Theorem funcrcl 17369

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17364	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7447	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  [wsbc 3694  ⟨cop 4547  {copab 5115   × cxp 5549  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  1^st c1st 7759  2^nd c2nd 7760   ↑_m cmap 8508  Xcixp 8578  Basecbs 16760  Hom chom 16813  compcco 16814  Catccat 17167  Idccid 17168   Func cfunc 17360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-xp 5557  df-dm 5561  df-iota 6338  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-func 17364

This theorem is referenced by:  funcf1  17372  funcixp  17373  funcid  17376  funcco  17377  funcsect  17378  funcinv  17379  funciso  17380  funcoppc  17381  cofucl  17394  cofulid  17396  cofurid  17397  funcres  17402  funcres2b  17403  funcpropd  17407  funcres2c  17408  isfull  17417  isfth  17421  fthsect  17432  fthinv  17433  fthmon  17434  fthepi  17435  ffthiso  17436  natfval  17453  fucbas  17468  fuchom  17469  fuchomOLD  17470  fucco  17471  fuccocl  17473  fucidcl  17474  fuclid  17475  fucrid  17476  fucass  17477  fucid  17480  fucsect  17481  fucinv  17482  invfuc  17483  fuciso  17484  funcsetcres2  17599  prfcl  17710  prf1st  17711  prf2nd  17712  curf1cl  17736  curfcl  17740  uncfval  17742  uncfcl  17743  uncf1  17744  uncf2  17745  curfuncf  17746  uncfcurf  17747  yonffthlem  17790  yoneda  17791