Theorem fzss1 13434

Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzss1	⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzuz 13391	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾))
2		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		uztrn 12739	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anr 597	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		elfzuz3 13392	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
6	5	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘))
7		elfzuzb 13389	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑘)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
9	8	ex 413	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
10	9	ssrdv 3948	1 ⊢ (𝐾 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3908  ‘cfv 6493  (class class class)co 7351  ℤ_≥cuz 12721  ...cfz 13378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-neg 11346  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379

This theorem is referenced by:  fzssnn  13439  fzp1ss  13446  ige2m1fz  13485  fzoss1  13553  fzossnn0  13557  sermono  13894  seqsplit  13895  seqf1olem2  13902  seqz  13910  seqcoll2  14317  swrdswrd  14550  swrdccatin2  14574  pfxccatin12lem2c  14575  pfxccatpfx2  14582  swrds2m  14787  mertenslem1  15728  reumodprminv  16635  prmgaplcmlem1  16882  structfn  16987  strleun  16988  cpmadugsumlemF  22176  ply1termlem  25515  dvply1  25595  ppisval2  26405  ppiltx  26477  chtlepsi  26505  chtublem  26510  chpub  26519  gausslemma2dlem3  26667  2lgslem1a  26690  chtppilimlem1  26772  pntlemq  26900  pntlemf  26904  axlowdimlem16  27734  axlowdimlem17  27735  axlowdim  27738  crctcshwlkn0lem3  28585  swrdrndisj  31635  esumpmono  32481  ballotlem2  32891  ballotlemfc0  32895  ballotlemfcc  32896  fsum2dsub  33023  chtvalz  33045  poimirlem1  36010  poimirlem2  36011  poimirlem4  36013  poimirlem6  36015  poimirlem7  36016  poimirlem15  36024  poimirlem16  36025  poimirlem19  36028  poimirlem20  36029  poimirlem23  36032  poimirlem27  36036  fdc  36135  jm2.23  41222  stoweidlem11  44146  elaa2lem  44368  iccpartgel  45515