Theorem fourierdlem18 46140

Description: The function 𝑆 is continuous. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem18.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
fourierdlem18.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem18	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑠   𝜑,𝑠

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem18

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resincncf 45890	. . . . 5 ⊢ (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ)
2		cncff 24919	. . . . 5 ⊢ ((sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ) → (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ
4		fourierdlem18.n	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
5		halfre 12480	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
7	4, 6	readdcld 11290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
8	7	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9		pire 26500	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
10	9	renegcli 11570	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
11		iccssre 13469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
12	10, 9, 11	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
13	12	sseli 3979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
14	13	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
15	8, 14	remulcld 11291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
16		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
17	15, 16	fmptd 7134	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ)
18		fcompt 7153	. . . 4 ⊢ (((sin ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)):(-π[,]π)⟶ℝ) → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
19	3, 17, 18	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))))
20		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
21		oveq2 7439	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑥 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
22	21	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) ∧ 𝑠 = 𝑥) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
23		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ (-π[,]π))
24	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
25	12, 23	sselid 3981	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → 𝑥 ∈ ℝ)
26	24, 25	remulcld 11291	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ)
27	20, 22, 23, 26	fvmptd 7023	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))
28	27	fveq2d 6910	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥)) = ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
29	28	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
30		fvres 6925	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) ∈ ℝ → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
31	26, 30	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (-π[,]π)) → ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))))
33		oveq2 7439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥) = ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))
34	33	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑠 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥)) = (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
35	34	cbvmptv 5255	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
37	29, 32, 36	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (-π[,]π) ↦ ((sin ↾ ℝ)‘((𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))‘𝑥))) = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
38		fourierdlem18.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)))
39	38	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) = 𝑆)
41	19, 37, 40	3eqtrrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))))
42		ax-resscn 11212	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
43	12, 42	sstri 3993	. . . . . . 7 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℂ
44	43	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ ℂ)
45	4	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
46		halfcn 12481	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
47	46	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
48	45, 47	addcld 11280	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
49		ssid 4006	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
51	44, 48, 50	constcncfg 45887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
52	44, 50	idcncfg 45888	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ 𝑠) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
53	51, 52	mulcncf 25480	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℂ))
54		ssid 4006	. . . . 5 ⊢ (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π)
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (-π[,]π) ⊆ (-π[,]π))
56	42	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
57	16, 53, 55, 56, 15	cncfmptssg 45886	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
58	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (sin ↾ ℝ) ∈ (ℝ–cn→ℝ))
59	57, 58	cncfco 24933	. 2 ⊢ (𝜑 → ((sin ↾ ℝ) ∘ (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))
60	41, 59	eqeltrd 2841	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((-π[,]π)–cn→ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493   / cdiv 11920  2c2 12321  [,]cicc 13390  sincsin 16099  πcpi 16102  –cn→ccncf 24902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902

This theorem is referenced by:  fourierdlem85  46206  fourierdlem88  46209