MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2ssteplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2ssteplem4 27013
Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 27014. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
finsumvtxdg2ssteplem.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2ssteplem4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣   𝑖,𝐽   𝑣,𝐾
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐽(𝑣)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem4
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdg2sstep.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 finsumvtxdg2sstep.e . . . . . . . 8 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 finsumvtxdg2sstep.k . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4 finsumvtxdg2sstep.i . . . . . . . 8 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
5 finsumvtxdg2sstep.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐸𝐼)
6 finsumvtxdg2sstep.s . . . . . . . 8 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7 finsumvtxdg2ssteplem.j . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1fi 27009 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
98ad2antll 725 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
109sumeq2d 14892 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
11 diffi 8596 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
1312adantl 482 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
145dmeqi 5659 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸𝐼)
15 finresfin 8590 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (𝐸𝐼) ∈ Fin)
16 dmfi 8648 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1814, 17syl5eqel 2887 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
1918ad2antll 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → dom 𝑃 ∈ Fin)
203eqcomi 2804 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∖ {𝑁}) = 𝐾
2120eleq2i 2874 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣𝐾)
2221biimpi 217 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝐾)
236fveq2i 6541 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
241fvexi 6552 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
2524difexi 5123 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
263, 25eqeltri 2879 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
272fvexi 6552 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
2827resex 5780 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐼) ∈ V
295, 28eqeltri 2879 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
3026, 29opvtxfvi 26477 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
3123, 30eqtr2i 2820 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Vtx‘𝑆)
321, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 27004 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝑆) = 𝑃
3332eqcomi 2804 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
34 eqid 2795 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
3531, 33, 34vtxdgfisnn0 26940 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11805 . . . . . . 7 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
3719, 22, 36syl2an 595 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
38 dmfi 8648 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
39 rabfi 8589 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
417, 40syl5eqel 2887 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
42 rabfi 8589 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Fin → {𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
43 hashcl 13567 . . . . . . . . . 10 ({𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℕ0)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℕ0)
4544nn0cnd 11805 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4645ad2antll 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4746adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4813, 37, 47fsumadd 14929 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
4910, 48eqtrd 2831 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
503sumeq1i 14888 . . . . . 6 Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣)
5150eqeq1i 2800 . . . . 5 𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) ↔ Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)))
52 oveq1 7023 . . . . 5 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5351, 52sylbi 218 . . . 4 𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5449, 53sylan9eq 2851 . . 3 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5554oveq1d 7031 . 2 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
5645adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
5756adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
5812, 57fsumcl 14923 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
59 hashcl 13567 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
6160nn0cnd 11805 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
6261adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
63 rabfi 8589 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin)
64 hashcl 13567 . . . . . . . . . . 11 ({𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
6538, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11805 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
6766adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
6858, 62, 67add12d 10713 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
6968adantl 482 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
701, 2, 3, 4, 5, 6, 7finsumvtxdg2ssteplem3 27012 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))
7170oveq2d 7032 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
72612timesd 11728 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝐽)) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
7372eqcomd 2801 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
7473ad2antll 725 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
7569, 71, 743eqtrd 2835 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · (♯‘𝐽)))
7675oveq2d 7032 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
77 2cnd 11563 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → 2 ∈ ℂ)
785, 15syl5eqel 2887 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
79 hashcl 13567 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11805 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
8277, 81mulcld 10507 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
8382ad2antll 725 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
8458adantl 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
8561, 66addcld 10506 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
8685ad2antll 725 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
8783, 84, 86addassd 10509 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})))))
88 2cnd 11563 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 2 ∈ ℂ)
8981ad2antll 725 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
9061ad2antll 725 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
9188, 89, 90adddid 10511 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
9276, 87, 913eqtr4d 2841 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
9392adantr 481 . 2 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
9455, 93eqtrd 2831 1 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wnel 3090  wral 3105  {crab 3109  Vcvv 3437  cdif 3856  {csn 4472  cop 4478  dom cdm 5443  cres 5445  cfv 6225  (class class class)co 7016  Fincfn 8357  cc 10381   + caddc 10386   · cmul 10388  2c2 11540  0cn0 11745  chash 13540  Σcsu 14876  Vtxcvtx 26464  iEdgciedg 26465  UPGraphcupgr 26548  VtxDegcvtxdg 26930
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-sup 8752  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-xnn0 11816  df-z 11830  df-uz 12094  df-rp 12240  df-xadd 12358  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-clim 14679  df-sum 14877  df-vtx 26466  df-iedg 26467  df-edg 26516  df-uhgr 26526  df-upgr 26550  df-vtxdg 26931
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  27014
  Copyright terms: Public domain W3C validator