Theorem isbasisrelowllem2 36237

Description: Lemma for isbasisrelowl 36239. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowllem2	⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)

Distinct variable groups:   𝑧,𝑎   𝑧,𝑏   𝑐,𝑑,𝑥,𝑧   𝑦,𝑐,𝑑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑦,𝑧,𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem isbasisrelowllem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1216	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → 𝑐 ∈ ℝ)
2		simplr2 1217	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → 𝑑 ∈ ℝ)
3		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 ∈ ℝ
4		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ
5		nfrab1 3452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
6	5	nfeq2 2921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
7	3, 4, 6	nf3an 1905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
8		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑐 ∈ ℝ
9		nfv 1918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑑 ∈ ℝ
10		nfrab1 3452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}
11	10	nfeq2 2921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}
12	8, 9, 11	nf3an 1905	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
13	7, 12	nfan 1903	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
14		nfv 1918	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)
15	13, 14	nfan 1903	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏))
16		nfcv 2904	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∩ 𝑦)
17		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) → 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
18		simp3 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
19		elin 3965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
20		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
21		rabid 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
22	20, 21	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
23	22	anbi1d 631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
24	19, 23	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25		eleq2 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
26		rabid 3453	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
27	25, 26	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
28	27	anbi2d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
29	24, 28	sylan9bb 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
30		an4 655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
31		anidm 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ 𝑧 ∈ ℝ)
32	31	anbi1i 625	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
33	30, 32	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
34		an4 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
35		an42 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
36	35	bicomi 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
37	34, 36	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
38	37	bicomi 223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
39	38	anbi2i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
40	33, 39	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
41	29, 40	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))))
42	17, 18, 41	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))))
43	42	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))))
44		simpl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → 𝑧 ∈ ℝ)
45		simprrl 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → 𝑐 ≤ 𝑧)
46		simprlr 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → 𝑧 < 𝑑)
47	44, 45, 46	jca32 517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
48	43, 47	syl6bi 253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
49		3simpa 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
50		3simpa 1149	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
51	49, 50	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)))
52		letr 11308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) → 𝑎 ≤ 𝑧))
53	52	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) → 𝑎 ≤ 𝑧)))
54	53	exp4a 433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧))))
55	54	ad2ant2r 746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧))))
56		ltletr 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑑 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏) → 𝑧 < 𝑏))
57	56	3com13 1125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑑 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏) → 𝑧 < 𝑏))
58	57	expcomd 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑑 ≤ 𝑏 → (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏)))
59	58	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑑 ≤ 𝑏 → (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏))))
60	59	ad2ant2l 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑑 ≤ 𝑏 → (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏))))
61	55, 60	jcad 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧)) ∧ (𝑑 ≤ 𝑏 → (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏)))))
62		anim12 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧)) ∧ (𝑑 ≤ 𝑏 → (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏))) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏) → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏))))
63	61, 62	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏) → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏)))))
64	63	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏)))))
65		anim12 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑑 → 𝑧 < 𝑏)) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
66	64, 65	syl8 76	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))))
67	66	imp31 419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
68	67	ancrd 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
69		an42 656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
70		an4 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
71	69, 70	bitri 275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
72	68, 71	syl6ibr 252	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
73		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
74	72, 73	jctild 527	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))))
75	51, 74	sylanl1 679	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))))
76	75	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
77	76	an32s 651	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
78	43	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))))
79	78	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))))
80	77, 79	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦))
81	80	expl 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)))
82	81	ancomsd 467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)))
83	48, 82	impbid 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
84	83, 26	bitr4di 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
85	15, 16, 10, 84	eqrd 4002	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
86	2, 85	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
87	86	19.8ad 2176	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
88		df-rex 3072	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} ↔ ∃𝑑(𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
89	87, 88	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
90	1, 89	jca 513	. . . 4 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
91	90	19.8ad 2176	. . 3 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
92		df-rex 3072	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
93	91, 92	sylibr 233	. 2 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
94		isbasisrelowl.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
95	94	icoreelrnab 36235	. 2 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑑 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
96	93, 95	sylibr 233	1 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑑 ≤ 𝑏)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948   class class class wbr 5149   × cxp 5675   “ cima 5680  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249  [,)cico 13326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ico 13330

This theorem is referenced by:  icoreclin  36238