Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem14 37760
Description: Lemma for mapdpg 37781. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem12.g0 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem14 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem14
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 37185 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 mapdpglem.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
6 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
7 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2825 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
9 mapdpglem.s . . . 4 = (-g𝑈)
107, 8, 9lmodvnpcan 19273 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) = 𝑌)
114, 5, 6, 10syl3anc 1496 . 2 (𝜑 → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) = 𝑌)
12 eqid 2825 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
147, 12, 13lspsncl 19336 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
154, 6, 14syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16 lmodgrp 19226 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
174, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
18 eqid 2825 . . . . . 6 (invg𝑈) = (invg𝑈)
197, 9, 18grpinvsub 17851 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
2017, 6, 5, 19syl3anc 1496 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
21 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
22 mapdpglem.c . . . . . . 7 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23 mapdpglem1.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐶)
24 mapdpglem2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
25 mapdpglem3.f . . . . . . 7 𝐹 = (Base‘𝐶)
26 mapdpglem3.te . . . . . . 7 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
28 mapdpglem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
29 mapdpglem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝐶)
30 mapdpglem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (-g𝐶)
31 mapdpglem3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
32 mapdpglem3.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
33 mapdpglem4.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝑈)
34 mapdpglem.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
35 mapdpglem4.jt . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
36 mapdpglem4.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐴)
37 mapdpglem4.g4 . . . . . . 7 (𝜑𝑔𝐵)
38 mapdpglem4.z4 . . . . . . 7 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
39 mapdpglem4.t4 . . . . . . 7 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
40 mapdpglem4.xn . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑄)
41 mapdpglem12.yn . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑄)
42 mapdpglem12.g0 . . . . . . 7 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
431, 21, 2, 7, 9, 13, 22, 3, 6, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42mapdpglem13 37759 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
447, 9lmodvsubcl 19264 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
454, 6, 5, 44syl3anc 1496 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
467, 13lspsnid 19352 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
474, 45, 46syl2anc 581 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
4843, 47sseldd 3828 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4912, 18lssvnegcl 19315 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
504, 15, 48, 49syl3anc 1496 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
5120, 50eqeltrrd 2907 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
527, 13lspsnid 19352 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
534, 6, 52syl2anc 581 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
548, 12lssvacl 19313 . . 3 (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑌 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
554, 15, 51, 53, 54syl22anc 874 . 2 (𝜑 → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
5611, 55eqeltrrd 2907 1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  {csn 4397  cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  +gcplusg 16305  Scalarcsca 16308   ·𝑠 cvsca 16309  0gc0g 16453  Grpcgrp 17776  invgcminusg 17777  -gcsg 17778  LSSumclsm 18400  LModclmod 19219  LSubSpclss 19288  LSpanclspn 19330  HLchlt 35425  LHypclh 36059  DVecHcdvh 37153  LCDualclcd 37661  mapdcmpd 37699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35028
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-of 7157  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-mre 16599  df-mrc 16600  df-acs 16602  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-oppg 18126  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lsatoms 35051  df-lshyp 35052  df-lcv 35094  df-lfl 35133  df-lkr 35161  df-ldual 35199  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-llines 35573  df-lplanes 35574  df-lvols 35575  df-lines 35576  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871  df-lhyp 36063  df-laut 36064  df-ldil 36179  df-ltrn 36180  df-trl 36234  df-tgrp 36818  df-tendo 36830  df-edring 36832  df-dveca 37078  df-disoa 37104  df-dvech 37154  df-dib 37214  df-dic 37248  df-dih 37304  df-doch 37423  df-djh 37470  df-lcdual 37662  df-mapd 37700
This theorem is referenced by:  mapdpglem15  37761
  Copyright terms: Public domain W3C validator