Theorem ltled 11438

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 11378	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  ltnsymd  11439  mulge0  11808  msqge0  11811  addgt0d  11865  lt2addd  11913  lt2msq1  12179  uzwo3  13008  fznatpl1  13638  flflp1  13858  modaddmodup  13985  expmulnbnd  14284  fzsdom2  14477  repswcshw  14860  isercolllem1  15713  caucvgrlem  15721  climcnds  15899  geomulcvg  15924  mertenslem1  15932  ruclem2  16280  ruclem12  16289  bitsfzo  16481  bitsmod  16482  nn0rppwr  16608  nn0expgcd  16611  lcmgcdlem  16653  isprm7  16755  4sqlem7  16991  vdwlem1  17028  met1stc  24555  cfilucfil  24593  nlmvscnlem2  24727  icccmplem2  24864  reconnlem2  24868  xrhmeo  24996  cnheibor  25006  nmoleub2lem3  25167  ipcnlem2  25297  minveclem3b  25481  ivthlem1  25505  ivthlem2  25506  ivth2  25509  ivthle  25510  ivthle2  25511  ovollb2lem  25542  ovolicc2lem4  25574  ovolicc2lem5  25575  ioombl1lem4  25615  uniioombllem4  25640  uniioombllem5  25641  opnmbllem  25655  ismbf3d  25708  mbfi1fseqlem6  25775  itg2gt0  25815  dveflem  26037  dvferm1lem  26042  dvferm2lem  26044  rollelem  26047  rolle  26048  cmvth  26049  cmvthOLD  26050  mvth  26051  c1liplem1  26055  dvgt0lem1  26061  dvivthlem1  26067  lhop1lem  26072  lhop1  26073  dvcnvrelem1  26076  dvcnvrelem2  26077  dvcvx  26079  dgradd2  26328  aaliou3lem8  26405  aaliou3lem7  26409  ulmdvlem1  26461  itgulm  26469  radcnvlt1  26479  radcnvle  26481  abelthlem7  26500  efcvx  26511  coseq0negpitopi  26563  tangtx  26565  tanabsge  26566  tanord  26598  abslogimle  26633  divlogrlim  26695  logno1  26696  logcnlem3  26704  logcnlem4  26705  logtayl  26720  logccv  26723  cxple  26755  rtprmirr  26821  chordthmlem4  26896  asinsin  26953  atanlogaddlem  26974  atantan  26984  cxp2limlem  27037  logdifbnd  27055  emcllem4  27060  harmonicbnd4  27072  lgamucov  27099  ftalem1  27134  ftalem2  27135  ftalem3  27136  basellem5  27146  basellem8  27149  chpchtsum  27281  bposlem1  27346  lgseisenlem1  27437  lgsquadlem1  27442  lgsquadlem2  27443  lgsquadlem3  27444  2sqreulem1  27508  2sqreunnlem1  27511  chebbnd1lem2  27532  chebbnd1lem3  27533  chtppilimlem1  27535  chto1ub  27538  chpo1ubb  27543  vmadivsumb  27545  dchrisumlem3  27553  mulog2sumlem1  27596  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  selbergb  27611  selberg2b  27614  chpdifbndlem1  27615  selberg3lem2  27620  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selberg4  27623  pntrsumbnd  27628  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  pntrlog2bndlem6a  27644  pntrlog2bndlem6  27645  pntrlog2bnd  27646  pntpbnd1a  27647  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntibndlem2  27653  pntlemb  27659  pntlemq  27663  pntlemr  27664  pntlemj  27665  pntlemf  27667  pntlemp  27672  ostth2lem2  27696  axpaschlem  28973  axlowdimlem16  28990  smcnlem  30729  bcm1n  32800  wrdt2ind  32920  chnub  32984  cycpmco2lem6  33124  cyc3conja  33150  smatrcl  33742  fiunelros  34138  dya2icoseg  34242  eulerpartlemgc  34327  dstfrvunirn  34439  ballotlemfc0  34457  ballotlemfcc  34458  ballotlemimin  34470  ballotlemsgt1  34475  ballotlemfrcn0  34494  sgnmul  34507  fdvposlt  34576  breprexp  34610  logdivsqrle  34627  hgt750leme  34635  tgoldbachgt  34640  lpadmax  34659  lpadright  34661  subfacval3  35157  erdszelem8  35166  cvmliftlem6  35258  cvmliftlem7  35259  cvmliftlem8  35260  cvmliftlem9  35261  cvmliftlem10  35262  sinccvglem  35640  dnibndlem9  36452  unbdqndv2lem2  36476  knoppndvlem14  