Theorem splfv1 14717

Description: Symbols to the left of a splice are unaffected. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝐹))

Assertion

Ref	Expression
splfv1	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem splfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14713	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7	6	fveq1d 6842	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋))
8		pfxcl 14640	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10		ccatcl 14536	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
11	9, 4, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12		swrdcl 14608	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14	2	elfzelzd 13479	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
15	14	uzidd 12804	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
16		lencl 14495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
18		uzaddcl 12854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹) ∧ (♯‘𝑅) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
19	15, 17, 18	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
20		fzoss2 13642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹) → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
22		splfv1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝐹))
23	21, 22	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
24		ccatlen 14537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
25	9, 4, 24	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
26		fzass4 13516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
27	26	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))))
28	27	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
29	2, 3, 28	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
30		pfxlen 14646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
31	1, 29, 30	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
32	31	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
33	25, 32	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
34	33	oveq2d 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
35	23, 34	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
36		ccatval1 14539	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋))
37	11, 13, 35, 36	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋))
38	31	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (0..^𝐹))
39	22, 38	eleqtrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
40		ccatval1 14539	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋))
41	9, 4, 39, 40	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋))
42		pfxfv 14645	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝐹)) → ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))
43	1, 29, 22, 42	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))
44	41, 43	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))
45	7, 37, 44	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3889  ⟨cop 4573  ⟨cotp 4575  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  0cc0 11038   + caddc 11041  ℕ₀cn0 12437  ℤ_≥cuz 12788  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608  ♯chash 14292  Word cword 14475   ++ cconcat 14532   substr csubstr 14603   prefix cpfx 14633   splice csplice 14711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-substr 14604  df-pfx 14634  df-splice 14712

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19470  cycpmco2lem7  33193