Theorem hlatlej1 40235

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18540 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40223	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40149	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 40149	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18540	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  Basecbs 17305  lecple 17353  joincjn 18403  Latclat 18523  Atomscatm 40123  HLchlt 40210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-lub 18436  df-join 18438  df-lat 18524  df-ats 40127  df-atl 40158  df-cvlat 40182  df-hlat 40211

This theorem is used by:  hlatlej2  40236  cvratlem  40281  cvrat4  40303  ps-2  40338  lplnllnneN  40416  dalem1  40519  lnatexN  40639  lncmp  40643  2atm2atN  40645  2llnma3r  40648  dalawlem3  40733  dalawlem6  40736  dalawlem7  40737  dalawlem12  40742  trlval4  41048  cdlemc5  41055  cdlemc6  41056  cdlemd3  41060  cdleme0cp  41074  cdleme3h  41095  cdleme5  41100  cdleme9  41113  cdleme11c  41121  cdleme15b  41135  cdleme17b  41147  cdleme19a  41163  cdleme20c  41171  cdleme20j  41178  cdleme21c  41187  cdleme22b  41201  cdleme22d  41203  cdleme22e  41204  cdleme22eALTN  41205  cdleme35e  41313  cdleme35f  41314  cdleme42a  41331  cdleme17d2  41355  cdlemeg46req  41389  cdlemg13a  41511  cdlemg17a  41521  cdlemg18b  41539  cdlemg27a  41552  trlcoabs2N  41582  cdlemg42  41589  cdlemk4  41694  cdlemk1u  41719  cdlemk39  41776  dia2dimlem1  41924  dia2dimlem2  41925  dia2dimlem3  41926  cdlemm10N  41978  cdlemn10  42066  dihjatcclem1  42278