Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pexmidlem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pexmidlem2N 38423
Description: Lemma for pexmidN 38421. (Contributed by NM, 2-Feb-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pexmidlem.l = (le‘𝐾)
pexmidlem.j = (join‘𝐾)
pexmidlem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pexmidlem.p + = (+𝑃𝐾)
pexmidlem.o = (⊥𝑃𝐾)
pexmidlem.m 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
Assertion
Ref Expression
pexmidlem2N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))

Proof of Theorem pexmidlem2N
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 37815 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simpl2 1192 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑋𝐴)
4 pexmidlem.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 pexmidlem.o . . . 4 = (⊥𝑃𝐾)
64, 5polssatN 38360 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
71, 3, 6syl2anc 584 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → ( 𝑋) ⊆ 𝐴)
8 simpr1 1194 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑟𝑋)
9 simpr2 1195 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑞 ∈ ( 𝑋))
10 simpl3 1193 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝𝐴)
11 simpr3 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 (𝑟 𝑞))
12 pexmidlem.l . . 3 = (le‘𝐾)
13 pexmidlem.j . . 3 = (join‘𝐾)
14 pexmidlem.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
1512, 13, 4, 14elpaddri 38254 . 2 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐴 ∧ ( 𝑋) ⊆ 𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋)) ∧ (𝑝𝐴𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
162, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15syl322anc 1398 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐴𝑝𝐴) ∧ (𝑟𝑋𝑞 ∈ ( 𝑋) ∧ 𝑝 (𝑟 𝑞))) → 𝑝 ∈ (𝑋 + ( 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104  cfv 6494  (class class class)co 7354  lecple 17137  joincjn 18197  Latclat 18317  Atomscatm 37714  HLchlt 37801  +𝑃cpadd 38247  𝑃cpolN 38354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-proset 18181  df-poset 18199  df-lub 18232  df-glb 18233  df-join 18234  df-meet 18235  df-p1 18312  df-lat 18318  df-clat 18385  df-oposet 37627  df-ol 37629  df-oml 37630  df-ats 37718  df-atl 37749  df-cvlat 37773  df-hlat 37802  df-psubsp 37955  df-pmap 37956  df-padd 38248  df-polarityN 38355
This theorem is referenced by:  pexmidlem3N  38424
  Copyright terms: Public domain W3C validator