Theorem hlatlej1 36951

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 17736 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 36939	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 36865	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 36865	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 17736	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1157	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  lecple 16630  joincjn 17620  Latclat 17721  Atomscatm 36839  HLchlt 36926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-lub 17650  df-join 17652  df-lat 17722  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927

This theorem is referenced by:  hlatlej2  36952  cvratlem  36997  cvrat4  37019  ps-2  37054  lplnllnneN  37132  dalem1  37235  lnatexN  37355  lncmp  37359  2atm2atN  37361  2llnma3r  37364  dalawlem3  37449  dalawlem6  37452  dalawlem7  37453  dalawlem12  37458  trlval4  37764  cdlemc5  37771  cdlemc6  37772  cdlemd3  37776  cdleme0cp  37790  cdleme3h  37811  cdleme5  37816  cdleme9  37829  cdleme11c  37837  cdleme15b  37851  cdleme17b  37863  cdleme19a  37879  cdleme20c  37887  cdleme20j  37894  cdleme21c  37903  cdleme22b  37917  cdleme22d  37919  cdleme22e  37920  cdleme22eALTN  37921  cdleme35e  38029  cdleme35f  38030  cdleme42a  38047  cdleme17d2  38071  cdlemeg46req  38105  cdlemg13a  38227  cdlemg17a  38237  cdlemg18b  38255  cdlemg27a  38268  trlcoabs2N  38298  cdlemg42  38305  cdlemk4  38410  cdlemk1u  38435  cdlemk39  38492  dia2dimlem1  38640  dia2dimlem2  38641  dia2dimlem3  38642  cdlemm10N  38694  cdlemn10  38782  dihjatcclem1  38994