Theorem fineqvomon 35652

Description: If all sets are finite, then the class of all natural numbers equals the proper class of all ordinal numbers. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvomon	⊢ (Fin = V → ω = On)

Proof of Theorem fineqvomon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 9215	. 2 ⊢ ω = (On ∩ Fin)
2		ineq2 4163	. . 3 ⊢ (Fin = V → (On ∩ Fin) = (On ∩ V))
3		inv1 4351	. . 3 ⊢ (On ∩ V) = On
4	2, 3	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (Fin = V → (On ∩ Fin) = On)
5	1, 4	eqtrid 2809	1 ⊢ (Fin = V → ω = On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  Vcvv 3453   ∩ cin 3901  Oncon0 6361  ωcom 7866  Fincfn 8956

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7867  df-1o 8459  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960

This theorem is used by:  fineqvomonb  35653  fineqvr1ombregs  35672