MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hash2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hash2pr 14375
Description: A set of size two is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
hash2pr ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
Distinct variable group:   𝑉,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝑊(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem hash2pr
StepHypRef Expression
1 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
2 hashvnfin 14267 . . . . 5 ((𝑉𝑊 ∧ 2 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
31, 2mpan2 690 . . . 4 (𝑉𝑊 → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ∈ Fin))
43imp 408 . . 3 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ∈ Fin)
5 hash2 14312 . . . . . . . 8 (♯‘2o) = 2
65eqcomi 2746 . . . . . . 7 2 = (♯‘2o)
76a1i 11 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → 2 = (♯‘2o))
87eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 ↔ (♯‘𝑉) = (♯‘2o)))
9 2onn 8593 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
10 nnfi 9118 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
12 hashen 14254 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
1311, 12mpan2 690 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) ↔ 𝑉 ≈ 2o))
1413biimpd 228 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = (♯‘2o) → 𝑉 ≈ 2o))
158, 14sylbid 239 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) = 2 → 𝑉 ≈ 2o))
1615adantld 492 . . 3 (𝑉 ∈ Fin → ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o))
174, 16mpcom 38 . 2 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → 𝑉 ≈ 2o)
18 en2 9232 . 2 (𝑉 ≈ 2o → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
1917, 18syl 17 1 ((𝑉𝑊 ∧ (♯‘𝑉) = 2) → ∃𝑎𝑏 𝑉 = {𝑎, 𝑏})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cpr 4593   class class class wbr 5110  cfv 6501  ωcom 7807  2oc2o 8411  cen 8887  Fincfn 8890  2c2 12215  0cn0 12420  chash 14237
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-hash 14238
This theorem is referenced by:  hash2prde  14376  hashle2pr  14383  hash1to3  14397
  Copyright terms: Public domain W3C validator