Theorem ltled 11294

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 11234	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  ltnsymd  11295  mulge0  11668  msqge0  11671  addgt0d  11725  lt2addd  11773  lt2msq1  12040  uzwo3  12893  fznatpl1  13532  flflp1  13766  modaddmodup  13896  expmulnbnd  14197  fzsdom2  14390  repswcshw  14774  isercolllem1  15627  caucvgrlem  15635  climcnds  15816  geomulcvg  15841  mertenslem1  15849  ruclem2  16199  ruclem12  16208  bitsfzo  16404  bitsmod  16405  nn0rppwr  16530  nn0expgcd  16533  lcmgcdlem  16575  isprm7  16678  4sqlem7  16915  vdwlem1  16952  chnub  18588  met1stc  24486  cfilucfil  24524  nlmvscnlem2  24650  icccmplem2  24789  reconnlem2  24793  xrhmeo  24913  cnheibor  24922  nmoleub2lem3  25082  ipcnlem2  25211  minveclem3b  25395  ivthlem1  25418  ivthlem2  25419  ivth2  25422  ivthle  25423  ivthle2  25424  ovollb2lem  25455  ovolicc2lem4  25487  ovolicc2lem5  25488  ioombl1lem4  25528  uniioombllem4  25553  uniioombllem5  25554  opnmbllem  25568  ismbf3d  25621  mbfi1fseqlem6  25687  itg2gt0  25727  dveflem  25946  dvferm1lem  25951  dvferm2lem  25953  rollelem  25956  rolle  25957  cmvth  25958  mvth  25959  c1liplem1  25963  dvgt0lem1  25969  dvivthlem1  25975  lhop1lem  25980  lhop1  25981  dvcnvrelem1  25984  dvcnvrelem2  25985  dvcvx  25987  dgradd2  26233  aaliou3lem8  26311  aaliou3lem7  26315  ulmdvlem1  26365  itgulm  26373  radcnvlt1  26383  radcnvle  26385  abelthlem7  26403  efcvx  26414  coseq0negpitopi  26467  tangtx  26469  tanabsge  26470  tanord  26502  abslogimle  26537  divlogrlim  26599  logno1  26600  logcnlem3  26608  logcnlem4  26609  logtayl  26624  logccv  26627  cxple  26659  rtprmirr  26724  chordthmlem4  26799  asinsin  26856  atanlogaddlem  26877  atantan  26887  cxp2limlem  26939  logdifbnd  26957  emcllem4  26962  harmonicbnd4  26974  lgamucov  27001  ftalem1  27036  ftalem2  27037  ftalem3  27038  basellem5  27048  basellem8  27051  chpchtsum  27182  bposlem1  27247  lgseisenlem1  27338  lgsquadlem1  27343  lgsquadlem2  27344  lgsquadlem3  27345  2sqreulem1  27409  2sqreunnlem1  27412  chebbnd1lem2  27433  chebbnd1lem3  27434  chtppilimlem1  27436  chto1ub  27439  chpo1ubb  27444  vmadivsumb  27446  dchrisumlem3  27454  mulog2sumlem1  27497  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  selbergb  27512  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  selberg3lem2  27521  selberg3  27522  selberg4lem1  27523  selberg4  27524  pntrsumbnd  27529  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6a  27545  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd1a  27548  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntlemb  27560  pntlemq  27564  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemf  27568  pntlemp  27573  ostth2lem2  27597  axpaschlem  29009  axlowdimlem16  29026  smcnlem  30768  bcm1n  32868  sgnmul  32908  wrdt2ind  33013  cycpmco2lem6  33192  cyc3conja  33218  smatrcl  33940  fiunelros  34318  dya2icoseg  34421  eulerpartlemgc  34506  dstfrvunirn  34619  ballotlemfc0  34637  ballotlemfcc  34638  ballotlemimin  34650  ballotlemsgt1  34655  ballotlemfrcn0  34674  fdvposlt  34743  breprexp  34777  logdivsqrle  34794  hgt750leme  34802  tgoldbachgt  34807  lpadmax  34826  lpadright  34828  subfacval3  35371  erdszelem8  35380  cvmliftlem6  35472  cvmliftlem7  35473  cvmliftlem8  35474  cvmliftlem9  35475  cvmliftlem10  35476  sinccvglem  35854  dnibndlem9  36746  unbdqndv2lem2  36770  knoppndvlem14  36785  knoppndvlem18  36789  knoppndvlem19  