Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkercncflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkercncflem1 44430
Description: If π‘Œ is a multiple of Ο€ then it belongs to an open inerval (𝐴(,)𝐡) such that for any other point 𝑦 in the interval, cos y/2 and sin y/2 are nonzero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkercncflem1.a 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
dirkercncflem1.b 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
dirkercncflem1.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
dirkercncflem1.ymod0 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
Assertion
Ref Expression
dirkercncflem1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)))
Distinct variable groups:   𝑦,π‘Œ   πœ‘,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐡(𝑦)

Proof of Theorem dirkercncflem1
StepHypRef Expression
1 dirkercncflem1.a . . . 4 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€)
2 dirkercncflem1.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
3 pire 25831 . . . . . . 7 Ο€ ∈ ℝ
43a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
52, 4resubcld 11588 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ Ο€) ∈ ℝ)
65rexrd 11210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ Ο€) ∈ ℝ*)
71, 6eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8 dirkercncflem1.b . . . 4 𝐡 = (π‘Œ + Ο€)
92, 4readdcld 11189 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Ο€) ∈ ℝ)
109rexrd 11210 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ + Ο€) ∈ ℝ*)
118, 10eqeltrid 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
12 pipos 25833 . . . . . 6 0 < Ο€
13 ltsubpos 11652 . . . . . 6 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (0 < Ο€ ↔ (π‘Œ βˆ’ Ο€) < π‘Œ))
1412, 13mpbii 232 . . . . 5 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (π‘Œ βˆ’ Ο€) < π‘Œ)
154, 2, 14syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ Ο€) < π‘Œ)
161, 15eqbrtrid 5141 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < π‘Œ)
17 ltaddpos 11650 . . . . . 6 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (0 < Ο€ ↔ π‘Œ < (π‘Œ + Ο€)))
1812, 17mpbii 232 . . . . 5 ((Ο€ ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ π‘Œ < (π‘Œ + Ο€))
194, 2, 18syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ < (π‘Œ + Ο€))
2019, 8breqtrrdi 5148 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ < 𝐡)
217, 11, 2, 16, 20eliood 43822 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡))
22 eldifi 4087 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
2322elioored 43873 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2423adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
2524recnd 11188 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
26 2cnd 12236 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 2 ∈ β„‚)
27 picn 25832 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ β„‚
2827a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Ο€ ∈ β„‚)
29 2ne0 12262 . . . . . . . . 9 2 β‰  0
3029a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 2 β‰  0)
313, 12gt0ne0ii 11696 . . . . . . . . 9 Ο€ β‰  0
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Ο€ β‰  0)
3325, 26, 28, 30, 32divdiv1d 11967 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝑦 / 2) / Ο€) = (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
34 dirkercncflem1.ymod0 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0)
35 2rp 12925 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℝ+
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ+)
37 pirp 25834 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ο€ ∈ ℝ+
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ+)
3936, 38rpmulcld 12978 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
40 mod0 13787 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+) β†’ ((π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
412, 39, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ mod (2 Β· Ο€)) = 0 ↔ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€))
4234, 41mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
43 peano2zm 12551 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
4544ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ β„€)
4644zred 12612 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
481, 5eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4948, 39rerpdivcld 12993 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐴 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝐴 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
5139rpred 12962 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
5251adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ)
5339rpne0d 12967 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (2 Β· Ο€) β‰  0)
5524, 52, 54redivcld 11988 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
5651recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) ∈ β„‚)
5756, 53dividd 11934 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ ((2 Β· Ο€) / (2 Β· Ο€)) = 1)
5857eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 = ((2 Β· Ο€) / (2 Β· Ο€)))
5958oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ ((2 Β· Ο€) / (2 Β· Ο€))))
602recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
6160, 56, 56, 53divsubdird 11975 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ ((2 Β· Ο€) / (2 Β· Ο€))))
6259, 61eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) = ((π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)))
632, 51resubcld 11588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
6427mulid2i 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 Β· Ο€) = Ο€
6564eqcomi 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ο€ = (1 Β· Ο€)
66 1lt2 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 < 2
67 1re 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
68 2re 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ ℝ
6967, 68, 3, 12ltmul1ii 12088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 < 2 ↔ (1 Β· Ο€) < (2 Β· Ο€))
7066, 69mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 Β· Ο€) < (2 Β· Ο€)
7165, 70eqbrtri 5127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ο€ < (2 Β· Ο€)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ Ο€ < (2 Β· Ο€))
734, 51, 2, 72ltsub2dd 11773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) < (π‘Œ βˆ’ Ο€))
7473, 1breqtrrdi 5148 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) < 𝐴)
