Theorem dalem23 39079

Description: Lemma for dath 39119. Show that auxiliary atom 𝐺 is an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalem.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem23.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalem23.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem23.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalem23.g	⊢ 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dalem23	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dalem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem23.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
2		dalem.ph	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
3	2	dalemkehl 39006	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
5		dalem.ps	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
6	5	dalemccea 39066	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑐 ∈ 𝐴)
8	2	dalempea 39009	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10	5	dalemddea 39067	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑑 ∈ 𝐴)
12	2	dalemsea 39012	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑆 ∈ 𝐴)
14		dalem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15		dalem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	14, 15	hlatj4 38756	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
17	4, 7, 9, 11, 13, 16	syl122anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
18	17	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
19		dalem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
20		dalem23.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
21		dalem23.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
22		dalem23.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
23	2, 19, 14, 15, 5, 20, 21, 22	dalem22 39078	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂)
24	18, 23	eqeltrd 2827	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂)
25	3	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
26	2, 19, 14, 15, 20, 21	dalemply 39037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)
27	5	dalem-ccly 39068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
28		nbrne2 5161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌) → 𝑃 ≠ 𝑐)
29	26, 27, 28	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑃 ≠ 𝑐)
30	29	necomd 2990	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑐 ≠ 𝑃)
31		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
32	14, 15, 31	llni2 38895	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑃) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
33	4, 7, 9, 30, 32	syl31anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
34	33	3adant2 1128	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
35	10	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑑 ∈ 𝐴)
36	12	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ∈ 𝐴)
37	2, 19, 14, 15, 22	dalemsly 39038	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑆 ≤ 𝑌)
38	37	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ≤ 𝑌)
39	5	dalem-ddly 39069	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌)
40	39	3ad2ant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌)
41		nbrne2 5161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌) → 𝑆 ≠ 𝑑)
42	38, 40, 41	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ≠ 𝑑)
43	42	necomd 2990	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑑 ≠ 𝑆)
44	14, 15, 31	llni2 38895	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ≠ 𝑆) → (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
45	25, 35, 36, 43, 44	syl31anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
46		dalem23.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
47	14, 46, 15, 31, 20	2llnmj 38943	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂))
48	25, 34, 45, 47	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂))
49	24, 48	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
50	1, 49	eqeltrid 2831	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  meetcmee 18274  Atomscatm 38645  HLchlt 38732  LLinesclln 38874  LPlanesclpl 38875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18394  df-clat 18461  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-covers 38648  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733  df-llines 38881  df-lplanes 38882

This theorem is referenced by:  dalem24  39080  dalem27  39082  dalem28  39083  dalem29  39084  dalem38  39093  dalem39  39094  dalem41  39096  dalem42  39097  dalem43  39098  dalem44  39099  dalem45  39100  dalem51  39106  dalem52  39107  dalem54  39109  dalem55  39110  dalem57  39112  dalem58  39113  dalem59  39114