Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem23 36363
Description: Lemma for dath 36403. Show that auxiliary atom 𝐺 is an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem23.m = (meet‘𝐾)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem23 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)

Proof of Theorem dalem23
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . 2 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
2 dalem.ph . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
32dalemkehl 36290 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ HL)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
5 dalem.ps . . . . . . . 8 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
65dalemccea 36350 . . . . . . 7 (𝜓𝑐𝐴)
76adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑐𝐴)
82dalempea 36293 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
98adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑃𝐴)
105dalemddea 36351 . . . . . . 7 (𝜓𝑑𝐴)
1110adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑑𝐴)
122dalemsea 36296 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐴)
1312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑆𝐴)
14 dalem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
15 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1614, 15hlatj4 36041 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑑𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
174, 7, 9, 11, 13, 16syl122anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
18173adant2 1124 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
19 dalem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
20 dalem23.o . . . . 5 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
21 dalem23.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
22 dalem23.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
232, 19, 14, 15, 5, 20, 21, 22dalem22 36362 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂)
2418, 23eqeltrd 2883 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂)
2533ad2ant1 1126 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
262, 19, 14, 15, 20, 21dalemply 36321 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 𝑌)
275dalem-ccly 36352 . . . . . . . 8 (𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌)
28 nbrne2 4982 . . . . . . . 8 ((𝑃 𝑌 ∧ ¬ 𝑐 𝑌) → 𝑃𝑐)
2926, 27, 28syl2an 595 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑃𝑐)
3029necomd 3039 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑐𝑃)
31 eqid 2795 . . . . . . 7 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
3214, 15, 31llni2 36179 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑐𝑃) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
334, 7, 9, 30, 32syl31anc 1366 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
34333adant2 1124 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
35103ad2ant3 1128 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝐴)
36123ad2ant1 1126 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝐴)
372, 19, 14, 15, 22dalemsly 36322 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → 𝑆 𝑌)
38373adant3 1125 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆 𝑌)
395dalem-ddly 36353 . . . . . . . 8 (𝜓 → ¬ 𝑑 𝑌)
40393ad2ant3 1128 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ¬ 𝑑 𝑌)
41 nbrne2 4982 . . . . . . 7 ((𝑆 𝑌 ∧ ¬ 𝑑 𝑌) → 𝑆𝑑)
4238, 40, 41syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝑑)
4342necomd 3039 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝑆)
4414, 15, 31llni2 36179 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑑𝑆) → (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
4525, 35, 36, 43, 44syl31anc 1366 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
46 dalem23.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
4714, 46, 15, 31, 202llnmj 36227 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂))
4825, 34, 45, 47syl3anc 1364 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂))
4924, 48mpbird 258 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴)
501, 49syl5eqel 2887 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  meetcmee 17384  Atomscatm 35930  HLchlt 36017  LLinesclln 36158  LPlanesclpl 36159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-lat 17485  df-clat 17547  df-oposet 35843  df-ol 35845  df-oml 35846  df-covers 35933  df-ats 35934  df-atl 35965  df-cvlat 35989  df-hlat 36018  df-llines 36165  df-lplanes 36166
This theorem is referenced by:  dalem24  36364  dalem27  36366  dalem28  36367  dalem29  36368  dalem38  36377  dalem39  36378  dalem41  36380  dalem42  36381  dalem43  36382  dalem44  36383  dalem45  36384  dalem51  36390  dalem52  36391  dalem54  36393  dalem55  36394  dalem57  36396  dalem58  36397  dalem59  36398
  Copyright terms: Public domain W3C validator