151	55, 121, 125, 128, 150	lttrd 11380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
152	151	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
153		btwnnz 12643	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
154	104, 118, 152, 153	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
155	103, 154	pm2.61dan 810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
156	33, 155	eqneltrd 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
157	25	halfcld 12462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
158		sineq0 26270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
159	157, 158	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
160	156, 159	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
161	160	neqned 2946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
162	33	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) = ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
163	42	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
164	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑌 − π))
165	164	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + π) = ((𝑌 − π) + π))
166	60, 130	npcand 11580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − π) + π) = 𝑌)
167	165, 166	eqtr2d 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐴 + π))
168	167	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 + π) / (2 · π)))
169	48	recnd 11247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
170	169, 130, 56, 53	divdird 12033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + π) / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
171	130	mulridd 11236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π · 1) = π)
172	171	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π = (π · 1))
173		2cnd 12295	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
174	173, 130	mulcomd 11240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · π) = (π · 2))
175	172, 174	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) = ((π · 1) / (π · 2)))
176		1cnd 11214	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
177	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
178	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
179	176, 173, 130, 177, 178	divcan5d 12021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((π · 1) / (π · 2)) = (1 / 2))
180	175, 179	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) = (1 / 2))
181	180	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
182	168, 170, 181	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
183	182	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
184	124	rehalfcld 12464	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
185	50, 55, 184, 87	ltadd1dd 11830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
186	183, 185	eqbrtrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
187	55, 121, 184, 128	ltadd1dd 11830	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)))
188	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π)))
189	188	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)))
190	180	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
191	131, 190	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
192	191	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
193	176	halfcld 12462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
194	95, 193, 193	addassd 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
195	176	2halvesd 12463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
196	195	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
197	194, 196	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
198	189, 192, 197	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
199	198	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
200	187, 199	breqtrd 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
201		btwnnz 12643	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∧ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
202	163, 186, 200, 201	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
203	162, 202	eqneltrd 2852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
204		coseq0 44879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
205	157, 204	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
206	203, 205	mtbird 325	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (cos‘(𝑦 / 2)) = 0)
207	206	neqned 2946	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
208	161, 207	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
209	208	ralrimiva 3145	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
210	21, 209	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ≠ wne 2939 ∀wral 3060 ∖ cdif 3945 {csn 4628 class class class wbr 5148 ‘cfv 6543 (class class class)co 7412 ℂcc 11112 ℝcr 11113 0cc0 11114 1c1 11115 + caddc 11117 · cmul 11119 ℝ^*cxr 11252 < clt 11253 ≤ cle 11254 − cmin 11449 / cdiv 11876 2c2 12272 ℤcz 12563 ℝ⁺crp 12979 (,)cioo 13329 mod cmo 13839 sincsin 16012 cosccos 16013 πcpi 16015

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-inf2 9640 ax-cnex 11170 ax-resscn 11171 ax-1cn 11172 ax-icn 11173 ax-addcl 11174 ax-addrcl 11175 ax-mulcl 11176 ax-mulrcl 11177 ax-mulcom 11178 ax-addass 11179 ax-mulass 11180 ax-distr 11181 ax-i2m1 11182 ax-1ne0 11183 ax-1rid 11184 ax-rnegex 11185 ax-rrecex 11186 ax-cnre 11187 ax-pre-lttri 11188 ax-pre-lttrn 11189 ax-pre-ltadd 11190 ax-pre-mulgt0 11191 ax-pre-sup 11192 ax-addf 11193

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-of 7674 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-supp 8151 df-frecs 8270 df-wrecs 8301 df-recs 8375 df-rdg 8414 df-1o 8470 df-2o 8471 df-er 8707 df-map 8826 df-pm 8827 df-ixp 8896 df-en 8944 df-dom 8945 df-sdom 8946 df-fin 8947 df-fsupp 9366 df-fi 9410 df-sup 9441 df-inf 9442 df-oi 9509 df-card 9938 df-pnf 11255 df-mnf 11256 df-xr 11257 df-ltxr 11258 df-le 11259 df-sub 11451 df-neg 11452 df-div 11877 df-nn 12218 df-2 12280 df-3 12281 df-4 12282 df-5 12283 df-6 12284 df-7 12285 df-8 12286 df-9 12287 df-n0 12478 df-z 12564 df-dec 12683 df-uz 12828 df-q 12938 df-rp 12980 df-xneg 13097 df-xadd 13098 df-xmul 13099 df-ioo 13333 df-ioc 13334 df-ico 13335 df-icc 13336 df-fz 13490 df-fzo 13633 df-fl 13762 df-mod 13840 df-seq 13972 df-exp 14033 df-fac 14239 df-bc 14268 df-hash 14296 df-shft 15019 df-cj 15051 df-re 15052 df-im 15053 df-sqrt 15187 df-abs 15188 df-limsup 15420 df-clim 15437 df-rlim 15438 df-sum 15638 df-ef 16016 df-sin 16018 df-cos 16019 df-pi 16021 df-struct 17085 df-sets 17102 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-ress 17179 df-plusg 17215 df-mulr 17216 df-starv 17217 df-sca 17218 df-vsca 17219 df-ip 17220 df-tset 17221 df-ple 17222 df-ds 17224 df-unif 17225 df-hom 17226 df-cco 17227 df-rest 17373 df-topn 17374 df-0g 17392 df-gsum 17393 df-topgen 17394 df-pt 17395 df-prds 17398 df-xrs 17453 df-qtop 17458 df-imas 17459 df-xps 17461 df-mre 17535 df-mrc 17536 df-acs 17538 df-mgm 18566 df-sgrp 18645 df-mnd 18661 df-submnd 18707 df-mulg 18988 df-cntz 19223 df-cmn 19692 df-psmet 21137 df-xmet 21138 df-met 21139 df-bl 21140 df-mopn 21141 df-fbas 21142 df-fg 21143 df-cnfld 21146 df-top 22617 df-topon 22634 df-topsp 22656 df-bases 22670 df-cld 22744 df-ntr 22745 df-cls 22746 df-nei 22823 df-lp 22861 df-perf 22862 df-cn 22952 df-cnp 22953 df-haus 23040 df-tx 23287 df-hmeo 23480 df-fil 23571 df-fm 23663 df-flim 23664 df-flf 23665 df-xms 24047 df-ms 24048 df-tms 24049 df-cncf 24619 df-limc 25616 df-dv 25617

This theorem is referenced by: dirkercncflem3 45120

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