Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzss1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzss1 12943
 Description: Subset relationship for finite sets of sequential integers. (Contributed by NM, 28-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fzss1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))

Proof of Theorem fzss1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzuz 12900 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (ℤ𝐾))
2 id 22 . . . . 5 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → 𝐾 ∈ (ℤ𝑀))
3 uztrn 12251 . . . . 5 ((𝑘 ∈ (ℤ𝐾) ∧ 𝐾 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
41, 2, 3syl2anr 599 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
5 elfzuz3 12901 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
65adantl 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑘))
7 elfzuzb 12898 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑘)))
84, 6, 7sylanbrc 586 . . 3 ((𝐾 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝐾...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
98ex 416 . 2 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ (𝐾...𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)))
109ssrdv 3921 1 (𝐾 ∈ (ℤ𝑀) → (𝐾...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤ≥cuz 12233  ...cfz 12887 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-neg 10864  df-z 11972  df-uz 12234  df-fz 12888 This theorem is referenced by:  fzssnn  12948  fzp1ss  12955  ige2m1fz  12994  fzoss1  13061  fzossnn0  13065  sermono  13400  seqsplit  13401  seqf1olem2  13408  seqz  13416  seqcoll2  13821  swrdswrd  14060  swrdccatin2  14084  pfxccatin12lem2c  14085  pfxccatpfx2  14092  swrds2m  14296  mertenslem1  15234  reumodprminv  16133  prmgaplcmlem1  16379  structfn  16494  strleun  16585  cpmadugsumlemF  21488  ply1termlem  24807  dvply1  24887  ppisval2  25697  ppiltx  25769  chtlepsi  25797  chtublem  25802  chpub  25811  gausslemma2dlem3  25959  2lgslem1a  25982  chtppilimlem1  26064  pntlemq  26192  pntlemf  26196  axlowdimlem16  26758  axlowdimlem17  26759  axlowdim  26762  crctcshwlkn0lem3  27605  swrdrndisj  30664  esumpmono  31460  ballotlem2  31868  ballotlemfc0  31872  ballotlemfcc  31873  fsum2dsub  32000  chtvalz  32022  poimirlem1  35074  poimirlem2  35075  poimirlem4  35077  poimirlem6  35079  poimirlem7  35080  poimirlem15  35088  poimirlem16  35089  poimirlem19  35092  poimirlem20  35093  poimirlem23  35096  poimirlem27  35100  fdc  35199  jm2.23  39952  stoweidlem11  42668  elaa2lem  42890  iccpartgel  43961
 Copyright terms: Public domain W3C validator