Theorem hlatlej1 39670

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18373 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39658	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39584	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39584	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1161	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5097  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  lecple 17186  joincjn 18236  Latclat 18356  Atomscatm 39558  HLchlt 39645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-lub 18269  df-join 18271  df-lat 18357  df-ats 39562  df-atl 39593  df-cvlat 39617  df-hlat 39646

This theorem is referenced by:  hlatlej2  39671  cvratlem  39716  cvrat4  39738  ps-2  39773  lplnllnneN  39851  dalem1  39954  lnatexN  40074  lncmp  40078  2atm2atN  40080  2llnma3r  40083  dalawlem3  40168  dalawlem6  40171  dalawlem7  40172  dalawlem12  40177  trlval4  40483  cdlemc5  40490  cdlemc6  40491  cdlemd3  40495  cdleme0cp  40509  cdleme3h  40530  cdleme5  40535  cdleme9  40548  cdleme11c  40556  cdleme15b  40570  cdleme17b  40582  cdleme19a  40598  cdleme20c  40606  cdleme20j  40613  cdleme21c  40622  cdleme22b  40636  cdleme22d  40638  cdleme22e  40639  cdleme22eALTN  40640  cdleme35e  40748  cdleme35f  40749  cdleme42a  40766  cdleme17d2  40790  cdlemeg46req  40824  cdlemg13a  40946  cdlemg17a  40956  cdlemg18b  40974  cdlemg27a  40987  trlcoabs2N  41017  cdlemg42  41024  cdlemk4  41129  cdlemk1u  41154  cdlemk39  41211  dia2dimlem1  41359  dia2dimlem2  41360  dia2dimlem3  41361  cdlemm10N  41413  cdlemn10  41501  dihjatcclem1  41713