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Theorem ffthiso 17878
Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. Corollary 3.32 of [Adamek] p. 35. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
fthmon.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
fthmon.f (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
fthmon.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
fthmon.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
fthmon.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
ffthiso.f (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺)
ffthiso.s 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
ffthiso.t 𝐽 = (Isoβ€˜π·)
Assertion
Ref Expression
ffthiso (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))))

Proof of Theorem ffthiso
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthmon.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
2 ffthiso.s . . 3 𝐼 = (Isoβ€˜πΆ)
3 ffthiso.t . . 3 𝐽 = (Isoβ€˜π·)
4 fthmon.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
5 fthfunc 17856 . . . . . 6 (𝐢 Faith 𝐷) βŠ† (𝐢 Func 𝐷)
65ssbri 5183 . . . . 5 (𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺 β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
74, 6syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺)
9 fthmon.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
109adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
11 fthmon.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
1211adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
13 simpr 484 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ 𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
141, 2, 3, 8, 10, 12, 13funciso 17820 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ)))
15 eqid 2724 . . . 4 (Invβ€˜πΆ) = (Invβ€˜πΆ)
16 df-br 5139 . . . . . . . 8 (𝐹(𝐢 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐢 Func 𝐷))
177, 16sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐢 Func 𝐷))
18 funcrcl 17809 . . . . . . 7 (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐢 Func 𝐷) β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
2019simpld 494 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
2120ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
229ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
2311ad3antrrr 727 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
24 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
25 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Invβ€˜π·) = (Invβ€˜π·)
2619simprd 495 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Cat)
271, 24, 7funcf1 17812 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐡⟢(Baseβ€˜π·))
2827, 9ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
2927, 11ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜π·))
3024, 25, 26, 28, 29, 3isoval 17708 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ)) = dom ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ)))
3130eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ dom ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))))
3231biimpa 476 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ dom ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ)))
3324, 25, 26, 28, 29invfun 17707 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Fun ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ)))
3433adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ Fun ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ)))
35 funfvbrb 7042 . . . . . . . . 9 (Fun ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ)) β†’ (((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ dom ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))(((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…))))
3634, 35syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ (((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ dom ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))(((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…))))
3732, 36mpbid 231 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))(((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)))
3837ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))(((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)))
39 simpr 484 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“))
4038, 39breqtrd 5164 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“))
41 fthmon.h . . . . . 6 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
424ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ 𝐹(𝐢 Faith 𝐷)𝐺)
43 fthmon.r . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
4443ad3antrrr 727 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ 𝑅 ∈ (π‘‹π»π‘Œ))
45 simplr 766 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹))
461, 41, 42, 22, 23, 44, 45, 15, 25fthinv 17875 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ (𝑅(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)𝑓 ↔ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)))
4740, 46mpbird 257 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ 𝑅(𝑋(Invβ€˜πΆ)π‘Œ)𝑓)
481, 15, 21, 22, 23, 2, 47inviso1 17709 . . 3 ((((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ 𝑓 ∈ (π‘Œπ»π‘‹)) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“)) β†’ 𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
49 eqid 2724 . . . 4 (Hom β€˜π·) = (Hom β€˜π·)
50 ffthiso.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺)
5150adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝐹(𝐢 Full 𝐷)𝐺)
5211adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
539adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5424, 49, 3, 26, 29, 28isohom 17719 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ)𝐽(πΉβ€˜π‘‹)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘Œ)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘‹)))
5554adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ ((πΉβ€˜π‘Œ)𝐽(πΉβ€˜π‘‹)) βŠ† ((πΉβ€˜π‘Œ)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘‹)))
5624, 25, 26, 28, 29, 3invf 17711 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ)):((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))⟢((πΉβ€˜π‘Œ)𝐽(πΉβ€˜π‘‹)))
5756ffvelcdmda 7076 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ)𝐽(πΉβ€˜π‘‹)))
5855, 57sseldd 3975 . . . 4 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) ∈ ((πΉβ€˜π‘Œ)(Hom β€˜π·)(πΉβ€˜π‘‹)))
591, 49, 41, 51, 52, 53, 58fulli 17862 . . 3 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (π‘Œπ»π‘‹)(((πΉβ€˜π‘‹)(Invβ€˜π·)(πΉβ€˜π‘Œ))β€˜((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…)) = ((π‘ŒπΊπ‘‹)β€˜π‘“))
6048, 59r19.29a 3154 . 2 ((πœ‘ ∧ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ 𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ))
6114, 60impbida 798 1 (πœ‘ β†’ (𝑅 ∈ (π‘‹πΌπ‘Œ) ↔ ((π‘‹πΊπ‘Œ)β€˜π‘…) ∈ ((πΉβ€˜π‘‹)𝐽(πΉβ€˜π‘Œ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3940  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138  dom cdm 5666  Fun wfun 6527  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  Hom chom 17204  Catccat 17604  Invcinv 17688  Isociso 17689   Func cfunc 17800   Full cful 17851   Faith cfth 17852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8817  df-ixp 8887  df-cat 17608  df-cid 17609  df-sect 17690  df-inv 17691  df-iso 17692  df-func 17804  df-full 17853  df-fth 17854
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