Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatlej1 36393
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 17660 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l = (le‘𝐾)
hlatlej.j = (join‘𝐾)
hlatlej.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatlej1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 36381 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2821 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 hlatlej.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 36307 . 2 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
52, 3atbase 36307 . 2 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6 hlatlej.l . . 3 = (le‘𝐾)
7 hlatlej.j . . 3 = (join‘𝐾)
82, 6, 7latlej1 17660 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
91, 4, 5, 8syl3an 1152 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  Latclat 17645  Atomscatm 36281  HLchlt 36368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-lub 17574  df-join 17576  df-lat 17646  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369
This theorem is referenced by:  hlatlej2  36394  cvratlem  36439  cvrat4  36461  ps-2  36496  lplnllnneN  36574  dalem1  36677  lnatexN  36797  lncmp  36801  2atm2atN  36803  2llnma3r  36806  dalawlem3  36891  dalawlem6  36894  dalawlem7  36895  dalawlem12  36900  trlval4  37206  cdlemc5  37213  cdlemc6  37214  cdlemd3  37218  cdleme0cp  37232  cdleme3h  37253  cdleme5  37258  cdleme9  37271  cdleme11c  37279  cdleme15b  37293  cdleme17b  37305  cdleme19a  37321  cdleme20c  37329  cdleme20j  37336  cdleme21c  37345  cdleme22b  37359  cdleme22d  37361  cdleme22e  37362  cdleme22eALTN  37363  cdleme35e  37471  cdleme35f  37472  cdleme42a  37489  cdleme17d2  37513  cdlemeg46req  37547  cdlemg13a  37669  cdlemg17a  37679  cdlemg18b  37697  cdlemg27a  37710  trlcoabs2N  37740  cdlemg42  37747  cdlemk4  37852  cdlemk1u  37877  cdlemk39  37934  dia2dimlem1  38082  dia2dimlem2  38083  dia2dimlem3  38084  cdlemm10N  38136  cdlemn10  38224  dihjatcclem1  38436
  Copyright terms: Public domain W3C validator