Theorem hl2at 40220

Description: A Hilbert lattice has at least 2 atoms. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
hl2atom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hl2at	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,𝑞

Proof of Theorem hl2at

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		eqid 2766	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2766	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt2 40204	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 40177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 3	op0cl 39999	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		hl2atom.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14	1, 12, 2, 13	hlrelat1 40215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
15	6, 10, 11, 14	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
16	1, 4	op1cl 40000	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
17	8, 16	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
18	1, 12, 2, 13	hlrelat1 40215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
19	17, 18	mpd3an3 1491	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
20	15, 19	anim12d 621	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))))
21		reeanv 3240	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
22		nbrne2 5136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥) → 𝑝 ≠ 𝑞)
23	22	ad2ant2lr 761	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
24	23	reximi 3106	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
25	24	reximi 3106	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
26	21, 25	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ((∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
27	20, 26	syl6 36	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
28	27	rexlimdva 3169	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
29	5, 28	mpd 16	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lecple 17342  ltcplt 18389  0.cp0 18502  1.cp1 18503  OPcops 39987  Atomscatm 40078  HLchlt 40165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-p1 18505  df-lat 18513  df-clat 18580  df-oposet 39991  df-ol 39993  df-oml 39994  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166

This theorem is used by:  atex  40221