MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vtxdginducedm1fi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vtxdginducedm1fi 26794
Description: The degree of a vertex 𝑣 in the induced subgraph 𝑆 of a pseudograph 𝐺 of finite size obtained by removing one vertex 𝑁 plus the number of edges joining the vertex 𝑣 and the vertex 𝑁 is the degree of the vertex 𝑣 in the pseudograph 𝐺. (Contributed by AV, 18-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vtxdginducedm1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
vtxdginducedm1.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
vtxdginducedm1.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
vtxdginducedm1.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
vtxdginducedm1.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
vtxdginducedm1.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
vtxdginducedm1.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
vtxdginducedm1fi (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝑁   𝐸,𝑙   𝐽,𝑙   𝑣,𝑙,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑆(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐺(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐼(𝑣,𝑖,𝑙)   𝐽(𝑣,𝑖)   𝐾(𝑣,𝑖,𝑙)   𝑁(𝑣,𝑙)   𝑉(𝑣,𝑖,𝑙)

Proof of Theorem vtxdginducedm1fi
StepHypRef Expression
1 vtxdginducedm1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 vtxdginducedm1.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 vtxdginducedm1.k . . 3 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4 vtxdginducedm1.i . . 3 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
5 vtxdginducedm1.p . . 3 𝑃 = (𝐸𝐼)
6 vtxdginducedm1.s . . 3 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7 vtxdginducedm1.j . . 3 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1 26793 . 2 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))
95dmeqi 5528 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸𝐼)
10 finresfin 8428 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (𝐸𝐼) ∈ Fin)
11 dmfi 8486 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
139, 12syl5eqel 2882 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
146fveq2i 6414 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
151fvexi 6425 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
1615difexi 5004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
173, 16eqeltri 2874 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
182fvexi 6425 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
1918resex 5655 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐼) ∈ V
205, 19eqeltri 2874 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
2117, 20opvtxfvi 26244 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
2214, 21, 33eqtrri 2826 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∖ {𝑁}) = (Vtx‘𝑆)
231, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 26789 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝑆) = 𝑃
2423eqcomi 2808 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
25 eqid 2799 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
2622, 24, 25vtxdgfisnn0 26725 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2713, 26sylan 576 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
2827nn0red 11641 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℝ)
29 dmfi 8486 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
30 rabfi 8427 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
327, 31syl5eqel 2882 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
33 rabfi 8427 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Fin → {𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin)
34 hashcl 13397 . . . . . . . . 9 ({𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)} ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3635adantr 473 . . . . . . 7 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℕ0)
3736nn0red 11641 . . . . . 6 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}) ∈ ℝ)
3828, 37rexaddd 12314 . . . . 5 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
3938eqeq2d 2809 . . . 4 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) ↔ ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4039biimpd 221 . . 3 ((𝐸 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
4140ralimdva 3143 . 2 (𝐸 ∈ Fin → (∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) +𝑒 (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)}))))
428, 41mpi 20 1 (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑙𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑙)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wnel 3074  wral 3089  {crab 3093  Vcvv 3385  cdif 3766  {csn 4368  cop 4374  dom cdm 5312  cres 5314  cfv 6101  (class class class)co 6878  Fincfn 8195   + caddc 10227  0cn0 11580   +𝑒 cxad 12191  chash 13370  Vtxcvtx 26231  iEdgciedg 26232  VtxDegcvtxdg 26715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-xadd 12194  df-fz 12581  df-hash 13371  df-vtx 26233  df-iedg 26234  df-vtxdg 26716
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2ssteplem4  26798
  Copyright terms: Public domain W3C validator