Theorem hlatlej1 39073

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18473 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39061	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 38987	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 38987	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18473	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1157	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  joincjn 18336  Latclat 18456  Atomscatm 38961  HLchlt 39048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-lub 18371  df-join 18373  df-lat 18457  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049

This theorem is referenced by:  hlatlej2  39074  cvratlem  39120  cvrat4  39142  ps-2  39177  lplnllnneN  39255  dalem1  39358  lnatexN  39478  lncmp  39482  2atm2atN  39484  2llnma3r  39487  dalawlem3  39572  dalawlem6  39575  dalawlem7  39576  dalawlem12  39581  trlval4  39887  cdlemc5  39894  cdlemc6  39895  cdlemd3  39899  cdleme0cp  39913  cdleme3h  39934  cdleme5  39939  cdleme9  39952  cdleme11c  39960  cdleme15b  39974  cdleme17b  39986  cdleme19a  40002  cdleme20c  40010  cdleme20j  40017  cdleme21c  40026  cdleme22b  40040  cdleme22d  40042  cdleme22e  40043  cdleme22eALTN  40044  cdleme35e  40152  cdleme35f  40153  cdleme42a  40170  cdleme17d2  40194  cdlemeg46req  40228  cdlemg13a  40350  cdlemg17a  40360  cdlemg18b  40378  cdlemg27a  40391  trlcoabs2N  40421  cdlemg42  40428  cdlemk4  40533  cdlemk1u  40558  cdlemk39  40615  dia2dimlem1  40763  dia2dimlem2  40764  dia2dimlem3  40765  cdlemm10N  40817  cdlemn10  40905  dihjatcclem1  41117