Theorem funcrcl 17952

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17947	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7655	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  [wsbc 3739  ⟨cop 4590  {copab 5167   × cxp 5653  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  1^st c1st 7984  2^nd c2nd 7985   ↑_m cmap 8826  Xcixp 8904  Basecbs 17301  Hom chom 17353  compcco 17354  Catccat 17752  Idccid 17753   Func cfunc 17943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-dm 5665  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-func 17947

This theorem is used by:  funcf1  17955  funcixp  17956  funcid  17959  funcco  17960  funcsect  17961  funcinv  17962  funciso  17963  funcoppc  17964  cofucl  17977  cofulid  17979  cofurid  17980  funcres  17985  funcres2b  17986  funcpropd  17991  funcres2c  17992  isfull  18001  isfth  18005  fthsect  18016  fthinv  18017  fthmon  18018  fthepi  18019  ffthiso  18020  natfval  18038  fucbas  18052  fuchom  18053  fucco  18054  fuccocl  18056  fucidcl  18057  fuclid  18058  fucrid  18059  fucass  18060  fucid  18063  fucsect  18064  fucinv  18065  invfuc  18066  fuciso  18067  funcsetcres2  18182  prfcl  18291  prf1st  18292  prf2nd  18293  curf1cl  18316  curfcl  18320  uncfval  18322  uncfcl  18323  uncf1  18324  uncf2  18325  curfuncf  18326  uncfcurf  18327  yonffthlem  18370  yoneda  18371  funcrcl2  50005  funcrcl3  50006  initc  50017  prcofpropd  50305  termc2  50444  euendfunc  50452  lanpropd  50541  ranpropd  50542  ranval3  50557  lmddu  50593  cmddu  50594