Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hlatlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlatlej1 36391
Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 17658 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
hlatlej.l = (le‘𝐾)
hlatlej.j = (join‘𝐾)
hlatlej.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hlatlej1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1
StepHypRef Expression
1 hllat 36379 . 2 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 hlatlej.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3atbase 36305 . 2 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
52, 3atbase 36305 . 2 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6 hlatlej.l . . 3 = (le‘𝐾)
7 hlatlej.j . . 3 = (join‘𝐾)
82, 6, 7latlej1 17658 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
91, 4, 5, 8syl3an 1152 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → 𝑃 (𝑃 𝑄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-lub 17572  df-join 17574  df-lat 17644  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367
This theorem is referenced by:  hlatlej2  36392  cvratlem  36437  cvrat4  36459  ps-2  36494  lplnllnneN  36572  dalem1  36675  lnatexN  36795  lncmp  36799  2atm2atN  36801  2llnma3r  36804  dalawlem3  36889  dalawlem6  36892  dalawlem7  36893  dalawlem12  36898  trlval4  37204  cdlemc5  37211  cdlemc6  37212  cdlemd3  37216  cdleme0cp  37230  cdleme3h  37251  cdleme5  37256  cdleme9  37269  cdleme11c  37277  cdleme15b  37291  cdleme17b  37303  cdleme19a  37319  cdleme20c  37327  cdleme20j  37334  cdleme21c  37343  cdleme22b  37357  cdleme22d  37359  cdleme22e  37360  cdleme22eALTN  37361  cdleme35e  37469  cdleme35f  37470  cdleme42a  37487  cdleme17d2  37511  cdlemeg46req  37545  cdlemg13a  37667  cdlemg17a  37677  cdlemg18b  37695  cdlemg27a  37708  trlcoabs2N  37738  cdlemg42  37745  cdlemk4  37850  cdlemk1u  37875  cdlemk39  37932  dia2dimlem1  38080  dia2dimlem2  38081  dia2dimlem3  38082  cdlemm10N  38134  cdlemn10  38222  dihjatcclem1  38434
  Copyright terms: Public domain W3C validator