Theorem funcrcl 17817

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17812	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7650	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∀wral 3059  [wsbc 3776  ⟨cop 4633  {copab 5209   × cxp 5673  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  1^st c1st 7975  2^nd c2nd 7976   ↑_m cmap 8822  Xcixp 8893  Basecbs 17148  Hom chom 17212  compcco 17213  Catccat 17612  Idccid 17613   Func cfunc 17808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-dm 5685  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-func 17812

This theorem is referenced by:  funcf1  17820  funcixp  17821  funcid  17824  funcco  17825  funcsect  17826  funcinv  17827  funciso  17828  funcoppc  17829  cofucl  17842  cofulid  17844  cofurid  17845  funcres  17850  funcres2b  17851  funcpropd  17855  funcres2c  17856  isfull  17865  isfth  17869  fthsect  17880  fthinv  17881  fthmon  17882  fthepi  17883  ffthiso  17884  natfval  17901  fucbas  17916  fuchom  17917  fuchomOLD  17918  fucco  17919  fuccocl  17921  fucidcl  17922  fuclid  17923  fucrid  17924  fucass  17925  fucid  17928  fucsect  17929  fucinv  17930  invfuc  17931  fuciso  17932  funcsetcres2  18047  prfcl  18159  prf1st  18160  prf2nd  18161  curf1cl  18185  curfcl  18189  uncfval  18191  uncfcl  18192  uncf1  18193  uncf2  18194  curfuncf  18195  uncfcurf  18196  yonffthlem  18239  yoneda  18240