MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finsumvtxdg2ssteplem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finsumvtxdg2ssteplem4 27338
Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 27339. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
finsumvtxdg2sstep.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p 𝑃 = (𝐸𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
finsumvtxdg2ssteplem.j 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
Assertion
Ref Expression
finsumvtxdg2ssteplem4 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣   𝑖,𝐽   𝑣,𝐾
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐽(𝑣)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem4
StepHypRef Expression
1 finsumvtxdg2sstep.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 finsumvtxdg2sstep.e . . . . . . . 8 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3 finsumvtxdg2sstep.k . . . . . . . 8 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4 finsumvtxdg2sstep.i . . . . . . . 8 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑖)}
5 finsumvtxdg2sstep.p . . . . . . . 8 𝑃 = (𝐸𝐼)
6 finsumvtxdg2sstep.s . . . . . . . 8 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃
7 finsumvtxdg2ssteplem.j . . . . . . . 8 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7vtxdginducedm1fi 27334 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
98ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
109sumeq2d 15051 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
11 diffi 8734 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
1211adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
1312adantl 485 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
145dmeqi 5737 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom (𝐸𝐼)
15 finresfin 8728 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (𝐸𝐼) ∈ Fin)
16 dmfi 8786 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸𝐼) ∈ Fin)
1814, 17eqeltrid 2894 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
1918ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → dom 𝑃 ∈ Fin)
203eqcomi 2807 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∖ {𝑁}) = 𝐾
2120eleq2i 2881 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣𝐾)
2221biimpi 219 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣𝐾)
236fveq2i 6648 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
241fvexi 6659 . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 ∈ V
2524difexi 5196 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
263, 25eqeltri 2886 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ V
272fvexi 6659 . . . . . . . . . . . . 13 𝐸 ∈ V
2827resex 5866 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸𝐼) ∈ V
295, 28eqeltri 2886 . . . . . . . . . . 11 𝑃 ∈ V
3026, 29opvtxfvi 26802 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
3123, 30eqtr2i 2822 . . . . . . . . 9 𝐾 = (Vtx‘𝑆)
321, 2, 3, 4, 5, 6vtxdginducedm1lem1 27329 . . . . . . . . . 10 (iEdg‘𝑆) = 𝑃
3332eqcomi 2807 . . . . . . . . 9 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
34 eqid 2798 . . . . . . . . 9 dom 𝑃 = dom 𝑃
3531, 33, 34vtxdgfisnn0 27265 . . . . . . . 8 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11945 . . . . . . 7 ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
3719, 22, 36syl2an 598 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
38 dmfi 8786 . . . . . . . . . . . 12 (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
39 rabfi 8727 . . . . . . . . . . . 12 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸𝑁 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
417, 40eqeltrid 2894 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
42 rabfi 8727 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Fin → {𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin)
43 hashcl 13713 . . . . . . . . . 10 ({𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)} ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℕ0)
4441, 42, 433syl 18 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℕ0)
4544nn0cnd 11945 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4645ad2antll 728 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4746adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
4813, 37, 47fsumadd 15088 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
4910, 48eqtrd 2833 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
503sumeq1i 15047 . . . . . 6 Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣)
5150eqeq1i 2803 . . . . 5 𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) ↔ Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)))
52 oveq1 7142 . . . . 5 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5351, 52sylbi 220 . . . 4 𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5449, 53sylan9eq 2853 . . 3 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})))
5554oveq1d 7150 . 2 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
5645adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
5756adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
5812, 57fsumcl 15082 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
59 hashcl 13713 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
6041, 59syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
6160nn0cnd 11945 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
6261adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
63 rabfi 8727 . . . . . . . . . . 11 (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin)
64 hashcl 13713 . . . . . . . . . . 11 ({𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
6538, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
6665nn0cnd 11945 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
6766adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
6858, 62, 67add12d 10855 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
6968adantl 485 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))))
701, 2, 3, 4, 5, 6, 7finsumvtxdg2ssteplem3 27337 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))
7170oveq2d 7151 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
72612timesd 11868 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝐽)) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
7372eqcomd 2804 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
7473ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
7569, 71, 743eqtrd 2837 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · (♯‘𝐽)))
7675oveq2d 7151 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
77 2cnd 11703 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → 2 ∈ ℂ)
785, 15eqeltrid 2894 . . . . . . . . 9 (𝐸 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
79 hashcl 13713 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8078, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
8180nn0cnd 11945 . . . . . . 7 (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
8277, 81mulcld 10650 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
8382ad2antll 728 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
8458adantl 485 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) ∈ ℂ)
8561, 66addcld 10649 . . . . . 6 (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
8685ad2antll 728 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
8783, 84, 86addassd 10652 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}})))))
88 2cnd 11703 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 2 ∈ ℂ)
8981ad2antll 728 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
9061ad2antll 728 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
9188, 89, 90adddid 10654 . . . 4 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
9276, 87, 913eqtr4d 2843 . . 3 (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
9392adantr 484 . 2 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖𝐽𝑣 ∈ (𝐸𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
9455, 93eqtrd 2833 1 ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wnel 3091  wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441  cdif 3878  {csn 4525  cop 4531  dom cdm 5519  cres 5521  cfv 6324  (class class class)co 7135  Fincfn 8492  cc 10524   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  0cn0 11885  chash 13686  Σcsu 15034  Vtxcvtx 26789  iEdgciedg 26790  UPGraphcupgr 26873  VtxDegcvtxdg 27255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-vtx 26791  df-iedg 26792  df-edg 26841  df-uhgr 26851  df-upgr 26875  df-vtxdg 27256
This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  27339
  Copyright terms: Public domain W3C validator