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Theorem isbasisrelowllem1 34084
Description: Lemma for isbasisrelowl 34087. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
isbasisrelowl.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
isbasisrelowllem1 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦,𝑧   𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑏,𝑐,𝑦,𝑥,𝑧   𝑐,𝑑,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem isbasisrelowllem1
StepHypRef Expression
1 simplr1 1195 . . . . 5 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → 𝑐 ∈ ℝ)
2 simpll2 1193 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → 𝑏 ∈ ℝ)
3 nfv 1873 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑎 ∈ ℝ
4 nfv 1873 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑏 ∈ ℝ
5 nfrab1 3324 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}
65nfeq2 2947 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}
73, 4, 6nf3an 1864 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
8 nfv 1873 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑐 ∈ ℝ
9 nfv 1873 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑑 ∈ ℝ
10 nfrab1 3324 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}
1110nfeq2 2947 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}
128, 9, 11nf3an 1864 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})
137, 12nfan 1862 . . . . . . . . . 10 𝑧((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
14 nfv 1873 . . . . . . . . . 10 𝑧(𝑎𝑐𝑏𝑑)
1513, 14nfan 1862 . . . . . . . . 9 𝑧(((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑))
16 nfcv 2932 . . . . . . . . 9 𝑧(𝑥𝑦)
17 nfrab1 3324 . . . . . . . . 9 𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)}
18 simp3 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) → 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)})
19 simp3 1118 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})
20 elin 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧𝑥𝑧𝑦))
21 eleq2 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑧𝑥𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}))
22 rabid 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)))
2321, 22syl6bb 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑧𝑥 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏))))
2423anbi1d 620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧𝑦)))
2520, 24syl5bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧𝑦)))
26 eleq2 2854 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} → (𝑧𝑦𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}))
27 rabid 3317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
2826, 27syl6bb 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} → (𝑧𝑦 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
2928anbi2d 619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)} → (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
3025, 29sylan9bb 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
31 an4 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
32 anidm 557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ 𝑧 ∈ ℝ)
3332anbi1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
3431, 33bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
3530, 34syl6bb 279 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
3618, 19, 35syl2an 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
3736adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
38 simpl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) → 𝑧 ∈ ℝ)
39 simprrl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) → 𝑐𝑧)
40 simprlr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) → 𝑧 < 𝑏)
4138, 39, 40jca32 508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))
4237, 41syl6bi 245 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))))
43 3simpa 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
44 3simpa 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)}) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
4543, 44anim12i 603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)))
46 letr 10534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑎𝑐𝑐𝑧) → 𝑎𝑧))
47463expia 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎𝑐𝑐𝑧) → 𝑎𝑧)))
4847exp4a 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎𝑐 → (𝑐𝑧𝑎𝑧))))
4948ad2ant2r 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎𝑐 → (𝑐𝑧𝑎𝑧))))
50 ltletr 10532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑏𝑏𝑑) → 𝑧 < 𝑑))
51503coml 1107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑏𝑏𝑑) → 𝑧 < 𝑑))
5251expcomd 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑏𝑑 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)))
53523expia 1101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑏𝑑 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑))))
5453ad2ant2l 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑏𝑑 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑))))
5549, 54jcad 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎𝑐 → (𝑐𝑧𝑎𝑧)) ∧ (𝑏𝑑 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)))))
56 prth 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑎𝑐 → (𝑐𝑧𝑎𝑧)) ∧ (𝑏𝑑 → (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑))) → ((𝑎𝑐𝑏𝑑) → ((𝑐𝑧𝑎𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑))))
5755, 56syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎𝑐𝑏𝑑) → ((𝑐𝑧𝑎𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)))))
5857com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎𝑐𝑏𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐𝑧𝑎𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)))))
59 prth 796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑐𝑧𝑎𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑏) → (𝑎𝑧𝑧 < 𝑑)))
6058, 59syl8 76 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎𝑐𝑏𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑏) → (𝑎𝑧𝑧 < 𝑑)))))
6160imp31 410 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑏) → (𝑎𝑧𝑧 < 𝑑)))
6261ancrd 544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑏) → ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))))
63 an42 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎𝑧𝑐𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)))
64 an4 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑎𝑧𝑐𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
6563, 64bitri 267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎𝑧𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))
6662, 65syl6ib 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑏) → ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
67 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
6866, 67jctild 518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
6945, 68sylanl1 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐𝑧𝑧 < 𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
7069imp 398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
7170an32s 639 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑))))
7237adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
7372adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)))))
7471, 73mpbird 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦))
7574expl 450 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (((𝑐𝑧𝑧 < 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)))
7675ancomsd 458 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ (𝑥𝑦)))
7742, 76impbid 204 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏))))
78 rabid 3317 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)))
7977, 78syl6bbr 281 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥𝑦) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)}))
8015, 16, 17, 79eqrd 3877 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)})
812, 80jca 504 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)}))
828119.8ad 2110 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → ∃𝑏(𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)}))
83 df-rex 3094 . . . . . 6 (∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)}))
8482, 83sylibr 226 . . . . 5 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)})
851, 84jca 504 . . . 4 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)}))
868519.8ad 2110 . . 3 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)}))
87 df-rex 3094 . . 3 (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)} ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)}))
8886, 87sylibr 226 . 2 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)})
89 isbasisrelowl.1 . . 3 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
9089icoreelrnab 34083 . 2 ((𝑥𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑏)})
9188, 90sylibr 226 1 ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎𝑧𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐𝑧𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎𝑐𝑏𝑑)) → (𝑥𝑦) ∈ 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2050  wrex 3089  {crab 3092  cin 3828   class class class wbr 4929   × cxp 5405  cima 5410  cr 10334   < clt 10474  cle 10475  [,)cico 12556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-po 5326  df-so 5327  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-ico 12560
This theorem is referenced by:  icoreclin  34086
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