Theorem hlatlej1 38548

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18405 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38536	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 38462	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 38462	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18405	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1158	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-lub 18303  df-join 18305  df-lat 18389  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524

This theorem is referenced by:  hlatlej2  38549  cvratlem  38595  cvrat4  38617  ps-2  38652  lplnllnneN  38730  dalem1  38833  lnatexN  38953  lncmp  38957  2atm2atN  38959  2llnma3r  38962  dalawlem3  39047  dalawlem6  39050  dalawlem7  39051  dalawlem12  39056  trlval4  39362  cdlemc5  39369  cdlemc6  39370  cdlemd3  39374  cdleme0cp  39388  cdleme3h  39409  cdleme5  39414  cdleme9  39427  cdleme11c  39435  cdleme15b  39449  cdleme17b  39461  cdleme19a  39477  cdleme20c  39485  cdleme20j  39492  cdleme21c  39501  cdleme22b  39515  cdleme22d  39517  cdleme22e  39518  cdleme22eALTN  39519  cdleme35e  39627  cdleme35f  39628  cdleme42a  39645  cdleme17d2  39669  cdlemeg46req  39703  cdlemg13a  39825  cdlemg17a  39835  cdlemg18b  39853  cdlemg27a  39866  trlcoabs2N  39896  cdlemg42  39903  cdlemk4  40008  cdlemk1u  40033  cdlemk39  40090  dia2dimlem1  40238  dia2dimlem2  40239  dia2dimlem3  40240  cdlemm10N  40292  cdlemn10  40380  dihjatcclem1  40592