MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2pr 14426
Description: A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2pr ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hash2pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 12485 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
2 hashvnfin 14316 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
31, 2mpan2 689 . . . 4 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
43imp 407 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
5 hash2 14361 . . . . . . . 8 (♯‘2o) = 2
65eqcomi 2741 . . . . . . 7 2 = (♯‘2o)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
87eqeq2d 2743 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘2o)))
9 2onn 8637 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
10 nnfi 9163 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
12 hashen 14303 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
1311, 12mpan2 689 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
1413biimpd 228 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) → 𝑉 ≈ 2o))
158, 14sylbid 239 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ≈ 2o))
1615adantld 491 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o))
174, 16mpcom 38 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o)
18 en2 9277 . 2 (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
1917, 18syl 17 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  {cpr 4629   class class class wbr 5147  cfv 6540  ωcom 7851  2oc2o 8456  cen 8932  Fincfn 8935  2c2 12263  0cn0 12468  chash 14286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287
This theorem is referenced by:  hash2prde  14427  hashle2pr  14434  hash1to3  14448
  Copyright terms: Public domain W3C validator