Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatlej1 39376
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18493 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l = (le‘𝐾)
hlatlej.j = (join‘𝐾)
hlatlej.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatlej1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 39364 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 hlatlej.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 39290 . 2 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
52, 3atbase 39290 . 2 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6 hlatlej.l . . 3 = (le‘𝐾)
7 hlatlej.j . . 3 = (join‘𝐾)
82, 6, 7latlej1 18493 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
91, 4, 5, 8syl3an 1161 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  joincjn 18357  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-lub 18391  df-join 18393  df-lat 18477  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352
This theorem is referenced by:  hlatlej2  39377  cvratlem  39423  cvrat4  39445  ps-2  39480  lplnllnneN  39558  dalem1  39661  lnatexN  39781  lncmp  39785  2atm2atN  39787  2llnma3r  39790  dalawlem3  39875  dalawlem6  39878  dalawlem7  39879  dalawlem12  39884  trlval4  40190  cdlemc5  40197  cdlemc6  40198  cdlemd3  40202  cdleme0cp  40216  cdleme3h  40237  cdleme5  40242  cdleme9  40255  cdleme11c  40263  cdleme15b  40277  cdleme17b  40289  cdleme19a  40305  cdleme20c  40313  cdleme20j  40320  cdleme21c  40329  cdleme22b  40343  cdleme22d  40345  cdleme22e  40346  cdleme22eALTN  40347  cdleme35e  40455  cdleme35f  40456  cdleme42a  40473  cdleme17d2  40497  cdlemeg46req  40531  cdlemg13a  40653  cdlemg17a  40663  cdlemg18b  40681  cdlemg27a  40694  trlcoabs2N  40724  cdlemg42  40731  cdlemk4  40836  cdlemk1u  40861  cdlemk39  40918  dia2dimlem1  41066  dia2dimlem2  41067  dia2dimlem3  41068  cdlemm10N  41120  cdlemn10  41208  dihjatcclem1  41420
  Copyright terms: Public domain W3C validator