Theorem sge0rnn0 46967

Description: The range used in the definition of Σ^{^} is not empty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge0rnn0	⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0rnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5324	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑋
2		0fi 9035	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	elini 4160	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
4		sum0 15768	. . . . 5 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) = 0
5	4	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)
6		sumeq1 15736	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
7	6	rspceeqv 3613	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
8	3, 5, 7	mp2an 704	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)
9		0re 11206	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
11	10	elrnmpt 5946	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
13	8, 12	mpbir 234	. 2 ⊢ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
14		ne0i 4302	. 2 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
15	13, 14	ax-mp 5	1 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912  ∅c0 4294  𝒫 cpw 4564   ↦ cmpt 5193  ran crn 5660  ‘cfv 6533  Fincfn 8939  ℝcr 11095  0cc0 11096  Σcsu 15733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-sum 15734

This theorem is referenced by:  sge0supre  46988  sge0ltfirp  46999  sge0resplit  47005