Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem18 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem18 41871
Description: The function 𝑆 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem18.n (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem18.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem18 (𝜑𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem18
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resincncf 41618 . . . . 5 (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
2 cncff 23220 . . . . 5 ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) → (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
4 fourierdlem18.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
5 halfre 11660 . . . . . . . . 9 (1 / 2) ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
74, 6readdcld 10468 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
87adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9 pire 24763 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ
109renegcli 10747 . . . . . . . . 9 -π ∈ ℝ
11 iccssre 12633 . . . . . . . . 9 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
1210, 9, 11mp2an 680 . . . . . . . 8 (-π[,]π) ⊆ ℝ
1312sseli 3849 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
1413adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
158, 14remulcld 10469 . . . . 5 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
16 eqid 2773 . . . . 5 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
1715, 16fmptd 6700 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ)
18 fcompt 6717 . . . 4 (((sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ) → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
193, 17, 18sylancr 579 . . 3 (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
20 eqidd 2774 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
21 oveq2 6983 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑥 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
2221adantl 474 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑠 = 𝑥) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
23 simpr 477 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
247adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
2512, 23sseldi 3851 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2624, 25remulcld 10469 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ)
2720, 22, 23, 26fvmptd 6600 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
2827fveq2d 6501 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥)) = ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
2928mpteq2dva 5019 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
30 fvres 6516 . . . . . 6 (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
3126, 30syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
3231mpteq2dva 5019 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
33 oveq2 6983 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
3433fveq2d 6501 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
3534cbvmptv 5025 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
3635a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
3729, 32, 363eqtrd 2813 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
38 fourierdlem18.s . . . . 5 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
3938eqcomi 2782 . . . 4 (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆
4039a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆)
4119, 37, 403eqtrrd 2814 . 2 (𝜑𝑆 = ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
42 ax-resscn 10391 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
4312, 42sstri 3862 . . . . . . 7 (-π[,]π) ⊆ ℂ
4443a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
454recnd 10467 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
46 halfcn 11661 . . . . . . . 8 (1 / 2) ∈ ℂ
4746a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
4845, 47addcld 10458 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
49 ssid 3874 . . . . . . 7 ℂ ⊆ ℂ
5049a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
5144, 48, 50constcncfg 41614 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
5244, 50idcncfg 41615 . . . . 5 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ 𝑠) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
5351, 52mulcncf 23766 . . . 4 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
54 ssid 3874 . . . . 5 (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π)
5554a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π))
5642a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
5716, 53, 55, 56, 15cncfmptssg 41613 . . 3 (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
581a1i 11 . . 3 (𝜑 → (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5957, 58cncfco 23234 . 2 (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
6041, 59eqeltrd 2861 1 (𝜑𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wss 3824  cmpt 5005  cres 5406  ccom 5408  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6975  cc 10332  cr 10333  1c1 10335   + caddc 10337   · cmul 10339  -cneg 10670   / cdiv 11097  2c2 11494  [,]cicc 12556  sincsin 15276  πcpi 15279  cnccncf 23203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-rep 5046  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-inf2 8897  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410  ax-pre-mulgt0 10411  ax-pre-sup 10412  ax-addf 10413  ax-mulf 10414
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-reu 3090  df-rmo 3091  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-pss 3840  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-tp 4441  df-op 4443  df-uni 4710  df-int 4747  df-iun 4791  df-iin 4792  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-tr 5028  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6936  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-of 7226  df-om 7396  df-1st 7500  df-2nd 7501  df-supp 7633  df-wrecs 7749  df-recs 7811  df-rdg 7849  df-1o 7904  df-2o 7905  df-oadd 7908  df-er 8088  df-map 8207  df-pm 8208  df-ixp 8259  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-fin 8309  df-fsupp 8628  df-fi 8669  df-sup 8700  df-inf 8701  df-oi 8768  df-card 9161  df-cda 9387  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-sub 10671  df-neg 10672  df-div 11098  df-nn 11439  df-2 11502  df-3 11503  df-4 11504  df-5 11505  df-6 11506  df-7 11507  df-8 11508  df-9 11509  df-n0 11707  df-z 11793  df-dec 11911  df-uz 12058  df-q 12162  df-rp 12204  df-xneg 12323  df-xadd 12324  df-xmul 12325  df-ioo 12557  df-ioc 12558  df-ico 12559  df-icc 12560  df-fz 12708  df-fzo 12849  df-fl 12976  df-seq 13184  df-exp 13244  df-fac 13448  df-bc 13477  df-hash 13505  df-shft 14286  df-cj 14318  df-re 14319  df-im 14320  df-sqrt 14454  df-abs 14455  df-limsup 14688  df-clim 14705  df-rlim 14706  df-sum 14903  df-ef 15280  df-sin 15282  df-cos 15283  df-pi 15285  df-struct 16340  df-ndx 16341  df-slot 16342  df-base 16344  df-sets 16345  df-ress 16346  df-plusg 16433  df-mulr 16434  df-starv 16435  df-sca 16436  df-vsca 16437  df-ip 16438  df-tset 16439  df-ple 16440  df-ds 16442  df-unif 16443  df-hom 16444  df-cco 16445  df-rest 16551  df-topn 16552  df-0g 16570  df-gsum 16571  df-topgen 16572  df-pt 16573  df-prds 16576  df-xrs 16630  df-qtop 16635  df-imas 16636  df-xps 16638  df-mre 16728  df-mrc 16729  df-acs 16731  df-mgm 17723  df-sgrp 17765  df-mnd 17776  df-submnd 17817  df-mulg 18025  df-cntz 18231  df-cmn 18681  df-psmet 20255  df-xmet 20256  df-met 20257  df-bl 20258  df-mopn 20259  df-fbas 20260  df-fg 20261  df-cnfld 20264  df-top 21222  df-topon 21239  df-topsp 21261  df-bases 21274  df-cld 21347  df-ntr 21348  df-cls 21349  df-nei 21426  df-lp 21464  df-perf 21465  df-cn 21555  df-cnp 21556  df-haus 21643  df-tx 21890  df-hmeo 22083  df-fil 22174  df-fm 22266  df-flim 22267  df-flf 22268  df-xms 22649  df-ms 22650  df-tms 22651  df-cncf 23205  df-limc 24183  df-dv 24184
This theorem is referenced by:  fourierdlem85  41937  fourierdlem88  41940
  Copyright terms: Public domain W3C validator