Theorem fineqvr1ombregs 35584

Description: All sets are finite iff all sets are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvr1ombregs	⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Proof of Theorem fineqvr1ombregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvomon 35564	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → ω = On)
2	1	imaeq2d 6064	. . . 4 ⊢ (Fin = V → (𝑅1 “ ω) = (𝑅1 “ On))
3	2	unieqd 4887	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = ∪ (𝑅1 “ On))
4		unir1regs 35581	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = V)
6		r1omfi 35533	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
7		sseq1 3963	. . . 4 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → (∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin ↔ V ⊆ Fin))
8	6, 7	mpbii 236	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → V ⊆ Fin)
9		vss 4365	. . 3 ⊢ (V ⊆ Fin ↔ Fin = V)
10	8, 9	sylib 221	. 2 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → Fin = V)
11	5, 10	impbii 212	1 ⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1570  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  ∪ cuni 4874   “ cima 5666  Oncon0 6364  ωcom 7864  Fincfn 8945  𝑅₁cr1 9737

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-regs 35572

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7419  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-r1 9739

This theorem is used by: (None)