Theorem hlatlej1 40004

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18482 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39992	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39918	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39918	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1174	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  lecple 17295  joincjn 18345  Latclat 18465  Atomscatm 39892  HLchlt 39979

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5544  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-lub 18378  df-join 18380  df-lat 18466  df-ats 39896  df-atl 39927  df-cvlat 39951  df-hlat 39980

This theorem is referenced by:  hlatlej2  40005  cvratlem  40050  cvrat4  40072  ps-2  40107  lplnllnneN  40185  dalem1  40288  lnatexN  40408  lncmp  40412  2atm2atN  40414  2llnma3r  40417  dalawlem3  40502  dalawlem6  40505  dalawlem7  40506  dalawlem12  40511  trlval4  40817  cdlemc5  40824  cdlemc6  40825  cdlemd3  40829  cdleme0cp  40843  cdleme3h  40864  cdleme5  40869  cdleme9  40882  cdleme11c  40890  cdleme15b  40904  cdleme17b  40916  cdleme19a  40932  cdleme20c  40940  cdleme20j  40947  cdleme21c  40956  cdleme22b  40970  cdleme22d  40972  cdleme22e  40973  cdleme22eALTN  40974  cdleme35e  41082  cdleme35f  41083  cdleme42a  41100  cdleme17d2  41124  cdlemeg46req  41158  cdlemg13a  41280  cdlemg17a  41290  cdlemg18b  41308  cdlemg27a  41321  trlcoabs2N  41351  cdlemg42  41358  cdlemk4  41463  cdlemk1u  41488  cdlemk39  41545  dia2dimlem1  41693  dia2dimlem2  41694  dia2dimlem3  41695  cdlemm10N  41747  cdlemn10  41835  dihjatcclem1  42047