Theorem funcrcl 17824

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17819	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7602	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  [wsbc 3729  ⟨cop 4574  {copab 5148   × cxp 5623  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1^st c1st 7934  2^nd c2nd 7935   ↑_m cmap 8767  Xcixp 8839  Basecbs 17173  Hom chom 17225  compcco 17226  Catccat 17624  Idccid 17625   Func cfunc 17815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5631  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-func 17819

This theorem is referenced by:  funcf1  17827  funcixp  17828  funcid  17831  funcco  17832  funcsect  17833  funcinv  17834  funciso  17835  funcoppc  17836  cofucl  17849  cofulid  17851  cofurid  17852  funcres  17857  funcres2b  17858  funcpropd  17863  funcres2c  17864  isfull  17873  isfth  17877  fthsect  17888  fthinv  17889  fthmon  17890  fthepi  17891  ffthiso  17892  natfval  17910  fucbas  17924  fuchom  17925  fucco  17926  fuccocl  17928  fucidcl  17929  fuclid  17930  fucrid  17931  fucass  17932  fucid  17935  fucsect  17936  fucinv  17937  invfuc  17938  fuciso  17939  funcsetcres2  18054  prfcl  18163  prf1st  18164  prf2nd  18165  curf1cl  18188  curfcl  18192  uncfval  18194  uncfcl  18195  uncf1  18196  uncf2  18197  curfuncf  18198  uncfcurf  18199  yonffthlem  18242  yoneda  18243  funcrcl2  49569  funcrcl3  49570  initc  49581  prcofpropd  49869  termc2  50008  euendfunc  50016  lanpropd  50105  ranpropd  50106  ranval3  50121  lmddu  50157  cmddu  50158