Theorem lspsnsub 21178

Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnsub.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsub.s	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsnsub.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnsub.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lspsnsub.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lspsnsub.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lspsnsub	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))

Proof of Theorem lspsnsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnsub.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		lspsnsub.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
3		lspsnsub.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
4		lspsnsub.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
5		lspsnsub.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑊)
6	4, 5	lmodvsubcl 21078	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
9		lspsnsub.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
10	4, 8, 9	lspsnneg 21177	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
11	1, 7, 10	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
12		lmodgrp 21038	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
13	1, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp)
14	4, 5, 8	grpinvsub 19132	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
15	13, 2, 3, 14	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
16	15	sneqd 4603	. . 3 ⊢ (𝜑 → {((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))} = {(𝑌 − 𝑋)})
17	16	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘(𝑋 − 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))
18	11, 17	eqtr3d 2802	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 − 𝑋)}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  Grpcgrp 19044  inv_gcminusg 19045  -_gcsg 19046  LModclmod 21031  LSpanclspn 21142

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-plusg 17345  df-0g 17516  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-mgp 20261  df-ur 20308  df-ring 20361  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143

This theorem is used by:  baerlem3lem2  42542  baerlem5blem2  42544  mapdheq2  42561