Theorem fourierdlem18 42767

Description: The function 𝑆 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem18.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem18	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem18

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincncf 42517	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
2		cncff 23498	. . . . 5 ⊢ ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) → (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
4		fourierdlem18.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		halfre 11839	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 10659	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8	7	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9		pire 25051	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	renegcli 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
11		iccssre 12807	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
12	10, 9, 11	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
13	12	sseli 3911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	8, 14	remulcld 10660	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
16		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
17	15, 16	fmptd 6855	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ)
18		fcompt 6872	. . . 4 ⊢ (((sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ) → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
19	3, 17, 18	sylancr 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
20		eqidd 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
21		oveq2 7143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
22	21	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑠 = 𝑥) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
23		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
24	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25	12, 23	sseldi 3913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ)
27	20, 22, 23, 26	fvmptd 6752	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
28	27	fveq2d 6649	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥)) = ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
29	28	mpteq2dva 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
30		fvres 6664	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
31	26, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5125	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
33		oveq2 7143	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
34	33	fveq2d 6649	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
35	34	cbvmptv 5133	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
37	29, 32, 36	3eqtrd 2837	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
38		fourierdlem18.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
39	38	eqcomi 2807	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆)
41	19, 37, 40	3eqtrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
42		ax-resscn 10583	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
43	12, 42	sstri 3924	. . . . . . 7 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
45	4	recnd 10658	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
46		halfcn 11840	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
48	45, 47	addcld 10649	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
49		ssid 3937	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
51	44, 48, 50	constcncfg 42514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
52	44, 50	idcncfg 42515	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ 𝑠) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
53	51, 52	mulcncf 24050	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
54		ssid 3937	. . . . 5 ⊢ (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π)
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π))
56	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
57	16, 53, 55, 56, 15	cncfmptssg 42513	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
58	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
59	57, 58	cncfco 23512	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
60	41, 59	eqeltrd 2890	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881   ↦ cmpt 5110   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  -cneg 10860   / cdiv 11286  2c2 11680  [,]cicc 12729  sincsin 15409  πcpi 15412  –cn→ccncf 23481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470

This theorem is referenced by:  fourierdlem85  42833  fourierdlem88  42836