Theorem hlatlej1 39473

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18354 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39461	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39387	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 39387	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18354	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  Latclat 18337  Atomscatm 39361  HLchlt 39448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-lub 18250  df-join 18252  df-lat 18338  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420  df-hlat 39449

This theorem is referenced by:  hlatlej2  39474  cvratlem  39519  cvrat4  39541  ps-2  39576  lplnllnneN  39654  dalem1  39757  lnatexN  39877  lncmp  39881  2atm2atN  39883  2llnma3r  39886  dalawlem3  39971  dalawlem6  39974  dalawlem7  39975  dalawlem12  39980  trlval4  40286  cdlemc5  40293  cdlemc6  40294  cdlemd3  40298  cdleme0cp  40312  cdleme3h  40333  cdleme5  40338  cdleme9  40351  cdleme11c  40359  cdleme15b  40373  cdleme17b  40385  cdleme19a  40401  cdleme20c  40409  cdleme20j  40416  cdleme21c  40425  cdleme22b  40439  cdleme22d  40441  cdleme22e  40442  cdleme22eALTN  40443  cdleme35e  40551  cdleme35f  40552  cdleme42a  40569  cdleme17d2  40593  cdlemeg46req  40627  cdlemg13a  40749  cdlemg17a  40759  cdlemg18b  40777  cdlemg27a  40790  trlcoabs2N  40820  cdlemg42  40827  cdlemk4  40932  cdlemk1u  40957  cdlemk39  41014  dia2dimlem1  41162  dia2dimlem2  41163  dia2dimlem3  41164  cdlemm10N  41216  cdlemn10  41304  dihjatcclem1  41516