Theorem mapdpglem14 41703

Description: Lemma for mapdpg 41724. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.g0	⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem14	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41128	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		mapdpglem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		mapdpglem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		mapdpglem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
9		mapdpglem.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
10	7, 8, 9	lmodvnpcan 20842	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) = 𝑌)
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) = 𝑌)
12		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13		mapdpglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	7, 12, 13	lspsncl 20903	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	4, 6, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16		lmodgrp 20793	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
17	4, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
18		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
19	7, 9, 18	grpinvsub 18927	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
20	17, 6, 5, 19	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
21		mapdpglem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
22		mapdpglem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23		mapdpglem1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
24		mapdpglem2.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
25		mapdpglem3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
26		mapdpglem3.te	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
28		mapdpglem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
29		mapdpglem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
30		mapdpglem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
31		mapdpglem3.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
32		mapdpglem3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
33		mapdpglem4.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
34		mapdpglem.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
35		mapdpglem4.jt	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
36		mapdpglem4.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
37		mapdpglem4.g4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
38		mapdpglem4.z4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
39		mapdpglem4.t4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
40		mapdpglem4.xn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
41		mapdpglem12.yn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
42		mapdpglem12.g0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))
43	1, 21, 2, 7, 9, 13, 22, 3, 6, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	mapdpglem13 41702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
44	7, 9	lmodvsubcl 20833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
45	4, 6, 5, 44	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
46	7, 13	lspsnid 20919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
47	4, 45, 46	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
48	43, 47	sseldd 3933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
49	12, 18	lssvnegcl 20882	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
50	4, 15, 48, 49	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
51	20, 50	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
52	7, 13	lspsnid 20919	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
53	4, 6, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
54	8, 12	lssvacl 20869	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
55	4, 15, 51, 53, 54	syl22anc 838	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
56	11, 55	eqeltrrd 2830	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  {csn 4574  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  Scalarcsca 17156   ·_𝑠 cvsca 17157  0_gc0g 17335  Grpcgrp 18838  inv_gcminusg 18839  -_gcsg 18840  LSSumclsm 19539  LModclmod 20786  LSubSpclss 20857  LSpanclspn 20897  HLchlt 39368  LHypclh 40002  DVecHcdvh 41096  LCDualclcd 41604  mapdcmpd 41642

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-undef 8198  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-0g 17337  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-acs 17483  df-proset 18192  df-poset 18211  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18330  df-clat 18397  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-submnd 18684  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19541  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-oppr 20248  df-dvdsr 20268  df-unit 20269  df-invr 20299  df-dvr 20312  df-nzr 20421  df-rlreg 20602  df-domn 20603  df-drng 20639  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-lvec 21030  df-lsatoms 38994  df-lshyp 38995  df-lcv 39037  df-lfl 39076  df-lkr 39104  df-ldual 39142  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39516  df-lplanes 39517  df-lvols 39518  df-lines 39519  df-psubsp 39521  df-pmap 39522  df-padd 39814  df-lhyp 40006  df-laut 40007  df-ldil 40122  df-ltrn 40123  df-trl 40177  df-tgrp 40761  df-tendo 40773  df-edring 40775  df-dveca 41021  df-disoa 41047  df-dvech 41097  df-dib 41157  df-dic 41191  df-dih 41247  df-doch 41366  df-djh 41413  df-lcdual 41605  df-mapd 41643

This theorem is referenced by:  mapdpglem15  41704