Theorem fourierdlem18 46311

Description: The function 𝑆 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem18.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem18	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem18

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincncf 46061	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
2		cncff 24840	. . . . 5 ⊢ ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) → (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
4		fourierdlem18.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		halfre 12352	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9		pire 26420	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	renegcli 11440	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
11		iccssre 13343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
12	10, 9, 11	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
13	12	sseli 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	8, 14	remulcld 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
16		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
17	15, 16	fmptd 7057	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ)
18		fcompt 7076	. . . 4 ⊢ (((sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ) → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
19	3, 17, 18	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
20		eqidd 2735	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
21		oveq2 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑠 = 𝑥) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
23		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
24	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25	12, 23	sselid 3929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 11160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ)
27	20, 22, 23, 26	fvmptd 6946	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
28	27	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥)) = ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
29	28	mpteq2dva 5189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
30		fvres 6851	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
31	26, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
33		oveq2 7364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
34	33	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
35	34	cbvmptv 5200	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
37	29, 32, 36	3eqtrd 2773	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
38		fourierdlem18.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
39	38	eqcomi 2743	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆)
41	19, 37, 40	3eqtrrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
42		ax-resscn 11081	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
43	12, 42	sstri 3941	. . . . . . 7 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
45	4	recnd 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
46		halfcn 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
48	45, 47	addcld 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
49		ssid 3954	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
51	44, 48, 50	constcncfg 46058	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
52	44, 50	idcncfg 46059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ 𝑠) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
53	51, 52	mulcncf 25400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
54		ssid 3954	. . . . 5 ⊢ (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π)
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π))
56	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
57	16, 53, 55, 56, 15	cncfmptssg 46057	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
58	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
59	57, 58	cncfco 24854	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
60	41, 59	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5177   ↾ cres 5624   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  ℝcr 11023  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029  -cneg 11363   / cdiv 11792  2c2 12198  [,]cicc 13262  sincsin 15984  πcpi 15987  –cn→ccncf 24823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102  ax-addf 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-fsupp 9263  df-fi 9312  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-xneg 13024  df-xadd 13025  df-xmul 13026  df-ioo 13263  df-ioc 13264  df-ico 13265  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-fac 14195  df-bc 14224  df-hash 14252  df-shft 14988  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608  df-ef 15988  df-sin 15990  df-cos 15991  df-pi 15993  df-struct 17072  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-starv 17190  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-unif 17198  df-hom 17199  df-cco 17200  df-rest 17340  df-topn 17341  df-0g 17359  df-gsum 17360  df-topgen 17361  df-pt 17362  df-prds 17365  df-xrs 17421  df-qtop 17426  df-imas 17427  df-xps 17429  df-mre 17503  df-mrc 17504  df-acs 17506  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18707  df-mulg 18996  df-cntz 19244  df-cmn 19709  df-psmet 21299  df-xmet 21300  df-met 21301  df-bl 21302  df-mopn 21303  df-fbas 21304  df-fg 21305  df-cnfld 21308  df-top 22836  df-topon 22853  df-topsp 22875  df-bases 22888  df-cld 22961  df-ntr 22962  df-cls 22963  df-nei 23040  df-lp 23078  df-perf 23079  df-cn 23169  df-cnp 23170  df-haus 23257  df-tx 23504  df-hmeo 23697  df-fil 23788  df-fm 23880  df-flim 23881  df-flf 23882  df-xms 24262  df-ms 24263  df-tms 24264  df-cncf 24825  df-limc 25821  df-dv 25822

This theorem is referenced by:  fourierdlem85  46377  fourierdlem88  46380