Theorem ffthiso 17645

Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. Corollary 3.32 of [Adamek] p. 35. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fthmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fthmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthmon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
fthmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
fthmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
fthmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
ffthiso.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
ffthiso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
ffthiso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ffthiso	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem ffthiso

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ffthiso.s	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3		ffthiso.t	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐷)
4		fthmon.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
5		fthfunc 17623	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
6	5	ssbri 5119	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
9		fthmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		fthmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
14	1, 2, 3, 8, 10, 12, 13	funciso 17589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
15		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
16		df-br 5075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	7, 16	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
18		funcrcl 17578	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
20	19	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
21	20	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝐶 ∈ Cat)
22	9	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	11	ad3antrrr 727	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
25		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Inv‘𝐷) = (Inv‘𝐷)
26	19	simprd 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
27	1, 24, 7	funcf1 17581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐷))
28	27, 9	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
29	27, 11	ffvelrnd 6962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
30	24, 25, 26, 28, 29, 3	isoval 17477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) = dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
31	30	eleq2d 2824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))))
32	31	biimpa 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
33	24, 25, 26, 28, 29	invfun 17476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
35		funfvbrb 6928	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅))))
37	32, 36	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)))
38	37	ad2antrr 723	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)))
39		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
40	38, 39	breqtrd 5100	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
41		fthmon.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
42	4	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
43		fthmon.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
44	43	ad3antrrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
45		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
46	1, 41, 42, 22, 23, 44, 45, 15, 25	fthinv 17642	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → (𝑅(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝑓 ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)))
47	40, 46	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝑓)
48	1, 15, 21, 22, 23, 2, 47	inviso1 17478	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
49		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
50		ffthiso.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
51	50	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
52	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
53	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
54	24, 49, 3, 26, 29, 28	isohom 17488	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)) ⊆ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
55	54	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)) ⊆ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
56	24, 25, 26, 28, 29, 3	invf 17480	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)):((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))⟶((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)))
57	56	ffvelrnda 6961	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) ∈ ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)))
58	55, 57	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) ∈ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
59	1, 49, 41, 51, 52, 53, 58	fulli 17629	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
60	48, 59	r19.29a 3218	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
61	14, 60	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  dom cdm 5589  Fun wfun 6427  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Hom chom 16973  Catccat 17373  Invcinv 17457  Isociso 17458   Func cfunc 17569   Full cful 17618   Faith cfth 17619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-map 8617  df-ixp 8686  df-cat 17377  df-cid 17378  df-sect 17459  df-inv 17460  df-iso 17461  df-func 17573  df-full 17620  df-fth 17621

This theorem is referenced by: (None)