Proof of Theorem f1finf1o
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpr 484 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) | 
| 2 |  | f1f 6803 | . . . . . . 7
⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵) | 
| 3 | 2 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵) | 
| 4 | 3 | ffnd 6736 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴) | 
| 5 |  | simpll 766 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≈ 𝐵) | 
| 6 | 3 | frnd 6743 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵) | 
| 7 |  | df-pss 3970 | . . . . . . . . . 10
⊢ (ran
𝐹 ⊊ 𝐵 ↔ (ran 𝐹 ⊆ 𝐵 ∧ ran 𝐹 ≠ 𝐵)) | 
| 8 | 7 | baib 535 | . . . . . . . . 9
⊢ (ran
𝐹 ⊆ 𝐵 → (ran 𝐹 ⊊ 𝐵 ↔ ran 𝐹 ≠ 𝐵)) | 
| 9 | 6, 8 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (ran 𝐹 ⊊ 𝐵 ↔ ran 𝐹 ≠ 𝐵)) | 
| 10 |  | php3 9250 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹 ⊊ 𝐵) → ran 𝐹 ≺ 𝐵) | 
| 11 | 10 | ex 412 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ Fin → (ran 𝐹 ⊊ 𝐵 → ran 𝐹 ≺ 𝐵)) | 
| 12 | 11 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (ran 𝐹 ⊊ 𝐵 → ran 𝐹 ≺ 𝐵)) | 
| 13 |  | enfii 9227 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Fin) | 
| 14 | 13 | ancoms 458 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin) | 
| 15 |  | f1f1orn 6858 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran
𝐹) | 
| 16 |  | f1oenfi 9220 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran
𝐹) → 𝐴 ≈ ran 𝐹) | 
| 17 | 14, 15, 16 | syl2an 596 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐴 ≈ ran 𝐹) | 
| 18 |  | endom 9020 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝐴 ≈ ran 𝐹 → 𝐴 ≼ ran 𝐹) | 
| 19 |  | domsdomtrfi 9243 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≼ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵) | 
| 20 | 18, 19 | syl3an2 1164 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹 ≺ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵) | 
| 21 | 20 | 3expia 1121 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ ran 𝐹) → (ran 𝐹 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)) | 
| 22 | 14, 17, 21 | syl2an2r 685 | . . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (ran 𝐹 ≺ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)) | 
| 23 | 12, 22 | syld 47 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (ran 𝐹 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵)) | 
| 24 |  | sdomnen 9022 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵) | 
| 25 | 23, 24 | syl6 35 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (ran 𝐹 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)) | 
| 26 | 9, 25 | sylbird 260 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (ran 𝐹 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)) | 
| 27 | 26 | necon4ad 2958 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐴 ≈ 𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)) | 
| 28 | 5, 27 | mpd 15 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵) | 
| 29 |  | df-fo 6566 | . . . . 5
⊢ (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐵)) | 
| 30 | 4, 28, 29 | sylanbrc 583 | . . . 4
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹:𝐴–onto→𝐵) | 
| 31 |  | df-f1o 6567 | . . . 4
⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵)) | 
| 32 | 1, 30, 31 | sylanbrc 583 | . . 3
⊢ (((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵) | 
| 33 | 32 | ex 412 | . 2
⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)) | 
| 34 |  | f1of1 6846 | . 2
⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵) | 
| 35 | 33, 34 | impbid1 225 | 1
⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵)) |