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Theorem vonioolem2 45695
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of open intervals. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonioolem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonioolem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonioolem2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonioolem2.t ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
vonioolem2.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))
vonioolem2.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
vonioolem2.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
vonioolem2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛   𝐡,π‘˜,𝑛   𝐢,π‘˜,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐼   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   𝐼(π‘˜)

Proof of Theorem vonioolem2
Dummy variables 𝑗 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonioolem2.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21vonmea 45588 . . . 4 (πœ‘ β†’ (volnβ€˜π‘‹) ∈ Meas)
3 1zzd 12597 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4 nnuz 12869 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
51adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6 eqid 2730 . . . . . 6 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
7 vonioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
87adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10 nnrecre 12258 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11readdcld 11247 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1312fmpttd 7115 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
14 vonioolem2.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))))
161mptexd 7227 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1716adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1815, 17fvmpt2d 7010 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
1918feq1d 6701 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„))
2013, 19mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
21 vonioolem2.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
2221adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
235, 6, 20, 22hoimbl 45645 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
24 vonioolem2.d . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
2523, 24fmptd 7114 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆdom (volnβ€˜π‘‹))
26 nfv 1915 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•)
27 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘š))
2827oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š)))
2928mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))))
3029cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))))
3114, 30eqtri 2758 . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))))
32 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (1 / π‘š) = (1 / (𝑛 + 1)))
3332oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š)) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))))
3433mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1)))))
35 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3635peano2nnd 12233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
375mptexd 7227 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1)))) ∈ V)
3831, 34, 36, 37fvmptd3 7020 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1)))))
39 ovexd 7446 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))) ∈ V)
4038, 39fvmpt2d 7010 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))))
41 1red 11219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
42 nnre 12223 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4342, 41readdcld 11247 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn 12228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
45 nnne0 12250 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) β‰  0)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) β‰  0)
4741, 43, 46redivcld 12046 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
4847ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
499, 48readdcld 11247 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
5040, 49eqeltrd 2831 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5150rexrd 11268 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
52 ressxr 11262 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† ℝ*
5321ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5452, 53sselid 3979 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
5554adantlr 711 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
5642ltp1d 12148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 < (𝑛 + 1))
57 nnrp 12989 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
5844nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
5957, 58ltrecd 13038 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (1 / (𝑛 + 1)) < (1 / 𝑛)))
6056, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (𝑛 + 1)) < (1 / 𝑛))
6147, 10, 60ltled 11366 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (𝑛 + 1)) ≀ (1 / 𝑛))
6261ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / (𝑛 + 1)) ≀ (1 / 𝑛))
6348, 11, 9, 62leadd2dd 11833 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))) ≀ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
64 ovexd 7446 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
6518, 64fvmpt2d 7010 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
6640, 65breq12d 5160 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ≀ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ↔ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))) ≀ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
6763, 66mpbird 256 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ≀ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
6853adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
69 eqidd 2731 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
7068, 69eqled 11321 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
71 icossico 13398 . . . . . . 7 (((((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) ∧ (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ≀ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
7251, 55, 67, 70, 71syl22anc 835 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
7326, 72ixpssixp 44082 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
7424a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
7523elexd 3493 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V)
7674, 75fvmpt2d 7010 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
77 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (πΆβ€˜π‘š))
7877fveq1d 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜))
7978oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8079ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8180cbvmptv 5260 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (π‘š ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8224, 81eqtri 2758 . . . . . . 7 𝐷 = (π‘š ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
83 fveq2 6890 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (πΆβ€˜π‘š) = (πΆβ€˜(𝑛 + 1)))
8483fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜))
8584oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8685ixpeq2dv 8909 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
87 ovex 7444 . . . . . . . . . 10 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V
8887rgenw 3063 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V
89 ixpexg 8918 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V)
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . 8 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V
9190a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V)
9282, 86, 36, 91fvmptd3 7020 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜(𝑛 + 1)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9376, 92sseq12d 4014 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›) βŠ† (π·β€˜(𝑛 + 1)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
