Theorem hlatlej1 40177

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18510 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40165	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40091	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 40091	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18510	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1177	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  lecple 17323  joincjn 18373  Latclat 18493  Atomscatm 40065  HLchlt 40152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-lub 18406  df-join 18408  df-lat 18494  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153

This theorem is used by:  hlatlej2  40178  cvratlem  40223  cvrat4  40245  ps-2  40280  lplnllnneN  40358  dalem1  40461  lnatexN  40581  lncmp  40585  2atm2atN  40587  2llnma3r  40590  dalawlem3  40675  dalawlem6  40678  dalawlem7  40679  dalawlem12  40684  trlval4  40990  cdlemc5  40997  cdlemc6  40998  cdlemd3  41002  cdleme0cp  41016  cdleme3h  41037  cdleme5  41042  cdleme9  41055  cdleme11c  41063  cdleme15b  41077  cdleme17b  41089  cdleme19a  41105  cdleme20c  41113  cdleme20j  41120  cdleme21c  41129  cdleme22b  41143  cdleme22d  41145  cdleme22e  41146  cdleme22eALTN  41147  cdleme35e  41255  cdleme35f  41256  cdleme42a  41273  cdleme17d2  41297  cdlemeg46req  41331  cdlemg13a  41453  cdlemg17a  41463  cdlemg18b  41481  cdlemg27a  41494  trlcoabs2N  41524  cdlemg42  41531  cdlemk4  41636  cdlemk1u  41661  cdlemk39  41718  dia2dimlem1  41866  dia2dimlem2  41867  dia2dimlem3  41868  cdlemm10N  41920  cdlemn10  42008  dihjatcclem1  42220