Theorem fineqvr1ombregs 35156

Description: All sets are finite iff all sets are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvr1ombregs	⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Proof of Theorem fineqvr1ombregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvomon 35155	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → ω = On)
2	1	imaeq2d 6013	. . . 4 ⊢ (Fin = V → (𝑅1 “ ω) = (𝑅1 “ On))
3	2	unieqd 4871	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = ∪ (𝑅1 “ On))
4		unir1regs 35152	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = V)
6		r1omfi 35137	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
7		sseq1 3956	. . . 4 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → (∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin ↔ V ⊆ Fin))
8	6, 7	mpbii 233	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → V ⊆ Fin)
9		vss 4395	. . 3 ⊢ (V ⊆ Fin ↔ Fin = V)
10	8, 9	sylib 218	. 2 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → Fin = V)
11	5, 10	impbii 209	1 ⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  ∪ cuni 4858   “ cima 5622  Oncon0 6311  ωcom 7802  Fincfn 8875  𝑅₁cr1 9662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-regs 35145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-r1 9664

This theorem is referenced by: (None)