MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcrcl 17121
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 17116 . 2 Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑏𝑧𝑏𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓𝑥), (𝑓𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
21elmpocl 7376 1 (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  [wsbc 3769  cop 4563  {copab 5119   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  1st c1st 7676  2nd c2nd 7677  m cmap 8395  Xcixp 8449  Basecbs 16471  Hom chom 16564  compcco 16565  Catccat 16923  Idccid 16924   Func cfunc 17112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-xp 5554  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-func 17116
This theorem is referenced by:  funcf1  17124  funcixp  17125  funcid  17128  funcco  17129  funcsect  17130  funcinv  17131  funciso  17132  funcoppc  17133  cofucl  17146  cofulid  17148  cofurid  17149  funcres  17154  funcres2b  17155  funcpropd  17158  funcres2c  17159  isfull  17168  isfth  17172  fthsect  17183  fthinv  17184  fthmon  17185  fthepi  17186  ffthiso  17187  natfval  17204  fucbas  17218  fuchom  17219  fucco  17220  fuccocl  17222  fucidcl  17223  fuclid  17224  fucrid  17225  fucass  17226  fucid  17229  fucsect  17230  fucinv  17231  invfuc  17232  fuciso  17233  funcsetcres2  17341  prfcl  17441  prf1st  17442  prf2nd  17443  curf1cl  17466  curfcl  17470  uncfval  17472  uncfcl  17473  uncf1  17474  uncf2  17475  curfuncf  17476  uncfcurf  17477  yonffthlem  17520  yoneda  17521
  Copyright terms: Public domain W3C validator