7563, 48, 39, 74ltdiv1dd 13019 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (2 Β· Ο€)) / (2 Β· Ο€)) < (𝐴 / (2 Β· Ο€)))
7662, 75eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝐴 / (2 Β· Ο€)))
7776adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝐴 / (2 Β· Ο€)))
7848adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
7939adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
8022adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡))
817adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
8211adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
83 elioo2 13311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡)))
8481, 82, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡)))
8580, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐡))
8685simp2d 1144 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐴 < 𝑦)
8778, 24, 79, 86ltdiv1dd 13019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝐴 / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
8847, 50, 55, 77, 87lttrd 11321 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
8988adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
9023ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
912ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
9239ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
93 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ 𝑦 < π‘Œ)
9490, 91, 92, 93ltdiv1dd 13019 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
9560, 56, 53divcld 11936 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
9695adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„‚)
97 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 1 ∈ β„‚)
9896, 97npcand 11521 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1) = (π‘Œ / (2 Β· Ο€)))
9998eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1))
10099adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1))
10194, 100breqtrd 5132 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1))
102 btwnnz 12584 . . . . . . . . 9 ((((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) ∈ β„€ ∧ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∧ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) βˆ’ 1) + 1)) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
10345, 89, 101, 102syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 < π‘Œ) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
10442ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
1052ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
10624adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
10779adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (2 Β· Ο€) ∈ ℝ+)
10824adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
1092ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
110 simpr 486 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑦 ≀ π‘Œ)
111 eldifsni 4751 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) β†’ 𝑦 β‰  π‘Œ)
112111necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ}) β†’ π‘Œ β‰  𝑦)
113112ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ β‰  𝑦)
114108, 109, 110, 113leneltd 11314 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑦 < π‘Œ)
115114stoic1a 1775 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Œ)
116105, 106ltnled 11307 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ < 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 ≀ π‘Œ))
117115, 116mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ π‘Œ < 𝑦)
118105, 106, 107, 117ltdiv1dd 13019 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)))
1198, 9eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
120119, 39rerpdivcld 12993 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
121120adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
1222, 39rerpdivcld 12993 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
123122adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
124 1red 11161 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 1 ∈ ℝ)
125123, 124readdcld 11189 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1) ∈ ℝ)
126119adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
12785simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ 𝑦 < 𝐡)
12824, 126, 79, 127ltdiv1dd 13019 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < (𝐡 / (2 Β· Ο€)))
1298oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐡 / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€))
13027a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ β„‚)
13160, 130, 56, 53divdird 11974 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))))
1324, 39rerpdivcld 12993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο€ / (2 Β· Ο€)) ∈ ℝ)
133 1red 11161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
134 2cn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ∈ β„‚
135134, 27mulcomi 11168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 Β· Ο€) = (Ο€ Β· 2)
136135oveq2i 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Ο€ / (2 Β· Ο€)) = (Ο€ / (Ο€ Β· 2))
13727, 31pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0)
138 2cnne0 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)
139 divdiv1 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Ο€ ∈ β„‚ ∧ (Ο€ ∈ β„‚ ∧ Ο€ β‰  0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((Ο€ / Ο€) / 2) = (Ο€ / (Ο€ Β· 2)))
14027, 137, 138, 139mp3an 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ο€ / Ο€) / 2) = (Ο€ / (Ο€ Β· 2))
14127, 31dividi 11893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ο€ / Ο€) = 1
142141oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ο€ / Ο€) / 2) = (1 / 2)
143136, 140, 1423eqtr2i 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ο€ / (2 Β· Ο€)) = (1 / 2)
144 halflt1 12376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) < 1
145143, 144eqbrtri 5127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Ο€ / (2 Β· Ο€)) < 1
146145a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο€ / (2 Β· Ο€)) < 1)
147132, 133, 122, 146ltadd2dd 11319 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
148131, 147eqbrtrd 5128 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
149129, 148eqbrtrid 5141 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
150149adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
15155, 121, 125, 128, 150lttrd 11321 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
152151adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
153 btwnnz 12584 . . . . . . . . 9 (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€ ∧ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∧ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1)) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
