MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1fi 28541
Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 βˆ– {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 βˆ‰ (πΈβ€˜π‘–)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸 β†Ύ 𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, π‘ƒβŸ©
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1fi (𝐸 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) + (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)})))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.v . . 3 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 vtxdginducedm1.e . . 3 𝐸 = (iEdgβ€˜πΊ)
3 vtxdginducedm1.k . . 3 𝐾 = (𝑉 βˆ– {𝑁})
4 vtxdginducedm1.i . . 3 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 βˆ‰ (πΈβ€˜π‘–)}
5 vtxdginducedm1.p . . 3 𝑃 = (𝐸 β†Ύ 𝐼)
6 vtxdginducedm1.s . . 3 𝑆 = ⟨𝐾, π‘ƒβŸ©
7 vtxdginducedm1.j . . 3 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1 28540 . 2 βˆ€π‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) +𝑒 (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)}))
95dmeqi 5864 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸 β†Ύ 𝐼)
10 finresfin 9220 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin β†’ (𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
11 dmfi 9280 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin β†’ dom (𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin β†’ dom (𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ Fin)
139, 12eqeltrid 2838 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin β†’ dom 𝑃 ∈ Fin)
146fveq2i 6849 . . . . . . . . . 10 (Vtxβ€˜π‘†) = (Vtxβ€˜βŸ¨πΎ, π‘ƒβŸ©)
151fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
1615difexi 5289 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 βˆ– {𝑁}) ∈ V
173, 16eqeltri 2830 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
182fvexi 6860 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
1918resex 5989 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 β†Ύ 𝐼) ∈ V
205, 19eqeltri 2830 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
2117, 20opvtxfvi 28009 . . . . . . . . . 10 (Vtxβ€˜βŸ¨πΎ, π‘ƒβŸ©) = 𝐾
2214, 21, 33eqtrri 2766 . . . . . . . . 9 (𝑉 βˆ– {𝑁}) = (Vtxβ€˜π‘†)
231, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 28536 . . . . . . . . . 10 (iEdgβ€˜π‘†) = 𝑃
2423eqcomi 2742 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdgβ€˜π‘†)
25 eqid 2733 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
2622, 24, 25vtxdgfisnn0 28472 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) ∈ β„•0)
2713, 26sylan 581 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) ∈ β„•0)
2827nn0red 12482 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})) β†’ ((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) ∈ ℝ)
29 dmfi 9280 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin β†’ dom 𝐸 ∈ Fin)
30 rabfi 9219 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin β†’ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)} ∈ Fin)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin β†’ {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (πΈβ€˜π‘–)} ∈ Fin)
327, 31eqeltrid 2838 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin β†’ 𝐽 ∈ Fin)
33 rabfi 9219 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Fin β†’ {𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)} ∈ Fin)
34 hashcl 14265 . . . . . . . . 9 ({𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)} ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)}) ∈ β„•0)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)}) ∈ β„•0)
3635adantr 482 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})) β†’ (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)}) ∈ β„•0)
3736nn0red 12482 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})) β†’ (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)}) ∈ ℝ)
3828, 37rexaddd 13162 . . . . 5 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})) β†’ (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) +𝑒 (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)})) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) + (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)})))
3938eqeq2d 2744 . . . 4 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) +𝑒 (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)})) ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) + (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)}))))
4039biimpd 228 . . 3 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) +𝑒 (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)})) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) + (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)}))))
4140ralimdva 3161 . 2 (𝐸 ∈ Fin β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) +𝑒 (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)})) β†’ βˆ€π‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) + (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)}))))
428, 41mpi 20 1 (𝐸 ∈ Fin β†’ βˆ€π‘£ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑁})((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = (((VtxDegβ€˜π‘†)β€˜π‘£) + (β™―β€˜{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (πΈβ€˜π‘™)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ‰ wnel 3046  βˆ€wral 3061  {crab 3406  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911  {csn 4590  βŸ¨cop 4596  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Fincfn 8889   + caddc 11062  β„•0cn0 12421   +𝑒 cxad 13039  β™―chash 14239  Vtxcvtx 27996  iEdgciedg 27997  VtxDegcvtxdg 28462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-oadd 8420  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-dju 9845  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-n0 12422  df-xnn0 12494  df-z 12508  df-uz 12772  df-xadd 13042  df-fz 13434  df-hash 14240  df-vtx 27998  df-iedg 27999  df-vtxdg 28463
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  28545
  Copyright terms: Public domain W3C validator