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Theorem isbasisrelowllem2 33518
Description: Lemma for isbasisrelowl 33520. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isbasisrelowl.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
isbasisrelowllem2 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑧,𝑎   𝑧,𝑏   𝑐,𝑑,𝑥,𝑧   𝑦,𝑐,𝑑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem isbasisrelowllem2
StepHypRef Expression
1 simplr1 1268 . . . . 5 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
2 simplr2 1270 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → 𝑑 ∈ ℝ)
3 nfv 2005 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑎 ∈ ℝ
4 nfv 2005 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑏 ∈ ℝ
5 nfrab1 3311 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}
65nfeq2 2964 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}
73, 4, 6nf3an 1993 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
8 nfv 2005 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑐 ∈ ℝ
9 nfv 2005 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑑 ∈ ℝ
10 nfrab1 3311 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}
1110nfeq2 2964 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}
128, 9, 11nf3an 1993 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})
137, 12nfan 1990 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
14 nfv 2005 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑎𝑐𝑑𝑏)
1513, 14nfan 1990 . . . . . . . . 9 𝑧(((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏))
16 nfcv 2948 . . . . . . . . 9 𝑧(𝑥𝑦)
17 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) → 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
18 simp3 1161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})
19 elin 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧𝑥𝑧𝑦))
20 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑧𝑥𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}))
21 rabid 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)))
2220, 21syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑧𝑥 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏))))
2322anbi1d 617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧𝑦)))
2419, 23syl5bb 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧𝑦)))
25 eleq2 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} → (𝑧𝑦𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
26 rabid 3304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
2725, 26syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} → (𝑧𝑦 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
2827anbi2d 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} → (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
2924, 28sylan9bb 501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
30 an4 638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
31 anidm 556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ 𝑧 ∈ ℝ)
3231anbi1i 612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
3330, 32bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
34 an4 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎𝑧𝑐𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏)))
35 an42 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎𝑧𝑐𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏)))
3635bicomi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎𝑧𝑐𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
3734, 36bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
3837bicomi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))
3938anbi2i 611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))))
4033, 39bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))))
4129, 40syl6bb 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))))
4217, 18, 41syl2an 585 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))))
4342adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))))
44 simpl 470 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))) → 𝑧 ∈ ℝ)
45 simprrl 790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))) → 𝑐𝑧)
46 simprlr 789 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))) → 𝑧 < 𝑑)
4744, 45, 46jca32 507 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
4843, 47syl6bi 244 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
49 3simpa 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
50 3simpa 1171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
5149, 50anim12i 602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)))
52 letr 10412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑎𝑐𝑐𝑧) → 𝑎𝑧))
53523expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎𝑐𝑐𝑧) → 𝑎𝑧)))
5453exp4a 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎𝑐 → (𝑐𝑧𝑎𝑧))))
5554ad2ant2r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎𝑐 → (𝑐𝑧𝑎𝑧))))
56 ltletr 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑑𝑑𝑏) → 𝑧 < 𝑏))
57563com13 1147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑑𝑑𝑏) → 𝑧 < 𝑏))
5857expcomd 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑑𝑏 → (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏)))
59583expia 1143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑑𝑏 → (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏))))
6059ad2ant2l 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑑𝑏 → (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏))))
6155, 60jcad 504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎𝑐 → (𝑐𝑧𝑎𝑧)) ∧ (𝑑𝑏 → (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏)))))
62 prth 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎𝑐 → (𝑐𝑧𝑎𝑧)) ∧ (𝑑𝑏 → (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏))) → ((𝑎𝑐𝑑𝑏) → ((𝑐𝑧𝑎𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏))))
6361, 62syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎𝑐𝑑𝑏) → ((𝑐𝑧𝑎𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏)))))
6463com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎𝑐𝑑𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐𝑧𝑎𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏)))))
65 prth 834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑐𝑧𝑎𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑𝑧 < 𝑏)) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑑) → (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)))
6664, 65syl8 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎𝑐𝑑𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑑) → (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)))))
6766imp31 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑑) → (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)))
6867ancrd 543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑑) → ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
69 an42 639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎𝑧𝑐𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)))
70 an4 638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝑧𝑐𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
7169, 70bitri 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
7268, 71syl6ibr 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑑) → ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))))
73 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
7472, 73jctild 517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))))
7551, 74sylanl1 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))))
7675imp 395 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))))
7776an32s 634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))))
7843adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))))
7978adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))))
8077, 79mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦))
8180expl 447 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (((𝑐𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)))
8281ancomsd 453 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)))
8348, 82impbid 203 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
8483, 26syl6bbr 280 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
8515, 16, 10, 84eqrd 3817 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})
862, 85jca 503 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
87 19.8a 2217 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
8886, 87syl 17 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
89 df-rex 3102 . . . . . 6 (∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} ↔ ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
9088, 89sylibr 225 . . . . 5 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})
911, 90jca 503 . . . 4 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
92 19.8a 2217 . . . 4 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
9391, 92syl 17 . . 3 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
94 df-rex 3102 . . 3 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
9593, 94sylibr 225 . 2 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})
96 isbasisrelowl.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
9796icoreelrnab 33516 . 2 ((𝑥𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})
9895, 97sylibr 225 1 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑑𝑏)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  wrex 3097  {crab 3100  cin 3768   class class class wbr 4844   × cxp 5309  cima 5314  cr 10216   < clt 10355  cle 10356  [,)cico 12391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-id 5219  df-po 5232  df-so 5233  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-er 7975  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-ico 12395
This theorem is referenced by:  icoreclin  33519
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