Theorem fourierdlem18 47271

Description: The function 𝑆 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem18.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem18	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (( -π[,]π)–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem18

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincncf 47021	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
2		cncff 25223	. . . . 5 ⊢ ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) → (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
4		fourierdlem18.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		halfre 12566	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8	7	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9		pire 26792	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	renegcli 11626	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
11		iccssre 13567	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ( -π[,]π) ⊆ ℝ)
12	10, 9, 11	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ( -π[,]π) ⊆ ℝ
13	12	sseli 3905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	8, 14	remulcld 11346	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
16		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
17	15, 16	fmptd 7119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):( -π[,]π)⟶ℝ)
18		fcompt 7139	. . . 4 ⊢ (((sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):( -π[,]π)⟶ℝ) → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
19	3, 17, 18	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
20		eqidd 2761	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
21		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
22	21	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) ∧ 𝑠 = 𝑥) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
23		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑥 ∈ ( -π[,]π))
24	7	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25	12, 23	sselid 3907	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 11346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ)
27	20, 22, 23, 26	fvmptd 7006	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
28	27	fveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥)) = ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
29	28	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
30		fvres 6909	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
31	26, 30	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( -π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5197	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
33		oveq2 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
34	33	fveq2d 6894	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
35	34	cbvmptv 5208	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
37	29, 32, 36	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
38		fourierdlem18.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
39	38	eqcomi 2769	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆)
41	19, 37, 40	3eqtrrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
42		ax-resscn 11264	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
43	12, 42	sstri 3918	. . . . . . 7 ⊢ ( -π[,]π) ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( -π[,]π) ⊆ ℂ)
45	4	recnd 11344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
46		halfcn 12567	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
48	45, 47	addcld 11335	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
49		ssid 3931	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
51	44, 48, 50	constcncfg 47018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ (( -π[,]π)–cn→ℂ))
52	44, 50	idcncfg 47019	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ 𝑠) ∈ (( -π[,]π)–cn→ℂ))
53	51, 52	mulcncf 25776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ (( -π[,]π)–cn→ℂ))
54		ssid 3931	. . . . 5 ⊢ ( -π[,]π) ⊆ ( -π[,]π)
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -π[,]π) ⊆ ( -π[,]π))
56	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
57	16, 53, 55, 56, 15	cncfmptssg 47017	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ (( -π[,]π)–cn→ℝ))
58	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
59	57, 58	cncfco 25237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ (( -π[,]π)–cn→ℝ))
60	41, 59	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (( -π[,]π)–cn→ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ↦ cmpt 5185   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  ℝcr 11206  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   -cneg 11549   / cdiv 11980  2c2 12404  [,]cicc 13486  sincsin 16238  πcpi 16241  –cn→ccncf 25206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-addf 11286

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ioo 13487  df-ioc 13488  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-fac 14425  df-bc 14454  df-hash 14482  df-shft 15229  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-ef 16242  df-sin 16244  df-cos 16245  df-pi 16247  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-0g 17621  df-gsum 17622  df-topgen 17623  df-pt 17624  df-prds 17627  df-xrs 17683  df-qtop 17688  df-imas 17689  df-xps 17691  df-mre 17765  df-mrc 17766  df-acs 17768  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-submnd 18988  df-mulg 19287  df-cntz 19540  df-cmn 20005  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lp 23463  df-perf 23464  df-cn 23554  df-cnp 23555  df-haus 23642  df-tx 23890  df-hmeo 24083  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-tms 24650  df-cncf 25208  df-limc 26195  df-dv 26196

This theorem is used by:  fourierdlem85  47337  fourierdlem88  47340