Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem23 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dalem23 35709
Description: Lemma for dath 35749. Show that auxiliary atom 𝐺 is an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
dalem.l = (le‘𝐾)
dalem.j = (join‘𝐾)
dalem.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
dalem23.m = (meet‘𝐾)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem23 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)

Proof of Theorem dalem23
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . 2 𝐺 = ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆))
2 dalem.ph . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) ∧ (𝑌𝑂𝑍𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 (𝑄 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 (𝑅 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 (𝑆 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 (𝑇 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 (𝑈 𝑆)) ∧ (𝐶 (𝑃 𝑆) ∧ 𝐶 (𝑄 𝑇) ∧ 𝐶 (𝑅 𝑈)))))
32dalemkehl 35636 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ HL)
43adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
5 dalem.ps . . . . . . . 8 (𝜓 ↔ ((𝑐𝐴𝑑𝐴) ∧ ¬ 𝑐 𝑌 ∧ (𝑑𝑐 ∧ ¬ 𝑑 𝑌𝐶 (𝑐 𝑑))))
65dalemccea 35696 . . . . . . 7 (𝜓𝑐𝐴)
76adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑐𝐴)
82dalempea 35639 . . . . . . 7 (𝜑𝑃𝐴)
98adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑃𝐴)
105dalemddea 35697 . . . . . . 7 (𝜓𝑑𝐴)
1110adantl 474 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑑𝐴)
122dalemsea 35642 . . . . . . 7 (𝜑𝑆𝐴)
1312adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑆𝐴)
14 dalem.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
15 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
1614, 15hlatj4 35387 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ (𝑑𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
174, 7, 9, 11, 13, 16syl122anc 1499 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
18173adant2 1162 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) = ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)))
19 dalem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
20 dalem23.o . . . . 5 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
21 dalem23.y . . . . 5 𝑌 = ((𝑃 𝑄) 𝑅)
22 dalem23.z . . . . 5 𝑍 = ((𝑆 𝑇) 𝑈)
232, 19, 14, 15, 5, 20, 21, 22dalem22 35708 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑑) (𝑃 𝑆)) ∈ 𝑂)
2418, 23eqeltrd 2876 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂)
2533ad2ant1 1164 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
262, 19, 14, 15, 20, 21dalemply 35667 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 𝑌)
275dalem-ccly 35698 . . . . . . . 8 (𝜓 → ¬ 𝑐 𝑌)
28 nbrne2 4861 . . . . . . . 8 ((𝑃 𝑌 ∧ ¬ 𝑐 𝑌) → 𝑃𝑐)
2926, 27, 28syl2an 590 . . . . . . 7 ((𝜑𝜓) → 𝑃𝑐)
3029necomd 3024 . . . . . 6 ((𝜑𝜓) → 𝑐𝑃)
31 eqid 2797 . . . . . . 7 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
3214, 15, 31llni2 35525 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐𝐴𝑃𝐴) ∧ 𝑐𝑃) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
334, 7, 9, 30, 32syl31anc 1493 . . . . 5 ((𝜑𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
34333adant2 1162 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
35103ad2ant3 1166 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝐴)
36123ad2ant1 1164 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝐴)
372, 19, 14, 15, 22dalemsly 35668 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = 𝑍) → 𝑆 𝑌)
38373adant3 1163 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆 𝑌)
395dalem-ddly 35699 . . . . . . . 8 (𝜓 → ¬ 𝑑 𝑌)
40393ad2ant3 1166 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ¬ 𝑑 𝑌)
41 nbrne2 4861 . . . . . . 7 ((𝑆 𝑌 ∧ ¬ 𝑑 𝑌) → 𝑆𝑑)
4238, 40, 41syl2anc 580 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑆𝑑)
4342necomd 3024 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝑑𝑆)
4414, 15, 31llni2 35525 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑑𝑆) → (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
4525, 35, 36, 43, 44syl31anc 1493 . . . 4 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
46 dalem23.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
4714, 46, 15, 31, 202llnmj 35573 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑑 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂))
4825, 34, 45, 47syl3anc 1491 . . 3 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → (((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝑂))
4924, 48mpbird 249 . 2 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → ((𝑐 𝑃) (𝑑 𝑆)) ∈ 𝐴)
501, 49syl5eqel 2880 1 ((𝜑𝑌 = 𝑍𝜓) → 𝐺𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2969   class class class wbr 4841  cfv 6099  (class class class)co 6876  Basecbs 16181  lecple 16271  joincjn 17256  meetcmee 17257  Atomscatm 35276  HLchlt 35363  LLinesclln 35504  LPlanesclpl 35505
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-proset 17240  df-poset 17258  df-plt 17270  df-lub 17286  df-glb 17287  df-join 17288  df-meet 17289  df-p0 17351  df-lat 17358  df-clat 17420  df-oposet 35189  df-ol 35191  df-oml 35192  df-covers 35279  df-ats 35280  df-atl 35311  df-cvlat 35335  df-hlat 35364  df-llines 35511  df-lplanes 35512
This theorem is referenced by:  dalem24  35710  dalem27  35712  dalem28  35713  dalem29  35714  dalem38  35723  dalem39  35724  dalem41  35726  dalem42  35727  dalem43  35728  dalem44  35729  dalem45  35730  dalem51  35736  dalem52  35737  dalem54  35739  dalem55  35740  dalem57  35742  dalem58  35743  dalem59  35744
  Copyright terms: Public domain W3C validator