Theorem fineqvacALT 33067

Description: Shorter proof of fineqvac 33066 using ax-rep 5209 and ax-pow 5288. (Contributed by BTernaryTau, 21-Sep-2024.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
fineqvacALT	⊢ (Fin = V → CHOICE)

Proof of Theorem fineqvacALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssv 3945	. . . 4 ⊢ dom card ⊆ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (Fin = V → dom card ⊆ V)
3		finnum 9706	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → 𝑥 ∈ dom card)
4	3	ssriv 3925	. . . 4 ⊢ Fin ⊆ dom card
5		sseq1 3946	. . . 4 ⊢ (Fin = V → (Fin ⊆ dom card ↔ V ⊆ dom card))
6	4, 5	mpbii 232	. . 3 ⊢ (Fin = V → V ⊆ dom card)
7	2, 6	eqssd 3938	. 2 ⊢ (Fin = V → dom card = V)
8		dfac10 9893	. 2 ⊢ (CHOICE ↔ dom card = V)
9	7, 8	sylibr 233	1 ⊢ (Fin = V → CHOICE)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  Vcvv 3432   ⊆ wss 3887  dom cdm 5589  Fincfn 8733  cardccrd 9693  CHOICEwac 9871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-er 8498  df-en 8734  df-fin 8737  df-card 9697  df-ac 9872

This theorem is referenced by: (None)