Theorem fiminre 12213

Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 12210. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11339	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		soss 5617	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
3	1, 2	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4		fiming 9536	. . 3 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
5	3, 4	syl3an1 1162	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
6		ssel2 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		ssel2 3990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	8	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	7, 9	leloed 11402	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
11		orcom 870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
13		neor 3032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)))
15	10, 12, 14	3bitr2d 307	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)))
16	15	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
17	16	ralimdva 3165	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
18	17	reximdva 3166	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
19	18	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
20	5, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∀wral 3059  ∃wrex 3068   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339   class class class wbr 5148   Or wor 5596  Fincfn 8984  ℝcr 11152   < clt 11293   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by:  fiminre2  12214  prmgaplem4  17088  aks4d1p5  42062  aks4d1p8  42069  hoidmvlelem2  46552