Theorem finsumvtxdg2ssteplem4 29528

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 29529. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem4	⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣   𝑖,𝐽   𝑣,𝐾

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐽(𝑣)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finsumvtxdg2sstep.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		finsumvtxdg2sstep.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4		finsumvtxdg2sstep.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5		finsumvtxdg2sstep.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
6		finsumvtxdg2sstep.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
7		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1fi 29524	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
9	8	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
10	9	sumeq2d 15608	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
11		diffi 9084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
12	11	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
14	5	dmeqi 5844	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom (𝐸 ↾ 𝐼)
15		finresfin 9156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
16		dmfi 9219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
18	14, 17	eqeltrid 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
19	18	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → dom 𝑃 ∈ Fin)
20	3	eqcomi 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = 𝐾
21	20	eleq2i 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ 𝐾)
22	21	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣 ∈ 𝐾)
23	6	fveq2i 6825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
24	1	fvexi 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 ∈ V
25	24	difexi 5268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
26	3, 25	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ V
27	2	fvexi 6836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 ∈ V
28	27	resex 5978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ V
29	5, 28	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 ∈ V
30	26, 29	opvtxfvi 28988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
31	23, 30	eqtr2i 2755	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Vtx‘𝑆)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 29519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝑆) = 𝑃
33	32	eqcomi 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
34		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom 𝑃
35	31, 33, 34	vtxdgfisnn0 29455	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12444	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
37	19, 22, 36	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
38		dmfi 9219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
39		rabfi 9155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
41	7, 40	eqeltrid 2835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
42		rabfi 9155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → {𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
43		hashcl 14263	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℕ0)
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℕ0)
45	44	nn0cnd 12444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
46	45	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
47	46	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
48	13, 37, 47	fsumadd 15647	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
49	10, 48	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
50	3	sumeq1i 15604	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣)
51	50	eqeq1i 2736	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) ↔ Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)))
52		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
53	51, 52	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
54	49, 53	sylan9eq 2786	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
55	54	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
56	45	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
57	56	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
58	12, 57	fsumcl 15640	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
59		hashcl 14263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
62	61	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
63		rabfi 9155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin)
64		hashcl 14263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
65	38, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
66	65	nn0cnd 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
67	66	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
68	58, 62, 67	add12d 11340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
69	68	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
70	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	finsumvtxdg2ssteplem3 29527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))
71	70	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
72	61	2timesd 12364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝐽)) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
73	72	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
74	73	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
75	69, 71, 74	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · (♯‘𝐽)))
76	75	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
77		2cnd 12203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 2 ∈ ℂ)
78	5, 15	eqeltrid 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
79		hashcl 14263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
81	80	nn0cnd 12444	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
82	77, 81	mulcld 11132	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
83	82	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
84	58	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
85	61, 66	addcld 11131	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
86	85	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
87	83, 84, 86	addassd 11134	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))))
88		2cnd 12203	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 2 ∈ ℂ)
89	81	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
90	61	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
91	88, 89, 90	adddid 11136	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
92	76, 87, 91	3eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
93	92	adantr 480	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
94	55, 93	eqtrd 2766	1 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∉ wnel 3032  ∀wral 3047  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3899  {csn 4576  ⟨cop 4582  dom cdm 5616   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  ℂcc 11004   + caddc 11009   · cmul 11011  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ♯chash 14237  Σcsu 15593  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  UPGraphcupgr 29059  VtxDegcvtxdg 29445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-disj 5059  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-oi 9396  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-uz 12733  df-rp 12891  df-xadd 13012  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395  df-sum 15594  df-vtx 28977  df-iedg 28978  df-edg 29027  df-uhgr 29037  df-upgr 29061  df-vtxdg 29446

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  29529