Theorem ltled 10777

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ltled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ltled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem ltled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
2		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4		ltle 10718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
5	2, 3, 4	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))
6	1, 5	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   < clt 10664   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670

This theorem is referenced by:  ltnsymd  10778  mulge0  11147  msqge0  11150  addgt0d  11204  lt2addd  11252  lt2msq1  11513  uzwo3  12331  fznatpl1  12956  flflp1  13172  modaddmodup  13297  expmulnbnd  13592  fzsdom2  13785  repswcshw  14165  isercolllem1  15013  caucvgrlem  15021  climcnds  15198  geomulcvg  15224  mertenslem1  15232  ruclem2  15577  ruclem12  15586  bitsfzo  15774  bitsmod  15775  lcmgcdlem  15940  isprm7  16042  4sqlem7  16270  vdwlem1  16307  met1stc  23128  cfilucfil  23166  nlmvscnlem2  23291  icccmplem2  23428  reconnlem2  23432  xrhmeo  23551  cnheibor  23560  nmoleub2lem3  23720  ipcnlem2  23848  minveclem3b  24032  ivthlem1  24055  ivthlem2  24056  ivth2  24059  ivthle  24060  ivthle2  24061  ovollb2lem  24092  ovolicc2lem4  24124  ovolicc2lem5  24125  ioombl1lem4  24165  uniioombllem4  24190  uniioombllem5  24191  opnmbllem  24205  ismbf3d  24258  mbfi1fseqlem6  24324  itg2gt0  24364  dveflem  24582  dvferm1lem  24587  dvferm2lem  24589  rollelem  24592  rolle  24593  cmvth  24594  mvth  24595  c1liplem1  24599  dvgt0lem1  24605  dvivthlem1  24611  lhop1lem  24616  lhop1  24617  dvcnvrelem1  24620  dvcnvrelem2  24621  dvcvx  24623  dgradd2  24865  aaliou3lem8  24941  aaliou3lem7  24945  ulmdvlem1  24995  itgulm  25003  radcnvlt1  25013  radcnvle  25015  abelthlem7  25033  efcvx  25044  coseq0negpitopi  25096  tangtx  25098  tanabsge  25099  tanord  25130  abslogimle  25165  divlogrlim  25226  logno1  25227  logcnlem3  25235  logcnlem4  25236  logtayl  25251  logccv  25254  cxple  25286  chordthmlem4  25421  asinsin  25478  atanlogaddlem  25499  atantan  25509  cxp2limlem  25561  logdifbnd  25579  emcllem4  25584  harmonicbnd4  25596  lgamucov  25623  ftalem1  25658  ftalem2  25659  ftalem3  25660  basellem5  25670  basellem8  25673  chpchtsum  25803  bposlem1  25868  lgseisenlem1  25959  lgsquadlem1  25964  lgsquadlem2  25965  lgsquadlem3  25966  2sqreulem1  26030  2sqreunnlem1  26033  chebbnd1lem2  26054  chebbnd1lem3  26055  chtppilimlem1  26057  chto1ub  26060  chpo1ubb  26065  vmadivsumb  26067  dchrisumlem3  26075  mulog2sumlem1  26118  vmalogdivsum2  26122  vmalogdivsum  26123  2vmadivsumlem  26124  selbergb  26133  selberg2b  26136  chpdifbndlem1  26137  selberg3lem2  26142  selberg3  26143  selberg4lem1  26144  selberg4  26145  pntrsumbnd  26150  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem3  26163  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  pntrlog2bndlem6a  26166  pntrlog2bndlem6  26167  pntrlog2bnd  26168  pntpbnd1a  26169  pntpbnd1  26170  pntpbnd2  26171  pntibndlem2  26175  pntlemb  26181  pntlemq  26185  pntlemr  26186  pntlemj  26187  pntlemf  26189  pntlemp  26194  ostth2lem2  26218  axpaschlem  26734  axlowdimlem16  26751  smcnlem  28480  bcm1n  30544  wrdt2ind  30653  cycpmco2lem6  30823  cyc3conja  30849  smatrcl  31149  fiunelros  31543  dya2icoseg  31645  eulerpartlemgc  31730  dstfrvunirn  31842  ballotlemfc0  