Theorem dirkercncflem1 46800

Description: If 𝑌 is a multiple of π then it belongs to an open inerval (𝐴(,)𝐵) such that for any other point 𝑦 in the interval, cos y/2 and sin y/2 are nonzero. Such an interval is needed to apply De L'Hopital theorem. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkercncflem1.a	⊢ 𝐴 = (𝑌 − π)
dirkercncflem1.b	⊢ 𝐵 = (𝑌 + π)
dirkercncflem1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem1.ymod0	⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)

Assertion

Ref	Expression
dirkercncflem1	⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝑌   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)

Proof of Theorem dirkercncflem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dirkercncflem1.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑌 − π)
2		dirkercncflem1.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
3		pire 26600	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ)
5	2, 4	resubcld 11643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ)
6	5	rexrd 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) ∈ ℝ*)
7	1, 6	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
8		dirkercncflem1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝑌 + π)
9	2, 4	readdcld 11239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + π) ∈ ℝ*)
11	8, 10	eqeltrid 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
12		pipos 26604	. . . . . 6 ⊢ 0 < π
13		ltsubpos 11707	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ (𝑌 − π) < 𝑌))
14	12, 13	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑌 − π) < 𝑌)
15	4, 2, 14	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − π) < 𝑌)
16	1, 15	eqbrtrid 5147	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝑌)
17		ltaddpos 11705	. . . . . 6 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (0 < π ↔ 𝑌 < (𝑌 + π)))
18	12, 17	mpbii 236	. . . . 5 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → 𝑌 < (𝑌 + π))
19	4, 2, 18	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < (𝑌 + π))
20	19, 8	breqtrrdi 5154	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝐵)
21	7, 11, 2, 16, 20	eliood 46197	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵))
22		eldifi 4086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
23	22	elioored 46248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℝ)
25	24	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ ℂ)
26		2cnd 12320	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ∈ ℂ)
27		picn 26602	. . . . . . . . 9 ⊢ π ∈ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ∈ ℂ)
29		2ne0 12348	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 0
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 2 ≠ 0)
31	3, 12	gt0ne0ii 11751	. . . . . . . . 9 ⊢ π ≠ 0
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → π ≠ 0)
33	25, 26, 28, 30, 32	divdiv1d 12023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34		dirkercncflem1.ymod0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
35		2rp 13022	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℝ+
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ+)
37		pirp 26607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ π ∈ ℝ+
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ+)
39	36, 38	rpmulcld 13077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ+)
40		mod0 13911	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ+) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
41	2, 39, 40	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
42	34, 41	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
43		peano2zm 12638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
44	42, 43	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
45	44	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ)
46	44	zred 12701	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
47	46	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℝ)
48	1, 5	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
49	48, 39	rerpdivcld 13092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
50	49	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) ∈ ℝ)
51	39	rpred 13061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
52	51	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ)
53	39	rpne0d 13066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
54	53	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ≠ 0)
55	24, 52, 54	redivcld 12044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℝ)
56	51	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
57	56, 53	dividd 11990	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((2 · π) / (2 · π)) = 1)
58	57	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 = ((2 · π) / (2 · π)))
59	58	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
60	2	recnd 11238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
61	60, 56, 56, 53	divsubdird 12031	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) − ((2 · π) / (2 · π))))
62	59, 61	eqtr4d 2801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) = ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)))
63	2, 51	resubcld 11643	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) ∈ ℝ)
64	27	mullidi 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 · π) = π
65	64	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ π = (1 · π)
66		1lt2 12414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 < 2
67		1re 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
68		2re 12316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℝ
69	67, 68, 3, 12	ltmul1ii 12144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1 < 2 ↔ (1 · π) < (2 · π))
70	66, 69	mpbi 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1 · π) < (2 · π)
71	65, 70	eqbrtri 5133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ π < (2 · π)
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → π < (2 · π))
73	4, 51, 2, 72	ltsub2dd 11828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < (𝑌 − π))
74	73, 1	breqtrrdi 5154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (2 · π)) < 𝐴)
75	63, 48, 39, 74	ltdiv1dd 13118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (2 · π)) / (2 · π)) < (𝐴 / (2 · π)))
76	62, 75	eqbrtrd 5134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
77	76	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝐴 / (2 · π)))
78	48	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ)
79	39	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (2 · π) ∈ ℝ+)
80	22	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵))
81	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 ∈ ℝ*)
82	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ*)
83		elioo2 13414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
84	81, 82, 83	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵)))
85	80, 84	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐵))
86	85	simp2d 1161	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐴 < 𝑦)
87	78, 24, 79, 86	ltdiv1dd 13118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐴 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
88	47, 50, 55, 77, 87	lttrd 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
89	88	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)))
90	23	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
91	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
92	39	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
93		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
94	90, 91, 92, 93	ltdiv1dd 13118	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝑌 / (2 · π)))
95	60, 56, 53	divcld 11992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
96	95	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℂ)
97		1cnd 11203	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℂ)
98	96, 97	npcand 11574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1) = (𝑌 / (2 · π)))
99	98	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
100	99	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) = (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
101	94, 100	breqtrd 5138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1))
102		btwnnz 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑌 / (2 · π)) − 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑌 / (2 · π)) − 1) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < (((𝑌 / (2 · π)) − 1) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
103	45, 89, 101, 102	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
104	42	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
105	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
106	24	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
107	79	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (2 · π) ∈ ℝ+)
108	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 ∈ ℝ)
109	2	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
110		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 ≤ 𝑌)
111		eldifsni 4759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑦 ≠ 𝑌)
112	111	necomd 3013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌}) → 𝑌 ≠ 𝑦)
113	112	ad2antlr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑌 ≠ 𝑦)
114	108, 109, 110, 113	leneltd 11365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ 𝑦 ≤ 𝑌) → 𝑦 < 𝑌)
