Theorem enmappwid 43982

Description: The set of all mappings from the powerset to the powerset is equinumerous to the set of all mappings from the set to the powerset of the powerset. (Contributed by RP, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
enmappwid	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ↑m 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 ↑m 𝐴))

Proof of Theorem enmappwid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 5335	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		enmappw 43981	. 2 ⊢ ((𝒫 𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝒫 𝐴 ↑m 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 ↑m 𝐴))
3	1, 2	mpancom 688	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ↑m 𝒫 𝐴) ≈ (𝒫 𝒫 𝐴 ↑m 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5109  (class class class)co 7389   ↑_m cmap 8801   ≈ cen 8917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921

This theorem is referenced by: (None)