MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splfv1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv1 14793
Description: Symbols to the left of a splice are unaffected. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv1.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝐹))
Assertion
Ref Expression
splfv1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆𝑋))

Proof of Theorem splfv1
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splval 14789 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1374 . . 3 (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
76fveq1d 6908 . 2 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋))
8 pfxcl 14715 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
91, 8syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10 ccatcl 14612 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
119, 4, 10syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12 swrdcl 14683 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
131, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
142elfzelzd 13565 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
1514uzidd 12894 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
16 lencl 14571 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
174, 16syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
18 uzaddcl 12946 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (ℤ𝐹) ∧ (♯‘𝑅) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹))
1915, 17, 18syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹))
20 fzoss2 13727 . . . . . 6 ((𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ𝐹) → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
2119, 20syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
22 splfv1.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (0..^𝐹))
2321, 22sseldd 3984 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
24 ccatlen 14613 . . . . . . 7 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
259, 4, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
26 fzass4 13602 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
2726biimpri 228 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))))
2827simpld 494 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
292, 3, 28syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
30 pfxlen 14721 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
311, 29, 30syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
3231oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
3325, 32eqtrd 2777 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
3433oveq2d 7447 . . . 4 (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
3523, 34eleqtrrd 2844 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
36 ccatval1 14615 . . 3 ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋))
3711, 13, 35, 36syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋))
3831oveq2d 7447 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (0..^𝐹))
3922, 38eleqtrrd 2844 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
40 ccatval1 14615 . . . 4 (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋))
419, 4, 39, 40syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋))
42 pfxfv 14720 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝐹)) → ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
431, 29, 22, 42syl3anc 1373 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
4441, 43eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
457, 37, 443eqtrd 2781 1 (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cop 4632  cotp 4634  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158  0cn0 12526  cuz 12878  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694  chash 14369  Word cword 14552   ++ cconcat 14608   substr csubstr 14678   prefix cpfx 14708   splice csplice 14787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788
This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19513  cycpmco2lem7  33152
  Copyright terms: Public domain W3C validator