Theorem fzass4 13622

Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzass4	⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Proof of Theorem fzass4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
2		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
4		uztrn 12921	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
5	4	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
6	5	ad2ant2r 746	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
7		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
8	3, 6, 7	jca32 515	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
9		simpll 766	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴))
10		uztrn 12921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
11	10	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
12	11	ad2ant2l 745	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
13	9, 12	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
14		simplr 768	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵))
15		simprr 772	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))
16	13, 14, 15	jca32 515	. . 3 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
17	8, 16	impbii 209	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
18		elfzuzb 13578	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
19		elfzuzb 13578	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐵...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
20	18, 19	anbi12i 627	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
21		elfzuzb 13578	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)))
22		elfzuzb 13578	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶)))
23	21, 22	anbi12i 627	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ≥‘𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ≥‘𝐶))))
24	17, 20, 23	3bitr4i 303	1 ⊢ ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-neg 11523  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  ccatswrd  14716  ccatpfx  14749  splfv1  14803