115	114	stoic1a 1802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ 𝑦 ≤ 𝑌)
116	105, 106	ltnled 11358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 ≤ 𝑌))
117	115, 116	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → 𝑌 < 𝑦)
118	105, 106, 107, 117	ltdiv1dd 13118	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
119	8, 9	eqeltrid 2867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
120	119, 39	rerpdivcld 13092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
121	120	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) ∈ ℝ)
122	2, 39	rerpdivcld 13092	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
123	122	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
124		1red 11210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 1 ∈ ℝ)
125	123, 124	readdcld 11239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑌 / (2 · π)) + 1) ∈ ℝ)
126	119	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝐵 ∈ ℝ)
127	85	simp3d 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → 𝑦 < 𝐵)
128	24, 126, 79, 127	ltdiv1dd 13118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐵 / (2 · π)))
129	8	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π))
130	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
131	60, 130, 56, 53	divdird 12030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
132	4, 39	rerpdivcld 13092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) ∈ ℝ)
133		1red 11210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
134		2cn 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 2 ∈ ℂ
135	134, 27	mulcomi 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 · π) = (π · 2)
136	135	oveq2i 7423	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (π / (2 · π)) = (π / (π · 2))
137	27, 31	pm3.2i 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0)
138		2cnne0 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
139		divdiv1 11927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (π ∈ ℂ ∧ π ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((π / π) / 2) = (π / (π · 2)))
140	27, 137, 138, 139	mp3an 1490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((π / π) / 2) = (π / (π · 2))
141	27, 31	dividi 11949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (π / π) = 1
142	141	oveq1i 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((π / π) / 2) = (1 / 2)
143	136, 140, 142	3eqtr2i 2792	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (π / (2 · π)) = (1 / 2)
144		halflt1 12462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1 / 2) < 1
145	143, 144	eqbrtri 5133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (π / (2 · π)) < 1
146	145	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) < 1)
147	132, 133, 122, 146	ltadd2dd 11370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
148	131, 147	eqbrtrd 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
149	129, 148	eqbrtrid 5147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
150	149	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝐵 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
151	55, 121, 125, 128, 150	lttrd 11372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
152	151	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
153		btwnnz 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
154	104, 118, 152, 153	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) ∧ ¬ 𝑦 < 𝑌) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
155	103, 154	pm2.61dan 824	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
156	33, 155	eqneltrd 2883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
157	25	halfcld 12490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
158		sineq0 26670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
159	157, 158	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
160	156, 159	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
161	160	neqned 2965	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
162	33	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) = ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
163	42	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
164	1	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝑌 − π))
165	164	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + π) = ((𝑌 − π) + π))
166	60, 130	npcand 11574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − π) + π) = 𝑌)
167	165, 166	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐴 + π))
168	167	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 + π) / (2 · π)))
169	48	recnd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
170	169, 130, 56, 53	divdird 12030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + π) / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))))
171	130	mulridd 11227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (π · 1) = π)
172	171	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π = (π · 1))
173		2cnd 12320	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
174	173, 130	mulcomd 11231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (2 · π) = (π · 2))
175	172, 174	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) = ((π · 1) / (π · 2)))
176		1cnd 11203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
177	29	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
178	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
179	176, 173, 130, 177, 178	divcan5d 12018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((π · 1) / (π · 2)) = (1 / 2))
180	175, 179	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (π / (2 · π)) = (1 / 2))
181	180	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
182	168, 170, 181	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
183	182	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) = ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)))
184	124	rehalfcld 12492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (1 / 2) ∈ ℝ)
185	50, 55, 184, 87	ltadd1dd 11826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐴 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
186	183, 185	eqbrtrd 5134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)))
187	55, 121, 184, 128	ltadd1dd 11826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)))
188	129	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐵 / (2 · π)) = ((𝑌 + π) / (2 · π)))
189	188	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)))
190	180	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + (π / (2 · π))) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
191	131, 190	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 + π) / (2 · π)) = ((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)))
192	191	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 + π) / (2 · π)) + (1 / 2)) = (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)))
193	176	halfcld 12490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
194	95, 193, 193	addassd 11232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))))
195	176	2halvesd 12491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
196	195	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) + ((1 / 2) + (1 / 2))) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
197	194, 196	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 / (2 · π)) + (1 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
198	189, 192, 197	3eqtrd 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
199	198	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝐵 / (2 · π)) + (1 / 2)) = ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
200	187, 199	breqtrd 5138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1))
201		btwnnz 12673	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∧ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) < ((𝑌 / (2 · π)) + 1)) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
202	163, 186, 200, 201	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ ((𝑦 / (2 · π)) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
203	162, 202	eqneltrd 2883	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ)
204		coseq0 46561	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
205	157, 204	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((cos‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ (((𝑦 / 2) / π) + (1 / 2)) ∈ ℤ))
206	203, 205	mtbird 328	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ¬ (cos‘(𝑦 / 2)) = 0)
207	206	neqned 2965	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
208	161, 207	jca 520	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})) → ((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
209	208	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0))
210	21, 209	jca 520	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ ((𝐴(,)𝐵) ∖ {𝑌})((sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0 ∧ (cos‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079   ∖ cdif 3903  {csn 4590   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   · cmul 11106  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442   / cdiv 11872  2c2 12296  ℤcz 12592  ℝ⁺crp 13017  (,)cioo 13373   mod cmo 13904  sincsin 16118  cosccos 16119  πcpi 16121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007

This theorem is referenced by:  dirkercncflem3  46802