Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcrcl 17127
 Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 17122 . 2 Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑏𝑧𝑏𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓𝑥), (𝑓𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
21elmpocl 7368 1 (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  [wsbc 3720  ⟨cop 4531  {copab 5092   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  1st c1st 7671  2nd c2nd 7672   ↑m cmap 8391  Xcixp 8446  Basecbs 16477  Hom chom 16570  compcco 16571  Catccat 16929  Idccid 16930   Func cfunc 17118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-func 17122 This theorem is referenced by:  funcf1  17130  funcixp  17131  funcid  17134  funcco  17135  funcsect  17136  funcinv  17137  funciso  17138  funcoppc  17139  cofucl  17152  cofulid  17154  cofurid  17155  funcres  17160  funcres2b  17161  funcpropd  17164  funcres2c  17165  isfull  17174  isfth  17178  fthsect  17189  fthinv  17190  fthmon  17191  fthepi  17192  ffthiso  17193  natfval  17210  fucbas  17224  fuchom  17225  fucco  17226  fuccocl  17228  fucidcl  17229  fuclid  17230  fucrid  17231  fucass  17232  fucid  17235  fucsect  17236  fucinv  17237  invfuc  17238  fuciso  17239  funcsetcres2  17347  prfcl  17447  prf1st  17448  prf2nd  17449  curf1cl  17472  curfcl  17476  uncfval  17478  uncfcl  17479  uncf1  17480  uncf2  17481  curfuncf  17482  uncfcurf  17483  yonffthlem  17526  yoneda  17527
 Copyright terms: Public domain W3C validator