Theorem enmappw 44587

Description: The set of all mappings from one set to the powerset of the other is equinumerous to the set of all mappings from the second set to the powerset of the first. (Contributed by RP, 27-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
enmappw	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝒫 𝐵 ↑m 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))

Proof of Theorem enmappw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrelmap 44585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝒫 𝐵 ↑m 𝐴))
2	1	ensymd 8990	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝒫 𝐵 ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵))
3		enrelmapr 44586	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))
4		entr 8991	. 2 ⊢ (((𝒫 𝐵 ↑m 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ∧ 𝒫 (𝐴 × 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵)) → (𝒫 𝐵 ↑m 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝒫 𝐵 ↑m 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 ↑m 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5105   × cxp 5650  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812   ≈ cen 8928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-en 8932

This theorem is referenced by:  enmappwid  44588