Theorem funcrcl 17927

Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
funcrcl	⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl

Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-func 17922	. 2 ⊢ Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔 ∈ X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st ‘𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd ‘𝑧))) ↑m ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓‘𝑥)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑏 ∀𝑧 ∈ 𝑏 ∀𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓‘𝑥), (𝑓‘𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓‘𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
2	1	elmpocl 7691	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  [wsbc 3804  ⟨cop 4654  {copab 5228   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  1^st c1st 8028  2^nd c2nd 8029   ↑_m cmap 8884  Xcixp 8955  Basecbs 17258  Hom chom 17322  compcco 17323  Catccat 17722  Idccid 17723   Func cfunc 17918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-func 17922

This theorem is referenced by:  funcf1  17930  funcixp  17931  funcid  17934  funcco  17935  funcsect  17936  funcinv  17937  funciso  17938  funcoppc  17939  cofucl  17952  cofulid  17954  cofurid  17955  funcres  17960  funcres2b  17961  funcpropd  17967  funcres2c  17968  isfull  17977  isfth  17981  fthsect  17992  fthinv  17993  fthmon  17994  fthepi  17995  ffthiso  17996  natfval  18014  fucbas  18029  fuchom  18030  fuchomOLD  18031  fucco  18032  fuccocl  18034  fucidcl  18035  fuclid  18036  fucrid  18037  fucass  18038  fucid  18041  fucsect  18042  fucinv  18043  invfuc  18044  fuciso  18045  funcsetcres2  18160  prfcl  18272  prf1st  18273  prf2nd  18274  curf1cl  18298  curfcl  18302  uncfval  18304  uncfcl  18305  uncf1  18306  uncf2  18307  curfuncf  18308  uncfcurf  18309  yonffthlem  18352  yoneda  18353