Theorem fiminre 12103

Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 12100. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11226	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		soss 5559	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
3	1, 2	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4		fiming 9413	. . 3 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
5	3, 4	syl3an1 1164	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
6		ssel2 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		ssel2 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	8	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	7, 9	leloed 11289	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
11		orcom 871	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
13		neor 3024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)))
15	10, 12, 14	3bitr2d 307	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)))
16	15	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
17	16	ralimdva 3149	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
18	17	reximdva 3150	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
19	18	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
20	5, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   Or wor 5538  Fincfn 8893  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  fiminre2  12104  prmgaplem4  17025  aks4d1p5  42519  aks4d1p8  42526  hoidmvlelem2  47024