Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem paddasslem8 36830
Description: Lemma for paddass 36841. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l = (le‘𝐾)
paddasslem.j = (join‘𝐾)
paddasslem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddasslem.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
paddasslem8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))

Proof of Theorem paddasslem8
StepHypRef Expression
1 simpl1 1185 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 36367 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl21 1245 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑋𝐴)
4 simpl22 1246 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑌𝐴)
5 paddasslem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6 paddasslem.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
75, 6paddssat 36817 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
81, 3, 4, 7syl3anc 1365 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)
9 simpl23 1247 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑍𝐴)
10 simpr11 1251 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑥𝑋)
11 simpr12 1252 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑦𝑌)
12 simpl3r 1223 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑠𝐴)
13 simpr2 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑠 (𝑥 𝑦))
14 paddasslem.l . . . 4 = (le‘𝐾)
15 paddasslem.j . . . 4 = (join‘𝐾)
1614, 15, 5, 6elpaddri 36805 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑌) ∧ (𝑠𝐴𝑠 (𝑥 𝑦))) → 𝑠 ∈ (𝑋 + 𝑌))
172, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 16syl322anc 1392 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑠 ∈ (𝑋 + 𝑌))
18 simpr13 1253 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑧𝑍)
19 simpl3l 1222 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑝𝐴)
20 simpr3 1190 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑝 (𝑠 𝑧))
2114, 15, 5, 6elpaddri 36805 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑠 ∈ (𝑋 + 𝑌) ∧ 𝑧𝑍) ∧ (𝑝𝐴𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
222, 8, 9, 17, 18, 19, 20, 21syl322anc 1392 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐴𝑌𝐴𝑍𝐴) ∧ (𝑝𝐴𝑠𝐴)) ∧ ((𝑥𝑋𝑦𝑌𝑧𝑍) ∧ 𝑠 (𝑥 𝑦) ∧ 𝑝 (𝑠 𝑧))) → 𝑝 ∈ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3939   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  lecple 16564  joincjn 17546  Latclat 17647  Atomscatm 36266  HLchlt 36353  +𝑃cpadd 36798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-lub 17576  df-join 17578  df-lat 17648  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-padd 36799
This theorem is referenced by:  paddasslem9  36831
  Copyright terms: Public domain W3C validator