Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  esumcvgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem esumcvgsum 33763
Description: The value of the extended sum when the corresponding sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
esumcvgsum.1 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐵)
esumcvgsum.2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
esumcvgsum.3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
esumcvgsum.4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿)
esumcvgsum.5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
esumcvgsum (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
Distinct variable groups:   𝑖,𝑘   𝐴,𝑖   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐿(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem esumcvgsum
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 esumcvgsum.2 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2 esumcvgsum.1 . 2 (𝑘 = 𝑖𝐴 = 𝐵)
3 simpll 765 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝜑)
4 elfznn 13560 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
54adantl 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6 esumcvgsum.3 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
73, 5, 6syl2anc 582 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
8 nnuz 12893 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
98eleq2i 2817 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
109biimpi 215 . . . . . 6 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
12 mnfxr 11299 . . . . . . . . 9 -∞ ∈ ℝ*
13 pnfxr 11296 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
14 0re 11244 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
15 mnflt 13133 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ ℝ → -∞ < 0)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . 9 -∞ < 0
17 pnfge 13140 . . . . . . . . . 10 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
1813, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9 +∞ ≤ +∞
19 icossioo 13447 . . . . . . . . 9 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (-∞(,)+∞))
2012, 13, 16, 18, 19mp4an 691 . . . . . . . 8 (0[,)+∞) ⊆ (-∞(,)+∞)
21 ioomax 13429 . . . . . . . 8 (-∞(,)+∞) = ℝ
2220, 21sseqtri 4009 . . . . . . 7 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
233, 5, 1syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2422, 23sselid 3970 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
2524recnd 11270 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
267, 11, 25fsumser 15706 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
2726mpteq2dva 5243 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)))
28 1z 12620 . . . . . . 7 1 ∈ ℤ
29 seqfn 14008 . . . . . . 7 (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ‘1)
31 fneq2 6640 . . . . . . 7 (ℕ = (ℤ‘1) → (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ‘1)))
328, 31ax-mp 5 . . . . . 6 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ‘1))
3330, 32mpbir 230 . . . . 5 seq1( + , 𝐹) Fn ℕ
34 dffn5 6951 . . . . 5 (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)))
3533, 34mpbi 229 . . . 4 seq1( + , 𝐹) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
36 seqex 13998 . . . . . 6 seq1( + , 𝐹) ∈ V
3736a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
38 esumcvgsum.5 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
39 esumcvgsum.4 . . . . 5 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿)
40 breldmg 5906 . . . . 5 ((seq1( + , 𝐹) ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4137, 38, 39, 40syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
4235, 41eqeltrrid 2830 . . 3 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ dom ⇝ )
4327, 42eqeltrd 2825 . 2 (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴) ∈ dom ⇝ )
441, 2, 43esumpcvgval 33753 1 (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463  wss 3940   class class class wbr 5143  cmpt 5226  dom cdm 5672   Fn wfn 6537  cfv 6542  (class class class)co 7415  cr 11135  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  +∞cpnf 11273  -∞cmnf 11274  *cxr 11275   < clt 11276  cle 11277  cn 12240  cz 12586  cuz 12850  (,)cioo 13354  [,)cico 13356  ...cfz 13514  seqcseq 13996  cli 15458  Σcsu 15662  Σ*cesum 33702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xadd 13123  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-ordt 17480  df-xrs 17481  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-ps 18555  df-tsr 18556  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-cring 20178  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-ntr 22940  df-nei 23018  df-cn 23147  df-haus 23235  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-tsms 24047  df-esum 33703
This theorem is referenced by:  omssubadd  33976
  Copyright terms: Public domain W3C validator