Theorem fourierdlem17 46556

Description: The defined 𝐿 is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem17.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem17.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem17.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem17.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem17	⊢ (𝜑 → 𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem17.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem17.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1	leidd 11704	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
4		fourierdlem17.altb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 4	ltled 11282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	1, 2, 1, 3, 5	eliccd 45938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	6	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		iocssicc 13354	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
9	8	sseli 3918	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	9	ad2antlr 728	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	7, 10	ifclda 4503	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		fourierdlem17.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
13	11, 12	fmptd 7058	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ⟶wf 6486  (class class class)co 7358  ℝcr 11026   < clt 11167  (,]cioc 13263  [,]cicc 13265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-ioc 13267  df-icc 13269

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  46617  fourierdlem89  46627  fourierdlem90  46628  fourierdlem91  46629