Theorem mapdpglem14 43008

Description: Lemma for mapdpg 43029. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.g0	⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem14	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐴(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐵(𝑧, 𝑡)   ⊕ (𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑄(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐹(𝑧, 𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝐾(𝑧, 𝑡, 𝑔)   − (𝑧, 𝑔)   𝑉(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑊(𝑧, 𝑡, 𝑔)   𝑋(𝑧, 𝑔)   0 (𝑧, 𝑡, 𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem14

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 42433	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		mapdpglem.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
6		mapdpglem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		mapdpglem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
9		mapdpglem.s	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑈)
10	7, 8, 9	lmodvnpcan 21242	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) = 𝑌)
11	4, 5, 6, 10	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) = 𝑌)
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13		mapdpglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
14	7, 12, 13	lspsncl 21303	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
15	4, 6, 14	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16		lmodgrp 21193	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑈 ∈ Grp)
17	4, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Grp)
18		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
19	7, 9, 18	grpinvsub 19282	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
20	17, 6, 5, 19	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑌 − 𝑋))
21		mapdpglem.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
22		mapdpglem.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
23		mapdpglem1.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
24		mapdpglem2.j	. . . . . . 7 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
25		mapdpglem3.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
26		mapdpglem3.te	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
27		mapdpglem3.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
28		mapdpglem3.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
29		mapdpglem3.t	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
30		mapdpglem3.r	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
31		mapdpglem3.g	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
32		mapdpglem3.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
33		mapdpglem4.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
34		mapdpglem.ne	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
35		mapdpglem4.jt	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
36		mapdpglem4.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
37		mapdpglem4.g4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
38		mapdpglem4.z4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
39		mapdpglem4.t4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
40		mapdpglem4.xn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
41		mapdpglem12.yn	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
42		mapdpglem12.g0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))
43	1, 21, 2, 7, 9, 13, 22, 3, 6, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42	mapdpglem13 43007	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
44	7, 9	lmodvsubcl 21233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
45	4, 6, 5, 44	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
46	7, 13	lspsnid 21319	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
47	4, 45, 46	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))
48	43, 47	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
49	12, 18	lssvnegcl 21282	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
50	4, 15, 48, 49	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘(𝑋 − 𝑌)) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
51	20, 50	eqeltrrd 2865	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
52	7, 13	lspsnid 21319	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
53	4, 6, 52	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
54	8, 12	lssvacl 21269	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑌 − 𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
55	4, 15, 51, 53, 54	syl22anc 852	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋)(+g‘𝑈)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
56	11, 55	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  inv_gcminusg 19195  -_gcsg 19196  LSSumclsm 19899  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297  HLchlt 40673  LHypclh 41307  DVecHcdvh 42401  LCDualclcd 42909  mapdcmpd 42947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-riotaBAD 40276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-undef 8328  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-0g 17662  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-oppg 19611  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-dvr 20682  df-nzr 20814  df-rlreg 20997  df-domn 20998  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lsatoms 40299  df-lshyp 40300  df-lcv 40342  df-lfl 40381  df-lkr 40409  df-ldual 40447  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-llines 40821  df-lplanes 40822  df-lvols 40823  df-lines 40824  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-padd 41119  df-lhyp 41311  df-laut 41312  df-ldil 41427  df-ltrn 41428  df-trl 41482  df-tgrp 42066  df-tendo 42078  df-edring 42080  df-dveca 42326  df-disoa 42352  df-dvech 42402  df-dib 42462  df-dic 42496  df-dih 42552  df-doch 42671  df-djh 42718  df-lcdual 42910  df-mapd 42948

This theorem is used by:  mapdpglem15  43009