Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem paddasslem8 39224
Description: Lemma for paddass 39235. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
paddasslem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
paddasslem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
paddasslem.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
paddasslem8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Proof of Theorem paddasslem8
StepHypRef Expression
1 simpl1 1189 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38760 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl21 1249 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑋 βŠ† 𝐴)
4 simpl22 1250 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ π‘Œ βŠ† 𝐴)
5 paddasslem.a . . . 4 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
6 paddasslem.p . . . 4 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
75, 6paddssat 39211 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
81, 3, 4, 7syl3anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴)
9 simpl23 1251 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑍 βŠ† 𝐴)
10 simpr11 1255 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
11 simpr12 1256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘Œ)
12 simpl3r 1227 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
13 simpr2 1193 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))
14 paddasslem.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
15 paddasslem.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
1614, 15, 5, 6elpaddri 39199 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦))) β†’ 𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
172, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 16syl322anc 1396 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ))
18 simpr13 1257 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑍)
19 simpl3l 1226 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
20 simpr3 1194 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))
2114, 15, 5, 6elpaddri 39199 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 + π‘Œ) βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑠 ∈ (𝑋 + π‘Œ) ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
222, 8, 9, 17, 18, 19, 20, 21syl322anc 1396 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 βŠ† 𝐴 ∧ π‘Œ βŠ† 𝐴 ∧ 𝑍 βŠ† 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑠 ∈ 𝐴)) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ 𝑦 ∈ π‘Œ ∧ 𝑧 ∈ 𝑍) ∧ 𝑠 ≀ (π‘₯ ∨ 𝑦) ∧ 𝑝 ≀ (𝑠 ∨ 𝑧))) β†’ 𝑝 ∈ ((𝑋 + π‘Œ) + 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3944   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  lecple 17225  joincjn 18288  Latclat 18408  Atomscatm 38659  HLchlt 38746  +𝑃cpadd 39192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-lub 18323  df-join 18325  df-lat 18409  df-ats 38663  df-atl 38694  df-cvlat 38718  df-hlat 38747  df-padd 39193
This theorem is referenced by:  paddasslem9  39225
  Copyright terms: Public domain W3C validator