Theorem hlatlej1 35331

Description: A join's first argument is less than or equal to the join. Special case of latlej1 17326 to show an atom is on a line. (Contributed by NM, 15-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
hlatlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatlej.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatlej1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Proof of Theorem hlatlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 35319	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3		hlatlej.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 35245	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
5	2, 3	atbase 35245	. 2 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
6		hlatlej.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		hlatlej.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8	2, 6, 7	latlej1 17326	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
9	1, 4, 5, 8	syl3an 1199	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   class class class wbr 4809  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  lecple 16221  joincjn 17210  Latclat 17311  Atomscatm 35219  HLchlt 35306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-lub 17240  df-join 17242  df-lat 17312  df-ats 35223  df-atl 35254  df-cvlat 35278  df-hlat 35307

This theorem is referenced by:  hlatlej2  35332  cvratlem  35377  cvrat4  35399  ps-2  35434  lplnllnneN  35512  dalem1  35615  lnatexN  35735  lncmp  35739  2atm2atN  35741  2llnma3r  35744  dalawlem3  35829  dalawlem6  35832  dalawlem7  35833  dalawlem12  35838  trlval4  36144  cdlemc5  36151  cdlemc6  36152  cdlemd3  36156  cdleme0cp  36170  cdleme3h  36191  cdleme5  36196  cdleme9  36209  cdleme11c  36217  cdleme15b  36231  cdleme17b  36243  cdleme19a  36259  cdleme20c  36267  cdleme20j  36274  cdleme21c  36283  cdleme22b  36297  cdleme22d  36299  cdleme22e  36300  cdleme22eALTN  36301  cdleme35e  36409  cdleme35f  36410  cdleme42a  36427  cdleme17d2  36451  cdlemeg46req  36485  cdlemg13a  36607  cdlemg17a  36617  cdlemg18b  36635  cdlemg27a  36648  trlcoabs2N  36678  cdlemg42  36685  cdlemk4  36790  cdlemk1u  36815  cdlemk39  36872  dia2dimlem1  37020  dia2dimlem2  37021  dia2dimlem3  37022  cdlemm10N  37074  cdlemn10  37162  dihjatcclem1  37374