Theorem hlatlej1 39882

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18409 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39870	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39796	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39796	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18409	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1167	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  Latclat 18392  Atomscatm 39770  HLchlt 39857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-lub 18305  df-join 18307  df-lat 18393  df-ats 39774  df-atl 39805  df-cvlat 39829  df-hlat 39858

This theorem is referenced by:  hlatlej2  39883  cvratlem  39928  cvrat4  39950  ps-2  39985  lplnllnneN  40063  dalem1  40166  lnatexN  40286  lncmp  40290  2atm2atN  40292  2llnma3r  40295  dalawlem3  40380  dalawlem6  40383  dalawlem7  40384  dalawlem12  40389  trlval4  40695  cdlemc5  40702  cdlemc6  40703  cdlemd3  40707  cdleme0cp  40721  cdleme3h  40742  cdleme5  40747  cdleme9  40760  cdleme11c  40768  cdleme15b  40782  cdleme17b  40794  cdleme19a  40810  cdleme20c  40818  cdleme20j  40825  cdleme21c  40834  cdleme22b  40848  cdleme22d  40850  cdleme22e  40851  cdleme22eALTN  40852  cdleme35e  40960  cdleme35f  40961  cdleme42a  40978  cdleme17d2  41002  cdlemeg46req  41036  cdlemg13a  41158  cdlemg17a  41168  cdlemg18b  41186  cdlemg27a  41199  trlcoabs2N  41229  cdlemg42  41236  cdlemk4  41341  cdlemk1u  41366  cdlemk39  41423  dia2dimlem1  41571  dia2dimlem2  41572  dia2dimlem3  41573  cdlemm10N  41625  cdlemn10  41713  dihjatcclem1  41925