MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiminre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fiminre 12160
Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 12157. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fiminre ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre
StepHypRef Expression
1 ltso 11293 . . . 4 < Or ℝ
2 soss 5608 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
31, 2mpi 20 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4 fiming 9492 . . 3 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦))
53, 4syl3an1 1163 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦))
6 ssel2 3977 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
76adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 ssel2 3977 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
98adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
107, 9leloed 11356 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
11 orcom 868 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦))
1211a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦𝑥 = 𝑦)))
13 neor 3034 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦))
1413a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥 = 𝑦𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦)))
1510, 12, 143bitr2d 306 . . . . . 6 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥𝑦 ↔ (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦)))
1615biimprd 247 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑥𝑦𝑥 < 𝑦) → 𝑥𝑦))
1716ralimdva 3167 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦) → ∀𝑦𝐴 𝑥𝑦))
1817reximdva 3168 . . 3 (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
19183ad2ant1 1133 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥𝑦𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦))
205, 19mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 𝑥𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087  wcel 2106  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148   Or wor 5587  Fincfn 8938  cr 11108   < clt 11247  cle 11248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7855  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253
This theorem is referenced by:  fiminre2  12161  prmgaplem4  16986  aks4d1p5  40940  aks4d1p8  40947  hoidmvlelem2  45302
  Copyright terms: Public domain W3C validator