Theorem hlatlej1 39362

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18390 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39350	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39276	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39276	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18390	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17156  lecple 17204  joincjn 18253  Latclat 18373  Atomscatm 39250  HLchlt 39337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-lub 18286  df-join 18288  df-lat 18374  df-ats 39254  df-atl 39285  df-cvlat 39309  df-hlat 39338

This theorem is referenced by:  hlatlej2  39363  cvratlem  39409  cvrat4  39431  ps-2  39466  lplnllnneN  39544  dalem1  39647  lnatexN  39767  lncmp  39771  2atm2atN  39773  2llnma3r  39776  dalawlem3  39861  dalawlem6  39864  dalawlem7  39865  dalawlem12  39870  trlval4  40176  cdlemc5  40183  cdlemc6  40184  cdlemd3  40188  cdleme0cp  40202  cdleme3h  40223  cdleme5  40228  cdleme9  40241  cdleme11c  40249  cdleme15b  40263  cdleme17b  40275  cdleme19a  40291  cdleme20c  40299  cdleme20j  40306  cdleme21c  40315  cdleme22b  40329  cdleme22d  40331  cdleme22e  40332  cdleme22eALTN  40333  cdleme35e  40441  cdleme35f  40442  cdleme42a  40459  cdleme17d2  40483  cdlemeg46req  40517  cdlemg13a  40639  cdlemg17a  40649  cdlemg18b  40667  cdlemg27a  40680  trlcoabs2N  40710  cdlemg42  40717  cdlemk4  40822  cdlemk1u  40847  cdlemk39  40904  dia2dimlem1  41052  dia2dimlem2  41053  dia2dimlem3  41054  cdlemm10N  41106  cdlemn10  41194  dihjatcclem1  41406