Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hl2at Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hl2at 39407
Description: A Hilbert lattice has at least 2 atoms. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
hl2atom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hl2at (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,𝑞

Proof of Theorem hl2at
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . . 3 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 eqid 2737 . . 3 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4 eqid 2737 . . 3 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt2 39391 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
7 hlop 39363 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
91, 3op0cl 39185 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11 simpr 484 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
12 eqid 2737 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 hl2atom.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
141, 12, 2, 13hlrelat1 39402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
156, 10, 11, 14syl3anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
161, 4op1cl 39186 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
178, 16syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
181, 12, 2, 13hlrelat1 39402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
1917, 18mpd3an3 1464 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
2015, 19anim12d 609 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))))
21 reeanv 3229 . . . . 5 (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) ↔ (∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
22 nbrne2 5163 . . . . . . . 8 ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥) → 𝑝𝑞)
2322ad2ant2lr 748 . . . . . . 7 (((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → 𝑝𝑞)
2423reximi 3084 . . . . . 6 (∃𝑞𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑞𝐴 𝑝𝑞)
2524reximi 3084 . . . . 5 (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
2621, 25sylbir 235 . . . 4 ((∃𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞𝐴𝑞(le‘𝐾)𝑥𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
2720, 26syl6 35 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞))
2827rexlimdva 3155 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞))
295, 28mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 𝑝𝑞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  ltcplt 18354  0.cp0 18468  1.cp1 18469  OPcops 39173  Atomscatm 39264  HLchlt 39351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352
This theorem is referenced by:  atex  39408
  Copyright terms: Public domain W3C validator