36790  poimirlem7  37948  poimirlem15  37956  opnmbllem0  37977  itg2addnclem  37992  itg2addnclem3  37994  itg2addnc  37995  itg2gt0cn  37996  areacirclem1  38029  areacirc  38034  isbnd3  38105  cntotbnd  38117  rrnequiv  38156  lcmineqlem11  42478  lcmineqlem22  42489  3lexlogpow5ineq2  42494  3lexlogpow5ineq5  42499  dvrelogpow2b  42507  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p6  42512  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  aks4d1p2  42516  aks4d1p3  42517  aks4d1p5  42519  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  hashscontpow1  42560  aks6d1c2lem4  42566  aks6d1c5lem2  42577  sticksstones6  42590  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  aks6d1c7lem1  42619  unitscyglem2  42635  posqsqznn  42768  redvmptabs  42792  readvrec  42794  fltnltalem  43095  irrapxlem3  43252  pellexlem2  43258  pellfundglb  43313  monotuz  43369  monotoddzzfi  43370  acongrep  43408  cvgdvgrat  44740  hashnzfz2  44748  hashnzfzclim  44749  binomcxplemnotnn0  44783  monoords  45730  xralrple2  45784  reclt0d  45816  reclt0  45820  uzublem  45858  cvgcaule  45919  iooiinicc  45972  iooiinioc  45986  limciccioolb  46051  limcicciooub  46065  lptre2pt  46068  limsupubuzlem  46140  limsup10exlem  46200  icccncfext  46315  cncfiooicclem1  46321  dvdivbd  46351  dvbdfbdioolem1  46356  dvbdfbdioolem2  46357  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnxpaek  46370  dvnmul  46371  volioc  46400  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  volico  46411  volioore  46418  voliooico  46420  voliccico  46427  stoweidlem1  46429  stoweidlem3  46431  stoweidlem7  46435  stoweidlem24  46452  stoweidlem26  46454  stoweidlem42  46470  wallispilem5  46497  stirlinglem1  46502  stirlinglem6  46507  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  stirlinglem12  46513  stirlinglem13  46514  stirlingr  46518  dirkertrigeqlem1  46526  fourierdlem10  46545  fourierdlem11  46546  fourierdlem12  46547  fourierdlem14  46549  fourierdlem15  46550  fourierdlem17  46552  fourierdlem19  46554  fourierdlem30  46565  fourierdlem37  46572  fourierdlem40  46575  fourierdlem41  46576  fourierdlem42  46577  fourierdlem47  46581  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem50  46584  fourierdlem51  46585  fourierdlem54  46588  fourierdlem63  46597  fourierdlem64  46598  fourierdlem65  46599  fourierdlem68  46602  fourierdlem73  46607  fourierdlem74  46608  fourierdlem76  46610  fourierdlem77  46611  fourierdlem78  46612  fourierdlem79  46613  fourierdlem81  46615  fourierdlem82  46616  fourierdlem83  46617  fourierdlem92  46626  fourierdlem93  46627  fourierdlem102  46636  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fourierdlem107  46641  fourierdlem111  46645  fourierdlem114  46648  sqwvfoura  46656  sqwvfourb  46657  fouriersw  46659  etransclem19  46681  etransclem23  46685  etransclem35  46697  etransclem41  46703  qndenserrnbllem  46722  iundjiun  46888  carageniuncllem2  46950  caratheodorylem1  46954  hoicvr  46976  ovnsubaddlem1  46998  hsphoidmvle2  47013  hoidmv1lelem1  47019  hoidmv1lelem2  47020  hoidmvlelem1  47023  hoidmvlelem2  47024  hoidmvlelem3  47025  hoiqssbllem1  47050  hoiqssbllem2  47051  volico2  47069  iinhoiicclem  47101  iunhoiioolem  47103  vonioolem2  47109  vonicclem2  47112  pimdecfgtioo  47145  pimincfltioo  47146  smflimlem4  47202  smfmullem1  47219  smflimsuplem4  47251  gpg3kgrtriexlem4  48562  gpg3kgrtriexlem6  48564  expnegico01  48994  eenglngeehlnmlem2  49214  inlinecirc02plem  49262