Theorem hlatlej1 40099

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18507 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40087	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2770	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40013	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 40013	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18507	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1176	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150   class class class wbr 5114  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  Basecbs 17272  lecple 17320  joincjn 18370  Latclat 18490  Atomscatm 39987  HLchlt 40074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5560  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-lub 18403  df-join 18405  df-lat 18491  df-ats 39991  df-atl 40022  df-cvlat 40046  df-hlat 40075

This theorem is referenced by:  hlatlej2  40100  cvratlem  40145  cvrat4  40167  ps-2  40202  lplnllnneN  40280  dalem1  40383  lnatexN  40503  lncmp  40507  2atm2atN  40509  2llnma3r  40512  dalawlem3  40597  dalawlem6  40600  dalawlem7  40601  dalawlem12  40606  trlval4  40912  cdlemc5  40919  cdlemc6  40920  cdlemd3  40924  cdleme0cp  40938  cdleme3h  40959  cdleme5  40964  cdleme9  40977  cdleme11c  40985  cdleme15b  40999  cdleme17b  41011  cdleme19a  41027  cdleme20c  41035  cdleme20j  41042  cdleme21c  41051  cdleme22b  41065  cdleme22d  41067  cdleme22e  41068  cdleme22eALTN  41069  cdleme35e  41177  cdleme35f  41178  cdleme42a  41195  cdleme17d2  41219  cdlemeg46req  41253  cdlemg13a  41375  cdlemg17a  41385  cdlemg18b  41403  cdlemg27a  41416  trlcoabs2N  41446  cdlemg42  41453  cdlemk4  41558  cdlemk1u  41583  cdlemk39  41640  dia2dimlem1  41788  dia2dimlem2  41789  dia2dimlem3  41790  cdlemm10N  41842  cdlemn10  41930  dihjatcclem1  42142