Theorem hl2at 39524

Description: A Hilbert lattice has at least 2 atoms. (Contributed by NM, 5-Dec-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
hl2atom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hl2at	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)

Distinct variable groups:   𝑞,𝑝,𝐴   𝐾,𝑝,𝑞

Proof of Theorem hl2at

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		eqid 2733	. . 3 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt2 39508	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)))
6		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
7		hlop 39481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
9	1, 3	op0cl 39303	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
12		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		hl2atom.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
14	1, 12, 2, 13	hlrelat1 39519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (0.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
15	6, 10, 11, 14	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → ((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥)))
16	1, 4	op1cl 39304	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
17	8, 16	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
18	1, 12, 2, 13	hlrelat1 39519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
19	17, 18	mpd3an3 1464	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
20	15, 19	anim12d 609	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾)))))
21		reeanv 3205	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) ↔ (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))))
22		nbrne2 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝(le‘𝐾)𝑥 ∧ ¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥) → 𝑝 ≠ 𝑞)
23	22	ad2ant2lr 748	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → 𝑝 ≠ 𝑞)
24	23	reximi 3071	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
25	24	reximi 3071	. . . . 5 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
26	21, 25	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝(le‘𝐾)(0.‘𝐾) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑥) ∧ ∃𝑞 ∈ 𝐴 (¬ 𝑞(le‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(1.‘𝐾))) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)
27	20, 26	syl6 35	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
28	27	rexlimdva 3134	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)((0.‘𝐾)(lt‘𝐾)𝑥 ∧ 𝑥(lt‘𝐾)(1.‘𝐾)) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞))
29	5, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 ∈ 𝐴 ∃𝑞 ∈ 𝐴 𝑝 ≠ 𝑞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   class class class wbr 5093  ‘cfv 6486  Basecbs 17122  lecple 17170  ltcplt 18216  0.cp0 18329  1.cp1 18330  OPcops 39291  Atomscatm 39382  HLchlt 39469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-oposet 39295  df-ol 39297  df-oml 39298  df-covers 39385  df-ats 39386  df-atl 39417  df-cvlat 39441  df-hlat 39470

This theorem is referenced by:  atex  39525