Theorem hash2pr 14422

Description: A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hash2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		hashvnfin 14313	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
3	1, 2	mpan2 697	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
4	3	imp 407	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
5		hash2 14358	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘2o) = 2
6	5	eqcomi 2748	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (♯‘2o)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
8	7	eqeq2d 2750	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘2o)))
9		2onn 8568	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnfi 9092	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
12		hashen 14300	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
13	11, 12	mpan2 697	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
14	13	biimpd 230	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) → 𝑉 ≈ 2o))
15	8, 14	sylbid 241	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ≈ 2o))
16	15	adantld 491	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o))
17	4, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o)
18		en2 9180	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  {cpr 4557   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  ωcom 7806  2_oc2o 8389   ≈ cen 8880  Fincfn 8883  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  hash2prde  14423  hashle2pr  14430  hash1to3  14445