Theorem fourierdlem17 46122

Description: The defined 𝐿 is actually a function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem17.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem17.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
fourierdlem17.altb	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
fourierdlem17.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem17	⊢ (𝜑 → 𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐿(𝑥)

Proof of Theorem fourierdlem17

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem17.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		fourierdlem17.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3	1	leidd 11744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐴)
4		fourierdlem17.altb	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
5	1, 2, 4	ltled 11322	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
6	1, 2, 1, 3, 5	eliccd 45502	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
7	6	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ 𝑥 = 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8		iocssicc 13398	. . . . 5 ⊢ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
9	8	sseli 3942	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
10	9	ad2antlr 727	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝐵) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
11	7, 10	ifclda 4524	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵)) → if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12		fourierdlem17.l	. 2 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵) ↦ if(𝑥 = 𝐵, 𝐴, 𝑥))
13	11, 12	fmptd 7086	1 ⊢ (𝜑 → 𝐿:(𝐴(,]𝐵)⟶(𝐴[,]𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4488   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6507  (class class class)co 7387  ℝcr 11067   < clt 11208  (,]cioc 13307  [,]cicc 13309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-ioc 13311  df-icc 13313

This theorem is referenced by:  fourierdlem79  46183  fourierdlem89  46193  fourierdlem90  46194  fourierdlem91  46195