Theorem hlatlej1 40346

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 18569 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40334	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40260	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 40260	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 18569	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Basecbs 17334  lecple 17382  joincjn 18432  Latclat 18552  Atomscatm 40234  HLchlt 40321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5543  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-lub 18465  df-join 18467  df-lat 18553  df-ats 40238  df-atl 40269  df-cvlat 40293  df-hlat 40322

This theorem is used by:  hlatlej2  40347  cvratlem  40392  cvrat4  40414  ps-2  40449  lplnllnneN  40527  dalem1  40630  lnatexN  40750  lncmp  40754  2atm2atN  40756  2llnma3r  40759  dalawlem3  40844  dalawlem6  40847  dalawlem7  40848  dalawlem12  40853  trlval4  41159  cdlemc5  41166  cdlemc6  41167  cdlemd3  41171  cdleme0cp  41185  cdleme3h  41206  cdleme5  41211  cdleme9  41224  cdleme11c  41232  cdleme15b  41246  cdleme17b  41258  cdleme19a  41274  cdleme20c  41282  cdleme20j  41289  cdleme21c  41298  cdleme22b  41312  cdleme22d  41314  cdleme22e  41315  cdleme22eALTN  41316  cdleme35e  41424  cdleme35f  41425  cdleme42a  41442  cdleme17d2  41466  cdlemeg46req  41500  cdlemg13a  41622  cdlemg17a  41632  cdlemg18b  41650  cdlemg27a  41663  trlcoabs2N  41693  cdlemg42  41700  cdlemk4  41805  cdlemk1u  41830  cdlemk39  41887  dia2dimlem1  42035  dia2dimlem2  42036  dia2dimlem3  42037  cdlemm10N  42089  cdlemn10  42177  dihjatcclem1  42389