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Theorem vonioolem2 45696
Description: The n-dimensional Lebesgue measure of open intervals. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
vonioolem2.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
vonioolem2.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
vonioolem2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
vonioolem2.t ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
vonioolem2.i 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))
vonioolem2.c 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
vonioolem2.d 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
vonioolem2 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜,𝑛   𝐡,π‘˜,𝑛   𝐢,π‘˜,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐼   π‘˜,𝑋,𝑛   πœ‘,π‘˜,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(π‘˜)   𝐼(π‘˜)

Proof of Theorem vonioolem2
Dummy variables 𝑗 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonioolem2.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
21vonmea 45589 . . . 4 (πœ‘ β†’ (volnβ€˜π‘‹) ∈ Meas)
3 1zzd 12598 . . . 4 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
4 nnuz 12870 . . . 4 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
51adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
6 eqid 2731 . . . . . 6 dom (volnβ€˜π‘‹) = dom (volnβ€˜π‘‹)
7 vonioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10 nnrecre 12259 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11readdcld 11248 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1312fmpttd 7116 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„)
14 vonioolem2.c . . . . . . . . . 10 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 = (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))))
161mptexd 7228 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1716adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1815, 17fvmpt2d 7011 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
1918feq1d 6702 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„ ↔ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))):π‘‹βŸΆβ„))
2013, 19mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜π‘›):π‘‹βŸΆβ„)
21 vonioolem2.b . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
235, 6, 20, 22hoimbl 45646 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
24 vonioolem2.d . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
2523, 24fmptd 7115 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆdom (volnβ€˜π‘‹))
26 nfv 1916 . . . . . 6 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•)
27 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘š β†’ (1 / 𝑛) = (1 / π‘š))
2827oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘š β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š)))
2928mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘š β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))))
3029cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))) = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))))
3114, 30eqtri 2759 . . . . . . . . . . 11 𝐢 = (π‘š ∈ β„• ↦ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))))
32 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (1 / π‘š) = (1 / (𝑛 + 1)))
3332oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š)) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))))
3433mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / π‘š))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1)))))
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
3635peano2nnd 12234 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
375mptexd 7228 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1)))) ∈ V)
3831, 34, 36, 37fvmptd3 7021 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΆβ€˜(𝑛 + 1)) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1)))))
39 ovexd 7447 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))) ∈ V)
4038, 39fvmpt2d 7011 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))))
41 1red 11220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 1 ∈ ℝ)
42 nnre 12224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
4342, 41readdcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn 12229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
45 nnne0 12251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) β‰  0)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) β‰  0)
4741, 43, 46redivcld 12047 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
4847ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
499, 48readdcld 11248 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
5040, 49eqeltrd 2832 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5150rexrd 11269 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
52 ressxr 11263 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† ℝ*
5321ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
5452, 53sselid 3980 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
5554adantlr 712 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
5642ltp1d 12149 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 < (𝑛 + 1))
57 nnrp 12990 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
5844nnrpd 13019 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
5957, 58ltrecd 13039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (1 / (𝑛 + 1)) < (1 / 𝑛)))
6056, 59mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (𝑛 + 1)) < (1 / 𝑛))
6147, 10, 60ltled 11367 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / (𝑛 + 1)) ≀ (1 / 𝑛))
6261ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / (𝑛 + 1)) ≀ (1 / 𝑛))
6348, 11, 9, 62leadd2dd 11834 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))) ≀ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
64 ovexd 7447 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
6518, 64fvmpt2d 7011 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
6640, 65breq12d 5161 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ≀ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ↔ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / (𝑛 + 1))) ≀ ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))))
6763, 66mpbird 257 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ≀ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
6853adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
69 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
7068, 69eqled 11322 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
71 icossico 13399 . . . . . . 7 (((((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) ∧ (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜) ≀ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
7251, 55, 67, 70, 71syl22anc 836 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
7326, 72ixpssixp 44083 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
7424a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 = (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
7523elexd 3494 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V)
7674, 75fvmpt2d 7011 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
77 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘š β†’ (πΆβ€˜π‘›) = (πΆβ€˜π‘š))
7877fveq1d 6893 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜))
7978oveq1d 7427 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8079ixpeq2dv 8911 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘š β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8180cbvmptv 5261 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) = (π‘š ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8224, 81eqtri 2759 . . . . . . 7 𝐷 = (π‘š ∈ β„• ↦ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
83 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (πΆβ€˜π‘š) = (πΆβ€˜(𝑛 + 1)))
8483fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜))
8584oveq1d 7427 . . . . . . . 8 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
8685ixpeq2dv 8911 . . . . . . 7 (π‘š = (𝑛 + 1) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
87 ovex 7445 . . . . . . . . . 10 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V
8887rgenw 3064 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V
89 ixpexg 8920 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V)
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . 8 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V
9190a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ V)
9282, 86, 36, 91fvmptd3 7021 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜(𝑛 + 1)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
9376, 92sseq12d 4015 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›) βŠ† (π·β€˜(𝑛 + 1)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜(𝑛 + 1))β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
9473, 93mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) βŠ† (π·β€˜(𝑛 + 1)))
951, 6, 7, 21hoimbl 45646 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
96 nfv 1916 . . . . . 6 β„²π‘˜πœ‘
977ffvelcdmda 7086 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
9896, 1, 97, 53vonhoire 45687 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
99 vonioolem2.i . . . . . . 7 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))
10099a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
