Theorem ltled 11322

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 11262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  ltnsymd  11323  mulge0  11696  msqge0  11699  addgt0d  11753  lt2addd  11801  lt2msq1  12067  uzwo3  12902  fznatpl1  13539  flflp1  13769  modaddmodup  13899  expmulnbnd  14200  fzsdom2  14393  repswcshw  14777  isercolllem1  15631  caucvgrlem  15639  climcnds  15817  geomulcvg  15842  mertenslem1  15850  ruclem2  16200  ruclem12  16209  bitsfzo  16405  bitsmod  16406  nn0rppwr  16531  nn0expgcd  16534  lcmgcdlem  16576  isprm7  16678  4sqlem7  16915  vdwlem1  16952  met1stc  24409  cfilucfil  24447  nlmvscnlem2  24573  icccmplem2  24712  reconnlem2  24716  xrhmeo  24844  cnheibor  24854  nmoleub2lem3  25015  ipcnlem2  25144  minveclem3b  25328  ivthlem1  25352  ivthlem2  25353  ivth2  25356  ivthle  25357  ivthle2  25358  ovollb2lem  25389  ovolicc2lem4  25421  ovolicc2lem5  25422  ioombl1lem4  25462  uniioombllem4  25487  uniioombllem5  25488  opnmbllem  25502  ismbf3d  25555  mbfi1fseqlem6  25621  itg2gt0  25661  dveflem  25883  dvferm1lem  25888  dvferm2lem  25890  rollelem  25893  rolle  25894  cmvth  25895  cmvthOLD  25896  mvth  25897  c1liplem1  25901  dvgt0lem1  25907  dvivthlem1  25913  lhop1lem  25918  lhop1  25919  dvcnvrelem1  25922  dvcnvrelem2  25923  dvcvx  25925  dgradd2  26174  aaliou3lem8  26253  aaliou3lem7  26257  ulmdvlem1  26309  itgulm  26317  radcnvlt1  26327  radcnvle  26329  abelthlem7  26348  efcvx  26359  coseq0negpitopi  26412  tangtx  26414  tanabsge  26415  tanord  26447  abslogimle  26482  divlogrlim  26544  logno1  26545  logcnlem3  26553  logcnlem4  26554  logtayl  26569  logccv  26572  cxple  26604  rtprmirr  26670  chordthmlem4  26745  asinsin  26802  atanlogaddlem  26823  atantan  26833  cxp2limlem  26886  logdifbnd  26904  emcllem4  26909  harmonicbnd4  26921  lgamucov  26948  ftalem1  26983  ftalem2  26984  ftalem3  26985  basellem5  26995  basellem8  26998  chpchtsum  27130  bposlem1  27195  lgseisenlem1  27286  lgsquadlem1  27291  lgsquadlem2  27292  lgsquadlem3  27293  2sqreulem1  27357  2sqreunnlem1  27360  chebbnd1lem2  27381  chebbnd1lem3  27382  chtppilimlem1  27384  chto1ub  27387  chpo1ubb  27392  vmadivsumb  27394  dchrisumlem3  27402  mulog2sumlem1  27445  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  selbergb  27460  selberg2b  27463  chpdifbndlem1  27464  selberg3lem2  27469  selberg3  27470  selberg4lem1  27471  selberg4  27472  pntrsumbnd  27477  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  pntrlog2bndlem6a  27493  pntrlog2bndlem6  27494  pntrlog2bnd  27495  pntpbnd1a  27496  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntibndlem2  27502  pntlemb  27508  pntlemq  27512  pntlemr  27513  pntlemj  27514  pntlemf  27516  pntlemp  27521  ostth2lem2  27545  axpaschlem  28867  axlowdimlem16  28884  smcnlem  30626  bcm1n  32718  sgnmul  32760  wrdt2ind  32875  chnub  32938  cycpmco2lem6  33088  cyc3conja  33114  smatrcl  33786  fiunelros  34164  dya2icoseg  34268  eulerpartlemgc  34353  dstfrvunirn  34466  ballotlemfc0  34484  ballotlemfcc  34485  ballotlemimin  34497  ballotlemsgt1  34502  ballotlemfrcn0  34521  fdvposlt  34590  breprexp  34624  logdivsqrle  34641  hgt750leme  34649  tgoldbachgt  34654  lpadmax  34673  lpadright  34675  subfacval3  35176  erdszelem8  35185  cvmliftlem6  35277  cvmliftlem7  35278  cvmliftlem8  35279  cvmliftlem9  35280  cvmliftlem10  35281  sinccvglem  35659  dnibndlem9  36474  unbdqndv2lem2  36498  knoppndvlem14  36513  