9473, 93mpbird 256 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) βŠ† (π·β€˜(𝑛 + 1)))
951, 6, 7, 21hoimbl 45645 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
96 nfv 1915 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
977ffvelcdmda 7085 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9896, 1, 97, 53vonhoire 45686 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
99 vonioolem2.i . . . . . . 7 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))
10099a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
101 nftru 1804 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜βŠ€
102 ioossico 13419 . . . . . . . . . 10 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
103102a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
104101, 103ixpssixp 44082 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
105104mptru 1546 . . . . . . 7 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
106105a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
107100, 106eqsstrd 4019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
10852a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
1097, 108fssd 6734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„*)
11021, 108fssd 6734 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„*)
1111, 6, 109, 110ioovonmbl 45691 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
11299, 111eqeltrid 2835 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
1132, 95, 98, 107, 112meassre 45491 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) ∈ ℝ)
1142adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volnβ€˜π‘‹) ∈ Meas)
11576, 23eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
116112adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐼 ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
11752, 97sselid 3979 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
118117adantlr 711 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
11957rpreccld 13030 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
120119ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1219, 120ltaddrpd 13053 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
122 icossioo 13421 . . . . . . . 8 ((((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) ∧ ((π΄β€˜π‘˜) < ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
123118, 55, 121, 70, 122syl22anc 835 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
12426, 123ixpssixp 44082 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
12565oveq1d 7426 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)))
126125ixpeq2dva 8908 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)))
12776, 126eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)))
12899a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
129127, 128sseq12d 4014 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›) βŠ† 𝐼 ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))))
130124, 129mpbird 256 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) βŠ† 𝐼)
131114, 6, 115, 116, 130meassle 45477 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) ≀ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ))
132 eqid 2730 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
1332, 3, 4, 25, 94, 113, 131, 132meaiuninc2 45496 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›)))
13496, 1, 97, 54iunhoiioo 45690 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
135127iuneq2dv 5020 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)))
136134, 135, 1003eqtr4d 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›) = 𝐼)
137136eqcomd 2736 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›))
138137fveq2d 6894 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›)))
139138eqcomd 2736 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ))
140133, 139breqtrd 5173 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ))
141 2fveq3 6895 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š)))
142141cbvmptv 5260 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š)))
143142a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š))))
144 vonioolem2.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
145 vonioolem2.t . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
146142eqcomi 2739 . . . 4 (π‘š ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
147 eqcom 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š ↔ π‘š = 𝑛)
148147imbi1i 348 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = π‘š β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) ↔ (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)))
149 eqcom 2737 . . . . . . . . . 10 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) ↔ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
150149imbi2i 335 . . . . . . . . 9 ((π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) ↔ (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
151148, 150bitri 274 . . . . . . . 8 ((𝑛 = π‘š β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) ↔ (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
15278, 151mpbi 229 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
153152oveq2d 7427 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
154153prodeq2ad 44606 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
155154cbvmptv 5260 . . . 4 (π‘š ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
156 eqid 2730 . . . 4 inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )
157 eqid 2730 . . . 4 ((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))) + 1)
158 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π΅β€˜π‘˜))
159 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘˜))
160158, 159oveq12d 7429 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
161160cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
162161rneqi 5935 . . . . . . . . 9 ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))) = ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
163162infeq1i 9475 . . . . . . . 8 inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )
164163oveq2i 7422 . . . . . . 7 (1 / inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < )) = (1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))
165164fveq2i 6893 . . . . . 6 (βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < ))) = (βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )))
166165oveq1i 7421 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < ))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))) + 1)
167166fveq2i 6893 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < ))) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))) + 1))
1681, 7, 21, 144, 145, 14, 24, 146, 155, 156, 157, 167vonioolem1 45694 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
169143, 168eqbrtrd 5169 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
170 climuni 15500 . 2 (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
171140, 169, 170syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539  βŠ€wtru 1540   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Xcixp 8893  Fincfn 8941  infcinf 9438  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€β‰₯cuz 12826  β„+crp 12978  (,)cioo 13328  [,)cico 13330  βŒŠcfl 13759   ⇝ cli 15432  βˆcprod 15853  Meascmea 45463  volncvoln 45552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-pws 17399  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-abv 20568  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-phl 21398  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-tng 24313  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-cncf 24618  df-clm 24810  df-cph 24916  df-tcph 24917  df-rrx 25133  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-salg 45323  df-sumge0 45377  df-mea 45464  df-ome 45504  df-caragen 45506  df-ovoln 45551  df-voln 45553
This theorem is referenced by:  vonioo  45696
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