Theorem dalem23 40159

Description: Lemma for dath 40199. Show that auxiliary atom 𝐺 is an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalem.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem23.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalem23.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem23.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalem23.g	⊢ 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dalem23	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dalem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem23.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
2		dalem.ph	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
3	2	dalemkehl 40086	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
5		dalem.ps	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
6	5	dalemccea 40146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑐 ∈ 𝐴)
8	2	dalempea 40089	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10	5	dalemddea 40147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑑 ∈ 𝐴)
12	2	dalemsea 40092	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑆 ∈ 𝐴)
14		dalem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15		dalem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	14, 15	hlatj4 39837	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
17	4, 7, 9, 11, 13, 16	syl122anc 1382	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
18	17	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
19		dalem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
20		dalem23.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
21		dalem23.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
22		dalem23.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
23	2, 19, 14, 15, 5, 20, 21, 22	dalem22 40158	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂)
24	18, 23	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂)
25	3	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
26	2, 19, 14, 15, 20, 21	dalemply 40117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)
27	5	dalem-ccly 40148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
28		nbrne2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌) → 𝑃 ≠ 𝑐)
29	26, 27, 28	syl2an 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑃 ≠ 𝑐)
30	29	necomd 2988	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑐 ≠ 𝑃)
31		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
32	14, 15, 31	llni2 39975	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑃) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
33	4, 7, 9, 30, 32	syl31anc 1376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
34	33	3adant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
35	10	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑑 ∈ 𝐴)
36	12	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ∈ 𝐴)
37	2, 19, 14, 15, 22	dalemsly 40118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑆 ≤ 𝑌)
38	37	3adant3 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ≤ 𝑌)
39	5	dalem-ddly 40149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌)
40	39	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌)
41		nbrne2 5106	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌) → 𝑆 ≠ 𝑑)
42	38, 40, 41	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ≠ 𝑑)
43	42	necomd 2988	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑑 ≠ 𝑆)
44	14, 15, 31	llni2 39975	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ≠ 𝑆) → (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
45	25, 35, 36, 43, 44	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
46		dalem23.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
47	14, 46, 15, 31, 20	2llnmj 40023	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂))
48	25, 34, 45, 47	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂))
49	24, 48	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
50	1, 49	eqeltrid 2841	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  lecple 17221  joincjn 18271  meetcmee 18272  Atomscatm 39726  HLchlt 39813  LLinesclln 39954  LPlanesclpl 39955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-proset 18254  df-poset 18273  df-plt 18288  df-lub 18304  df-glb 18305  df-join 18306  df-meet 18307  df-p0 18383  df-lat 18392  df-clat 18459  df-oposet 39639  df-ol 39641  df-oml 39642  df-covers 39729  df-ats 39730  df-atl 39761  df-cvlat 39785  df-hlat 39814  df-llines 39961  df-lplanes 39962

This theorem is referenced by:  dalem24  40160  dalem27  40162  dalem28  40163  dalem29  40164  dalem38  40173  dalem39  40174  dalem41  40176  dalem42  40177  dalem43  40178  dalem44  40179  dalem45  40180  dalem51  40186  dalem52  40187  dalem54  40189  dalem55  40190  dalem57  40192  dalem58  40193  dalem59  40194