Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem18 44926
Description: The function 𝑆 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem18.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem18.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem18 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   πœ‘,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem18
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resincncf 44676 . . . . 5 (sin β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
2 cncff 24416 . . . . 5 ((sin β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) β†’ (sin β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (sin β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„
4 fourierdlem18.n . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
5 halfre 12428 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
74, 6readdcld 11245 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
87adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9 pire 25975 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ
109renegcli 11523 . . . . . . . . 9 -Ο€ ∈ ℝ
11 iccssre 13408 . . . . . . . . 9 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
1210, 9, 11mp2an 690 . . . . . . . 8 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
1312sseli 3978 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
158, 14remulcld 11246 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
16 eqid 2732 . . . . 5 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))
1715, 16fmptd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)):(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
18 fcompt 7133 . . . 4 (((sin β†Ύ ℝ):β„βŸΆβ„ ∧ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)):(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„) β†’ ((sin β†Ύ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) = (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))β€˜π‘₯))))
193, 17, 18sylancr 587 . . 3 (πœ‘ β†’ ((sin β†Ύ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) = (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))β€˜π‘₯))))
20 eqidd 2733 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
21 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑠 = π‘₯ β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯))
2221adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑠 = π‘₯) β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯))
23 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€))
247adantr 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2512, 23sselid 3980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
2624, 25remulcld 11246 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯) ∈ ℝ)
2720, 22, 23, 26fvmptd 7005 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))β€˜π‘₯) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯))
2827fveq2d 6895 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))β€˜π‘₯)) = ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯)))
2928mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯))))
30 fvres 6910 . . . . . 6 (((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯)))
3126, 30syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯)))
3231mpteq2dva 5248 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯))))
33 oveq2 7419 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑠 β†’ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯) = ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))
3433fveq2d 6895 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑠 β†’ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯)) = (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
3534cbvmptv 5261 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
3635a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· π‘₯))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
3729, 32, 363eqtrd 2776 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((sin β†Ύ ℝ)β€˜((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))β€˜π‘₯))) = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
38 fourierdlem18.s . . . . 5 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
3938eqcomi 2741 . . . 4 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) = 𝑆
4039a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) = 𝑆)
4119, 37, 403eqtrrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑆 = ((sin β†Ύ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
42 ax-resscn 11169 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
4312, 42sstri 3991 . . . . . . 7 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† β„‚
4443a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† β„‚)
454recnd 11244 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
46 halfcn 12429 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ β„‚
4746a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1 / 2) ∈ β„‚)
4845, 47addcld 11235 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 + (1 / 2)) ∈ β„‚)
49 ssid 4004 . . . . . . 7 β„‚ βŠ† β„‚
5049a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
5144, 48, 50constcncfg 44673 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
5244, 50idcncfg 44674 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ 𝑠) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
5351, 52mulcncf 24970 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cnβ†’β„‚))
54 ssid 4004 . . . . 5 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€)
5554a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
5642a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
5716, 53, 55, 56, 15cncfmptssg 44672 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
581a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (sin β†Ύ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5957, 58cncfco 24430 . 2 (πœ‘ β†’ ((sin β†Ύ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
6041, 59eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ((-Ο€[,]Ο€)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948   ↦ cmpt 5231   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  [,]cicc 13329  sincsin 16009  Ο€cpi 16012  β€“cnβ†’ccncf 24399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391
This theorem is referenced by:  fourierdlem85  44992  fourierdlem88  44995
  Copyright terms: Public domain W3C validator