Theorem vtxdginducedm1fi 30058

Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1fi	⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣, 𝑖, 𝑙)   𝑆(𝑣, 𝑖, 𝑙)   𝐺(𝑣, 𝑖, 𝑙)   𝐼(𝑣, 𝑖, 𝑙)   𝐽(𝑣, 𝑖)   𝐾(𝑣, 𝑖, 𝑙)   𝑁(𝑣, 𝑙)   𝑉(𝑣, 𝑖, 𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdginducedm1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdginducedm1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdginducedm1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4		vtxdginducedm1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5		vtxdginducedm1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
6		vtxdginducedm1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
7		vtxdginducedm1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1 30057	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))
9	5	dmeqi 5882	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom (𝐸 ↾ 𝐼)
10		finresfin 9241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
11		dmfi 9302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
12	10, 11	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
13	9, 12	eqeltrid 2864	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
14	6	fveq2i 6876	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
15	1	fvexi 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 ∈ V
16	15	difexi 5291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
17	3, 16	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ V
18	2	fvexi 6887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 ∈ V
19	18	resex 6016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ V
20	5, 19	eqeltri 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 ∈ V
21	17, 20	opvtxfvi 29520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
22	14, 21, 3	3eqtrri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 30053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝑆) = 𝑃
24	23	eqcomi 2769	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom 𝑃
26	22, 24, 25	vtxdgfisnn0 29989	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
27	13, 26	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
28	27	nn0red 12637	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29		dmfi 9302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30		rabfi 9240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
32	7, 31	eqeltrid 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33		rabfi 9240	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → {𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin)
34		hashcl 14467	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
35	32, 33, 34	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12637	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℝ)
38	28, 37	rexaddd 13333	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))
39	38	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
40	39	biimpd 232	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
41	40	ralimdva 3174	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
42	8, 41	mpi 21	1 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∉ wnel 3061  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 3895  {csn 4583  ⟨cop 4589  dom cdm 5647   ↾ cres 5649  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951   + caddc 11174  ℕ₀cn0 12575   +_𝑒 cxad 13208  ♯chash 14441  Vtxcvtx 29507  iEdgciedg 29508  VtxDegcvtxdg 29979

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-n0 12576  df-xnn0 12649  df-z 12663  df-uz 12935  df-xadd 13211  df-fz 13609  df-hash 14442  df-vtx 29509  df-iedg 29510  df-vtxdg 29980

This theorem is used by:  finsumvtxdg2ssteplem4  30062