Theorem pexmidlem2N 40470

Description: Lemma for pexmidN 40468. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem pexmidlem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1198	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39863	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1199	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		pexmidlem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidlem.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	4, 5	polssatN 40407	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7	1, 3, 6	syl2anc 590	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
8		simpr1 1201	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
9		simpr2 1202	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
10		simpl3 1200	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
11		simpr3 1203	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))
12		pexmidlem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		pexmidlem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		pexmidlem.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15	12, 13, 4, 14	elpaddri 40301	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
16	2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	syl322anc 1406	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  {csn 4562   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  lecple 17225  joincjn 18275  Latclat 18395  Atomscatm 39762  HLchlt 39849  +_𝑃cpadd 40294  ⊥_𝑃cpolN 40401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-proset 18258  df-poset 18277  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p1 18388  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39675  df-ol 39677  df-oml 39678  df-ats 39766  df-atl 39797  df-cvlat 39821  df-hlat 39850  df-psubsp 40002  df-pmap 40003  df-padd 40295  df-polarityN 40402

This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  40471