36491  knoppndvlem18  36495  knoppndvlem19  36496  poimirlem7  37587  poimirlem15  37595  opnmbllem0  37616  itg2addnclem  37631  itg2addnclem3  37633  itg2addnc  37634  itg2gt0cn  37635  areacirclem1  37668  areacirc  37673  isbnd3  37744  cntotbnd  37756  rrnequiv  37795  lcmineqlem11  41996  lcmineqlem22  42007  3lexlogpow5ineq2  42012  3lexlogpow5ineq5  42017  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p4  42028  aks4d1p1p6  42030  aks4d1p1p7  42031  aks4d1p1p5  42032  aks4d1p1  42033  aks4d1p2  42034  aks4d1p3  42035  aks4d1p5  42037  aks4d1p7d1  42039  aks4d1p7  42040  aks4d1p8  42044  hashscontpow1  42078  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c5lem2  42095  sticksstones6  42108  sticksstones12a  42114  sticksstones12  42115  aks6d1c7lem1  42137  unitscyglem2  42153  metakunt7  42168  metakunt29  42190  metakunt30  42191  posqsqznn  42323  fltnltalem  42617  irrapxlem3  42780  pellexlem2  42786  pellfundglb  42841  monotuz  42898  monotoddzzfi  42899  acongrep  42937  cvgdvgrat  44282  hashnzfz2  44290  hashnzfzclim  44291  binomcxplemnotnn0  44325  monoords  45212  xralrple2  45269  reclt0d  45302  reclt0  45306  uzublem  45345  cvgcaule  45407  iooiinicc  45460  iooiinioc  45474  limciccioolb  45542  limcicciooub  45558  lptre2pt  45561  limsupubuzlem  45633  limsup10exlem  45693  icccncfext  45808  cncfiooicclem1  45814  dvdivbd  45844  dvbdfbdioolem1  45849  dvbdfbdioolem2  45850  ioodvbdlimc1lem2  45853  ioodvbdlimc2lem  45855  dvnxpaek  45863  dvnmul  45864  volioc  45893  iblspltprt  45894  itgspltprt  45900  volico  45904  volioore  45911  voliooico  45913  voliccico  45920  stoweidlem1  45922  stoweidlem3  45924  stoweidlem7  45928  stoweidlem24  45945  stoweidlem26  45947  stoweidlem42  45963  wallispilem5  45990  stirlinglem1  45995  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem10  46004  stirlinglem12  46006  stirlinglem13  46007  stirlingr  46011  dirkertrigeqlem1  46019  fourierdlem10  46038  fourierdlem11  46039  fourierdlem12  46040  fourierdlem14  46042  fourierdlem15  46043  fourierdlem17  46045  fourierdlem19  46047  fourierdlem30  46058  fourierdlem37  46065  fourierdlem40  46068  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem47  46074  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem50  46077  fourierdlem51  46078  fourierdlem54  46081  fourierdlem63  46090  fourierdlem64  46091  fourierdlem65  46092  fourierdlem68  46095  fourierdlem73  46100  fourierdlem74  46101  fourierdlem76  46103  fourierdlem77  46104  fourierdlem78  46105  fourierdlem79  46106  fourierdlem81  46108  fourierdlem82  46109  fourierdlem83  46110  fourierdlem92  46119  fourierdlem93  46120  fourierdlem102  46129  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem107  46134  fourierdlem111  46138  fourierdlem114  46141  sqwvfoura  46149  sqwvfourb  46150  fouriersw  46152  etransclem19  46174  etransclem23  46178  etransclem35  46190  etransclem41  46196  qndenserrnbllem  46215  iundjiun  46381  carageniuncllem2  46443  caratheodorylem1  46447  hoicvr  46469  ovnsubaddlem1  46491  hsphoidmvle2  46506  hoidmv1lelem1  46512  hoidmv1lelem2  46513  hoidmvlelem1  46516  hoidmvlelem2  46517  hoidmvlelem3  46518  hoiqssbllem1  46543  hoiqssbllem2  46544  volico2  46562  iinhoiicclem  46594  iunhoiioolem  46596  vonioolem2  46602  vonicclem2  46605  pimdecfgtioo  46638  pimincfltioo  46639  smflimlem4  46695  smfmullem1  46712  smflimsuplem4  46744  expnegico01  48247  eenglngeehlnmlem2  48472  inlinecirc02plem  48520