Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1fi 27337
 Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1fi (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdginducedm1.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdginducedm1.k . . 3 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4 vtxdginducedm1.i . . 3 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
5 vtxdginducedm1.p . . 3 𝑃 = (𝐸𝐼)
6 vtxdginducedm1.s . . 3 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7 vtxdginducedm1.j . . 3 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1 27336 . 2 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
95dmeqi 5760 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸𝐼)
10 finresfin 8741 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (𝐸𝐼) ∈ Fin)
11 dmfi 8799 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
139, 12eqeltrid 2920 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
146fveq2i 6664 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
151fvexi 6675 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
1615difexi 5218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
173, 16eqeltri 2912 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
182fvexi 6675 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
1918resex 5886 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐼) ∈ V
205, 19eqeltri 2912 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
2117, 20opvtxfvi 26805 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
2214, 21, 33eqtrri 2852 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
231, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 27332 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝑆) = 𝑃
2423eqcomi 2833 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25 eqid 2824 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
2622, 24, 25vtxdgfisnn0 27268 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2713, 26sylan 583 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2827nn0red 11953 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29 dmfi 8799 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30 rabfi 8740 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
327, 31eqeltrid 2920 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33 rabfi 8740 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Fin → {𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin)
34 hashcl 13722 . . . . . . . . 9 ({𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3635adantr 484 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11953 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℝ)
3828, 37rexaddd 12624 . . . . 5 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
3938eqeq2d 2835 . . . 4 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4039biimpd 232 . . 3 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4140ralimdva 3172 . 2 (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
428, 41mpi 20 1 (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∉ wnel 3118  ∀wral 3133  {crab 3137  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916  {csn 4550  ⟨cop 4556  dom cdm 5542   ↾ cres 5544  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505   + caddc 10538  ℕ0cn0 11894   +𝑒 cxad 12502  ♯chash 13695  Vtxcvtx 26792  iEdgciedg 26793  VtxDegcvtxdg 27258 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-xadd 12505  df-fz 12895  df-hash 13696  df-vtx 26794  df-iedg 26795  df-vtxdg 27259 This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  27341
 Copyright terms: Public domain W3C validator