MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzss1 13481
Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 13438 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
2 id 22 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3 uztrn 12782 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
41, 2, 3syl2anr 598 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 elfzuz3 13439 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
65adantl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
7 elfzuzb 13436 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑘)))
84, 6, 7sylanbrc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
98ex 414 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
109ssrdv 3951 1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107  wss 3911  cfv 6497  (class class class)co 7358  cuz 12764  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-neg 11389  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  fzssnn  13486  fzp1ss  13493  ige2m1fz  13532  fzoss1  13600  fzossnn0  13604  sermono  13941  seqsplit  13942  seqf1olem2  13949  seqz  13957  seqcoll2  14365  swrdswrd  14594  swrdccatin2  14618  pfxccatin12lem2c  14619  pfxccatpfx2  14626  swrds2m  14831  mertenslem1  15770  reumodprminv  16677  prmgaplcmlem1  16924  structfn  17029  strleun  17030  cpmadugsumlemF  22228  ply1termlem  25567  dvply1  25647  ppisval2  26457  ppiltx  26529  chtlepsi  26557  chtublem  26562  chpub  26571  gausslemma2dlem3  26719  2lgslem1a  26742  chtppilimlem1  26824  pntlemq  26952  pntlemf  26956  axlowdimlem16  27909  axlowdimlem17  27910  axlowdim  27913  crctcshwlkn0lem3  28760  swrdrndisj  31814  esumpmono  32681  ballotlem2  33091  ballotlemfc0  33095  ballotlemfcc  33096  fsum2dsub  33223  chtvalz  33245  poimirlem1  36082  poimirlem2  36083  poimirlem4  36085  poimirlem6  36087  poimirlem7  36088  poimirlem15  36096  poimirlem16  36097  poimirlem19  36100  poimirlem20  36101  poimirlem23  36104  poimirlem27  36108  fdc  36207  jm2.23  41323  stoweidlem11  44259  elaa2lem  44481  iccpartgel  45628
  Copyright terms: Public domain W3C validator