Theorem esumcvgsum 34585

Description: The value of the extended sum when the corresponding sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcvgsum.1	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
esumcvgsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
esumcvgsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
esumcvgsum.4	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿)
esumcvgsum.5	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
esumcvgsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑘   𝐴,𝑖   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐿(𝑖, 𝑘)

Proof of Theorem esumcvgsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcvgsum.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2		esumcvgsum.1	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
3		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝜑)
4		elfznn 13610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6		esumcvgsum.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
7	3, 5, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
8		nnuz 12929	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	8	eleq2i 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	bilani 510	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
11		mnfxr 11293	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		pnfxr 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		0re 11237	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		mnflt 13176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ → -∞ < 0)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ < 0
16		pnfge 13183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
17	12, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ≤ +∞
18		icossioo 13495	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (-∞(,)+∞))
19	11, 12, 15, 17, 18	mp4an 706	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (-∞(,)+∞)
20		ioomax 13477	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
21	19, 20	sseqtri 3982	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
22	3, 5, 1	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
23	21, 22	sselid 3932	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11264	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	7, 10, 24	fsumser 15818	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
26	25	mpteq2dva 5202	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)))
27		1z 12651	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		seqfn 14079	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1)
30		fneq2 6628	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ = (ℤ≥‘1) → (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1)))
31	8, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
32	29, 31	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐹) Fn ℕ
33		dffn5 6940	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)))
34	32, 33	mpbi 233	. . . 4 ⊢ seq1( + , 𝐹) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
35		seqex 14069	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
37		esumcvgsum.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
38		esumcvgsum.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿)
39		breldmg 5897	. . . . 5 ⊢ ((seq1( + , 𝐹) ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	34, 40	eqeltrrid 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ dom ⇝ )
42	26, 41	eqeltrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴) ∈ dom ⇝ )
43	1, 2, 42	esumpcvgval 34575	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130  +∞cpnf 11267  -∞cmnf 11268  ℝ^*cxr 11269   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890  (,)cioo 13400  [,)cico 13402  ...cfz 13563  seqcseq 14067   ⇝ cli 15573  Σcsu 15775  Σ^*cesum 34524

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-fi 9384  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xadd 13166  df-ioo 13404  df-ioc 13405  df-ico 13406  df-icc 13407  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-hash 14397  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-rest 17511  df-topn 17512  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-topgen 17532  df-ordt 17591  df-xrs 17592  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-ps 18658  df-tsr 18659  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-fbas 21583  df-fg 21584  df-cnfld 21587  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159  df-bases 23172  df-ntr 23246  df-nei 23324  df-cn 23453  df-haus 23541  df-fil 24073  df-fm 24165  df-flim 24166  df-flf 24167  df-tsms 24354  df-esum 34525

This theorem is used by:  omssubadd  34798