MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcrcl 17813
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 17808 . 2 Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑏𝑧𝑏𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓𝑥), (𝑓𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
21elmpocl 7648 1 (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  [wsbc 3778  cop 4635  {copab 5211   × cxp 5675  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  m cmap 8820  Xcixp 8891  Basecbs 17144  Hom chom 17208  compcco 17209  Catccat 17608  Idccid 17609   Func cfunc 17804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-func 17808
This theorem is referenced by:  funcf1  17816  funcixp  17817  funcid  17820  funcco  17821  funcsect  17822  funcinv  17823  funciso  17824  funcoppc  17825  cofucl  17838  cofulid  17840  cofurid  17841  funcres  17846  funcres2b  17847  funcpropd  17851  funcres2c  17852  isfull  17861  isfth  17865  fthsect  17876  fthinv  17877  fthmon  17878  fthepi  17879  ffthiso  17880  natfval  17897  fucbas  17912  fuchom  17913  fuchomOLD  17914  fucco  17915  fuccocl  17917  fucidcl  17918  fuclid  17919  fucrid  17920  fucass  17921  fucid  17924  fucsect  17925  fucinv  17926  invfuc  17927  fuciso  17928  funcsetcres2  18043  prfcl  18155  prf1st  18156  prf2nd  18157  curf1cl  18181  curfcl  18185  uncfval  18187  uncfcl  18188  uncf1  18189  uncf2  18190  curfuncf  18191  uncfcurf  18192  yonffthlem  18235  yoneda  18236
  Copyright terms: Public domain W3C validator