Theorem sge0rnn0 47651

Description: The range used in the definition of Σ^{^} is not empty. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
sge0rnn0	⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝑋   𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦)   𝑋(𝑦)

Proof of Theorem sge0rnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elpw 5324	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 𝑋
2		0fi 9108	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
3	1, 2	elini 4099	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)
4		sum0 15931	. . . . 5 ⊢ Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦) = 0
5	4	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)
6		sumeq1 15900	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦) = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦))
7	6	rspceeqv 3602	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ∧ 0 = Σ𝑦 ∈ ∅ (𝐹‘𝑦)) → ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
8	3, 5, 7	mp2an 705	. . 3 ⊢ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)
9		0re 11349	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
10		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
11	10	elrnmpt 5952	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin)0 = Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
13	8, 12	mpbir 234	. 2 ⊢ 0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦))
14		ne0i 4290	. 2 ⊢ (0 ∈ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) → ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅)
15	13, 14	ax-mp 5	1 ⊢ ran (𝑥 ∈ (𝒫 𝑋 ∩ Fin) ↦ Σ𝑦 ∈ 𝑥 (𝐹‘𝑦)) ≠ ∅

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ∩ cin 4092  ∅c0 4281  𝒫 cpw 4560   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659  ‘cfv 6566  Fincfn 9011  ℝcr 11238  0cc0 11239  Σcsu 15897

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-clim 15699  df-sum 15898

This theorem is used by:  sge0supre  47672  sge0ltfirp  47683  sge0resplit  47689