Theorem ltled 11293

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 11233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  ltnsymd  11294  mulge0  11667  msqge0  11670  addgt0d  11724  lt2addd  11772  lt2msq1  12038  uzwo3  12868  fznatpl1  13506  flflp1  13739  modaddmodup  13869  expmulnbnd  14170  fzsdom2  14363  repswcshw  14747  isercolllem1  15600  caucvgrlem  15608  climcnds  15786  geomulcvg  15811  mertenslem1  15819  ruclem2  16169  ruclem12  16178  bitsfzo  16374  bitsmod  16375  nn0rppwr  16500  nn0expgcd  16503  lcmgcdlem  16545  isprm7  16647  4sqlem7  16884  vdwlem1  16921  chnub  18557  met1stc  24477  cfilucfil  24515  nlmvscnlem2  24641  icccmplem2  24780  reconnlem2  24784  xrhmeo  24912  cnheibor  24922  nmoleub2lem3  25083  ipcnlem2  25212  minveclem3b  25396  ivthlem1  25420  ivthlem2  25421  ivth2  25424  ivthle  25425  ivthle2  25426  ovollb2lem  25457  ovolicc2lem4  25489  ovolicc2lem5  25490  ioombl1lem4  25530  uniioombllem4  25555  uniioombllem5  25556  opnmbllem  25570  ismbf3d  25623  mbfi1fseqlem6  25689  itg2gt0  25729  dveflem  25951  dvferm1lem  25956  dvferm2lem  25958  rollelem  25961  rolle  25962  cmvth  25963  cmvthOLD  25964  mvth  25965  c1liplem1  25969  dvgt0lem1  25975  dvivthlem1  25981  lhop1lem  25986  lhop1  25987  dvcnvrelem1  25990  dvcnvrelem2  25991  dvcvx  25993  dgradd2  26242  aaliou3lem8  26321  aaliou3lem7  26325  ulmdvlem1  26377  itgulm  26385  radcnvlt1  26395  radcnvle  26397  abelthlem7  26416  efcvx  26427  coseq0negpitopi  26480  tangtx  26482  tanabsge  26483  tanord  26515  abslogimle  26550  divlogrlim  26612  logno1  26613  logcnlem3  26621  logcnlem4  26622  logtayl  26637  logccv  26640  cxple  26672  rtprmirr  26738  chordthmlem4  26813  asinsin  26870  atanlogaddlem  26891  atantan  26901  cxp2limlem  26954  logdifbnd  26972  emcllem4  26977  harmonicbnd4  26989  lgamucov  27016  ftalem1  27051  ftalem2  27052  ftalem3  27053  basellem5  27063  basellem8  27066  chpchtsum  27198  bposlem1  27263  lgseisenlem1  27354  lgsquadlem1  27359  lgsquadlem2  27360  lgsquadlem3  27361  2sqreulem1  27425  2sqreunnlem1  27428  chebbnd1lem2  27449  chebbnd1lem3  27450  chtppilimlem1  27452  chto1ub  27455  chpo1ubb  27460  vmadivsumb  27462  dchrisumlem3  27470  mulog2sumlem1  27513  vmalogdivsum2  27517  vmalogdivsum  27518  2vmadivsumlem  27519  selbergb  27528  selberg2b  27531  chpdifbndlem1  27532  selberg3lem2  27537  selberg3  27538  selberg4lem1  27539  selberg4  27540  pntrsumbnd  27545  selberg3r  27548  selberg4r  27549  selberg34r  27550  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntrlog2bndlem6a  27561  pntrlog2bndlem6  27562  pntrlog2bnd  27563  pntpbnd1a  27564  pntpbnd1  27565  pntpbnd2  27566  pntibndlem2  27570  pntlemb  27576  pntlemq  27580  pntlemr  27581  pntlemj  27582  pntlemf  27584  pntlemp  27589  ostth2lem2  27613  axpaschlem  29025  axlowdimlem16  29042  smcnlem  30785  bcm1n  32886  sgnmul  32927  wrdt2ind  33046  cycpmco2lem6  33225  cyc3conja  33251  smatrcl  33974  fiunelros  34352  dya2icoseg  34455  eulerpartlemgc  34540  dstfrvunirn  34653  ballotlemfc0  34671  ballotlemfcc  34672  ballotlemimin  34684  ballotlemsgt1  34689  ballotlemfrcn0  34708  fdvposlt  34777  breprexp  34811  logdivsqrle  34828  hgt750leme  34836  tgoldbachgt  34841  lpadmax  34860  lpadright  34862  subfacval3  35405  erdszelem8  35414  cvmliftlem6  35506  cvmliftlem7  35507  cvmliftlem8  35508  cvmliftlem9  35509  cvmliftlem10  35510  sinccvglem  35888  dnibndlem9  36708  unbdqndv2lem2  