Theorem sge0rnn0 46490

Description: The range used in the definition of Σ^{^} is not empty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge0rnn0	⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0rnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5296	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑋
2		0fi 8971	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	elini 4148	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
4		sum0 15630	. . . . 5 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) = 0
5	4	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)
6		sumeq1 15598	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
7	6	rspceeqv 3596	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
8	3, 5, 7	mp2an 692	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)
9		0re 11121	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
11	10	elrnmpt 5902	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
13	8, 12	mpbir 231	. 2 ⊢ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
14		ne0i 4290	. 2 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
15	13, 14	ax-mp 5	1 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   ∩ cin 3897  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4549   ↦ cmpt 5174  ran crn 5620  ‘cfv 6486  Fincfn 8875  ℝcr 11012  0cc0 11013  Σcsu 15595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9538  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-pre-sup 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9333  df-oi 9403  df-card 9839  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-rp 12893  df-fz 13410  df-fzo 13557  df-seq 13911  df-exp 13971  df-hash 14240  df-cj 15008  df-re 15009  df-im 15010  df-sqrt 15144  df-abs 15145  df-clim 15397  df-sum 15596

This theorem is referenced by:  sge0supre  46511  sge0ltfirp  46522  sge0resplit  46528