Theorem fourierdlem16 41271

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem16.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem16.c	⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem16.fibl	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem16.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem16	⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem16

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem16.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		ioossre 12547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
4		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶)
5		fourierdlem16.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
6	4, 5	syl6eleq 2869	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
7	3, 6	sseldi 3819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2, 8	ffvelrnd 6624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 705	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11		nn0re 11652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
12	11	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
13	7	adantl 475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 10407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
15	14	recoscld 15276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantll 704	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
17	10, 16	remulcld 10407	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
18		ioombl 23769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
19	5, 18	eqeltri 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
21		eqidd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
22		eqidd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 7191	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
24	16	recnd 10405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
25	10	recnd 10405	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	24, 25	mulcomd 10398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
27	26	mpteq2dva 4979	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
28	23, 27	eqtr2d 2815	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
29		coscn 24636	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	5, 3	eqsstri 3854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ⊆ ℝ
32		ax-resscn 10329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	31, 32	sstri 3830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 ⊆ ℂ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝐶 ⊆ ℂ)
35	11	recnd 10405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ssid 3842	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
38	34, 35, 37	constcncfg 41016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑛) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
39		cncfmptid 23123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
40	33, 36, 39	mp2an 682	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
42	38, 41	mulcncf 23650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
43	30, 42	cncfmpt1f 23124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
44		cnmbf 23863	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
45	19, 43, 44	sylancr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
46	45	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
47	1	feqmptd 6509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
48	47	reseq1d 5641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶))
49		resmpt 5699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
50	31, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
51	48, 50	eqtr2d 2815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝐹 ↾ 𝐶))
52		fourierdlem16.fibl	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
53	51, 52	eqeltrd 2859	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
54	53	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
55		1re 10376	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		simpr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
57		nfv 1957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
58		nfmpt1 4982	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
59	58	nfdm 5613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
60	59	nfcri 2929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
61	57, 60	nfan 1946	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
62	15	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
63	62	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
64	61, 63	ralrimi 3139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
65		dmmptg 5886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
67	56, 66	eleqtrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
68		eqidd 2779	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
69		oveq2 6930	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
70	69	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
71	70	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
72		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
73	11	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
74	31, 72	sseldi 3819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
75	73, 74	remulcld 10407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
76	75	recoscld 15276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 6548	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
78	77	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))))
79		abscosbd 40404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
80	75, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
81	78, 80	eqbrtrd 4908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
82	67, 81	syldan 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83	82	ralrimiva 3148	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
84		breq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
85	84	ralbidv 3168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
86	85	rspcev 3511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
87	55, 83, 86	sylancr 581	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88	87	adantl 475	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
89		bddmulibl 24042	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘𝑓 · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
91	28, 90	eqeltrd 2859	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
92	17, 91	itgrecl 24001	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93		pire 24648	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
94	93	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ∈ ℝ)
95		0re 10378	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		pipos 24650	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
97	95, 96	gtneii 10488	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ≠ 0)
99	92, 94, 98	redivcld 11203	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100		fourierdlem16.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
101	99, 100	fmptd 6648	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℝ)
102		fourierdlem16.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
103	101, 102	ffvelrnd 6624	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ)
104	102	ancli 544	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
105		eleq1 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
106	105	anbi2d 622	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
107		simpl 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 = 𝑁)
108	107	oveq1d 6937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
109	108	fveq2d 6450	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑁 · 𝑥)))
110	109	oveq2d 6938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
111	110	itgeq2dv 23985	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
112	111	eleq1d 2844	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
113	106, 112	imbi12d 336	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
114	113, 92	vtoclg 3467	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
115	102, 104, 114	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
116	103, 53, 115	jca31 510	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ⊆ wss 3792   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965  dom cdm 5355   ↾ cres 5357  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ∘_𝑓 cof 7172  ℂcc 10270  ℝcr 10271  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277   ≤ cle 10412  -cneg 10607   / cdiv 11032  ℕ₀cn0 11642  (,)cioo 12487  abscabs 14381  cosccos 15197  πcpi 15199  –cn→ccncf 23087  volcvol 23667  MblFncmbf 23818  𝐿¹cibl 23821  ∫citg 23822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-disj 4855  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-ofr 7175  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ioc 12492  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-mod 12988  df-seq 13120  df-exp 13179  df-fac 13379  df-bc 13408  df-hash 13436  df-shft 14214  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-limsup 14610  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-ef 15200  df-sin 15202  df-cos 15203  df-pi 15205  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-lp 21348  df-perf 21349  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-ovol 23668  df-vol 23669  df-mbf 23823  df-itg1 23824  df-itg2 23825  df-ibl 23826  df-itg 23827  df-0p 23874  df-limc 24067  df-dv 24068

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