Theorem vtxdginducedm1fi 29529

Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1fi	⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdginducedm1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdginducedm1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdginducedm1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4		vtxdginducedm1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5		vtxdginducedm1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
6		vtxdginducedm1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
7		vtxdginducedm1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1 29528	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))
9	5	dmeqi 5889	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom (𝐸 ↾ 𝐼)
10		finresfin 9281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
11		dmfi 9352	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
13	9, 12	eqeltrid 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
14	6	fveq2i 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
15	1	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 ∈ V
16	15	difexi 5305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
17	3, 16	eqeltri 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ V
18	2	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 ∈ V
19	18	resex 6021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ V
20	5, 19	eqeltri 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 ∈ V
21	17, 20	opvtxfvi 28993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
22	14, 21, 3	3eqtrri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 29524	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝑆) = 𝑃
24	23	eqcomi 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom 𝑃
26	22, 24, 25	vtxdgfisnn0 29460	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
27	13, 26	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
28	27	nn0red 12568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29		dmfi 9352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30		rabfi 9280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
32	7, 31	eqeltrid 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33		rabfi 9280	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → {𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin)
34		hashcl 14379	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℝ)
38	28, 37	rexaddd 13255	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))
39	38	eqeq2d 2747	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
40	39	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
41	40	ralimdva 3153	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
42	8, 41	mpi 20	1 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3037  ∀wral 3052  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928  {csn 4606  ⟨cop 4612  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964   + caddc 11137  ℕ₀cn0 12506   +_𝑒 cxad 13131  ♯chash 14353  Vtxcvtx 28980  iEdgciedg 28981  VtxDegcvtxdg 29450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-xadd 13134  df-fz 13530  df-hash 14354  df-vtx 28982  df-iedg 28983  df-vtxdg 29451

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  29533