Theorem finsumvtxdg2ssteplem4 29439

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 29440. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem4	⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣   𝑖,𝐽   𝑣,𝐾

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐽(𝑣)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finsumvtxdg2sstep.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		finsumvtxdg2sstep.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4		finsumvtxdg2sstep.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5		finsumvtxdg2sstep.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
6		finsumvtxdg2sstep.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
7		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1fi 29435	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
9	8	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
10	9	sumeq2d 15689	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
11		diffi 9207	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
12	11	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
13	12	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
14	5	dmeqi 5907	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom (𝐸 ↾ 𝐼)
15		finresfin 9298	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
16		dmfi 9361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
18	14, 17	eqeltrid 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
19	18	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → dom 𝑃 ∈ Fin)
20	3	eqcomi 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = 𝐾
21	20	eleq2i 2817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ 𝐾)
22	21	biimpi 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣 ∈ 𝐾)
23	6	fveq2i 6899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
24	1	fvexi 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 ∈ V
25	24	difexi 5331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
26	3, 25	eqeltri 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ V
27	2	fvexi 6910	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 ∈ V
28	27	resex 6034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ V
29	5, 28	eqeltri 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 ∈ V
30	26, 29	opvtxfvi 28899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
31	23, 30	eqtr2i 2754	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Vtx‘𝑆)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 29430	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝑆) = 𝑃
33	32	eqcomi 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
34		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom 𝑃
35	31, 33, 34	vtxdgfisnn0 29366	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12572	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
37	19, 22, 36	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
38		dmfi 9361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
39		rabfi 9297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
41	7, 40	eqeltrid 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
42		rabfi 9297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → {𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
43		hashcl 14356	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℕ0)
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℕ0)
45	44	nn0cnd 12572	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
46	45	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
47	46	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
48	13, 37, 47	fsumadd 15727	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
49	10, 48	eqtrd 2765	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
50	3	sumeq1i 15685	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣)
51	50	eqeq1i 2730	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) ↔ Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)))
52		oveq1 7426	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
53	51, 52	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
54	49, 53	sylan9eq 2785	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
55	54	oveq1d 7434	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
56	45	adantl 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
57	56	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
58	12, 57	fsumcl 15720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
59		hashcl 14356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
62	61	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
63		rabfi 9297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin)
64		hashcl 14356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
65	38, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
66	65	nn0cnd 12572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
67	66	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
68	58, 62, 67	add12d 11477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
69	68	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
70	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	finsumvtxdg2ssteplem3 29438	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))
71	70	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
72	61	2timesd 12493	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝐽)) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
73	72	eqcomd 2731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
74	73	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
75	69, 71, 74	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · (♯‘𝐽)))
76	75	oveq2d 7435	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
77		2cnd 12328	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 2 ∈ ℂ)
78	5, 15	eqeltrid 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
79		hashcl 14356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
81	80	nn0cnd 12572	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
82	77, 81	mulcld 11271	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
83	82	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
84	58	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
85	61, 66	addcld 11270	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
86	85	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
87	83, 84, 86	addassd 11273	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))))
88		2cnd 12328	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 2 ∈ ℂ)
89	81	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
90	61	ad2antll 727	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
91	88, 89, 90	adddid 11275	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
92	76, 87, 91	3eqtr4d 2775	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
93	92	adantr 479	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
94	55, 93	eqtrd 2765	1 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∉ wnel 3035  ∀wral 3050  {crab 3418  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941  {csn 4630  ⟨cop 4636  dom cdm 5678   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  ℂcc 11143   + caddc 11148   · cmul 11150  2c2 12305  ℕ₀cn0 12510  ♯chash 14330  Σcsu 15673  Vtxcvtx 28886  iEdgciedg 28887  UPGraphcupgr 28970  VtxDegcvtxdg 29356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9671  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9472  df-oi 9540  df-dju 9931  df-card 9969  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-xadd 13133  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14008  df-exp 14068  df-hash 14331  df-cj 15087  df-re 15088  df-im 15089  df-sqrt 15223  df-abs 15224  df-clim 15473  df-sum 15674  df-vtx 28888  df-iedg 28889  df-edg 28938  df-uhgr 28948  df-upgr 28972  df-vtxdg 29357

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  29440