Theorem ffthiso 17996

Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. Corollary 3.32 of [Adamek] p. 35. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fthmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fthmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthmon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
fthmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
fthmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
fthmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
ffthiso.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
ffthiso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
ffthiso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ffthiso	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem ffthiso

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ffthiso.s	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3		ffthiso.t	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐷)
4		fthmon.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
5		fthfunc 17974	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
6	5	ssbri 5211	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
9		fthmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		fthmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
14	1, 2, 3, 8, 10, 12, 13	funciso 17938	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
15		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
16		df-br 5167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	7, 16	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
18		funcrcl 17927	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
20	19	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
21	20	ad3antrrr 729	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝐶 ∈ Cat)
22	9	ad3antrrr 729	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	11	ad3antrrr 729	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
25		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Inv‘𝐷) = (Inv‘𝐷)
26	19	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
27	1, 24, 7	funcf1 17930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐷))
28	27, 9	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
29	27, 11	ffvelcdmd 7119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
30	24, 25, 26, 28, 29, 3	isoval 17826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) = dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
31	30	eleq2d 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
33	24, 25, 26, 28, 29	invfun 17825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
35		funfvbrb 7084	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅))))
37	32, 36	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)))
38	37	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)))
39		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
40	38, 39	breqtrd 5192	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
41		fthmon.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
42	4	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
43		fthmon.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
44	43	ad3antrrr 729	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
45		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
46	1, 41, 42, 22, 23, 44, 45, 15, 25	fthinv 17993	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → (𝑅(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝑓 ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)))
47	40, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝑓)
48	1, 15, 21, 22, 23, 2, 47	inviso1 17827	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
49		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
50		ffthiso.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
52	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
53	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
54	24, 49, 3, 26, 29, 28	isohom 17837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)) ⊆ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)) ⊆ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
56	24, 25, 26, 28, 29, 3	invf 17829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)):((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))⟶((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)))
57	56	ffvelcdmda 7118	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) ∈ ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)))
58	55, 57	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) ∈ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
59	1, 49, 41, 51, 52, 53, 58	fulli 17980	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
60	48, 59	r19.29a 3168	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
61	14, 60	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ⟨cop 4654   class class class wbr 5166  dom cdm 5700  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Hom chom 17322  Catccat 17722  Invcinv 17806  Isociso 17807   Func cfunc 17918   Full cful 17969   Faith cfth 17970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-map 8886  df-ixp 8956  df-cat 17726  df-cid 17727  df-sect 17808  df-inv 17809  df-iso 17810  df-func 17922  df-full 17971  df-fth 17972

This theorem is referenced by: (None)