MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1fi 29562
Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1fi (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdginducedm1.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdginducedm1.k . . 3 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4 vtxdginducedm1.i . . 3 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
5 vtxdginducedm1.p . . 3 𝑃 = (𝐸𝐼)
6 vtxdginducedm1.s . . 3 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7 vtxdginducedm1.j . . 3 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1 29561 . 2 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
95dmeqi 5915 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸𝐼)
10 finresfin 9304 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (𝐸𝐼) ∈ Fin)
11 dmfi 9375 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
139, 12eqeltrid 2845 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
146fveq2i 6909 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
151fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
1615difexi 5330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
173, 16eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
182fvexi 6920 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
1918resex 6047 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐼) ∈ V
205, 19eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
2117, 20opvtxfvi 29026 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
2214, 21, 33eqtrri 2770 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
231, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 29557 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝑆) = 𝑃
2423eqcomi 2746 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25 eqid 2737 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
2622, 24, 25vtxdgfisnn0 29493 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2713, 26sylan 580 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2827nn0red 12588 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29 dmfi 9375 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30 rabfi 9303 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
327, 31eqeltrid 2845 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33 rabfi 9303 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Fin → {𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin)
34 hashcl 14395 . . . . . . . . 9 ({𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3635adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3736nn0red 12588 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℝ)
3828, 37rexaddd 13276 . . . . 5 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
3938eqeq2d 2748 . . . 4 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4039biimpd 229 . . 3 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4140ralimdva 3167 . 2 (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
428, 41mpi 20 1 (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wnel 3046  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  {csn 4626  cop 4632  dom cdm 5685  cres 5687  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985   + caddc 11158  0cn0 12526   +𝑒 cxad 13152  chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  VtxDegcvtxdg 29483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-xadd 13155  df-fz 13548  df-hash 14370  df-vtx 29015  df-iedg 29016  df-vtxdg 29484
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  29566
  Copyright terms: Public domain W3C validator