Theorem hlatlej1 38233

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18397 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 38221	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 38147	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 38147	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18397	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-lub 18295  df-join 18297  df-lat 18381  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209

This theorem is referenced by:  hlatlej2  38234  cvratlem  38280  cvrat4  38302  ps-2  38337  lplnllnneN  38415  dalem1  38518  lnatexN  38638  lncmp  38642  2atm2atN  38644  2llnma3r  38647  dalawlem3  38732  dalawlem6  38735  dalawlem7  38736  dalawlem12  38741  trlval4  39047  cdlemc5  39054  cdlemc6  39055  cdlemd3  39059  cdleme0cp  39073  cdleme3h  39094  cdleme5  39099  cdleme9  39112  cdleme11c  39120  cdleme15b  39134  cdleme17b  39146  cdleme19a  39162  cdleme20c  39170  cdleme20j  39177  cdleme21c  39186  cdleme22b  39200  cdleme22d  39202  cdleme22e  39203  cdleme22eALTN  39204  cdleme35e  39312  cdleme35f  39313  cdleme42a  39330  cdleme17d2  39354  cdlemeg46req  39388  cdlemg13a  39510  cdlemg17a  39520  cdlemg18b  39538  cdlemg27a  39551  trlcoabs2N  39581  cdlemg42  39588  cdlemk4  39693  cdlemk1u  39718  cdlemk39  39775  dia2dimlem1  39923  dia2dimlem2  39924  dia2dimlem3  39925  cdlemm10N  39977  cdlemn10  40065  dihjatcclem1  40277