Theorem fineqvomonb 35415

Description: All sets are finite iff all ordinal sets are finite. (Contributed by BTernaryTau, 25-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvomonb	⊢ (Fin = V ↔ ω = On)

Proof of Theorem fineqvomonb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fineqvomon 35414	. 2 ⊢ (Fin = V → ω = On)
2		onprc 7761	. . . 4 ⊢ ¬ On ∈ V
3		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (ω = On → (ω ∈ V ↔ On ∈ V))
4	2, 3	mtbiri 329	. . 3 ⊢ (ω = On → ¬ ω ∈ V)
5		fineqv 9211	. . 3 ⊢ (¬ ω ∈ V ↔ Fin = V)
6	4, 5	sylib 220	. 2 ⊢ (ω = On → Fin = V)
7	1, 6	impbii 211	1 ⊢ (Fin = V ↔ ω = On)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  Oncon0 6346  ωcom 7846  Fincfn 8927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-om 7847  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931

This theorem is referenced by:  omprcomonb  35416