Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  vonioolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vonioolem2 43686
 Description: The n-dimensional Lebesgue measure of open intervals. This is the first statement in Proposition 115G (d) of [Fremlin1] p. 32. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
vonioolem2.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
vonioolem2.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
vonioolem2.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
vonioolem2.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
vonioolem2.t ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
vonioolem2.i 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
vonioolem2.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
vonioolem2.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
Assertion
Ref Expression
vonioolem2 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑛   𝐵,𝑘,𝑛   𝐶,𝑘,𝑛   𝐷,𝑛   𝑛,𝐼   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑘,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑘)   𝐼(𝑘)

Proof of Theorem vonioolem2
Dummy variables 𝑗 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vonioolem2.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21vonmea 43579 . . . 4 (𝜑 → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
3 1zzd 12052 . . . 4 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
4 nnuz 12321 . . . 4 ℕ = (ℤ‘1)
51adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ Fin)
6 eqid 2758 . . . . . 6 dom (voln‘𝑋) = dom (voln‘𝑋)
7 vonioolem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
87adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
98ffvelrnda 6842 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
10 nnrecre 11716 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
1110ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
129, 11readdcld 10708 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
1312fmpttd 6870 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ)
14 vonioolem2.c . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
1514a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))))
161mptexd 6978 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1716adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) ∈ V)
1815, 17fvmpt2d 6772 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
1918feq1d 6483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))):𝑋⟶ℝ))
2013, 19mpbird 260 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶𝑛):𝑋⟶ℝ)
21 vonioolem2.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
2221adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
235, 6, 20, 22hoimbl 43636 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
24 vonioolem2.d . . . . 5 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
2523, 24fmptd 6869 . . . 4 (𝜑𝐷:ℕ⟶dom (voln‘𝑋))
26 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
27 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑚 → (1 / 𝑛) = (1 / 𝑚))
2827oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)))
2928mpteq2dv 5128 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑚 → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
3029cbvmptv 5135 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
3114, 30eqtri 2781 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))))
32 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑛 + 1)))
3332oveq2d 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚)) = ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))))
3433mpteq2dv 5128 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑚))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1)))))
35 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
3635peano2nnd 11691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
375mptexd 6978 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1)))) ∈ V)
3831, 34, 36, 37fvmptd3 6782 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐶‘(𝑛 + 1)) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1)))))
39 ovexd 7185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))) ∈ V)
4038, 39fvmpt2d 6772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))))
41 1red 10680 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
42 nnre 11681 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
4342, 41readdcld 10708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn 11686 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℕ)
45 nnne0 11708 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 + 1) ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ≠ 0)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ≠ 0)
4741, 43, 46redivcld 11506 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / (𝑛 + 1)) ∈ ℝ)
499, 48readdcld 10708 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))) ∈ ℝ)
5040, 49eqeltrd 2852 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ∈ ℝ)
5150rexrd 10729 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ∈ ℝ*)
52 ressxr 10723 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
5321ffvelrnda 6842 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
5452, 53sseldi 3890 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
5554adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
5642ltp1d 11608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 < (𝑛 + 1))
57 nnrp 12441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
5844nnrpd 12470 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + 1) ∈ ℝ+)
5957, 58ltrecd 12490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 < (𝑛 + 1) ↔ (1 / (𝑛 + 1)) < (1 / 𝑛)))
6056, 59mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (𝑛 + 1)) < (1 / 𝑛))
6147, 10, 60ltled 10826 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / (𝑛 + 1)) ≤ (1 / 𝑛))
6261ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / (𝑛 + 1)) ≤ (1 / 𝑛))
6348, 11, 9, 62leadd2dd 11293 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
64 ovexd 7185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∈ V)
6518, 64fvmpt2d 6772 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
6640, 65breq12d 5045 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ≤ ((𝐶𝑛)‘𝑘) ↔ ((𝐴𝑘) + (1 / (𝑛 + 1))) ≤ ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))))
6763, 66mpbird 260 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ≤ ((𝐶𝑛)‘𝑘))
6853adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
69 eqidd 2759 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) = (𝐵𝑘))
7068, 69eqled 10781 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
71 icossico 12849 . . . . . . 7 (((((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) ∧ (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘) ≤ ((𝐶𝑛)‘𝑘) ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐵𝑘))) → (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
