Theorem funcrcl 17915

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17910	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7651	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  [wsbc 3744  ⟨cop 4595  {copab 5173   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1^st c1st 7980  2^nd c2nd 7981   ↑_m cmap 8820  Xcixp 8891  Basecbs 17264  Hom chom 17316  compcco 17317  Catccat 17715  Idccid 17716   Func cfunc 17906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-dm 5671  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-func 17910

This theorem is referenced by:  funcf1  17918  funcixp  17919  funcid  17922  funcco  17923  funcsect  17924  funcinv  17925  funciso  17926  funcoppc  17927  cofucl  17940  cofulid  17942  cofurid  17943  funcres  17948  funcres2b  17949  funcpropd  17954  funcres2c  17955  isfull  17964  isfth  17968  fthsect  17979  fthinv  17980  fthmon  17981  fthepi  17982  ffthiso  17983  natfval  18001  fucbas  18015  fuchom  18016  fucco  18017  fuccocl  18019  fucidcl  18020  fuclid  18021  fucrid  18022  fucass  18023  fucid  18026  fucsect  18027  fucinv  18028  invfuc  18029  fuciso  18030  funcsetcres2  18145  prfcl  18254  prf1st  18255  prf2nd  18256  curf1cl  18279  curfcl  18283  uncfval  18285  uncfcl  18286  uncf1  18287  uncf2  18288  curfuncf  18289  uncfcurf  18290  yonffthlem  18333  yoneda  18334  funcrcl2  49857  funcrcl3  49858  initc  49869  prcofpropd  50157  termc2  50296  euendfunc  50304  lanpropd  50393  ranpropd  50394  ranval3  50409  lmddu  50445  cmddu  50446