Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem17 42608
Description: The defined 𝐿 is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem17.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem17.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem17.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem17.l 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem17 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem17
StepHypRef Expression
1 fourierdlem17.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem17.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31leidd 11191 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐴)
4 fourierdlem17.altb . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 4ltled 10773 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 1, 3, 5eliccd 41983 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
76ad2antrr 725 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8 iocssicc 12813 . . . . 5 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
98sseli 3947 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
109ad2antlr 726 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
117, 10ifclda 4482 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12 fourierdlem17.l . 2 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
1311, 12fmptd 6859 1 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  ifcif 4448   class class class wbr 5047  cmpt 5127  wf 6332  (class class class)co 7138  cr 10521   < clt 10660  (,]cioc 12725  [,]cicc 12727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-ioc 12729  df-icc 12731
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  42669  fourierdlem89  42679  fourierdlem90  42680  fourierdlem91  42681
  Copyright terms: Public domain W3C validator