Theorem fourierdlem16 46152

Description: The coefficients of the fourier series are integrable and reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem16.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem16.c	⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
fourierdlem16.fibl	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
fourierdlem16.a	⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
fourierdlem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem16	⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝑁,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem fourierdlem16

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem16.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
3		ioossre 13424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π(,)π) ⊆ ℝ
4		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ 𝐶)
5		fourierdlem16.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (-π(,)π)
6	4, 5	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ (-π(,)π))
7	3, 6	sselid 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
9	2, 8	ffvelcdmd 7075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
10	9	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
11		nn0re 12510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
13	7	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ ℝ)
14	12, 13	remulcld 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) ∈ ℝ)
15	14	recoscld 16162	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
16	15	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
17	10, 16	remulcld 11265	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ ℝ)
18		ioombl 25518	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (-π(,)π) ∈ dom vol
19	5, 18	eqeltri 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ dom vol)
21		eqidd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
22		eqidd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
23	20, 16, 10, 21, 22	offval2 7691	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))))
24	16	recnd 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℂ)
25	10	recnd 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
26	24, 25	mulcomd 11256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
27	26	mpteq2dva 5214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((cos‘(𝑛 · 𝑥)) · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))))
28	23, 27	eqtr2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) = ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))))
29		coscn 26407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
30	29	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
31	5, 3	eqsstri 4005	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 ⊆ ℝ
32		ax-resscn 11186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
33	31, 32	sstri 3968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐶 ⊆ ℂ
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝐶 ⊆ ℂ)
35	11	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
36		ssid 3981	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
37	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ℂ ⊆ ℂ)
38	34, 35, 37	constcncfg 45901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑛) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
39		cncfmptid 24857	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
40	33, 36, 39	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ)
41	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ 𝑥) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
42	38, 41	mulcncf 25398	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
43	30, 42	cncfmpt1f 24858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ))
44		cnmbf 25612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ dom vol ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ (𝐶–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
45	19, 43, 44	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
46	45	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn)
47	1	feqmptd 6947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
48	47	reseq1d 5965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶))
49		resmpt 6024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐶 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
50	31, 49	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)))
51	48, 50	eqtr2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝐹 ↾ 𝐶))
52		fourierdlem16.fibl	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶) ∈ 𝐿1)
53	51, 52	eqeltrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
54	53	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
55		1re 11235	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
56		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
57		nfv 1914	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑛 ∈ ℕ0
58		nfmpt1 5220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
59	58	nfdm 5931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
60	59	nfcri 2890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))
61	57, 60	nfan 1899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
62	15	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝐶 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ))
64	61, 63	ralrimi 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ)
65		dmmptg 6231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐶 (cos‘(𝑛 · 𝑥)) ∈ ℝ → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = 𝐶)
67	56, 66	eleqtrd 2836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → 𝑦 ∈ 𝐶)
68		eqidd 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))))
69		oveq2 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑛 · 𝑦))
70	69	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
71	70	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
72		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐶)
73	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑛 ∈ ℝ)
74	31, 72	sselid 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ ℝ)
75	73, 74	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ)
76	75	recoscld 16162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑦)) ∈ ℝ)
77	68, 71, 72, 76	fvmptd 6993	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦) = (cos‘(𝑛 · 𝑦)))
78	77	fveq2d 6880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) = (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))))
79		abscosbd 45307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑛 · 𝑦) ∈ ℝ → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
80	75, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘(cos‘(𝑛 · 𝑦))) ≤ 1)
81	78, 80	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐶) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
82	67, 81	syldan 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) → (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
83	82	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1)
84		breq2 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = 1 → ((abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
85	84	ralbidv 3163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = 1 → (∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1))
86	85	rspcev 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 1) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
87	55, 83, 86	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
88	87	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏)
89		bddmulibl 25792	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))(abs‘((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥)))‘𝑦)) ≤ 𝑏) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
90	46, 54, 88, 89	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (cos‘(𝑛 · 𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥))) ∈ 𝐿1)
91	28, 90	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥)))) ∈ 𝐿1)
92	17, 91	itgrecl 25751	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
93		pire 26418	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
94	93	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ∈ ℝ)
95		0re 11237	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
96		pipos 26420	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
97	95, 96	gtneii 11347	. . . . . 6 ⊢ π ≠ 0
98	97	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → π ≠ 0)
99	92, 94, 98	redivcld 12069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π) ∈ ℝ)
100		fourierdlem16.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 / π))
101	99, 100	fmptd 7104	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℝ)
102		fourierdlem16.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
103	101, 102	ffvelcdmd 7075	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑁) ∈ ℝ)
104	102	ancli 548	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0))
105		eleq1 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ ℕ0))
106	105	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ↔ (𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)))
107		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑛 = 𝑁)
108	107	oveq1d 7420	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
109	108	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (cos‘(𝑛 · 𝑥)) = (cos‘(𝑁 · 𝑥)))
110	109	oveq2d 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 = 𝑁 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) = ((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))))
111	110	itgeq2dv 25735	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 = ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥)
112	111	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ ↔ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
113	106, 112	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑛 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)))
114	113, 92	vtoclg 3533	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))
115	102, 104, 114	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ)
116	103, 53, 115	jca31 514	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐴‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1) ∧ ∫𝐶((𝐹‘𝑥) · (cos‘(𝑁 · 𝑥))) d𝑥 ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  dom cdm 5654   ↾ cres 5656  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7669  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134   ≤ cle 11270  -cneg 11467   / cdiv 11894  ℕ₀cn0 12501  (,)cioo 13362  abscabs 15253  cosccos 16080  πcpi 16082  –cn→ccncf 24820  volcvol 25416  MblFncmbf 25567  𝐿¹cibl 25570  ∫citg 25571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-disj 5087  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-ofr 7672  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-fac 14292  df-bc 14321  df-hash 14349  df-shft 15086  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-limsup 15487  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-ef 16083  df-sin 16085  df-cos 16086  df-pi 16088  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-lp 23074  df-perf 23075  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-haus 23253  df-cmp 23325  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cncf 24822  df-ovol 25417  df-vol 25418  df-mbf 25572  df-itg1 25573  df-itg2 25574  df-ibl 25575  df-itg 25576  df-0p 25623  df-limc 25819  df-dv 25820

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