MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1finf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1finf1o 8342
Description: Any injection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1finf1o ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))

Proof of Theorem f1finf1o
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
2 f1f 6241 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
32adantl 467 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
4 ffn 6185 . . . . . 6 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
6 simpll 742 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
7 frn 6193 . . . . . . . . . 10 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
83, 7syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
9 df-pss 3739 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹𝐵 ↔ (ran 𝐹𝐵 ∧ ran 𝐹𝐵))
109baib 517 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹𝐵 → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran 𝐹𝐵))
118, 10syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran 𝐹𝐵))
12 simplr 744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
13 relen 8113 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel ≈
1413brrelexi 5298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
156, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
1612, 15elmapd 8022 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴𝐵))
173, 16mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
18 f1f1orn 6289 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
1918adantl 467 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
20 f1oen3g 8124 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → 𝐴 ≈ ran 𝐹)
2117, 19, 20syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ≈ ran 𝐹)
22 php3 8301 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹𝐵)
2322ex 397 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → (ran 𝐹𝐵 → ran 𝐹𝐵))
2412, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ran 𝐹𝐵))
25 ensdomtr 8251 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≈ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝐵) → 𝐴𝐵)
2621, 24, 25syl6an 655 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵𝐴𝐵))
27 sdomnen 8137 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
2826, 27syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
2911, 28sylbird 250 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
3029necon4ad 2962 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵))
316, 30mpd 15 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
32 df-fo 6037 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
335, 31, 32sylanbrc 564 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
34 df-f1o 6038 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴onto𝐵))
351, 33, 34sylanbrc 564 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
3635ex 397 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
37 f1of1 6277 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
3836, 37impbid1 215 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  Vcvv 3351  wss 3723  wpss 3724   class class class wbr 4786  ran crn 5250   Fn wfn 6026  wf 6027  1-1wf1 6028  ontowfo 6029  1-1-ontowf1o 6030  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008  cen 8105  csdm 8107  Fincfn 8108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-er 7895  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112
This theorem is referenced by:  hashfac  13443  crth  15689  eulerthlem2  15693  fidomndrnglem  19520  mdetunilem8  20642  basellem4  25030  lgsqrlem4  25294  lgseisenlem2  25321
  Copyright terms: Public domain W3C validator