7251, 55, 67, 70, 71syl22anc 837 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
7326, 72ixpssixp 42101 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
7424a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
7523elexd 3430 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
7674, 75fvmpt2d 6772 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
77 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑚 → (𝐶𝑛) = (𝐶𝑚))
7877fveq1d 6660 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑚 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘))
7978oveq1d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚 → (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8079ixpeq2dv 8495 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8180cbvmptv 5135 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8224, 81eqtri 2781 . . . . . . 7 𝐷 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
83 fveq2 6658 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (𝐶𝑚) = (𝐶‘(𝑛 + 1)))
8483fveq1d 6660 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑛 + 1) → ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘))
8584oveq1d 7165 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛 + 1) → (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
8685ixpeq2dv 8495 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛 + 1) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑚)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
87 ovex 7183 . . . . . . . . . 10 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V
8887rgenw 3082 . . . . . . . . 9 𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V
89 ixpexg 8504 . . . . . . . . 9 (∀𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V → X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
9088, 89ax-mp 5 . . . . . . . 8 X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V
9190a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ V)
9282, 86, 36, 91fvmptd3 6782 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷‘(𝑛 + 1)) = X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
9376, 92sseq12d 3925 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛) ⊆ (𝐷‘(𝑛 + 1)) ↔ X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 (((𝐶‘(𝑛 + 1))‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
9473, 93mpbird 260 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ⊆ (𝐷‘(𝑛 + 1)))
951, 6, 7, 21hoimbl 43636 . . . . 5 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
96 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘𝜑
977ffvelrnda 6842 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
9896, 1, 97, 53vonhoire 43677 . . . . 5 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
99 vonioolem2.i . . . . . . 7 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))
10099a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
101 nftru 1806 . . . . . . . . 9 𝑘
102 ioossico 12870 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))
103102a1i 11 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
104101, 103ixpssixp 42101 . . . . . . . 8 (⊤ → X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
105104mptru 1545 . . . . . . 7 X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))
106105a1i 11 . . . . . 6 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
107100, 106eqsstrd 3930 . . . . 5 (𝜑𝐼X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
10852a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
1097, 108fssd 6513 . . . . . . 7 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ*)
11021, 108fssd 6513 . . . . . . 7 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ*)
1111, 6, 109, 110ioovonmbl 43682 . . . . . 6 (𝜑X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)) ∈ dom (voln‘𝑋))
11299, 111eqeltrid 2856 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ dom (voln‘𝑋))
1132, 95, 98, 107, 112meassre 43482 . . . 4 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) ∈ ℝ)
1142adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (voln‘𝑋) ∈ Meas)
11576, 23eqeltrd 2852 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ∈ dom (voln‘𝑋))
116112adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐼 ∈ dom (voln‘𝑋))
11752, 97sseldi 3890 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
118117adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
11957rpreccld 12482 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
120119ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
1219, 120ltaddrpd 12505 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)))
122 icossioo 12872 . . . . . . . 8 ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑘) < ((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛)) ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐵𝑘))) → (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
123118, 55, 121, 70, 122syl22anc 837 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
12426, 123ixpssixp 42101 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
12565oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)))
126125ixpeq2dva 8494 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 (((𝐶𝑛)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)))
12776, 126eqtrd 2793 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) = X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)))
12899a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐼 = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
129127, 128sseq12d 3925 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝐷𝑛) ⊆ 𝐼X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) ⊆ X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘))))
130124, 129mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐷𝑛) ⊆ 𝐼)
131114, 6, 115, 116, 130meassle 43468 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) ≤ ((voln‘𝑋)‘𝐼))
132 eqid 2758 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
1332, 3, 4, 25, 94, 113, 131, 132meaiuninc2 43487 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ((voln‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛)))
13496, 1, 97, 54iunhoiioo 43681 . . . . . . 7 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)) = X𝑘𝑋 ((𝐴𝑘)(,)(𝐵𝑘)))
135127iuneq2dv 4907 . . . . . . 7 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛) = 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 (((𝐴𝑘) + (1 / 𝑛))[,)(𝐵𝑘)))
136134, 135, 1003eqtr4d 2803 . . . . . 6 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛) = 𝐼)
137136eqcomd 2764 . . . . 5 (𝜑𝐼 = 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛))
138137fveq2d 6662 . . . 4 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ((voln‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛)))
139138eqcomd 2764 . . 3 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘ 𝑛 ∈ ℕ (𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘𝐼))
