MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzass4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzass4 13599
Description: Two ways to express a nondecreasing sequence of four integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzass4 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))

Proof of Theorem fzass4
StepHypRef Expression
1 simpll 767 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
2 simprl 771 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
31, 2jca 511 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
4 uztrn 12894 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐵 ∈ (ℤ𝐴)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
54ancoms 458 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
65ad2ant2r 747 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐴))
7 simprr 773 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))
83, 6, 7jca32 515 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
9 simpll 767 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐵 ∈ (ℤ𝐴))
10 uztrn 12894 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (ℤ𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
1110ancoms 458 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
1211ad2ant2l 746 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐵))
139, 12jca 511 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)))
14 simplr 769 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐶 ∈ (ℤ𝐵))
15 simprr 773 . . . 4 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))
1613, 14, 15jca32 515 . . 3 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) → ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
178, 16impbii 209 . 2 (((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
18 elfzuzb 13555 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)))
19 elfzuzb 13555 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐵...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)))
2018, 19anbi12i 628 . 2 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐵) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
21 elfzuzb 13555 . . 3 (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)))
22 elfzuzb 13555 . . 3 (𝐶 ∈ (𝐴...𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶)))
2321, 22anbi12i 628 . 2 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)) ↔ ((𝐵 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐶 ∈ (ℤ𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ (ℤ𝐴) ∧ 𝐷 ∈ (ℤ𝐶))))
2417, 20, 233bitr4i 303 1 ((𝐵 ∈ (𝐴...𝐷) ∧ 𝐶 ∈ (𝐵...𝐷)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐴...𝐶) ∧ 𝐶 ∈ (𝐴...𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wcel 2106  cfv 6563  (class class class)co 7431  cuz 12876  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  ccatswrd  14703  ccatpfx  14736  splfv1  14790
  Copyright terms: Public domain W3C validator