Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem2N 37215
Description: Lemma for pexmidN 37213. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))

Proof of Theorem pexmidlem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 36608 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1189 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑋𝐴)
4 pexmidlem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidlem.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polssatN 37152 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
71, 3, 6syl2anc 587 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
8 simpr1 1191 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑟𝑋)
9 simpr2 1192 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑞 ∈ ( 𝑋))
10 simpl3 1190 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝𝐴)
11 simpr3 1193 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 (𝑟 𝑞))
12 pexmidlem.l . . 3 = (le‘𝐾)
13 pexmidlem.j . . 3 = (join‘𝐾)
14 pexmidlem.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
1512, 13, 4, 14elpaddri 37046 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋)) ∧ (𝑝𝐴𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
162, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15syl322anc 1395 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  {csn 4550   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  lecple 16572  joincjn 17554  Latclat 17655  Atomscatm 36507  HLchlt 36594  +𝑃cpadd 37039  𝑃cpolN 37146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-riotaBAD 36197
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-id 5447  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-undef 7935  df-proset 17538  df-poset 17556  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36420  df-ol 36422  df-oml 36423  df-ats 36511  df-atl 36542  df-cvlat 36566  df-hlat 36595  df-psubsp 36747  df-pmap 36748  df-padd 37040  df-polarityN 37147
This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  37216
  Copyright terms: Public domain W3C validator