Theorem fourierdlem16 46865

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem16.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem16.c	⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem16.fibl	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem16.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem16	⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem16

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem16.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		ioossre 13438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
4		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶)
5		fourierdlem16.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
6	4, 5	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
7	3, 6	sselid 3935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2, 8	ffvelcdmd 7080	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11		nn0re 12517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
12	11	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
13	7	adantl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 11243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
15	14	recoscld 16204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantll 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
17	10, 16	remulcld 11243	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
18		ioombl 25733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
19	5, 18	eqeltri 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
21		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
22		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 7694	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
24	16	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
25	10	recnd 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	24, 25	mulcomd 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
27	26	mpteq2dva 5204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
28	23, 27	eqtr2d 2799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
29		coscn 26617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	5, 3	eqsstri 3983	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ⊆ ℝ
32		ax-resscn 11161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	31, 32	sstri 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 ⊆ ℂ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝐶 ⊆ ℂ)
35	11	recnd 11241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ssid 3959	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
38	34, 35, 37	constcncfg 46614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑛) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
39		cncfmptid 25081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
40	33, 36, 39	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
42	38, 41	mulcncf 25614	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
43	30, 42	cncfmpt1f 25082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
44		cnmbf 25827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
45	19, 43, 44	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
46	45	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
47	1	feqmptd 6949	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
48	47	reseq1d 5977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶))
49		resmpt 6039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
50	31, 49	mp1i 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
51	48, 50	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝐹 ↾ 𝐶))
52		fourierdlem16.fibl	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
53	51, 52	eqeltrd 2863	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
54	53	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
55		1re 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
57		nfv 1944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
58		nfmpt1 5210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
59	58	nfdm 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
60	59	nfcri 2917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
61	57, 60	nfan 1929	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
62	15	ex 417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
63	62	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
64	61, 63	ralrimi 3263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
65		dmmptg 6243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
66	64, 65	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
67	56, 66	eleqtrd 2865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
68		eqidd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
69		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
70	69	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
71	70	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
72		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
73	11	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
74	31, 72	sselid 3935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
75	73, 74	remulcld 11243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
76	75	recoscld 16204	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 6997	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
78	77	fveq2d 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))))
79		abscosbd 46026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
80	75, 79	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
81	78, 80	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
82	67, 81	syldan 602	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83	82	ralrimiva 3157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
84		breq2 5113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
85	84	ralbidv 3188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
86	85	rspcev 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
87	55, 83, 86	sylancr 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88	87	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
89		bddmulibl 26007	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
91	28, 90	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
92	17, 91	itgrecl 25966	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93		pire 26628	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
94	93	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ∈ ℝ)
95		0re 11214	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		pipos 26632	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
97	95, 96	gtneii 11326	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ≠ 0)
99	92, 94, 98	redivcld 12047	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100		fourierdlem16.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
101	99, 100	fmptd 7109	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℝ)
102		fourierdlem16.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
103	101, 102	ffvelcdmd 7080	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ)
104	102	ancli 557	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
105		eleq1 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
106	105	anbi2d 641	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
107		simpl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 = 𝑁)
108	107	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
109	108	fveq2d 6885	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑁 · 𝑥)))
110	109	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
111	110	itgeq2dv 25950	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
112	111	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
113	106, 112	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
114	113, 92	vtoclg 3522	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
115	102, 104, 114	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
116	103, 53, 115	jca31 523	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   · cmul 11109   ≤ cle 11248  -cneg 11446   / cdiv 11875  ℕ₀cn0 12508  (,)cioo 13376  abscabs 15290  cosccos 16122  πcpi 16124  –cn→ccncf 25044  volcvol 25631  MblFncmbf 25782  𝐿¹cibl 25785  ∫citg 25786

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cc 10423  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5077  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13380  df-ioc 13381  df-ico 13382  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-mod 13908  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14315  df-bc 14344  df-hash 14372  df-shft 15109  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-limsup 15527  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-ef 16125  df-sin 16127  df-cos 16128  df-pi 16130  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-haus 23481  df-cmp 23553  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cncf 25046  df-ovol 25632  df-vol 25633  df-mbf 25787  df-itg1 25788  df-itg2 25789  df-ibl 25790  df-itg 25791  df-0p 25838  df-limc 26034  df-dv 26035

This theorem is used by:  fourierdlem83  46931  fourierdlem112  46960