Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem8 38698
Description: Lemma for paddass 38709. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem8
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38234 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl21 1252 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simpl22 1253 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 paddasslem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 paddasslem.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
75, 6paddssat 38685 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
81, 3, 4, 7syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
9 simpl23 1254 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
10 simpr11 1258 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
11 simpr12 1259 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
12 simpl3r 1230 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
13 simpr2 1196 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
14 paddasslem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 paddasslem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
1614, 15, 5, 6elpaddri 38673 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) β†’ 𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
172, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 16syl322anc 1399 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
18 simpr13 1260 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
19 simpl3l 1229 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
20 simpr3 1197 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))
2114, 15, 5, 6elpaddri 38673 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
222, 8, 9, 17, 18, 19, 20, 21syl322anc 1399 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  +𝑃cpadd 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-lub 18299  df-join 18301  df-lat 18385  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-padd 38667
This theorem is referenced by:  paddasslem9  38699
  Copyright terms: Public domain W3C validator