Theorem mapdpglem14 41668

Description: Lemma for mapdpg 41689. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.g0	⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem14	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41093	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		mapdpglem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		mapdpglem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		mapdpglem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
9		mapdpglem.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
10	7, 8, 9	lmodvnpcan 20931	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) = 𝑌)
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) = 𝑌)
12		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13		mapdpglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	7, 12, 13	lspsncl 20993	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	4, 6, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16		lmodgrp 20882	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
17	4, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
18		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
19	7, 9, 18	grpinvsub 19053	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
20	17, 6, 5, 19	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
21		mapdpglem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
22		mapdpglem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23		mapdpglem1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
24		mapdpglem2.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
25		mapdpglem3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
26		mapdpglem3.te	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
28		mapdpglem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
29		mapdpglem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
30		mapdpglem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
31		mapdpglem3.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
32		mapdpglem3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
33		mapdpglem4.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
34		mapdpglem.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
35		mapdpglem4.jt	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
36		mapdpglem4.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
37		mapdpglem4.g4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
38		mapdpglem4.z4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
39		mapdpglem4.t4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
40		mapdpglem4.xn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
41		mapdpglem12.yn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
42		mapdpglem12.g0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))
43	1, 21, 2, 7, 9, 13, 22, 3, 6, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	mapdpglem13 41667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
44	7, 9	lmodvsubcl 20922	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
45	4, 6, 5, 44	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
46	7, 13	lspsnid 21009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
47	4, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
48	43, 47	sseldd 3996	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
49	12, 18	lssvnegcl 20972	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
50	4, 15, 48, 49	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
51	20, 50	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
52	7, 13	lspsnid 21009	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
53	4, 6, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
54	8, 12	lssvacl 20959	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
55	4, 15, 51, 53, 54	syl22anc 839	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
56	11, 55	eqeltrrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {csn 4631  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17486  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  -_gcsg 18966  LSSumclsm 19667  LModclmod 20875  LSubSpclss 20947  LSpanclspn 20987  HLchlt 39332  LHypclh 39967  DVecHcdvh 41061  LCDualclcd 41569  mapdcmpd 41607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-riotaBAD 38935

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-undef 8297  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cntz 19348  df-oppg 19377  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-nzr 20530  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38958  df-lshyp 38959  df-lcv 39001  df-lfl 39040  df-lkr 39068  df-ldual 39106  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482  df-lvols 39483  df-lines 39484  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779  df-lhyp 39971  df-laut 39972  df-ldil 40087  df-ltrn 40088  df-trl 40142  df-tgrp 40726  df-tendo 40738  df-edring 40740  df-dveca 40986  df-disoa 41012  df-dvech 41062  df-dib 41122  df-dic 41156  df-dih 41212  df-doch 41331  df-djh 41378  df-lcdual 41570  df-mapd 41608

This theorem is referenced by:  mapdpglem15  41669