MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1dmvrnfibi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1dmvrnfibi 9382
Description: A one-to-one function whose domain is a set is finite if and only if its range is finite. See also f1vrnfibi 9383. (Contributed by AV, 10-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
f1dmvrnfibi ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))

Proof of Theorem f1dmvrnfibi
StepHypRef Expression
1 rnfi 9381 . 2 (𝐹 ∈ Fin → ran 𝐹 ∈ Fin)
2 simpr 484 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → ran 𝐹 ∈ Fin)
3 f1dm 6807 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 f1f1orn 6858 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
5 eleq1 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐴𝑉 ↔ dom 𝐹𝑉))
6 f1oeq2 6836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = dom 𝐹 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
75, 6anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = dom 𝐹 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
87eqcoms 2744 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) ↔ (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
98biimpd 229 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 = 𝐴 → ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
109expcomd 416 . . . . . . . . 9 (dom 𝐹 = 𝐴 → (𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))))
113, 4, 10sylc 65 . . . . . . . 8 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐴𝑉 → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹)))
1211impcom 407 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
1312adantr 480 . . . . . 6 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹))
14 f1oeng 9012 . . . . . 6 ((dom 𝐹𝑉𝐹:dom 𝐹1-1-onto→ran 𝐹) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
1513, 14syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ≈ ran 𝐹)
16 enfii 9227 . . . . 5 ((ran 𝐹 ∈ Fin ∧ dom 𝐹 ≈ ran 𝐹) → dom 𝐹 ∈ Fin)
172, 15, 16syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → dom 𝐹 ∈ Fin)
18 f1fun 6805 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → Fun 𝐹)
1918ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → Fun 𝐹)
20 fundmfibi 9377 . . . . 5 (Fun 𝐹 → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
2119, 20syl 17 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → (𝐹 ∈ Fin ↔ dom 𝐹 ∈ Fin))
2217, 21mpbird 257 . . 3 (((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ ran 𝐹 ∈ Fin) → 𝐹 ∈ Fin)
2322ex 412 . 2 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹 ∈ Fin → 𝐹 ∈ Fin))
241, 23impbid2 226 1 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ∈ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107   class class class wbr 5142  dom cdm 5684  ran crn 5685  Fun wfun 6554  1-1wf1 6557  1-1-ontowf1o 6559  cen 8983  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-1o 8507  df-en 8987  df-dom 8988  df-fin 8990
This theorem is referenced by:  f1vrnfibi  9383  fmtnoinf  47528
  Copyright terms: Public domain W3C validator