Theorem fiminre 12098

Description: A nonempty finite set of real numbers has a minimum. Analogous to fimaxre 12095. (Contributed by AV, 9-Aug-2020.) (Proof shortened by Steven Nguyen, 3-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fiminre	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Proof of Theorem fiminre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11221	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		soss 5549	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
3	1, 2	mpi 20	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → < Or 𝐴)
4		fiming 9407	. . 3 ⊢ (( < Or 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
5	3, 4	syl3an1 1170	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
6		ssel2 3912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		ssel2 3912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	8	adantlr 722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
10	7, 9	leloed 11284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
11		orcom 877	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 < 𝑦 ∨ 𝑥 = 𝑦)))
13		neor 3028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦))
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑥 < 𝑦) ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)))
15	10, 12, 14	3bitr2d 309	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦)))
16	15	biimprd 250	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → 𝑥 ≤ 𝑦))
17	16	ralimdva 3153	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
18	17	reximdva 3154	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
19	18	3ad2ant1 1140	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≠ 𝑦 → 𝑥 < 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦))
20	5, 19	mpd 15	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑥 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885  ∅c0 4264   class class class wbr 5075   Or wor 5528  Fincfn 8887  ℝcr 11032   < clt 11174   ≤ cle 11175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-om 7811  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180

This theorem is referenced by:  fiminre2  12099  prmgaplem4  17020  aks4d1p5  42580  aks4d1p8  42587  hoidmvlelem2  47053