Theorem fineqvr1ombregs 35319

Description: All sets are finite iff all sets are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvr1ombregs	⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Proof of Theorem fineqvr1ombregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvomon 35299	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → ω = On)
2	1	imaeq2d 6012	. . . 4 ⊢ (Fin = V → (𝑅1 “ ω) = (𝑅1 “ On))
3	2	unieqd 4851	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = ∪ (𝑅1 “ On))
4		unir1regs 35316	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eqtrdi 2790	. 2 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = V)
6		r1omfi 35286	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
7		sseq1 3940	. . . 4 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → (∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin ↔ V ⊆ Fin))
8	6, 7	mpbii 234	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → V ⊆ Fin)
9		vss 4374	. . 3 ⊢ (V ⊆ Fin ↔ Fin = V)
10	8, 9	sylib 219	. 2 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → Fin = V)
11	5, 10	impbii 210	1 ⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Syntax hints:   ↔ wb 207   = wceq 1547  Vcvv 3431   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4838   “ cima 5621  Oncon0 6310  ωcom 7806  Fincfn 8883  𝑅₁cr1 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-regs 35307

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-r1 9679

This theorem is referenced by: (None)