Theorem fineqvacALT 32967

Description: Shorter proof of fineqvac 32966 using ax-rep 5205 and ax-pow 5283. (Contributed by BTernaryTau, 21-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvacALT	⊢ (Fin = V → CHOICE)

Proof of Theorem fineqvacALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3941	. . . 4 ⊢ dom card ⊆ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (Fin = V → dom card ⊆ V)
3		finnum 9637	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
4	3	ssriv 3921	. . . 4 ⊢ Fin ⊆ dom card
5		sseq1 3942	. . . 4 ⊢ (Fin = V → (Fin ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card))
6	4, 5	mpbii 232	. . 3 ⊢ (Fin = V → V ⊆ dom card)
7	2, 6	eqssd 3934	. 2 ⊢ (Fin = V → dom card = V)
8		dfac10 9824	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
9	7, 8	sylibr 233	1 ⊢ (Fin = V → CHOICE)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  dom cdm 5580  Fincfn 8691  cardccrd 9624  CHOICEwac 9802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-er 8456  df-en 8692  df-fin 8695  df-card 9628  df-ac 9803

This theorem is referenced by: (None)