Theorem esumcvgsum 34444

Description: The value of the extended sum when the corresponding sum is convergent. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
esumcvgsum.1	⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
esumcvgsum.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
esumcvgsum.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
esumcvgsum.4	⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿)
esumcvgsum.5	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
esumcvgsum	⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)

Distinct variable groups:   𝑖,𝑘   𝐴,𝑖   𝐵,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑖)   𝐹(𝑖)   𝐿(𝑖,𝑘)

Proof of Theorem esumcvgsum

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		esumcvgsum.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
2		esumcvgsum.1	. 2 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → 𝐴 = 𝐵)
3		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝜑)
4		elfznn 13580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (1...𝑗) → 𝑘 ∈ ℕ)
5	4	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
6		esumcvgsum.3	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
7	3, 5, 6	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) = 𝐴)
8		nnuz 12900	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
9	8	eleq2i 2853	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
10	9	bilani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
11		mnfxr 11265	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
12		pnfxr 11262	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		0re 11209	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
14		mnflt 13147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ → -∞ < 0)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ -∞ < 0
16		pnfge 13154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
17	12, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ≤ +∞
18		icossioo 13466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 0 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (0[,)+∞) ⊆ (-∞(,)+∞))
19	11, 12, 15, 17, 18	mp4an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ (-∞(,)+∞)
20		ioomax 13448	. . . . . . . 8 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
21	19, 20	sseqtri 3984	. . . . . . 7 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
22	3, 5, 1	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ (0[,)+∞))
23	21, 22	sselid 3934	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℝ)
24	23	recnd 11236	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (1...𝑗)) → 𝐴 ∈ ℂ)
25	7, 10, 24	fsumser 15780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴 = (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
26	25	mpteq2dva 5203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)))
27		1z 12623	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℤ
28		seqfn 14048	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℤ → seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
29	27, 28	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1)
30		fneq2 6627	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ = (ℤ≥‘1) → (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1)))
31	8, 30	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) Fn (ℤ≥‘1))
32	29, 31	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ seq1( + , 𝐹) Fn ℕ
33		dffn5 6939	. . . . 5 ⊢ (seq1( + , 𝐹) Fn ℕ ↔ seq1( + , 𝐹) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)))
34	32, 33	mpbi 233	. . . 4 ⊢ seq1( + , 𝐹) = (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗))
35		seqex 14038	. . . . . 6 ⊢ seq1( + , 𝐹) ∈ V
36	35	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ V)
37		esumcvgsum.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
38		esumcvgsum.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿)
39		breldmg 5899	. . . . 5 ⊢ ((seq1( + , 𝐹) ∈ V ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ seq1( + , 𝐹) ⇝ 𝐿) → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
41	34, 40	eqeltrrid 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ (seq1( + , 𝐹)‘𝑗)) ∈ dom ⇝ )
42	26, 41	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ ℕ ↦ Σ𝑘 ∈ (1...𝑗)𝐴) ∈ dom ⇝ )
43	1, 2, 42	esumpcvgval 34434	1 ⊢ (𝜑 → Σ*𝑘 ∈ ℕ𝐴 = Σ𝑘 ∈ ℕ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5661   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102  +∞cpnf 11239  -∞cmnf 11240  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242   ≤ cle 11243  ℕcn 12232  ℤcz 12590  ℤ_≥cuz 12861  (,)cioo 13371  [,)cico 13373  ...cfz 13534  seqcseq 14036   ⇝ cli 15534  Σcsu 15736  Σ^*cesum 34383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9609  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177  ax-addf 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-2o 8453  df-er 8693  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-fsupp 9321  df-fi 9370  df-sup 9401  df-inf 9402  df-oi 9471  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-n0 12504  df-z 12591  df-dec 12711  df-uz 12862  df-q 12972  df-rp 13016  df-xadd 13137  df-ioo 13375  df-ioc 13376  df-ico 13377  df-icc 13378  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-fl 13824  df-seq 14037  df-exp 14097  df-hash 14366  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-clim 15538  df-rlim 15539  df-sum 15737  df-struct 17206  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-mulr 17323  df-starv 17324  df-tset 17328  df-ple 17329  df-ds 17331  df-unif 17332  df-rest 17474  df-topn 17475  df-0g 17493  df-gsum 17494  df-topgen 17495  df-ordt 17554  df-xrs 17555  df-mre 17637  df-mrc 17638  df-acs 17640  df-ps 18621  df-tsr 18622  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-submnd 18841  df-grp 19002  df-minusg 19003  df-cntz 19386  df-cmn 19851  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-ur 20263  df-ring 20316  df-cring 20317  df-fbas 21498  df-fg 21499  df-cnfld 21502  df-top 23030  df-topon 23047  df-topsp 23069  df-bases 23082  df-ntr 23156  df-nei 23234  df-cn 23363  df-haus 23451  df-fil 23982  df-fm 24074  df-flim 24075  df-flf 24076  df-tsms 24263  df-esum 34384

This theorem is referenced by:  omssubadd  34656