Theorem fzass4 13511

Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzass4	⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Proof of Theorem fzass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		simprl 777	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
3	1, 2	jca 517	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
4		uztrn 12801	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	4	ancoms 460	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
6	5	ad2ant2r 754	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		simprr 779	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
8	3, 6, 7	jca32 521	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
9		simpll 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
10		uztrn 12801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
11	10	ancoms 460	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
12	11	ad2ant2l 753	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
13	9, 12	jca 517	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
14		simplr 775	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
15		simprr 779	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16	13, 14, 15	jca32 521	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
17	8, 16	impbii 211	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
18		elfzuzb 13467	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
19		elfzuzb 13467	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐵...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	18, 19	anbi12i 635	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
21		elfzuzb 13467	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
22		elfzuzb 13467	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
23	21, 22	anbi12i 635	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
24	17, 20, 23	3bitr4i 305	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∈ wcel 2121  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-neg 11375  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  ccatswrd  14626  ccatpfx  14658  splfv1  14712