Theorem pexmidlem2N 37985

Description: Lemma for pexmidN 37983. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pexmidlem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
pexmidlem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pexmidlem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
pexmidlem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
pexmidlem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})

Assertion

Ref	Expression
pexmidlem2N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Proof of Theorem pexmidlem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 37378	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpl2 1191	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		pexmidlem.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5		pexmidlem.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
6	4, 5	polssatN 37922	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7	1, 3, 6	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴)
8		simpr1 1193	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑟 ∈ 𝑋)
9		simpr2 1194	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋))
10		simpl3 1192	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ 𝐴)
11		simpr3 1195	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))
12		pexmidlem.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
13		pexmidlem.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
14		pexmidlem.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
15	12, 13, 4, 14	elpaddri 37816	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ ( ⊥ ‘𝑋) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋)) ∧ (𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))
16	2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	syl322anc 1397	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ (𝑟 ∈ 𝑋 ∧ 𝑞 ∈ ( ⊥ ‘𝑋) ∧ 𝑝 ≤ (𝑟 ∨ 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( ⊥ ‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  {csn 4561   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  lecple 16969  joincjn 18029  Latclat 18149  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  +_𝑃cpadd 37809  ⊥_𝑃cpolN 37916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-riotaBAD 36967

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-undef 8089  df-proset 18013  df-poset 18031  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-ats 37281  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365  df-psubsp 37517  df-pmap 37518  df-padd 37810  df-polarityN 37917

This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  37986