Theorem isbasisrelowllem1 35826

Description: Lemma for isbasisrelowl 35829. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
isbasisrelowl.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
isbasisrelowllem1	⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦,𝑧   𝑎,𝑏,𝑥,𝑧   𝑏,𝑐,𝑦,𝑥,𝑧   𝑐,𝑑,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐼(𝑎,𝑏,𝑐,𝑑)

Proof of Theorem isbasisrelowllem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr1 1215	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → 𝑐 ∈ ℝ)
2		simpll2 1213	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → 𝑏 ∈ ℝ)
3		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑎 ∈ ℝ
4		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑏 ∈ ℝ
5		nfrab1 3426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
6	5	nfeq2 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
7	3, 4, 6	nf3an 1904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
8		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑐 ∈ ℝ
9		nfv 1917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑑 ∈ ℝ
10		nfrab1 3426	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}
11	10	nfeq2 2924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑧 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}
12	8, 9, 11	nf3an 1904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
13	7, 12	nfan 1902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
14		nfv 1917	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)
15	13, 14	nfan 1902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑))
16		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧(𝑥 ∩ 𝑦)
17		nfrab1 3426	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑧{𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}
18		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) → 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
19		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})
20		elin 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦))
21		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
22		rabid 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
23	21, 22	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
24	23	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → ((𝑧 ∈ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
25	20, 24	bitrid 282	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦)))
26		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}))
27		rabid 3427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
28	26, 27	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (𝑧 ∈ 𝑦 ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
29	28	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)} → (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
30	25, 29	sylan9bb 510	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
31		an4 654	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
32		anidm 565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ↔ 𝑧 ∈ ℝ)
33	32	anbi1i 624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
34	31, 33	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
35	30, 34	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
36	18, 19, 35	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
38		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) → 𝑧 ∈ ℝ)
39		simprrl 779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) → 𝑐 ≤ 𝑧)
40		simprlr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) → 𝑧 < 𝑏)
41	38, 39, 40	jca32 516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
42	37, 41	syl6bi 252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
43		3simpa 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ))
44		3simpa 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)}) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
45	43, 44	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) → ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)))
46		letr 11249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) → 𝑎 ≤ 𝑧))
47	46	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) → 𝑎 ≤ 𝑧)))
48	47	exp4a 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧))))
49	48	ad2ant2r 745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧))))
50		ltletr 11247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → 𝑧 < 𝑑))
51	50	3coml 1127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → 𝑧 < 𝑑))
52	51	expcomd 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)))
53	52	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑))))
54	53	ad2ant2l 744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑))))
55	49, 54	jcad 513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧)) ∧ (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)))))
56		anim12 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑐 → (𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧)) ∧ (𝑏 ≤ 𝑑 → (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑))) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑))))
57	55, 56	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)))))
58	57	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)))))
59		anim12 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑐 ≤ 𝑧 → 𝑎 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 → 𝑧 < 𝑑)) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
60	58, 59	syl8 76	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) → ((𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑) → (𝑧 ∈ ℝ → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
61	60	imp31 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
62	61	ancrd 552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
63		an42 655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
64		an4 654	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑐 ≤ 𝑧) ∧ (𝑧 < 𝑏 ∧ 𝑧 < 𝑑)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
65	63, 64	bitri 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ↔ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))
66	62, 65	syl6ib 250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
67		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
68	66, 67	jctild 526	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
69	45, 68	sylanl1 678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
70	69	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
71	70	an32s 650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑))))
72	37	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
73	72	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ ((𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)))))
74	71, 73	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦))
75	74	expl 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (((𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)))
76	75	ancomsd 466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ((𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)) → 𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦)))
77	42, 76	impbid 211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏))))
78		rabid 3427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)))
79	77, 78	bitr4di 288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑧 ∈ (𝑥 ∩ 𝑦) ↔ 𝑧 ∈ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
80	15, 16, 17, 79	eqrd 3963	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
81	2, 80	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
82	81	19.8ad 2175	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ∃𝑏(𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
83		df-rex 3074	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ ∃𝑏(𝑏 ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
84	82, 83	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
85	1, 84	jca 512	. . . 4 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
86	85	19.8ad 2175	. . 3 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
87		df-rex 3074	. . 3 ⊢ (∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)} ↔ ∃𝑐(𝑐 ∈ ℝ ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}))
88	86, 87	sylibr 233	. 2 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
89		isbasisrelowl.1	. . 3 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
90	89	icoreelrnab 35825	. 2 ⊢ ((𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ (𝑥 ∩ 𝑦) = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)})
91	88, 90	sylibr 233	1 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑎 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑏)}) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑐 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑑)})) ∧ (𝑎 ≤ 𝑐 ∧ 𝑏 ≤ 𝑑)) → (𝑥 ∩ 𝑦) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  ∃wex 1781   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073  {crab 3407   ∩ cin 3909   class class class wbr 5105   × cxp 5631   “ cima 5636  ℝcr 11050   < clt 11189   ≤ cle 11190  [,)cico 13266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-ico 13270

This theorem is referenced by:  icoreclin  35828