Theorem fineqvr1ombregs 35123

Description: All sets are finite iff all sets are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 30-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvr1ombregs	⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Proof of Theorem fineqvr1ombregs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvomon 35122	. . . . 5 ⊢ (Fin = V → ω = On)
2	1	imaeq2d 6009	. . . 4 ⊢ (Fin = V → (𝑅1 “ ω) = (𝑅1 “ On))
3	2	unieqd 4872	. . 3 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = ∪ (𝑅1 “ On))
4		unir1regs 35119	. . 3 ⊢ ∪ (𝑅1 “ On) = V
5	3, 4	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (Fin = V → ∪ (𝑅1 “ ω) = V)
6		r1omfi 35107	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
7		sseq1 3960	. . . 4 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → (∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin ↔ V ⊆ Fin))
8	6, 7	mpbii 233	. . 3 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → V ⊆ Fin)
9		vss 4396	. . 3 ⊢ (V ⊆ Fin ↔ Fin = V)
10	8, 9	sylib 218	. 2 ⊢ (∪ (𝑅1 “ ω) = V → Fin = V)
11	5, 10	impbii 209	1 ⊢ (Fin = V ↔ ∪ (𝑅1 “ ω) = V)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541  Vcvv 3436   ⊆ wss 3902  ∪ cuni 4859   “ cima 5619  Oncon0 6306  ωcom 7796  Fincfn 8869  𝑅₁cr1 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-regs 35112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-r1 9654

This theorem is referenced by: (None)