knoppndvlem18  36517  knoppndvlem19  36518  poimirlem7  37621  poimirlem15  37629  opnmbllem0  37650  itg2addnclem  37665  itg2addnclem3  37667  itg2addnc  37668  itg2gt0cn  37669  areacirclem1  37702  areacirc  37707  isbnd3  37778  cntotbnd  37790  rrnequiv  37829  lcmineqlem11  42027  lcmineqlem22  42038  3lexlogpow5ineq2  42043  3lexlogpow5ineq5  42048  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p4  42059  aks4d1p1p6  42061  aks4d1p1p7  42062  aks4d1p1p5  42063  aks4d1p1  42064  aks4d1p2  42065  aks4d1p3  42066  aks4d1p5  42068  aks4d1p7d1  42070  aks4d1p7  42071  aks4d1p8  42075  hashscontpow1  42109  aks6d1c2lem4  42115  aks6d1c5lem2  42126  sticksstones6  42139  sticksstones12a  42145  sticksstones12  42146  aks6d1c7lem1  42168  unitscyglem2  42184  posqsqznn  42324  redvmptabs  42348  readvrec  42350  fltnltalem  42650  irrapxlem3  42812  pellexlem2  42818  pellfundglb  42873  monotuz  42930  monotoddzzfi  42931  acongrep  42969  cvgdvgrat  44302  hashnzfz2  44310  hashnzfzclim  44311  binomcxplemnotnn0  44345  monoords  45295  xralrple2  45350  reclt0d  45383  reclt0  45387  uzublem  45426  cvgcaule  45487  iooiinicc  45540  iooiinioc  45554  limciccioolb  45619  limcicciooub  45635  lptre2pt  45638  limsupubuzlem  45710  limsup10exlem  45770  icccncfext  45885  cncfiooicclem1  45891  dvdivbd  45921  dvbdfbdioolem1  45926  dvbdfbdioolem2  45927  ioodvbdlimc1lem2  45930  ioodvbdlimc2lem  45932  dvnxpaek  45940  dvnmul  45941  volioc  45970  iblspltprt  45971  itgspltprt  45977  volico  45981  volioore  45988  voliooico  45990  voliccico  45997  stoweidlem1  45999  stoweidlem3  46001  stoweidlem7  46005  stoweidlem24  46022  stoweidlem26  46024  stoweidlem42  46040  wallispilem5  46067  stirlinglem1  46072  stirlinglem6  46077  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  stirlinglem12  46083  stirlinglem13  46084  stirlingr  46088  dirkertrigeqlem1  46096  fourierdlem10  46115  fourierdlem11  46116  fourierdlem12  46117  fourierdlem14  46119  fourierdlem15  46120  fourierdlem17  46122  fourierdlem19  46124  fourierdlem30  46135  fourierdlem37  46142  fourierdlem40  46145  fourierdlem41  46146  fourierdlem42  46147  fourierdlem47  46151  fourierdlem48  46152  fourierdlem49  46153  fourierdlem50  46154  fourierdlem51  46155  fourierdlem54  46158  fourierdlem63  46167  fourierdlem64  46168  fourierdlem65  46169  fourierdlem68  46172  fourierdlem73  46177  fourierdlem74  46178  fourierdlem76  46180  fourierdlem77  46181  fourierdlem78  46182  fourierdlem79  46183  fourierdlem81  46185  fourierdlem82  46186  fourierdlem83  46187  fourierdlem92  46196  fourierdlem93  46197  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem107  46211  fourierdlem111  46215  fourierdlem114  46218  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  fouriersw  46229  etransclem19  46251  etransclem23  46255  etransclem35  46267  etransclem41  46273  qndenserrnbllem  46292  iundjiun  46458  carageniuncllem2  46520  caratheodorylem1  46524  hoicvr  46546  ovnsubaddlem1  46568  hsphoidmvle2  46583  hoidmv1lelem1  46589  hoidmv1lelem2  46590  hoidmvlelem1  46593  hoidmvlelem2  46594  hoidmvlelem3  46595  hoiqssbllem1  46620  hoiqssbllem2  46621  volico2  46639  iinhoiicclem  46671  iunhoiioolem  46673  vonioolem2  46679  vonicclem2  46682  pimdecfgtioo  46715  pimincfltioo  46716  smflimlem4  46772  smfmullem1  46789  smflimsuplem4  46821  gpg3kgrtriexlem4  48077  gpg3kgrtriexlem6  48079  expnegico01  48507  eenglngeehlnmlem2  48727  inlinecirc02plem  48775