36732  knoppndvlem14  36747  knoppndvlem18  36751  knoppndvlem19  36752  poimirlem7  37878  poimirlem15  37886  opnmbllem0  37907  itg2addnclem  37922  itg2addnclem3  37924  itg2addnc  37925  itg2gt0cn  37926  areacirclem1  37959  areacirc  37964  isbnd3  38035  cntotbnd  38047  rrnequiv  38086  lcmineqlem11  42409  lcmineqlem22  42420  3lexlogpow5ineq2  42425  3lexlogpow5ineq5  42430  dvrelogpow2b  42438  aks4d1p1p2  42440  aks4d1p1p4  42441  aks4d1p1p6  42443  aks4d1p1p7  42444  aks4d1p1p5  42445  aks4d1p1  42446  aks4d1p2  42447  aks4d1p3  42448  aks4d1p5  42450  aks4d1p7d1  42452  aks4d1p7  42453  aks4d1p8  42457  hashscontpow1  42491  aks6d1c2lem4  42497  aks6d1c5lem2  42508  sticksstones6  42521  sticksstones12a  42527  sticksstones12  42528  aks6d1c7lem1  42550  unitscyglem2  42566  posqsqznn  42706  redvmptabs  42730  readvrec  42732  fltnltalem  43020  irrapxlem3  43181  pellexlem2  43187  pellfundglb  43242  monotuz  43298  monotoddzzfi  43299  acongrep  43337  cvgdvgrat  44669  hashnzfz2  44677  hashnzfzclim  44678  binomcxplemnotnn0  44712  monoords  45659  xralrple2  45713  reclt0d  45745  reclt0  45749  uzublem  45788  cvgcaule  45849  iooiinicc  45902  iooiinioc  45916  limciccioolb  45981  limcicciooub  45995  lptre2pt  45998  limsupubuzlem  46070  limsup10exlem  46130  icccncfext  46245  cncfiooicclem1  46251  dvdivbd  46281  dvbdfbdioolem1  46286  dvbdfbdioolem2  46287  ioodvbdlimc1lem2  46290  ioodvbdlimc2lem  46292  dvnxpaek  46300  dvnmul  46301  volioc  46330  iblspltprt  46331  itgspltprt  46337  volico  46341  volioore  46348  voliooico  46350  voliccico  46357  stoweidlem1  46359  stoweidlem3  46361  stoweidlem7  46365  stoweidlem24  46382  stoweidlem26  46384  stoweidlem42  46400  wallispilem5  46427  stirlinglem1  46432  stirlinglem6  46437  stirlinglem7  46438  stirlinglem10  46441  stirlinglem12  46443  stirlinglem13  46444  stirlingr  46448  dirkertrigeqlem1  46456  fourierdlem10  46475  fourierdlem11  46476  fourierdlem12  46477  fourierdlem14  46479  fourierdlem15  46480  fourierdlem17  46482  fourierdlem19  46484  fourierdlem30  46495  fourierdlem37  46502  fourierdlem40  46505  fourierdlem41  46506  fourierdlem42  46507  fourierdlem47  46511  fourierdlem48  46512  fourierdlem49  46513  fourierdlem50  46514  fourierdlem51  46515  fourierdlem54  46518  fourierdlem63  46527  fourierdlem64  46528  fourierdlem65  46529  fourierdlem68  46532  fourierdlem73  46537  fourierdlem74  46538  fourierdlem76  46540  fourierdlem77  46541  fourierdlem78  46542  fourierdlem79  46543  fourierdlem81  46545  fourierdlem82  46546  fourierdlem83  46547  fourierdlem92  46556  fourierdlem93  46557  fourierdlem102  46566  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem107  46571  fourierdlem111  46575  fourierdlem114  46578  sqwvfoura  46586  sqwvfourb  46587  fouriersw  46589  etransclem19  46611  etransclem23  46615  etransclem35  46627  etransclem41  46633  qndenserrnbllem  46652  iundjiun  46818  carageniuncllem2  46880  caratheodorylem1  46884  hoicvr  46906  ovnsubaddlem1  46928  hsphoidmvle2  46943  hoidmv1lelem1  46949  hoidmv1lelem2  46950  hoidmvlelem1  46953  hoidmvlelem2  46954  hoidmvlelem3  46955  hoiqssbllem1  46980  hoiqssbllem2  46981  volico2  46999  iinhoiicclem  47031  iunhoiioolem  47033  vonioolem2  47039  vonicclem2  47042  pimdecfgtioo  47075  pimincfltioo  47076  smflimlem4  47132  smfmullem1  47149  smflimsuplem4  47181  gpg3kgrtriexlem4  48446  gpg3kgrtriexlem6  48448  expnegico01  48878  eenglngeehlnmlem2  49098  inlinecirc02plem  49146