MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnsub 19233
Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnsub.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsub.s = (-g𝑊)
lspsnsub.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnsub.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnsub.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsnsub.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsnsub (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))

Proof of Theorem lspsnsub
StepHypRef Expression
1 lspsnsub.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspsnsub.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspsnsub.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
4 lspsnsub.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspsnsub.s . . . . 5 = (-g𝑊)
64, 5lmodvsubcl 19131 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 6syl3anc 1483 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
8 eqid 2817 . . . 4 (invg𝑊) = (invg𝑊)
9 lspsnsub.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
104, 8, 9lspsnneg 19232 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
111, 7, 10syl2anc 575 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
12 lmodgrp 19093 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
144, 5, 8grpinvsub 17721 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
1513, 2, 3, 14syl3anc 1483 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
1615sneqd 4393 . . 3 (𝜑 → {((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))} = {(𝑌 𝑋)})
1716fveq2d 6421 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))
1811, 17eqtr3d 2853 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2157  {csn 4381  cfv 6110  (class class class)co 6883  Basecbs 16087  Grpcgrp 17646  invgcminusg 17647  -gcsg 17648  LModclmod 19086  LSpanclspn 19197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-2 11375  df-ndx 16090  df-slot 16091  df-base 16093  df-sets 16094  df-plusg 16185  df-0g 16326  df-mgm 17466  df-sgrp 17508  df-mnd 17519  df-grp 17649  df-minusg 17650  df-sbg 17651  df-mgp 18711  df-ur 18723  df-ring 18770  df-lmod 19088  df-lss 19156  df-lsp 19198
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  37508  baerlem5blem2  37510  mapdheq2  37527
  Copyright terms: Public domain W3C validator