Theorem fiminre 12194

Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 12191. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11320	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		soss 5586	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
3	1, 2	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4		fiming 9517	. . 3 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
5	3, 4	syl3an1 1163	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
6		ssel2 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		ssel2 3958	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	8	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	7, 9	leloed 11383	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
11		orcom 870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
13		neor 3025	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)))
15	10, 12, 14	3bitr2d 307	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)))
16	15	biimprd 248	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
17	16	ralimdva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
18	17	reximdva 3154	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
19	18	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
20	5, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3061   ⊆ wss 3931  ∅c0 4313   class class class wbr 5124   Or wor 5565  Fincfn 8964  ℝcr 11133   < clt 11274   ≤ cle 11275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7867  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280

This theorem is referenced by:  fiminre2  12195  prmgaplem4  17079  aks4d1p5  42098  aks4d1p8  42105  hoidmvlelem2  46592