Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem17 44840
Description: The defined 𝐿 is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem17.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem17.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem17.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem17.l 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem17 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem17
StepHypRef Expression
1 fourierdlem17.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem17.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31leidd 11780 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐴)
4 fourierdlem17.altb . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 4ltled 11362 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 1, 3, 5eliccd 44217 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
76ad2antrr 725 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8 iocssicc 13414 . . . . 5 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
98sseli 3979 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
109ad2antlr 726 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
117, 10ifclda 4564 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12 fourierdlem17.l . 2 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
1311, 12fmptd 7114 1 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cmpt 5232  wf 6540  (class class class)co 7409  cr 11109   < clt 11248  (,]cioc 13325  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioc 13329  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  44901  fourierdlem89  44911  fourierdlem90  44912  fourierdlem91  44913
  Copyright terms: Public domain W3C validator