Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem17 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem17 44451
Description: The defined 𝐿 is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem17.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem17.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem17.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
fourierdlem17.l 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem17 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem17
StepHypRef Expression
1 fourierdlem17.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 fourierdlem17.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
31leidd 11726 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐴)
4 fourierdlem17.altb . . . . . 6 (𝜑𝐴 < 𝐵)
51, 2, 4ltled 11308 . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 1, 3, 5eliccd 43828 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
76ad2antrr 725 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8 iocssicc 13360 . . . . 5 (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
98sseli 3941 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
109ad2antlr 726 . . 3 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
117, 10ifclda 4522 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12 fourierdlem17.l . 2 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
1311, 12fmptd 7063 1 (𝜑𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4487   class class class wbr 5106  cmpt 5189  wf 6493  (class class class)co 7358  cr 11055   < clt 11194  (,]cioc 13271  [,]cicc 13273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-ioc 13275  df-icc 13277
This theorem is referenced by:  fourierdlem79  44512  fourierdlem89  44522  fourierdlem90  44523  fourierdlem91  44524
  Copyright terms: Public domain W3C validator