Theorem vtxdginducedm1fi 29378

Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdginducedm1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
vtxdginducedm1.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
vtxdginducedm1.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
vtxdginducedm1.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
vtxdginducedm1fi	⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdginducedm1.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		vtxdginducedm1.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		vtxdginducedm1.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4		vtxdginducedm1.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5		vtxdginducedm1.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
6		vtxdginducedm1.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
7		vtxdginducedm1.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1 29377	. 2 ⊢ ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))
9	5	dmeqi 5911	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom (𝐸 ↾ 𝐼)
10		finresfin 9301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
11		dmfi 9362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
13	9, 12	eqeltrid 2833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
14	6	fveq2i 6905	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
15	1	fvexi 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 ∈ V
16	15	difexi 5334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
17	3, 16	eqeltri 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ V
18	2	fvexi 6916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 ∈ V
19	18	resex 6038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ V
20	5, 19	eqeltri 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 ∈ V
21	17, 20	opvtxfvi 28842	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
22	14, 21, 3	3eqtrri 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 29373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝑆) = 𝑃
24	23	eqcomi 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25		eqid 2728	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom 𝑃
26	22, 24, 25	vtxdgfisnn0 29309	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
27	13, 26	sylan 578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
28	27	nn0red 12571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29		dmfi 9362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30		rabfi 9300	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
32	7, 31	eqeltrid 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33		rabfi 9300	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → {𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin)
34		hashcl 14355	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
35	32, 33, 34	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
36	35	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℕ0)
37	36	nn0red 12571	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}) ∈ ℝ)
38	28, 37	rexaddd 13253	. . . . 5 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))
39	38	eqeq2d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
40	39	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
41	40	ralimdva 3164	. 2 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)}))))
42	8, 41	mpi 20	1 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑙)})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3043  ∀wral 3058  {crab 3430  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946  {csn 4632  ⟨cop 4638  dom cdm 5682   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Fincfn 8970   + caddc 11149  ℕ₀cn0 12510   +_𝑒 cxad 13130  ♯chash 14329  Vtxcvtx 28829  iEdgciedg 28830  VtxDegcvtxdg 29299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-xadd 13133  df-fz 13525  df-hash 14330  df-vtx 28831  df-iedg 28832  df-vtxdg 29300

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  29382