Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem8 39355
Description: Lemma for paddass 39366. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem8
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38891 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl21 1248 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simpl22 1249 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 paddasslem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 paddasslem.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
75, 6paddssat 39342 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
81, 3, 4, 7syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
9 simpl23 1250 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
10 simpr11 1254 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
11 simpr12 1255 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
12 simpl3r 1226 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
13 simpr2 1192 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
14 paddasslem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 paddasslem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
1614, 15, 5, 6elpaddri 39330 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) β†’ 𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
172, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 16syl322anc 1395 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
18 simpr13 1256 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
19 simpl3l 1225 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
20 simpr3 1193 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))
2114, 15, 5, 6elpaddri 39330 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
222, 8, 9, 17, 18, 19, 20, 21syl322anc 1395 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  lecple 17237  joincjn 18300  Latclat 18420  Atomscatm 38790  HLchlt 38877  +𝑃cpadd 39323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-lub 18335  df-join 18337  df-lat 18421  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878  df-padd 39324
This theorem is referenced by:  paddasslem9  39356
  Copyright terms: Public domain W3C validator