154104, 118, 152, 153syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) ∧ Β¬ 𝑦 < π‘Œ) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
155103, 154pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ (𝑦 / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
15633, 155eqneltrd 2854 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€)
15725halfcld 12403 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
158 sineq0 25896 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€))
159157, 158syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / Ο€) ∈ β„€))
160156, 159mtbird 325 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) = 0)
161160neqned 2947 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
16233oveq1d 7373 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (((𝑦 / 2) / Ο€) + (1 / 2)) = ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
16342adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€)
1641a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘Œ βˆ’ Ο€))
165164oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐴 + Ο€) = ((π‘Œ βˆ’ Ο€) + Ο€))
16660, 130npcand 11521 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ Ο€) + Ο€) = π‘Œ)
167165, 166eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐴 + Ο€))
168167oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 + Ο€) / (2 Β· Ο€)))
16948recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
170169, 130, 56, 53divdird 11974 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴 + Ο€) / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))))
171130mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (Ο€ Β· 1) = Ο€)
172171eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Ο€ = (Ο€ Β· 1))
173 2cnd 12236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„‚)
174173, 130mulcomd 11181 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (2 Β· Ο€) = (Ο€ Β· 2))
175172, 174oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (Ο€ / (2 Β· Ο€)) = ((Ο€ Β· 1) / (Ο€ Β· 2)))
176 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
17729a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 2 β‰  0)
17831a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ Ο€ β‰  0)
179176, 173, 130, 177, 178divcan5d 11962 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((Ο€ Β· 1) / (Ο€ Β· 2)) = (1 / 2))
180175, 179eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Ο€ / (2 Β· Ο€)) = (1 / 2))
181180oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))) = ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
182168, 170, 1813eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
183182adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) = ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
184124rehalfcld 12405 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
18550, 55, 184, 87ltadd1dd 11771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝐴 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) < ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
186183, 185eqbrtrd 5128 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
18755, 121, 184, 128ltadd1dd 11771 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) < ((𝐡 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
188129a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐡 / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)))
189188oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐡 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) = (((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
190180oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (Ο€ / (2 Β· Ο€))) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
191131, 190eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)))
192191oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ + Ο€) / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) = (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
193176halfcld 12403 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
19495, 193, 193addassd 11182 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
1951762halvesd 12404 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
196195oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
197194, 196eqtrd 2773 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
198189, 192, 1973eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
199198adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝐡 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) = ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
200187, 199breqtrd 5132 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1))
201 btwnnz 12584 . . . . . . . 8 (((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) ∈ β„€ ∧ (π‘Œ / (2 Β· Ο€)) < ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) ∧ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) < ((π‘Œ / (2 Β· Ο€)) + 1)) β†’ Β¬ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) ∈ β„€)
202163, 186, 200, 201syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ ((𝑦 / (2 Β· Ο€)) + (1 / 2)) ∈ β„€)
203162, 202eqneltrd 2854 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ (((𝑦 / 2) / Ο€) + (1 / 2)) ∈ β„€)
204 coseq0 44191 . . . . . . 7 ((𝑦 / 2) ∈ β„‚ β†’ ((cosβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / Ο€) + (1 / 2)) ∈ β„€))
205157, 204syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((cosβ€˜(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / Ο€) + (1 / 2)) ∈ β„€))
206203, 205mtbird 325 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ Β¬ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) = 0)
207206neqned 2947 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)
208161, 207jca 513 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})) β†’ ((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
209208ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0))
21021, 209jca 513 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ ∈ (𝐴(,)𝐡) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ ((𝐴(,)𝐡) βˆ– {π‘Œ})((sinβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0 ∧ (cosβ€˜(𝑦 / 2)) β‰  0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   βˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  β„€cz 12504  β„+crp 12920  (,)cioo 13270   mod cmo 13780  sincsin 15951  cosccos 15952  Ο€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  44432
  Copyright terms: Public domain W3C validator