Theorem fineqvacALT 35088

Description: Shorter proof of fineqvac 35087 using ax-rep 5234 and ax-pow 5320. (Contributed by BTernaryTau, 21-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvacALT	⊢ (Fin = V → CHOICE)

Proof of Theorem fineqvacALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3971	. . . 4 ⊢ dom card ⊆ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (Fin = V → dom card ⊆ V)
3		finnum 9901	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
4	3	ssriv 3950	. . . 4 ⊢ Fin ⊆ dom card
5		sseq1 3972	. . . 4 ⊢ (Fin = V → (Fin ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card))
6	4, 5	mpbii 233	. . 3 ⊢ (Fin = V → V ⊆ dom card)
7	2, 6	eqssd 3964	. 2 ⊢ (Fin = V → dom card = V)
8		dfac10 10091	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
9	7, 8	sylibr 234	1 ⊢ (Fin = V → CHOICE)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  dom cdm 5638  Fincfn 8918  cardccrd 9888  CHOICEwac 10068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-er 8671  df-en 8919  df-fin 8922  df-card 9892  df-ac 10069

This theorem is referenced by: (None)