Theorem finsumvtxdg2ssteplem4 27608

Description: Lemma for finsumvtxdg2sstep 27609. (Contributed by AV, 12-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
finsumvtxdg2sstep.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
finsumvtxdg2sstep.k	⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
finsumvtxdg2sstep.i	⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
finsumvtxdg2sstep.p	⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
finsumvtxdg2sstep.s	⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
finsumvtxdg2ssteplem.j	⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}

Assertion

Ref	Expression
finsumvtxdg2ssteplem4	⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝐸   𝑖,𝐺   𝑖,𝑁   𝑣,𝐸   𝑣,𝐺   𝑣,𝑁   𝑖,𝑉,𝑣   𝑖,𝐽   𝑣,𝐾

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑣,𝑖)   𝑆(𝑣,𝑖)   𝐼(𝑣,𝑖)   𝐽(𝑣)   𝐾(𝑖)

Proof of Theorem finsumvtxdg2ssteplem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		finsumvtxdg2sstep.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		finsumvtxdg2sstep.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3		finsumvtxdg2sstep.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (𝑉 ∖ {𝑁})
4		finsumvtxdg2sstep.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑖)}
5		finsumvtxdg2sstep.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (𝐸 ↾ 𝐼)
6		finsumvtxdg2sstep.s	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 = ⟨𝐾, 𝑃⟩
7		finsumvtxdg2ssteplem.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)}
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	vtxdginducedm1fi 27604	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
9	8	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ∀𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
10	9	sumeq2d 15249	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
11		diffi 8895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
12	11	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
13	12	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ Fin)
14	5	dmeqi 5762	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom (𝐸 ↾ 𝐼)
15		finresfin 8890	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
16		dmfi 8943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ Fin)
18	14, 17	eqeltrid 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝑃 ∈ Fin)
19	18	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → dom 𝑃 ∈ Fin)
20	3	eqcomi 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) = 𝐾
21	20	eleq2i 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ 𝑣 ∈ 𝐾)
22	21	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) → 𝑣 ∈ 𝐾)
23	6	fveq2i 6709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩)
24	1	fvexi 6720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 ∈ V
25	24	difexi 5210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∈ V
26	3, 25	eqeltri 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ V
27	2	fvexi 6720	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐸 ∈ V
28	27	resex 5888	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ↾ 𝐼) ∈ V
29	5, 28	eqeltri 2830	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑃 ∈ V
30	26, 29	opvtxfvi 27072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘⟨𝐾, 𝑃⟩) = 𝐾
31	23, 30	eqtr2i 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Vtx‘𝑆)
32	1, 2, 3, 4, 5, 6	vtxdginducedm1lem1 27599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (iEdg‘𝑆) = 𝑃
33	32	eqcomi 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (iEdg‘𝑆)
34		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ dom 𝑃 = dom 𝑃
35	31, 33, 34	vtxdgfisnn0 27535	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℕ0)
36	35	nn0cnd 12135	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝑃 ∈ Fin ∧ 𝑣 ∈ 𝐾) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
37	19, 22, 36	syl2an 599	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) ∈ ℂ)
38		dmfi 8943	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → dom 𝐸 ∈ Fin)
39		rabfi 8889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
41	7, 40	eqeltrid 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝐽 ∈ Fin)
42		rabfi 8889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → {𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin)
43		hashcl 13906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℕ0)
44	41, 42, 43	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℕ0)
45	44	nn0cnd 12135	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
46	45	ad2antll 729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
47	46	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
48	13, 37, 47	fsumadd 15286	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
49	10, 48	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
50	3	sumeq1i 15245	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣)
51	50	eqeq1i 2739	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) ↔ Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)))
52		oveq1 7209	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
53	51, 52	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
54	49, 53	sylan9eq 2794	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = ((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})))
55	54	oveq1d 7217	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
56	45	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
57	56	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) ∧ 𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})) → (♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
58	12, 57	fsumcl 15280	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
59		hashcl 13906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
60	41, 59	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℕ0)
61	60	nn0cnd 12135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
62	61	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
63		rabfi 8889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom 𝐸 ∈ Fin → {𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin)
64		hashcl 13906	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}} ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
65	38, 63, 64	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℕ0)
66	65	nn0cnd 12135	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
67	66	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}) ∈ ℂ)
68	58, 62, 67	add12d 11041	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
69	68	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))))
70	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	finsumvtxdg2ssteplem3 27607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) = (♯‘𝐽))
71	70	oveq2d 7218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
72	61	2timesd 12056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝐽)) = ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)))
73	72	eqcomd 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
74	73	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘𝐽)) = (2 · (♯‘𝐽)))
75	69, 71, 74	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · (♯‘𝐽)))
76	75	oveq2d 7218	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
77		2cnd 11891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 2 ∈ ℂ)
78	5, 15	eqeltrid 2838	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → 𝑃 ∈ Fin)
79		hashcl 13906	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
80	78, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℕ0)
81	80	nn0cnd 12135	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
82	77, 81	mulcld 10836	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
83	82	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · (♯‘𝑃)) ∈ ℂ)
84	58	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) ∈ ℂ)
85	61, 66	addcld 10835	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ Fin → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
86	85	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})) ∈ ℂ)
87	83, 84, 86	addassd 10838	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)}) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}})))))
88		2cnd 11891	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → 2 ∈ ℂ)
89	81	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝑃) ∈ ℂ)
90	61	ad2antll 729	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (♯‘𝐽) ∈ ℂ)
91	88, 89, 90	adddid 10840	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))) = ((2 · (♯‘𝑃)) + (2 · (♯‘𝐽))))
92	76, 87, 91	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
93	92	adantr 484	. 2 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (((2 · (♯‘𝑃)) + Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})(♯‘{𝑖 ∈ 𝐽 ∣ 𝑣 ∈ (𝐸‘𝑖)})) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))
94	55, 93	eqtrd 2774	1 ⊢ ((((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ Fin)) ∧ Σ𝑣 ∈ 𝐾 ((VtxDeg‘𝑆)‘𝑣) = (2 · (♯‘𝑃))) → (Σ𝑣 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁})((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) + ((♯‘𝐽) + (♯‘{𝑖 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑖) = {𝑁}}))) = (2 · ((♯‘𝑃) + (♯‘𝐽))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∉ wnel 3039  ∀wral 3054  {crab 3058  Vcvv 3401   ∖ cdif 3854  {csn 4531  ⟨cop 4537  dom cdm 5540   ↾ cres 5542  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Fincfn 8615  ℂcc 10710   + caddc 10715   · cmul 10717  2c2 11868  ℕ₀cn0 12073  ♯chash 13879  Σcsu 15232  Vtxcvtx 27059  iEdgciedg 27060  UPGraphcupgr 27143  VtxDegcvtxdg 27525

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-disj 5009  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-oadd 8195  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-sup 9047  df-oi 9115  df-dju 9500  df-card 9538  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-n0 12074  df-xnn0 12146  df-z 12160  df-uz 12422  df-rp 12570  df-xadd 12688  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-seq 13558  df-exp 13619  df-hash 13880  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-clim 15032  df-sum 15233  df-vtx 27061  df-iedg 27062  df-edg 27111  df-uhgr 27121  df-upgr 27145  df-vtxdg 27526

This theorem is referenced by:  finsumvtxdg2sstep  27609