MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1finf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1finf1o 8733
Description: Any injection from one finite set to another of equal size must be a bijection. (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
f1finf1o ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))

Proof of Theorem f1finf1o
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
2 f1f 6568 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴𝐵)
32adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴𝐵)
43ffnd 6508 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
5 simpll 763 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴𝐵)
63frnd 6514 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹𝐵)
7 df-pss 3951 . . . . . . . . . 10 (ran 𝐹𝐵 ↔ (ran 𝐹𝐵 ∧ ran 𝐹𝐵))
87baib 536 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹𝐵 → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran 𝐹𝐵))
96, 8syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 ↔ ran 𝐹𝐵))
10 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐵 ∈ Fin)
11 relen 8502 . . . . . . . . . . . . . . 15 Rel ≈
1211brrelex1i 5601 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴𝐵𝐴 ∈ V)
135, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ∈ V)
1410, 13elmapd 8409 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐵m 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴𝐵))
153, 14mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐵m 𝐴))
16 f1f1orn 6619 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹)
18 f1oen3g 8513 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto→ran 𝐹) → 𝐴 ≈ ran 𝐹)
1915, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐴 ≈ ran 𝐹)
20 php3 8691 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ran 𝐹𝐵) → ran 𝐹𝐵)
2120ex 413 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ Fin → (ran 𝐹𝐵 → ran 𝐹𝐵))
2210, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ran 𝐹𝐵))
23 ensdomtr 8641 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≈ ran 𝐹 ∧ ran 𝐹𝐵) → 𝐴𝐵)
2419, 22, 23syl6an 680 . . . . . . . . 9 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵𝐴𝐵))
25 sdomnen 8526 . . . . . . . . 9 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
2624, 25syl6 35 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
279, 26sylbird 261 . . . . . . 7 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (ran 𝐹𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
2827necon4ad 3032 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → (𝐴𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵))
295, 28mpd 15 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → ran 𝐹 = 𝐵)
30 df-fo 6354 . . . . 5 (𝐹:𝐴onto𝐵 ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ran 𝐹 = 𝐵))
314, 29, 30sylanbrc 583 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴onto𝐵)
32 df-f1o 6355 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴onto𝐵))
331, 31, 32sylanbrc 583 . . 3 (((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
3433ex 413 . 2 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
35 f1of1 6607 . 2 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
3634, 35impbid1 226 1 ((𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹:𝐴1-1-onto𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  wss 3933  wpss 3934   class class class wbr 5057  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  1-1wf1 6345  ontowfo 6346  1-1-ontowf1o 6347  (class class class)co 7145  m cmap 8395  cen 8494  csdm 8496  Fincfn 8497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501
This theorem is referenced by:  hashfac  13804  crth  16103  eulerthlem2  16107  fidomndrnglem  20007  mdetunilem8  21156  basellem4  25588  lgsqrlem4  25852  lgseisenlem2  25879
  Copyright terms: Public domain W3C validator