Theorem dalem23 39743

Description: Lemma for dath 39783. Show that auxiliary atom 𝐺 is an atom. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
dalem.ph	⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
dalem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
dalem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
dalem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
dalem.ps	⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem23.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
dalem23.o	⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
dalem23.y	⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem23.z	⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
dalem23.g	⊢ 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
dalem23	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem dalem23

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dalem23.g	. 2 ⊢ 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
2		dalem.ph	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐶 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴)) ∧ (𝑌 ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((¬ 𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (¬ 𝐶 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑇 ∨ 𝑈) ∧ ¬ 𝐶 ≤ (𝑈 ∨ 𝑆)) ∧ (𝐶 ≤ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐶 ≤ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐶 ≤ (𝑅 ∨ 𝑈)))))
3	2	dalemkehl 39670	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ HL)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
5		dalem.ps	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌 ∧ (𝑑 ≠ 𝑐 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌 ∧ 𝐶 ≤ (𝑐 ∨ 𝑑))))
6	5	dalemccea 39730	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → 𝑐 ∈ 𝐴)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑐 ∈ 𝐴)
8	2	dalempea 39673	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝐴)
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑃 ∈ 𝐴)
10	5	dalemddea 39731	. . . . . . 7 ⊢ (𝜓 → 𝑑 ∈ 𝐴)
11	10	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑑 ∈ 𝐴)
12	2	dalemsea 39676	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐴)
13	12	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑆 ∈ 𝐴)
14		dalem.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
15		dalem.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
16	14, 15	hlatj4 39421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
17	4, 7, 9, 11, 13, 16	syl122anc 1381	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
18	17	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) = ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
19		dalem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
20		dalem23.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (LPlanes‘𝐾)
21		dalem23.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
22		dalem23.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ 𝑈)
23	2, 19, 14, 15, 5, 20, 21, 22	dalem22 39742	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑑) ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂)
24	18, 23	eqeltrd 2831	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂)
25	3	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐾 ∈ HL)
26	2, 19, 14, 15, 20, 21	dalemply 39701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≤ 𝑌)
27	5	dalem-ccly 39732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑐 ≤ 𝑌)
28		nbrne2 5109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑐 ≤ 𝑌) → 𝑃 ≠ 𝑐)
29	26, 27, 28	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑃 ≠ 𝑐)
30	29	necomd 2983	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝑐 ≠ 𝑃)
31		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
32	14, 15, 31	llni2 39559	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑐 ≠ 𝑃) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
33	4, 7, 9, 30, 32	syl31anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
34	33	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾))
35	10	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑑 ∈ 𝐴)
36	12	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ∈ 𝐴)
37	2, 19, 14, 15, 22	dalemsly 39702	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍) → 𝑆 ≤ 𝑌)
38	37	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ≤ 𝑌)
39	5	dalem-ddly 39733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜓 → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌)
40	39	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑑 ≤ 𝑌)
41		nbrne2 5109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ≤ 𝑌 ∧ ¬ 𝑑 ≤ 𝑌) → 𝑆 ≠ 𝑑)
42	38, 40, 41	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑆 ≠ 𝑑)
43	42	necomd 2983	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝑑 ≠ 𝑆)
44	14, 15, 31	llni2 39559	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑑 ≠ 𝑆) → (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
45	25, 35, 36, 43, 44	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
46		dalem23.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
47	14, 46, 15, 31, 20	2llnmj 39607	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂))
48	25, 34, 45, 47	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∨ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝑂))
49	24, 48	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)
50	1, 49	eqeltrid 2835	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑌 = 𝑍 ∧ 𝜓) → 𝐺 ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  meetcmee 18218  Atomscatm 39310  HLchlt 39397  LLinesclln 39538  LPlanesclpl 39539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39223  df-ol 39225  df-oml 39226  df-covers 39313  df-ats 39314  df-atl 39345  df-cvlat 39369  df-hlat 39398  df-llines 39545  df-lplanes 39546

This theorem is referenced by:  dalem24  39744  dalem27  39746  dalem28  39747  dalem29  39748  dalem38  39757  dalem39  39758  dalem41  39760  dalem42  39761  dalem43  39762  dalem44  39763  dalem45  39764  dalem51  39770  dalem52  39771  dalem54  39773  dalem55  39774  dalem57  39776  dalem58  39777  dalem59  39778