Theorem hlatlej1 39880

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18409 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39868	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39794	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39794	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18409	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1167	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  Latclat 18392  Atomscatm 39768  HLchlt 39855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-lub 18305  df-join 18307  df-lat 18393  df-ats 39772  df-atl 39803  df-cvlat 39827  df-hlat 39856

This theorem is referenced by:  hlatlej2  39881  cvratlem  39926  cvrat4  39948  ps-2  39983  lplnllnneN  40061  dalem1  40164  lnatexN  40284  lncmp  40288  2atm2atN  40290  2llnma3r  40293  dalawlem3  40378  dalawlem6  40381  dalawlem7  40382  dalawlem12  40387  trlval4  40693  cdlemc5  40700  cdlemc6  40701  cdlemd3  40705  cdleme0cp  40719  cdleme3h  40740  cdleme5  40745  cdleme9  40758  cdleme11c  40766  cdleme15b  40780  cdleme17b  40792  cdleme19a  40808  cdleme20c  40816  cdleme20j  40823  cdleme21c  40832  cdleme22b  40846  cdleme22d  40848  cdleme22e  40849  cdleme22eALTN  40850  cdleme35e  40958  cdleme35f  40959  cdleme42a  40976  cdleme17d2  41000  cdlemeg46req  41034  cdlemg13a  41156  cdlemg17a  41166  cdlemg18b  41184  cdlemg27a  41197  trlcoabs2N  41227  cdlemg42  41234  cdlemk4  41339  cdlemk1u  41364  cdlemk39  41421  dia2dimlem1  41569  dia2dimlem2  41570  dia2dimlem3  41571  cdlemm10N  41623  cdlemn10  41711  dihjatcclem1  41923