Theorem vtxdginducedm1fi 29479

Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1fi	⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdginducedm1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdginducedm1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdginducedm1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4		vtxdginducedm1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5		vtxdginducedm1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
6		vtxdginducedm1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
7		vtxdginducedm1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1 29478	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))
9	5	dmeqi 5871	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom (𝐸 ↾ 𝐼)
10		finresfin 9222	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
11		dmfi 9293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
13	9, 12	eqeltrid 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
14	6	fveq2i 6864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
15	1	fvexi 6875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 ∈ V
16	15	difexi 5288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
17	3, 16	eqeltri 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ V
18	2	fvexi 6875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 ∈ V
19	18	resex 6003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ V
20	5, 19	eqeltri 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 ∈ V
21	17, 20	opvtxfvi 28943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
22	14, 21, 3	3eqtrri 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 29474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝑆) = 𝑃
24	23	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom 𝑃
26	22, 24, 25	vtxdgfisnn0 29410	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
27	13, 26	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
28	27	nn0red 12511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29		dmfi 9293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30		rabfi 9221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
32	7, 31	eqeltrid 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33		rabfi 9221	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → {𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin)
34		hashcl 14328	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℝ)
38	28, 37	rexaddd 13201	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))
39	38	eqeq2d 2741	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
40	39	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
41	40	ralimdva 3146	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
42	8, 41	mpi 20	1 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3030  ∀wral 3045  {crab 3408  Vcvv 3450   ∖ cdif 3914  {csn 4592  ⟨cop 4598  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Fincfn 8921   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449   +_𝑒 cxad 13077  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  VtxDegcvtxdg 29400

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-xadd 13080  df-fz 13476  df-hash 14303  df-vtx 28932  df-iedg 28933  df-vtxdg 29401

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  29483