Theorem fourierdlem17 43555

Description: The defined 𝐿 is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem17.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem17.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem17.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem17.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem17	⊢ (𝜑 → 𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem17.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem17.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1	leidd 11471	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
4		fourierdlem17.altb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 4	ltled 11053	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	1, 2, 1, 3, 5	eliccd 42932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	6	ad2antrr 722	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		iocssicc 13098	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
9	8	sseli 3913	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	9	ad2antlr 723	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	7, 10	ifclda 4491	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		fourierdlem17.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
13	11, 12	fmptd 6970	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255  ℝcr 10801   < clt 10940  (,]cioc 13009  [,]cicc 13011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-ioc 13013  df-icc 13015

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  43616  fourierdlem89  43626  fourierdlem90  43627  fourierdlem91  43628