31860  ballotlemfcc  31861  ballotlemimin  31873  ballotlemsgt1  31878  ballotlemfrcn0  31897  sgnmul  31910  fdvposlt  31980  breprexp  32014  logdivsqrle  32031  hgt750leme  32039  tgoldbachgt  32044  lpadmax  32063  lpadright  32065  subfacval3  32549  erdszelem8  32558  cvmliftlem6  32650  cvmliftlem7  32651  cvmliftlem8  32652  cvmliftlem9  32653  cvmliftlem10  32654  sinccvglem  33028  dnibndlem9  33938  unbdqndv2lem2  33962  knoppndvlem14  33977  knoppndvlem18  33981  knoppndvlem19  33982  poimirlem7  35064  poimirlem15  35072  opnmbllem0  35093  itg2addnclem  35108  itg2addnclem3  35110  itg2addnc  35111  itg2gt0cn  35112  areacirclem1  35145  areacirc  35150  isbnd3  35222  cntotbnd  35234  rrnequiv  35273  lcmineqlem11  39327  lcmineqlem22  39338  3lexlogpow5ineq2  39342  metakunt7  39356  metakunt29  39378  metakunt30  39379  nn0rppwr  39490  nn0expgcd  39492  rtprmirr  39502  fltnltalem  39618  irrapxlem3  39765  pellexlem2  39771  pellfundglb  39826  monotuz  39882  monotoddzzfi  39883  acongrep  39921  cvgdvgrat  41017  hashnzfz2  41025  hashnzfzclim  41026  binomcxplemnotnn0  41060  monoords  41929  xralrple2  41986  reclt0d  42022  reclt0  42027  uzublem  42067  iooiinicc  42179  iooiinioc  42193  limciccioolb  42263  limcicciooub  42279  lptre2pt  42282  limsupubuzlem  42354  limsup10exlem  42414  icccncfext  42529  cncfiooicclem1  42535  dvdivbd  42565  dvbdfbdioolem1  42570  dvbdfbdioolem2  42571  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  dvnxpaek  42584  dvnmul  42585  volioc  42614  iblspltprt  42615  itgspltprt  42621  volico  42625  volioore  42632  voliooico  42634  voliccico  42641  stoweidlem1  42643  stoweidlem3  42645  stoweidlem7  42649  stoweidlem24  42666  stoweidlem26  42668  stoweidlem42  42684  wallispilem5  42711  stirlinglem1  42716  stirlinglem6  42721  stirlinglem7  42722  stirlinglem10  42725  stirlinglem12  42727  stirlinglem13  42728  stirlingr  42732  dirkertrigeqlem1  42740  fourierdlem10  42759  fourierdlem11  42760  fourierdlem12  42761  fourierdlem14  42763  fourierdlem15  42764  fourierdlem17  42766  fourierdlem19  42768  fourierdlem30  42779  fourierdlem37  42786  fourierdlem40  42789  fourierdlem41  42790  fourierdlem42  42791  fourierdlem47  42795  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem50  42798  fourierdlem51  42799  fourierdlem54  42802  fourierdlem63  42811  fourierdlem64  42812  fourierdlem65  42813  fourierdlem68  42816  fourierdlem73  42821  fourierdlem74  42822  fourierdlem76  42824  fourierdlem77  42825  fourierdlem78  42826  fourierdlem79  42827  fourierdlem81  42829  fourierdlem82  42830  fourierdlem83  42831  fourierdlem92  42840  fourierdlem93  42841  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem107  42855  fourierdlem111  42859  fourierdlem114  42862  sqwvfoura  42870  sqwvfourb  42871  fouriersw  42873  etransclem19  42895  etransclem23  42899  etransclem35  42911  etransclem41  42917  qndenserrnbllem  42936  iundjiun  43099  carageniuncllem2  43161  caratheodorylem1  43165  hoicvr  43187  ovnsubaddlem1  43209  hsphoidmvle2  43224  hoidmv1lelem1  43230  hoidmv1lelem2  43231  hoidmvlelem1  43234  hoidmvlelem2  43235  hoidmvlelem3  43236  hoiqssbllem1  43261  hoiqssbllem2  43262  volico2  43280  iinhoiicclem  43312  iunhoiioolem  43314  vonioolem2  43320  vonicclem2  43323  pimdecfgtioo  43352  pimincfltioo  43353  smflimlem4  43407  smfmullem1  43423  smflimsuplem4  43454  expnegico01  44927  eenglngeehlnmlem2  45152  inlinecirc02plem  45200