MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsnsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsnsub 19213
Description: Swapping subtraction order does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 4-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnsub.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnsub.s = (-g𝑊)
lspsnsub.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsnsub.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lspsnsub.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsnsub.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lspsnsub (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))

Proof of Theorem lspsnsub
StepHypRef Expression
1 lspsnsub.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lspsnsub.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lspsnsub.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
4 lspsnsub.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 lspsnsub.s . . . . 5 = (-g𝑊)
64, 5lmodvsubcl 19111 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
71, 2, 3, 6syl3anc 1476 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
8 eqid 2771 . . . 4 (invg𝑊) = (invg𝑊)
9 lspsnsub.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
104, 8, 9lspsnneg 19212 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
111, 7, 10syl2anc 573 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
12 lmodgrp 19073 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
131, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Grp)
144, 5, 8grpinvsub 17698 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
1513, 2, 3, 14syl3anc 1476 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
1615sneqd 4328 . . 3 (𝜑 → {((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))} = {(𝑌 𝑋)})
1716fveq2d 6334 . 2 (𝜑 → (𝑁‘{((invg𝑊)‘(𝑋 𝑌))}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))
1811, 17eqtr3d 2807 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑌 𝑋)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4316  cfv 6029  (class class class)co 6791  Basecbs 16057  Grpcgrp 17623  invgcminusg 17624  -gcsg 17625  LModclmod 19066  LSpanclspn 19177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-nn 11221  df-2 11279  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-sets 16064  df-plusg 16155  df-0g 16303  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mgp 18691  df-ur 18703  df-ring 18750  df-lmod 19068  df-lss 19136  df-lsp 19178
This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  37513  baerlem5blem2  37515  mapdheq2  37532
  Copyright terms: Public domain W3C validator