Theorem hash2pr 14376

Description: A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
hash2pr	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})

Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hash2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn0 12398	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
2		hashvnfin 14267	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ 𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
4	3	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
5		hash2 14312	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘2o) = 2
6	5	eqcomi 2740	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (♯‘2o)
7	6	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
8	7	eqeq2d 2742	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘2o)))
9		2onn 8557	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
10		nnfi 9077	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
12		hashen 14254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
13	11, 12	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
14	13	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) → 𝑉 ≈ 2o))
15	8, 14	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ≈ 2o))
16	15	adantld 490	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o))
17	4, 16	mpcom 38	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o)
18		en2 9164	. 2 ⊢ (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
19	17, 18	syl 17	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎∃𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  {cpr 4578   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  ωcom 7796  2_oc2o 8379   ≈ cen 8866  Fincfn 8869  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ♯chash 14237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-hash 14238

This theorem is referenced by:  hash2prde  14377  hashle2pr  14384  hash1to3  14399