Theorem fineqvr1ombregs 35470

Description: All sets are finite iff all sets are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvr1ombregs	⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Proof of Theorem fineqvr1ombregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvomon 35450	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → ω = On)
2	1	imaeq2d 6060	. . . 4 ⊢ (Fin = V → (𝑅1 “ ω) = (𝑅1 “ On))
3	2	unieqd 4886	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = ∪ (𝑅1 “ On))
4		unir1regs 35467	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eqtrdi 2820	. 2 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = V)
6		r1omfi 35437	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
7		sseq1 3970	. . . 4 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → (∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin ↔ V ⊆ Fin))
8	6, 7	mpbii 236	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → V ⊆ Fin)
9		vss 4409	. . 3 ⊢ (V ⊆ Fin ↔ Fin = V)
10	8, 9	sylib 221	. 2 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → Fin = V)
11	5, 10	impbii 212	1 ⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1567  Vcvv 3463   ⊆ wss 3913  ∪ cuni 4873   “ cima 5662  Oncon0 6357  ωcom 7858  Fincfn 8939  𝑅₁cr1 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-regs 35458

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-r1 9732

This theorem is referenced by: (None)