Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem14 38815
Description: Lemma for mapdpg 38836. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem12.g0 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem14 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem14
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 38240 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 mapdpglem.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
6 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
7 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2821 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
9 mapdpglem.s . . . 4 = (-g𝑈)
107, 8, 9lmodvnpcan 19682 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) = 𝑌)
114, 5, 6, 10syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) = 𝑌)
12 eqid 2821 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
147, 12, 13lspsncl 19743 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
154, 6, 14syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16 lmodgrp 19635 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
174, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
18 eqid 2821 . . . . . 6 (invg𝑈) = (invg𝑈)
197, 9, 18grpinvsub 18175 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
2017, 6, 5, 19syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
21 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
22 mapdpglem.c . . . . . . 7 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23 mapdpglem1.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐶)
24 mapdpglem2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
25 mapdpglem3.f . . . . . . 7 𝐹 = (Base‘𝐶)
26 mapdpglem3.te . . . . . . 7 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
28 mapdpglem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
29 mapdpglem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝐶)
30 mapdpglem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (-g𝐶)
31 mapdpglem3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
32 mapdpglem3.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
33 mapdpglem4.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝑈)
34 mapdpglem.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
35 mapdpglem4.jt . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
36 mapdpglem4.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐴)
37 mapdpglem4.g4 . . . . . . 7 (𝜑𝑔𝐵)
38 mapdpglem4.z4 . . . . . . 7 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
39 mapdpglem4.t4 . . . . . . 7 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
40 mapdpglem4.xn . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑄)
41 mapdpglem12.yn . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑄)
42 mapdpglem12.g0 . . . . . . 7 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
431, 21, 2, 7, 9, 13, 22, 3, 6, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42mapdpglem13 38814 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
447, 9lmodvsubcl 19673 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
454, 6, 5, 44syl3anc 1367 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
467, 13lspsnid 19759 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
474, 45, 46syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
4843, 47sseldd 3968 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4912, 18lssvnegcl 19722 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
504, 15, 48, 49syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
5120, 50eqeltrrd 2914 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
527, 13lspsnid 19759 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
534, 6, 52syl2anc 586 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
548, 12lssvacl 19720 . . 3 (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑌 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
554, 15, 51, 53, 54syl22anc 836 . 2 (𝜑 → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
5611, 55eqeltrrd 2914 1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  {csn 4561  cfv 6350  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  Scalarcsca 16562   ·𝑠 cvsca 16563  0gc0g 16707  Grpcgrp 18097  invgcminusg 18098  -gcsg 18099  LSSumclsm 18753  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  HLchlt 36480  LHypclh 37114  DVecHcdvh 38208  LCDualclcd 38716  mapdcmpd 38754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36083
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lsatoms 36106  df-lshyp 36107  df-lcv 36149  df-lfl 36188  df-lkr 36216  df-ldual 36254  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tgrp 37873  df-tendo 37885  df-edring 37887  df-dveca 38133  df-disoa 38159  df-dvech 38209  df-dib 38269  df-dic 38303  df-dih 38359  df-doch 38478  df-djh 38525  df-lcdual 38717  df-mapd 38755
This theorem is referenced by:  mapdpglem15  38816
  Copyright terms: Public domain W3C validator