Theorem cgrahl2 28693

Description: Angle congruence is independent of the choice of points on the rays. Proposition 11.10 of [Schwabhauser] p. 95. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscgra.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
iscgra.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
iscgra.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
iscgra.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
iscgra.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
iscgra.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
iscgra.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
iscgra.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
iscgra.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
iscgra.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
cgrahl1.2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
cgrahl1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
cgrahl2.1	⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐹)

Assertion

Ref	Expression
cgrahl2	⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)

Proof of Theorem cgrahl2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscgra.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
2		iscgra.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
3		iscgra.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
4		iscgra.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG)
5	4	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6		iscgra.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
7	6	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐴 ∈ 𝑃)
8		iscgra.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
9	8	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐵 ∈ 𝑃)
10		iscgra.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
11	10	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		iscgra.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃)
13	12	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐷 ∈ 𝑃)
14		iscgra.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃)
15	14	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐸 ∈ 𝑃)
16		cgrahl1.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃)
17	16	ad3antrrr 728	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑋 ∈ 𝑃)
18		simpllr 774	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝑃)
19		simplr 767	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝑃)
20		simpr1 1191	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩)
21		simpr2 1192	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷)
22		iscgra.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃)
23	22	ad3antrrr 728	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐹 ∈ 𝑃)
24		simpr3 1193	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)
25		cgrahl2.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐹)
26	25	ad3antrrr 728	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑋(𝐾‘𝐸)𝐹)
27	1, 2, 3, 17, 23, 15, 5, 26	hlcomd 28480	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝐹(𝐾‘𝐸)𝑋)
28	1, 2, 3, 19, 23, 17, 5, 15, 24, 27	hltr 28486	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → 𝑦(𝐾‘𝐸)𝑋)
29	1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 28	iscgrad 28687	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃) ∧ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)
30		cgrahl1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩)
31	1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 22	iscgra 28685	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝐹”⟩ ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹)))
32	30, 31	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝑃 ∃𝑦 ∈ 𝑃 (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrG‘𝐺)⟨“𝑥𝐸𝑦”⟩ ∧ 𝑥(𝐾‘𝐸)𝐷 ∧ 𝑦(𝐾‘𝐸)𝐹))
33	29, 32	r19.29vva 3203	1 ⊢ (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩(cgrA‘𝐺)⟨“𝐷𝐸𝑋”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  ⟨“cs3 14829  Basecbs 17183  TarskiGcstrkg 28303  Itvcitv 28309  cgrGccgrg 28386  hlGchlg 28476  cgrAccgra 28683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9926  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-concat 14557  df-s1 14582  df-s2 14835  df-s3 14836  df-trkgc 28324  df-trkgb 28325  df-trkgcb 28326  df-trkg 28329  df-cgrg 28387  df-hlg 28477  df-cgra 28684

This theorem is referenced by:  cgratr  28699  dfcgra2  28706  tgasa1  28734