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Theorem fourierdlem16 43339
Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem16.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem16.c 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem16.fibl (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem16.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem16.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
fourierdlem16 (𝜑 → (((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem16
Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem16.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
21adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3 ioossre 12996 . . . . . . . . . . 11 (-π(,)π) ⊆ ℝ
4 id 22 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐶𝑥𝐶)
5 fourierdlem16.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (-π(,)π)
64, 5eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐶𝑥 ∈ (-π(,)π))
73, 6sseldi 3899 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐶𝑥 ∈ ℝ)
87adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
92, 8ffvelrnd 6905 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
109adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
11 nn0re 12099 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℝ)
1211adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
137adantl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
1412, 13remulcld 10863 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
1514recoscld 15705 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1615adantll 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
1710, 16remulcld 10863 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
18 ioombl 24462 . . . . . . . . . . 11 (-π(,)π) ∈ dom vol
195, 18eqeltri 2834 . . . . . . . . . 10 𝐶 ∈ dom vol
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
21 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
22 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
2320, 16, 10, 21, 22offval2 7488 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))))
2416recnd 10861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
2510recnd 10861 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
2624, 25mulcomd 10854 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥)) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
2726mpteq2dva 5150 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
2823, 27eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))))
29 coscn 25337 . . . . . . . . . . . 12 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
315, 3eqsstri 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 ⊆ ℝ
32 ax-resscn 10786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ⊆ ℂ
3331, 32sstri 3910 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐶 ⊆ ℂ
3433a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ⊆ ℂ)
3511recnd 10861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℂ)
36 ssid 3923 . . . . . . . . . . . . . 14 ℂ ⊆ ℂ
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
3834, 35, 37constcncfg 43088 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶𝑛) ∈ (𝐶cn→ℂ))
39 cncfmptid 23810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4033, 36, 39mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ)
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶𝑥) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4238, 41mulcncf 24343 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶cn→ℂ))
4330, 42cncfmpt1f 23811 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ))
44 cnmbf 24556 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶cn→ℂ)) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
4519, 43, 44sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
4645adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
471feqmptd 6780 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
4847reseq1d 5850 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶))
49 resmpt 5905 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
5031, 49mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)))
5148, 50eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹𝐶))
52 fourierdlem16.fibl . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐿1)
5351, 52eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
5453adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
55 1re 10833 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
56 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
57 nfv 1922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
58 nfmpt1 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥(𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
5958nfdm 5820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
6059nfcri 2891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
6157, 60nfan 1907 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
6215ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
6362adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
6461, 63ralrimi 3137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
65 dmmptg 6105 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
6756, 66eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦𝐶)
68 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
69 oveq2 7221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
7069fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
7170adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
72 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦𝐶)
7311adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
7431, 72sseldi 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
7573, 74remulcld 10863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
7675recoscld 15705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
7768, 71, 72, 76fvmptd 6825 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
7877fveq2d 6721 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))))
79 abscosbd 42489 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
8075, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
8178, 80eqbrtrd 5075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦𝐶) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
8267, 81syldan 594 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ0𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
8382ralrimiva 3105 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
84 breq2 5057 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
8584ralbidv 3118 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
8685rspcev 3537 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
8755, 83, 86sylancr 590 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
8887adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
89 bddmulibl 24736 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
9046, 54, 88, 89syl3anc 1373 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥))) ∈ 𝐿1)
9128, 90eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥𝐶 ↦ ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
9217, 91itgrecl 24695 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93 pire 25348 . . . . . 6 π ∈ ℝ
9493a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → π ∈ ℝ)
95 0re 10835 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
96 pipos 25350 . . . . . . 7 0 < π
9795, 96gtneii 10944 . . . . . 6 π ≠ 0
9897a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → π ≠ 0)
9992, 94, 98redivcld 11660 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100 fourierdlem16.a . . . 4 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
10199, 100fmptd 6931 . . 3 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℝ)
102 fourierdlem16.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
103101, 102ffvelrnd 6905 . 2 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℝ)
104102ancli 552 . . 3 (𝜑 → (𝜑𝑁 ∈ ℕ0))
105 eleq1 2825 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
106105anbi2d 632 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)))
107 simpl 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → 𝑛 = 𝑁)
108107oveq1d 7228 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
109108fveq2d 6721 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑁 · 𝑥)))
110109oveq2d 7229 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑁𝑥𝐶) → ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
111110itgeq2dv 24679 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
112111eleq1d 2822 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
113106, 112imbi12d 348 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
114113, 92vtoclg 3481 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
115102, 104, 114sylc 65 . 2 (𝜑 → ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
116103, 53, 115jca31 518 1 (𝜑 → (((𝐴𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  wss 3866   class class class wbr 5053  cmpt 5135  dom cdm 5551  cres 5553  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  f cof 7467  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  cle 10868  -cneg 11063   / cdiv 11489  0cn0 12090  (,)cioo 12935  abscabs 14797  cosccos 15626  πcpi 15628  cnccncf 23773  volcvol 24360  MblFncmbf 24511  𝐿1cibl 24514  citg 24515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-ofr 7470  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-cmp 22284  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-ovol 24361  df-vol 24362  df-mbf 24516  df-itg1 24517  df-itg2 24518  df-ibl 24519  df-itg 24520  df-0p 24567  df-limc 24763  df-dv 24764
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  43405  fourierdlem112  43434
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