Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatlej1 37883
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18342 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlatlej.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
hlatlej.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlatlej1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 37871 . 2 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 hlatlej.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3atbase 37797 . 2 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52, 3atbase 37797 . 2 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6 hlatlej.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 hlatlej.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
82, 6, 7latlej1 18342 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
91, 4, 5, 8syl3an 1161 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  Latclat 18325  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18240  df-join 18242  df-lat 18326  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  hlatlej2  37884  cvratlem  37930  cvrat4  37952  ps-2  37987  lplnllnneN  38065  dalem1  38168  lnatexN  38288  lncmp  38292  2atm2atN  38294  2llnma3r  38297  dalawlem3  38382  dalawlem6  38385  dalawlem7  38386  dalawlem12  38391  trlval4  38697  cdlemc5  38704  cdlemc6  38705  cdlemd3  38709  cdleme0cp  38723  cdleme3h  38744  cdleme5  38749  cdleme9  38762  cdleme11c  38770  cdleme15b  38784  cdleme17b  38796  cdleme19a  38812  cdleme20c  38820  cdleme20j  38827  cdleme21c  38836  cdleme22b  38850  cdleme22d  38852  cdleme22e  38853  cdleme22eALTN  38854  cdleme35e  38962  cdleme35f  38963  cdleme42a  38980  cdleme17d2  39004  cdlemeg46req  39038  cdlemg13a  39160  cdlemg17a  39170  cdlemg18b  39188  cdlemg27a  39201  trlcoabs2N  39231  cdlemg42  39238  cdlemk4  39343  cdlemk1u  39368  cdlemk39  39425  dia2dimlem1  39573  dia2dimlem2  39574  dia2dimlem3  39575  cdlemm10N  39627  cdlemn10  39715  dihjatcclem1  39927
  Copyright terms: Public domain W3C validator