140133, 139breqtrd 5058 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ((voln‘𝑋)‘𝐼))
141 2fveq3 6663 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)) = ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚)))
142141cbvmptv 5135 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚)))
143142a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚))))
144 vonioolem2.n . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
145 vonioolem2.t . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) < (𝐵𝑘))
146142eqcomi 2767 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛)))
147 eqcom 2765 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝑚 = 𝑛)
148147imbi1i 353 . . . . . . . . 9 ((𝑛 = 𝑚 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘)) ↔ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘)))
149 eqcom 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘) ↔ ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶𝑛)‘𝑘))
150149imbi2i 339 . . . . . . . . 9 ((𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘)) ↔ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
151148, 150bitri 278 . . . . . . . 8 ((𝑛 = 𝑚 → ((𝐶𝑛)‘𝑘) = ((𝐶𝑚)‘𝑘)) ↔ (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
15278, 151mpbi 233 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐶𝑚)‘𝑘) = ((𝐶𝑛)‘𝑘))
153152oveq2d 7166 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑚)‘𝑘)) = ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
154153prodeq2ad 42600 . . . . 5 (𝑚 = 𝑛 → ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑚)‘𝑘)) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
155154cbvmptv 5135 . . . 4 (𝑚 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑚)‘𝑘))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − ((𝐶𝑛)‘𝑘)))
156 eqid 2758 . . . 4 inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
157 eqid 2758 . . . 4 ((⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))) + 1) = ((⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))) + 1)
158 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐵𝑗) = (𝐵𝑘))
159 fveq2 6658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
160158, 159oveq12d 7168 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗)) = ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
161160cbvmptv 5135 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
162161rneqi 5778 . . . . . . . . 9 ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))) = ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
163162infeq1i 8975 . . . . . . . 8 inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )
164163oveq2i 7161 . . . . . . 7 (1 / inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < )) = (1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))
165164fveq2i 6661 . . . . . 6 (⌊‘(1 / inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < ))) = (⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < )))
166165oveq1i 7160 . . . . 5 ((⌊‘(1 / inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < ))) + 1) = ((⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))) + 1)
167166fveq2i 6661 . . . 4 (ℤ‘((⌊‘(1 / inf(ran (𝑗𝑋 ↦ ((𝐵𝑗) − (𝐴𝑗))), ℝ, < ))) + 1)) = (ℤ‘((⌊‘(1 / inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))), ℝ, < ))) + 1))
1681, 7, 21, 144, 145, 14, 24, 146, 155, 156, 157, 167vonioolem1 43685 . . 3 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑚))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
169143, 168eqbrtrd 5054 . 2 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
170 climuni 14957 . 2 (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ((voln‘𝑋)‘𝐼) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((voln‘𝑋)‘(𝐷𝑛))) ⇝ ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘))) → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
171140, 169, 170syl2anc 587 1 (𝜑 → ((voln‘𝑋)‘𝐼) = ∏𝑘𝑋 ((𝐵𝑘) − (𝐴𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070  Vcvv 3409   ⊆ wss 3858  ∅c0 4225  ∪ ciun 4883   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  dom cdm 5524  ran crn 5525  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Xcixp 8479  Fincfn 8527  infcinf 8938  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578  ℝ*cxr 10712   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908   / cdiv 11335  ℕcn 11674  ℤ≥cuz 12282  ℝ+crp 12430  (,)cioo 12779  [,)cico 12781  ⌊cfl 13209   ⇝ cli 14889  ∏cprod 15307  Meascmea 43454  volncvoln 43543 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cc 9895  ax-ac2 9923  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653  ax-addf 10654  ax-mulf 10655 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-disj 4998  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-2o 8113  df-oadd 8116  df-omul 8117  df-er 8299  df-map 8418  df-pm 8419  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-fi 8908  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-dju 9363  df-card 9401  df-acn 9404  df-ac 9576  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-7 11742  df-8 11743  df-9 11744  df-n0 11935  df-z 12021  df-dec 12138  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-ioo 12783  df-ico 12785  df-icc 12786  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091  df-prod 15308  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-starv 16638  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-ip 16641  df-tset 16642  df-ple 16643  df-ds 16645  df-unif 16646  df-hom 16647  df-cco 16648  df-rest 16754  df-topn 16755  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-topgen 16775  df-pt 16776  df-prds 16779  df-pws 16781  df-xrs 16833  df-qtop 16838  df-imas 16839  df-xps 16841  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-mulg 18292  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-cntz 18514  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-cring 19368  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-rnghom 19538  df-drng 19572  df-field 19573  df-subrg 19601  df-abv 19656  df-staf 19684  df-srng 19685  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lmhm 19862  df-lvec 19943  df-sra 20012  df-rgmod 20013  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-cnfld 20167  df-refld 20370  df-phl 20391  df-dsmm 20497  df-frlm 20512  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-cn 21927  df-cnp 21928  df-cmp 22087  df-tx 22262  df-hmeo 22455  df-xms 23022  df-ms 23023  df-tms 23024  df-nm 23284  df-ngp 23285  df-tng 23286  df-nrg 23287  df-nlm 23288  df-cncf 23579  df-clm 23764  df-cph 23869  df-tcph 23870  df-rrx 24085  df-ovol 24164  df-vol 24165  df-salg 43317  df-sumge0 43368  df-mea 43455  df-ome 43495  df-caragen 43497  df-ovoln 43542  df-voln 43544 This theorem is referenced by:  vonioo  43687
 Copyright terms: Public domain W3C validator