101 nftru 1805 . . . . . . . . 9 β„²π‘˜βŠ€
102 ioossico 13420 . . . . . . . . . 10 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
103102a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
104101, 103ixpssixp 44083 . . . . . . . 8 (⊀ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
105104mptru 1547 . . . . . . 7 Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))
106105a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
107100, 106eqsstrd 4020 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
10852a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† ℝ*)
1097, 108fssd 6735 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„*)
11021, 108fssd 6735 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„*)
1111, 6, 109, 110ioovonmbl 45692 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
11299, 111eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
1132, 95, 98, 107, 112meassre 45492 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) ∈ ℝ)
1142adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volnβ€˜π‘‹) ∈ Meas)
11576, 23eqeltrd 2832 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
116112adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐼 ∈ dom (volnβ€˜π‘‹))
11752, 97sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
118117adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
11957rpreccld 13031 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
120119ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1219, 120ltaddrpd 13054 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)))
122 icossioo 13422 . . . . . . . 8 ((((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) ∧ ((π΄β€˜π‘˜) < ((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛)) ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
123118, 55, 121, 70, 122syl22anc 836 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
12426, 123ixpssixp 44083 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
12565oveq1d 7427 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)))
126125ixpeq2dva 8910 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)))
12776, 126eqtrd 2771 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)))
12899a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐼 = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
129127, 128sseq12d 4015 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π·β€˜π‘›) βŠ† 𝐼 ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜))))
130124, 129mpbird 257 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π·β€˜π‘›) βŠ† 𝐼)
131114, 6, 115, 116, 130meassle 45478 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) ≀ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ))
132 eqid 2731 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
1332, 3, 4, 25, 94, 113, 131, 132meaiuninc2 45497 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›)))
13496, 1, 97, 54iunhoiioo 45691 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)(,)(π΅β€˜π‘˜)))
135127iuneq2dv 5021 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π΄β€˜π‘˜) + (1 / 𝑛))[,)(π΅β€˜π‘˜)))
136134, 135, 1003eqtr4d 2781 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›) = 𝐼)
137136eqcomd 2737 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›))
138137fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›)))
139138eqcomd 2737 . . 3 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ))
140133, 139breqtrd 5174 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ))
141 2fveq3 6896 . . . . 5 (𝑛 = π‘š β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)) = ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š)))
142141cbvmptv 5261 . . . 4 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š)))
143142a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) = (π‘š ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š))))
144 vonioolem2.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
145 vonioolem2.t . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) < (π΅β€˜π‘˜))
146142eqcomi 2740 . . . 4 (π‘š ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›)))
147 eqcom 2738 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘š ↔ π‘š = 𝑛)
148147imbi1i 349 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = π‘š β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) ↔ (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)))
149 eqcom 2738 . . . . . . . . . 10 (((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) ↔ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
150149imbi2i 336 . . . . . . . . 9 ((π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) ↔ (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
151148, 150bitri 275 . . . . . . . 8 ((𝑛 = π‘š β†’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) ↔ (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
15278, 151mpbi 229 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜))
153152oveq2d 7428 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
154153prodeq2ad 44607 . . . . 5 (π‘š = 𝑛 β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜)) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
155154cbvmptv 5261 . . . 4 (π‘š ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘š)β€˜π‘˜))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ ((πΆβ€˜π‘›)β€˜π‘˜)))
156 eqid 2731 . . . 4 inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )
157 eqid 2731 . . . 4 ((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))) + 1)
158 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΅β€˜π‘—) = (π΅β€˜π‘˜))
159 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘˜))
160158, 159oveq12d 7430 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—)) = ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
161160cbvmptv 5261 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))) = (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
162161rneqi 5936 . . . . . . . . 9 ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))) = ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
163162infeq1i 9477 . . . . . . . 8 inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < ) = inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )
164163oveq2i 7423 . . . . . . 7 (1 / inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < )) = (1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))
165164fveq2i 6894 . . . . . 6 (βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < ))) = (βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < )))
166165oveq1i 7422 . . . . 5 ((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < ))) + 1) = ((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))) + 1)
167166fveq2i 6894 . . . 4 (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (𝑗 ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘—) βˆ’ (π΄β€˜π‘—))), ℝ, < ))) + 1)) = (β„€β‰₯β€˜((βŒŠβ€˜(1 / inf(ran (π‘˜ ∈ 𝑋 ↦ ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))), ℝ, < ))) + 1))
1681, 7, 21, 144, 145, 14, 24, 146, 155, 156, 157, 167vonioolem1 45695 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘š ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘š))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
169143, 168eqbrtrd 5170 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
170 climuni 15501 . 2 (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) ∧ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜(π·β€˜π‘›))) ⇝ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜))) β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
171140, 169, 170syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ ((volnβ€˜π‘‹)β€˜πΌ) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΅β€˜π‘˜) βˆ’ (π΄β€˜π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  βŠ€wtru 1541   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ ciun 4997   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Xcixp 8895  Fincfn 8943  infcinf 9440  β„cr 11113  0cc0 11114  1c1 11115   + caddc 11117  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254   βˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  β„•cn 12217  β„€β‰₯cuz 12827  β„+crp 12979  (,)cioo 13329  [,)cico 13331  βŒŠcfl 13760   ⇝ cli 15433  βˆcprod 15854  Meascmea 45464  volncvoln 45553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-cc 10434  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-oadd 8474  df-omul 8475  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-prod 15855  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-pws 17400  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-field 20504  df-abv 20569  df-staf 20597  df-srng 20598  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-lmhm 20778  df-lvec 20859  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-cnfld 21146  df-refld 21378  df-phl 21399  df-dsmm 21507  df-frlm 21522  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-cmp 23112  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-tng 24314  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-cncf 24619  df-clm 24811  df-cph 24917  df-tcph 24918  df-rrx 25134  df-ovol 25214  df-vol 25215  df-salg 45324  df-sumge0 45378  df-mea 45465  df-ome 45505  df-caragen 45507  df-ovoln 45552  df-voln 45554
This theorem is referenced by:  vonioo  45697
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