Theorem funcrcl 16991

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 16986	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7206	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050  ∀wral 3089  [wsbc 3682  ⟨cop 4447  {copab 4991   × cxp 5405  ⟶wf 6184  ‘cfv 6188  (class class class)co 6976  1^st c1st 7499  2^nd c2nd 7500   ↑_𝑚 cmap 8206  Xcixp 8259  Basecbs 16339  Hom chom 16432  compcco 16433  Catccat 16793  Idccid 16794   Func cfunc 16982

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3418  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-br 4930  df-opab 4992  df-xp 5413  df-dm 5417  df-iota 6152  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-func 16986

This theorem is referenced by:  funcf1  16994  funcixp  16995  funcid  16998  funcco  16999  funcsect  17000  funcinv  17001  funciso  17002  funcoppc  17003  cofucl  17016  cofulid  17018  cofurid  17019  funcres  17024  funcres2b  17025  funcpropd  17028  funcres2c  17029  isfull  17038  isfth  17042  fthsect  17053  fthinv  17054  fthmon  17055  fthepi  17056  ffthiso  17057  natfval  17074  fucbas  17088  fuchom  17089  fucco  17090  fuccocl  17092  fucidcl  17093  fuclid  17094  fucrid  17095  fucass  17096  fucid  17099  fucsect  17100  fucinv  17101  invfuc  17102  fuciso  17103  funcsetcres2  17211  prfcl  17311  prf1st  17312  prf2nd  17313  curf1cl  17336  curfcl  17340  uncfval  17342  uncfcl  17343  uncf1  17344  uncf2  17345  curfuncf  17346  uncfcurf  17347  yonffthlem  17390  yoneda  17391