Theorem finresfin 9291

Description: The restriction of a finite set is finite. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Jan-2018.)

Assertion

Ref	Expression
finresfin	⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐵) ∈ Fin)

Proof of Theorem finresfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resss 5999	. 2 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐸
2		ssfi 9194	. 2 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ (𝐸 ↾ 𝐵) ⊆ 𝐸) → (𝐸 ↾ 𝐵) ∈ Fin)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐵) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939   ↾ cres 5672  Fincfn 8960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5421  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7867  df-1o 8483  df-en 8961  df-fin 8964

This theorem is referenced by:  fidomdm  9351  hashres  14427  vtxdginducedm1fi  29374  finsumvtxdg2ssteplem4  29378  finsumvtxdg2sstep  29379