Theorem funcrcl 17825

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17820	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7630	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  [wsbc 3753  ⟨cop 4595  {copab 5169   × cxp 5636  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967   ↑_m cmap 8799  Xcixp 8870  Basecbs 17179  Hom chom 17231  compcco 17232  Catccat 17625  Idccid 17626   Func cfunc 17816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-xp 5644  df-dm 5648  df-iota 6464  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-func 17820

This theorem is referenced by:  funcf1  17828  funcixp  17829  funcid  17832  funcco  17833  funcsect  17834  funcinv  17835  funciso  17836  funcoppc  17837  cofucl  17850  cofulid  17852  cofurid  17853  funcres  17858  funcres2b  17859  funcpropd  17864  funcres2c  17865  isfull  17874  isfth  17878  fthsect  17889  fthinv  17890  fthmon  17891  fthepi  17892  ffthiso  17893  natfval  17911  fucbas  17925  fuchom  17926  fucco  17927  fuccocl  17929  fucidcl  17930  fuclid  17931  fucrid  17932  fucass  17933  fucid  17936  fucsect  17937  fucinv  17938  invfuc  17939  fuciso  17940  funcsetcres2  18055  prfcl  18164  prf1st  18165  prf2nd  18166  curf1cl  18189  curfcl  18193  uncfval  18195  uncfcl  18196  uncf1  18197  uncf2  18198  curfuncf  18199  uncfcurf  18200  yonffthlem  18243  yoneda  18244  funcrcl2  49068  funcrcl3  49069  initc  49080  prcofpropd  49368  termc2  49507  euendfunc  49515  lanpropd  49604  ranpropd  49605  ranval3  49620  lmddu  49656  cmddu  49657