MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcrcl 16723
Description: Reverse closure for a functor. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
funcrcl (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))

Proof of Theorem funcrcl
Dummy variables 𝑓 𝑏 𝑔 𝑚 𝑛 𝑡 𝑢 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-func 16718 . 2 Func = (𝑡 ∈ Cat, 𝑢 ∈ Cat ↦ {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ [(Base‘𝑡) / 𝑏](𝑓:𝑏⟶(Base‘𝑢) ∧ 𝑔X𝑧 ∈ (𝑏 × 𝑏)(((𝑓‘(1st𝑧))(Hom ‘𝑢)(𝑓‘(2nd𝑧))) ↑𝑚 ((Hom ‘𝑡)‘𝑧)) ∧ ∀𝑥𝑏 (((𝑥𝑔𝑥)‘((Id‘𝑡)‘𝑥)) = ((Id‘𝑢)‘(𝑓𝑥)) ∧ ∀𝑦𝑏𝑧𝑏𝑚 ∈ (𝑥(Hom ‘𝑡)𝑦)∀𝑛 ∈ (𝑦(Hom ‘𝑡)𝑧)((𝑥𝑔𝑧)‘(𝑛(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘𝑡)𝑧)𝑚)) = (((𝑦𝑔𝑧)‘𝑛)(⟨(𝑓𝑥), (𝑓𝑦)⟩(comp‘𝑢)(𝑓𝑧))((𝑥𝑔𝑦)‘𝑚))))})
21elmpt2cl 7103 1 (𝐹 ∈ (𝐷 Func 𝐸) → (𝐷 ∈ Cat ∧ 𝐸 ∈ Cat))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2158  wral 3095  [wsbc 3630  cop 4373  {copab 4902   × cxp 5306  wf 6094  cfv 6098  (class class class)co 6871  1st c1st 7393  2nd c2nd 7394  𝑚 cmap 8089  Xcixp 8142  Basecbs 16064  Hom chom 16160  compcco 16161  Catccat 16525  Idccid 16526   Func cfunc 16714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1880  ax-4 1897  ax-5 2004  ax-6 2070  ax-7 2106  ax-8 2160  ax-9 2167  ax-10 2187  ax-11 2203  ax-12 2216  ax-13 2422  ax-ext 2784  ax-sep 4971  ax-nul 4980  ax-pow 5032  ax-pr 5093
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1865  df-sb 2063  df-eu 2636  df-mo 2637  df-clab 2792  df-cleq 2798  df-clel 2801  df-nfc 2936  df-ne 2978  df-ral 3100  df-rex 3101  df-rab 3104  df-v 3392  df-dif 3769  df-un 3771  df-in 3773  df-ss 3780  df-nul 4114  df-if 4277  df-sn 4368  df-pr 4370  df-op 4374  df-uni 4627  df-br 4841  df-opab 4903  df-xp 5314  df-dm 5318  df-iota 6061  df-fv 6106  df-ov 6874  df-oprab 6875  df-mpt2 6876  df-func 16718
This theorem is referenced by:  funcf1  16726  funcixp  16727  funcid  16730  funcco  16731  funcsect  16732  funcinv  16733  funciso  16734  funcoppc  16735  cofucl  16748  cofulid  16750  cofurid  16751  funcres  16756  funcres2b  16757  funcpropd  16760  funcres2c  16761  isfull  16770  isfth  16774  fthsect  16785  fthinv  16786  fthmon  16787  fthepi  16788  ffthiso  16789  natfval  16806  fucbas  16820  fuchom  16821  fucco  16822  fuccocl  16824  fucidcl  16825  fuclid  16826  fucrid  16827  fucass  16828  fucid  16831  fucsect  16832  fucinv  16833  invfuc  16834  fuciso  16835  funcsetcres2  16943  prfcl  17044  prf1st  17045  prf2nd  17046  curf1cl  17069  curfcl  17073  uncfval  17075  uncfcl  17076  uncf1  17077  uncf2  17078  curfuncf  17079  uncfcurf  17080  yonffthlem  17123  yoneda  17124
  Copyright terms: Public domain W3C validator