Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem14 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem14 41384
Description: Lemma for mapdpg 41405. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem12.g0 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem14 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem14
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40809 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 mapdpglem.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
6 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
7 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2726 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
9 mapdpglem.s . . . 4 = (-g𝑈)
107, 8, 9lmodvnpcan 20892 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) = 𝑌)
114, 5, 6, 10syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) = 𝑌)
12 eqid 2726 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
147, 12, 13lspsncl 20954 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
154, 6, 14syl2anc 582 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16 lmodgrp 20843 . . . . . 6 (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
174, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ Grp)
18 eqid 2726 . . . . . 6 (invg𝑈) = (invg𝑈)
197, 9, 18grpinvsub 19016 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
2017, 6, 5, 19syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) = (𝑌 𝑋))
21 mapdpglem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
22 mapdpglem.c . . . . . . 7 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23 mapdpglem1.p . . . . . . 7 = (LSSum‘𝐶)
24 mapdpglem2.j . . . . . . 7 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
25 mapdpglem3.f . . . . . . 7 𝐹 = (Base‘𝐶)
26 mapdpglem3.te . . . . . . 7 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27 mapdpglem3.a . . . . . . 7 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
28 mapdpglem3.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐴)
29 mapdpglem3.t . . . . . . 7 · = ( ·𝑠𝐶)
30 mapdpglem3.r . . . . . . 7 𝑅 = (-g𝐶)
31 mapdpglem3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
32 mapdpglem3.e . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
33 mapdpglem4.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝑈)
34 mapdpglem.ne . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
35 mapdpglem4.jt . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
36 mapdpglem4.z . . . . . . 7 0 = (0g𝐴)
37 mapdpglem4.g4 . . . . . . 7 (𝜑𝑔𝐵)
38 mapdpglem4.z4 . . . . . . 7 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
39 mapdpglem4.t4 . . . . . . 7 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
40 mapdpglem4.xn . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑄)
41 mapdpglem12.yn . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑄)
42 mapdpglem12.g0 . . . . . . 7 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
431, 21, 2, 7, 9, 13, 22, 3, 6, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42mapdpglem13 41383 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
447, 9lmodvsubcl 20883 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
454, 6, 5, 44syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
467, 13lspsnid 20970 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
474, 45, 46syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
4843, 47sseldd 3980 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
4912, 18lssvnegcl 20933 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
504, 15, 48, 49syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((invg𝑈)‘(𝑋 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
5120, 50eqeltrrd 2827 . . 3 (𝜑 → (𝑌 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
527, 13lspsnid 20970 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
534, 6, 52syl2anc 582 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
548, 12lssvacl 20920 . . 3 (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑌 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
554, 15, 51, 53, 54syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝑌 𝑋)(+g𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
5611, 55eqeltrrd 2827 1 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  {csn 4633  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  +gcplusg 17266  Scalarcsca 17269   ·𝑠 cvsca 17270  0gc0g 17454  Grpcgrp 18928  invgcminusg 18929  -gcsg 18930  LSSumclsm 19632  LModclmod 20836  LSubSpclss 20908  LSpanclspn 20948  HLchlt 39048  LHypclh 39683  DVecHcdvh 40777  LCDualclcd 41285  mapdcmpd 41323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-riotaBAD 38651
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-tpos 8241  df-undef 8288  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-0g 17456  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-p1 18451  df-lat 18457  df-clat 18524  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-subg 19117  df-cntz 19311  df-oppg 19340  df-lsm 19634  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-oppr 20316  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-invr 20370  df-dvr 20383  df-nzr 20495  df-rlreg 20672  df-domn 20673  df-drng 20709  df-lmod 20838  df-lss 20909  df-lsp 20949  df-lvec 21081  df-lsatoms 38674  df-lshyp 38675  df-lcv 38717  df-lfl 38756  df-lkr 38784  df-ldual 38822  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049  df-llines 39197  df-lplanes 39198  df-lvols 39199  df-lines 39200  df-psubsp 39202  df-pmap 39203  df-padd 39495  df-lhyp 39687  df-laut 39688  df-ldil 39803  df-ltrn 39804  df-trl 39858  df-tgrp 40442  df-tendo 40454  df-edring 40456  df-dveca 40702  df-disoa 40728  df-dvech 40778  df-dib 40838  df-dic 40872  df-dih 40928  df-doch 41047  df-djh 41094  df-lcdual 41286  df-mapd 41324
This theorem is referenced by:  mapdpglem15  41385
  Copyright terms: Public domain W3C validator