Theorem hlatlej1 39356

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18505 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39344	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39270	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39270	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18505	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1159	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  lecple 17304  joincjn 18368  Latclat 18488  Atomscatm 39244  HLchlt 39331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-lub 18403  df-join 18405  df-lat 18489  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332

This theorem is referenced by:  hlatlej2  39357  cvratlem  39403  cvrat4  39425  ps-2  39460  lplnllnneN  39538  dalem1  39641  lnatexN  39761  lncmp  39765  2atm2atN  39767  2llnma3r  39770  dalawlem3  39855  dalawlem6  39858  dalawlem7  39859  dalawlem12  39864  trlval4  40170  cdlemc5  40177  cdlemc6  40178  cdlemd3  40182  cdleme0cp  40196  cdleme3h  40217  cdleme5  40222  cdleme9  40235  cdleme11c  40243  cdleme15b  40257  cdleme17b  40269  cdleme19a  40285  cdleme20c  40293  cdleme20j  40300  cdleme21c  40309  cdleme22b  40323  cdleme22d  40325  cdleme22e  40326  cdleme22eALTN  40327  cdleme35e  40435  cdleme35f  40436  cdleme42a  40453  cdleme17d2  40477  cdlemeg46req  40511  cdlemg13a  40633  cdlemg17a  40643  cdlemg18b  40661  cdlemg27a  40674  trlcoabs2N  40704  cdlemg42  40711  cdlemk4  40816  cdlemk1u  40841  cdlemk39  40898  dia2dimlem1  41046  dia2dimlem2  41047  dia2dimlem3  41048  cdlemm10N  41100  cdlemn10  41188  dihjatcclem1  41400