Theorem splfv1 14468

Description: Symbols to the left of a splice are unaffected. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝐹))

Assertion

Ref	Expression
splfv1	⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))

Proof of Theorem splfv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splval 14464	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7	6	fveq1d 6776	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋))
8		pfxcl 14390	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
9	1, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴)
10		ccatcl 14277	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
11	9, 4, 10	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
12		swrdcl 14358	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
13	1, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
14	2	elfzelzd 13257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
15	14	uzidd 12598	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
16		lencl 14236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
17	4, 16	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
18		uzaddcl 12644	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ (ℤ≥‘𝐹) ∧ (♯‘𝑅) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
19	15, 17, 18	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
20		fzoss2 13415	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 + (♯‘𝑅)) ∈ (ℤ≥‘𝐹) → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^𝐹) ⊆ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
22		splfv1.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^𝐹))
23	21, 22	sseldd 3922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
24		ccatlen 14278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
25	9, 4, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)))
26		fzass4 13294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))))
27	26	biimpri 227	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑇 ∈ (𝐹...(♯‘𝑆))))
28	27	simpld 495	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
29	2, 3, 28	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
30		pfxlen 14396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
31	1, 29, 30	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) = 𝐹)
32	31	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 prefix 𝐹)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
33	25, 32	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
34	33	oveq2d 7291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))) = (0..^(𝐹 + (♯‘𝑅))))
35	23, 34	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅))))
36		ccatval1 14281	. . 3 ⊢ ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋))
37	11, 13, 35, 36	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘𝑋) = (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋))
38	31	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹))) = (0..^𝐹))
39	22, 38	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹))))
40		ccatval1 14281	. . . 4 ⊢ (((𝑆 prefix 𝐹) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘(𝑆 prefix 𝐹)))) → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋))
41	9, 4, 39, 40	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋))
42		pfxfv 14395	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑋 ∈ (0..^𝐹)) → ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))
43	1, 29, 22, 42	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 prefix 𝐹)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))
44	41, 43	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 prefix 𝐹) ++ 𝑅)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))
45	7, 37, 44	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 splice ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘𝑋) = (𝑆‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  ⟨cop 4567  ⟨cotp 4569  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   + caddc 10874  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382  ♯chash 14044  Word cword 14217   ++ cconcat 14273   substr csubstr 14353   prefix cpfx 14383   splice csplice 14462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-splice 14463

This theorem is referenced by:  psgnunilem2  19103  cycpmco2lem7  31399