Theorem ffthiso 17869

Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. Corollary 3.32 of [Adamek] p. 35. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fthmon.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
fthmon.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
fthmon.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
fthmon.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
fthmon.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
fthmon.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
ffthiso.f	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
ffthiso.s	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
ffthiso.t	⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
ffthiso	⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))

Proof of Theorem ffthiso

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fthmon.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
2		ffthiso.s	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
3		ffthiso.t	. . 3 ⊢ 𝐽 = (Iso‘𝐷)
4		fthmon.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
5		fthfunc 17847	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 Faith 𝐷) ⊆ (𝐶 Func 𝐷)
6	5	ssbri 5147	. . . . 5 ⊢ (𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
7	4, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺)
9		fthmon.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11		fthmon.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
14	1, 2, 3, 8, 10, 12, 13	funciso 17812	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)))
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Inv‘𝐶) = (Inv‘𝐶)
16		df-br 5103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(𝐶 Func 𝐷)𝐺 ↔ ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
17	7, 16	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷))
18		funcrcl 17801	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝐺⟩ ∈ (𝐶 Func 𝐷) → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
19	17, 18	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ Cat ∧ 𝐷 ∈ Cat))
20	19	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
21	20	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝐶 ∈ Cat)
22	9	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23	11	ad3antrrr 730	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
24		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
25		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Inv‘𝐷) = (Inv‘𝐷)
26	19	simprd 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Cat)
27	1, 24, 7	funcf1 17804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝐷))
28	27, 9	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
29	27, 11	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) ∈ (Base‘𝐷))
30	24, 25, 26, 28, 29, 3	isoval 17703	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) = dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
31	30	eleq2d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))))
32	31	biimpa 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
33	24, 25, 26, 28, 29	invfun 17702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)))
35		funfvbrb 7005	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅))))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ dom ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅))))
37	32, 36	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)))
38	37	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)))
39		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
40	38, 39	breqtrd 5128	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
41		fthmon.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
42	4	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝐹(𝐶 Faith 𝐷)𝐺)
43		fthmon.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
44	43	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
45		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋))
46	1, 41, 42, 22, 23, 44, 45, 15, 25	fthinv 17866	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → (𝑅(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝑓 ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)))
47	40, 46	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅(𝑋(Inv‘𝐶)𝑌)𝑓)
48	1, 15, 21, 22, 23, 2, 47	inviso1 17704	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)) ∧ (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓)) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
49		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Hom ‘𝐷) = (Hom ‘𝐷)
50		ffthiso.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝐹(𝐶 Full 𝐷)𝐺)
52	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
53	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
54	24, 49, 3, 26, 29, 28	isohom 17714	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)) ⊆ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
55	54	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)) ⊆ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
56	24, 25, 26, 28, 29, 3	invf 17706	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌)):((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))⟶((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)))
57	56	ffvelcdmda 7038	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) ∈ ((𝐹‘𝑌)𝐽(𝐹‘𝑋)))
58	55, 57	sseldd 3944	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → (((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) ∈ ((𝐹‘𝑌)(Hom ‘𝐷)(𝐹‘𝑋)))
59	1, 49, 41, 51, 52, 53, 58	fulli 17853	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → ∃𝑓 ∈ (𝑌𝐻𝑋)(((𝐹‘𝑋)(Inv‘𝐷)(𝐹‘𝑌))‘((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅)) = ((𝑌𝐺𝑋)‘𝑓))
60	48, 59	r19.29a 3141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))) → 𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
61	14, 60	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ ((𝑋𝐺𝑌)‘𝑅) ∈ ((𝐹‘𝑋)𝐽(𝐹‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  ⟨cop 4591   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  Fun wfun 6493  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Hom chom 17207  Catccat 17601  Invcinv 17683  Isociso 17684   Func cfunc 17792   Full cful 17842   Faith cfth 17843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-map 8778  df-ixp 8848  df-cat 17605  df-cid 17606  df-sect 17685  df-inv 17686  df-iso 17687  df-func 17796  df-full 17844  df-fth 17845

This theorem is referenced by: (None)