Theorem hlatlej1 38549

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18406 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38537	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 38463	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 38463	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18406	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1159	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  lecple 17209  joincjn 18269  Latclat 18389  Atomscatm 38437  HLchlt 38524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-lub 18304  df-join 18306  df-lat 18390  df-ats 38441  df-atl 38472  df-cvlat 38496  df-hlat 38525

This theorem is referenced by:  hlatlej2  38550  cvratlem  38596  cvrat4  38618  ps-2  38653  lplnllnneN  38731  dalem1  38834  lnatexN  38954  lncmp  38958  2atm2atN  38960  2llnma3r  38963  dalawlem3  39048  dalawlem6  39051  dalawlem7  39052  dalawlem12  39057  trlval4  39363  cdlemc5  39370  cdlemc6  39371  cdlemd3  39375  cdleme0cp  39389  cdleme3h  39410  cdleme5  39415  cdleme9  39428  cdleme11c  39436  cdleme15b  39450  cdleme17b  39462  cdleme19a  39478  cdleme20c  39486  cdleme20j  39493  cdleme21c  39502  cdleme22b  39516  cdleme22d  39518  cdleme22e  39519  cdleme22eALTN  39520  cdleme35e  39628  cdleme35f  39629  cdleme42a  39646  cdleme17d2  39670  cdlemeg46req  39704  cdlemg13a  39826  cdlemg17a  39836  cdlemg18b  39854  cdlemg27a  39867  trlcoabs2N  39897  cdlemg42  39904  cdlemk4  40009  cdlemk1u  40034  cdlemk39  40091  dia2dimlem1  40239  dia2dimlem2  40240  dia2dimlem3  40241  cdlemm10N  40293  cdlemn10  40381  dihjatcclem1  40593