Theorem vtxdginducedm1fi 29860

Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1fi	⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdginducedm1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdginducedm1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdginducedm1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4		vtxdginducedm1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5		vtxdginducedm1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
6		vtxdginducedm1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
7		vtxdginducedm1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1 29859	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))
9	5	dmeqi 5894	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom (𝐸 ↾ 𝐼)
10		finresfin 9231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
11		dmfi 9291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
13	9, 12	eqeltrid 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
14	6	fveq2i 6884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
15	1	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 ∈ V
16	15	difexi 5300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
17	3, 16	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ V
18	2	fvexi 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 ∈ V
19	18	resex 6028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ V
20	5, 19	eqeltri 2857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 ∈ V
21	17, 20	opvtxfvi 29325	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
22	14, 21, 3	3eqtrri 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 29855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝑆) = 𝑃
24	23	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom 𝑃
26	22, 24, 25	vtxdgfisnn0 29791	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
27	13, 26	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
28	27	nn0red 12565	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29		dmfi 9291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30		rabfi 9230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
32	7, 31	eqeltrid 2865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33		rabfi 9230	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → {𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin)
34		hashcl 14391	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12565	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℝ)
38	28, 37	rexaddd 13259	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))
39	38	eqeq2d 2772	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
40	39	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
41	40	ralimdva 3175	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
42	8, 41	mpi 21	1 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ∉ wnel 3062  ∀wral 3077  {crab 3414  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901  {csn 4588  ⟨cop 4594  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8942   + caddc 11102  ℕ₀cn0 12503   +_𝑒 cxad 13134  ♯chash 14365  Vtxcvtx 29312  iEdgciedg 29313  VtxDegcvtxdg 29781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-xnn0 12577  df-z 12591  df-uz 12862  df-xadd 13137  df-fz 13535  df-hash 14366  df-vtx 29314  df-iedg 29315  df-vtxdg 29782

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  29864