Theorem fourierdlem18 44828

Description: The function 𝑆 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem18.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem18	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem18

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincncf 44578	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
2		cncff 24401	. . . . 5 ⊢ ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) → (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
4		fourierdlem18.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		halfre 12423	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8	7	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9		pire 25960	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	renegcli 11518	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
11		iccssre 13403	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
12	10, 9, 11	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
13	12	sseli 3978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	8, 14	remulcld 11241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
16		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
17	15, 16	fmptd 7111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ)
18		fcompt 7128	. . . 4 ⊢ (((sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ) → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
19	3, 17, 18	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
20		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
21		oveq2 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
22	21	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑠 = 𝑥) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
23		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
24	7	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25	12, 23	sselid 3980	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 11241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ)
27	20, 22, 23, 26	fvmptd 7003	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
28	27	fveq2d 6893	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥)) = ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
29	28	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
30		fvres 6908	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
31	26, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
33		oveq2 7414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
34	33	fveq2d 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
35	34	cbvmptv 5261	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
37	29, 32, 36	3eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
38		fourierdlem18.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
39	38	eqcomi 2742	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆)
41	19, 37, 40	3eqtrrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
42		ax-resscn 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
43	12, 42	sstri 3991	. . . . . . 7 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
45	4	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
46		halfcn 12424	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
48	45, 47	addcld 11230	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
49		ssid 4004	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
51	44, 48, 50	constcncfg 44575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
52	44, 50	idcncfg 44576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ 𝑠) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
53	51, 52	mulcncf 24955	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
54		ssid 4004	. . . . 5 ⊢ (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π)
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π))
56	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
57	16, 53, 55, 56, 15	cncfmptssg 44574	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
58	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
59	57, 58	cncfco 24415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
60	41, 59	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948   ↦ cmpt 5231   ↾ cres 5678   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  ℝcr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  [,]cicc 13324  sincsin 16004  πcpi 16007  –cn→ccncf 24384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-lp 22632  df-perf 22633  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375  df-dv 25376

This theorem is referenced by:  fourierdlem85  44894  fourierdlem88  44897