Theorem fourierdlem17 46552

Description: The defined 𝐿 is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem17.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem17.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem17.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem17.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem17	⊢ (𝜑 → 𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem17.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem17.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1	leidd 11716	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
4		fourierdlem17.altb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 4	ltled 11294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	1, 2, 1, 3, 5	eliccd 45934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	6	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		iocssicc 13390	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
9	8	sseli 3917	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	9	ad2antlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	7, 10	ifclda 4502	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		fourierdlem17.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
13	11, 12	fmptd 7066	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   < clt 11179  (,]cioc 13299  [,]cicc 13301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-ioc 13303  df-icc 13305

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  46613  fourierdlem89  46623  fourierdlem90  46624  fourierdlem91  46625