MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1finf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1finf1o 8396
Description: Any injection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1finf1o ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))

Proof of Theorem f1finf1o
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
2 f1f 6285 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
32adantl 473 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
43ffnd 6226 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
5 simpll 783 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
63frnd 6232 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
7 df-pss 3750 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹𝐵 ↔ (ran 𝐹𝐵 ∧ ran 𝐹𝐵))
87baib 531 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹𝐵 → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran 𝐹𝐵))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran 𝐹𝐵))
10 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
11 relen 8167 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel ≈
1211brrelex1i 5330 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
135, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
1410, 13elmapd 8076 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴𝐵))
153, 14mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴))
16 f1f1orn 6333 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
1716adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
18 f1oen3g 8178 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → 𝐴 ≈ ran 𝐹)
1915, 17, 18syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ≈ ran 𝐹)
20 php3 8355 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹𝐵)
2120ex 401 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → (ran 𝐹𝐵 → ran 𝐹𝐵))
2210, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ran 𝐹𝐵))
23 ensdomtr 8305 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≈ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝐵) → 𝐴𝐵)
2419, 22, 23syl6an 674 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵𝐴𝐵))
25 sdomnen 8191 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
2624, 25syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
279, 26sylbird 251 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
2827necon4ad 2956 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵))
295, 28mpd 15 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
30 df-fo 6076 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
314, 29, 30sylanbrc 578 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
32 df-f1o 6077 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴onto𝐵))
331, 31, 32sylanbrc 578 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
3433ex 401 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
35 f1of1 6321 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
3634, 35impbid1 216 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  wss 3734  wpss 3735   class class class wbr 4811  ran crn 5280   Fn wfn 6065  wf 6066  1-1wf1 6067  ontowfo 6068  1-1-ontowf1o 6069  (class class class)co 6844  𝑚 cmap 8062  cen 8159  csdm 8161  Fincfn 8162
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-om 7266  df-er 7949  df-map 8064  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166
This theorem is referenced by:  hashfac  13446  crth  15765  eulerthlem2  15769  fidomndrnglem  19583  mdetunilem8  20705  basellem4  25104  lgsqrlem4  25368  lgseisenlem2  25395
  Copyright terms: Public domain W3C validator