Theorem ffthiso 18020

Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. Corollary 3.32 of [Adamek] p. 35. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fthmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fthmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthmon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
fthmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
fthmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
fthmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
ffthiso.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
ffthiso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
ffthiso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ffthiso	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem ffthiso

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ffthiso.s	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3		ffthiso.t	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐷)
4		fthmon.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
5		fthfunc 17998	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
6	5	ssbri 5150	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	4, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
9		fthmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		fthmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
14	1, 2, 3, 8, 10, 12, 13	funciso 17963	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
16		df-br 5104	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	7, 16	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
18		funcrcl 17952	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
19	17, 18	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
20	19	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
21	20	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝐶 ∈ Cat)
22	9	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	11	ad3antrrr 743	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
25		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Inv‘𝐷) = (Inv‘𝐷)
26	19	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
27	1, 24, 7	funcf1 17955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐷))
28	27, 9	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
29	27, 11	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
30	24, 25, 26, 28, 29, 3	isoval 17854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) = dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
31	30	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))))
32	31	biimpa 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
33	24, 25, 26, 28, 29	invfun 17853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
35		funfvbrb 7043	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅))))
36	34, 35	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅))))
37	32, 36	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)))
38	37	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)))
39		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
40	38, 39	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
41		fthmon.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
42	4	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
43		fthmon.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
44	43	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
45		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
46	1, 41, 42, 22, 23, 44, 45, 15, 25	fthinv 18017	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → (𝑅(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝑓 ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)))
47	40, 46	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝑓)
48	1, 15, 21, 22, 23, 2, 47	inviso1 17855	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
49		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
50		ffthiso.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
51	50	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
52	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
53	9	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
54	24, 49, 3, 26, 29, 28	isohom 17865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)) ⊆ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
55	54	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)) ⊆ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
56	24, 25, 26, 28, 29, 3	invf 17857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)):((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))⟶((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)))
57	56	ffvelcdmda 7077	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) ∈ ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)))
58	55, 57	sseldd 3932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) ∈ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
59	1, 49, 41, 51, 52, 53, 58	fulli 18004	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
60	48, 59	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
61	14, 60	impbida 813	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  Fun wfun 6527  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  Hom chom 17353  Catccat 17752  Invcinv 17834  Isociso 17835   Func cfunc 17943   Full cful 17993   Faith cfth 17994

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8828  df-ixp 8905  df-cat 17756  df-cid 17757  df-sect 17836  df-inv 17837  df-iso 17838  df-func 17947  df-full 17995  df-fth 17996

This theorem is used by: (None)