Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  exrecfnpw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem exrecfnpw 37324
Description: For any base set, a set which contains the powerset of all of its own elements exists. (Contributed by ML, 30-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
exrecfnpw (𝐴𝑉 → ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem exrecfnpw
StepHypRef Expression
1 vpwex 5379 . . 3 𝒫 𝑦 ∈ V
21ax-gen 1790 . 2 𝑦𝒫 𝑦 ∈ V
3 exrecfn 37323 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑦𝒫 𝑦 ∈ V) → ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥))
42, 3mpan2 690 1 (𝐴𝑉 → ∃𝑥(𝐴𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 𝒫 𝑦𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wal 1533  wex 1774  wcel 2104  wral 3057  Vcvv 3477  wss 3963  𝒫 cpw 4605
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7748  ax-inf2 9673
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4916  df-iun 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6318  df-ord 6384  df-on 6385  df-lim 6386  df-suc 6387  df-iota 6511  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-ov 7429  df-om 7882  df-2nd 8009  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8405  df-rdg 8444
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator