Theorem hl2at 39052

Description: A Hilbert lattice has at least 2 atoms. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
hl2atom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hl2at	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,𝑞

Proof of Theorem hl2at

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2725	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		eqid 2725	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt2 39036	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6		simpl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 39008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	adantr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 3	op0cl 38830	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		hl2atom.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14	1, 12, 2, 13	hlrelat1 39047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
15	6, 10, 11, 14	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
16	1, 4	op1cl 38831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
17	8, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
18	1, 12, 2, 13	hlrelat1 39047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
19	17, 18	mpd3an3 1458	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
20	15, 19	anim12d 607	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))))
21		reeanv 3216	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
22		nbrne2 5172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥) → 𝑝 ≠ 𝑞)
23	22	ad2ant2lr 746	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
24	23	reximi 3073	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
25	24	reximi 3073	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
26	21, 25	sylbir 234	. . . 4 ⊢ ((∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
27	20, 26	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
28	27	rexlimdva 3144	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  ∃wrex 3059   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  Basecbs 17208  lecple 17268  ltcplt 18328  0.cp0 18443  1.cp1 18444  OPcops 38818  Atomscatm 38909  HLchlt 38996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5579  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-p1 18446  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38822  df-ol 38824  df-oml 38825  df-covers 38912  df-ats 38913  df-atl 38944  df-cvlat 38968  df-hlat 38997

This theorem is referenced by:  atex  39053