Theorem dya2icoseg 34437

Description: For any point and any closed-below, open-above interval of ℝ centered on that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2icoseg.1	⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dya2icoseg	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝐷,𝑏   𝐼,𝑏,𝑥   𝑁,𝑏,𝑥   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7393	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8016	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn (ℤ × ℤ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐼 Fn (ℤ × ℤ))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		2rp 12938	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		dya2icoseg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))
8		1red 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
9		2z 12550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
10		uzid 12794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		relogbzcl 26751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 13	resubcld 11569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 − (2 logb 𝐷)) ∈ ℝ)
15	14	flcld 13748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))) ∈ ℤ)
16	7, 15	eqeltrid 2841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℤ)
17		rpexpcl 14033	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12977	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
19	6, 16, 18	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
21	5, 20	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
22	21	flcld 13748	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
23	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		fnovrn 7535	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn (ℤ × ℤ) ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
26	22	zred 12624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
27	6, 23, 17	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
28		fllelt 13747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
29	21, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
30	29	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)))
31	26, 21, 27, 30	lediv1dd 13035	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
32	5	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
33	20	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
34		2cnd 12250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
35		2ne0 12276	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
37	34, 36, 23	expne0d 14105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	32, 33, 37	divcan4d 11928	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) = 𝑋)
39	31, 38	breqtrd 5112	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋)
40		1red 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
41	26, 40	readdcld 11165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ∈ ℝ)
42	29	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1))
43	21, 41, 27, 42	ltdiv1dd 13034	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
44	38, 43	eqbrtrrd 5110	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
45	26, 20, 37	redivcld 11974	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
46	41, 20, 37	redivcld 11974	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11186	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
48		elico2 13354	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
49	45, 47, 48	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
50	5, 39, 44, 49	mpbir3and 1344	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
51		sxbrsiga.0	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
52	51, 1	dya2iocival 34433	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
53	23, 22, 52	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
54	50, 53	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
56	55	rpred 12977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
57	5, 56	resubcld 11569	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ)
58	57	rexrd 11186	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ*)
59	5, 56	readdcld 11165	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 11186	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*)
61	20, 37	rereccld 11973	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
62	5, 61	resubcld 11569	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
63	7	oveq2i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))
64	63	oveq2i 7371	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2↑𝑁)) = (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))))
65		dya2ub 34430	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
66	65	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
67	64, 66	eqbrtrid 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) < 𝐷)
68	61, 56, 5, 67	ltsub2dd 11754	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
69	32, 33	mulcld 11156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70, 33, 37	divsubdird 11961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))))
72	38	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
73	71, 72	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
74	21, 40	resubcld 11569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ∈ ℝ)
75	21, 41, 40, 42	ltsub1dd 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1))
76	26	recnd 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
77	76, 70	pncand 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
78	75, 77	breqtrd 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
79	74, 26, 78	ltled 11285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ≤ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
80	74, 26, 27, 79	lediv1dd 13035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
81	73, 80	eqbrtrrd 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
82	57, 62, 45, 68, 81	ltletrd 11297	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
83	5, 61	readdcld 11165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
84	21, 40	readdcld 11165	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
85	26, 21, 40, 30	leadd1dd 11755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1))
86	41, 84, 27, 85	lediv1dd 13035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)))
87	69, 70, 33, 37	divdird 11960	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))))
88	38	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
89	87, 88	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
90	86, 89	breqtrd 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
91	61, 56, 5, 67	ltadd2dd 11296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) < (𝑋 + 𝐷))
92	46, 83, 59, 90, 91	lelttrd 11295	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) < (𝑋 + 𝐷))
93	46, 59, 92	ltled 11285	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))
94		icossioo 13384	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
95	58, 60, 82, 93, 94	syl22anc 839	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
96	53, 95	eqsstrd 3957	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
97		eleq2 2826	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁)))
98		sseq1 3948	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)) ↔ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
99	97, 98	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))) ↔ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))))
100	99	rspcev 3565	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼 ∧ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
101	25, 54, 96, 100	syl12anc 837	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ran crn 5625   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  2c2 12227  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  [,)cico 13291  ⌊cfl 13740  ↑cexp 14014  topGenctg 17391   log_b clogb 26741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-cxp 26534  df-logb 26742

This theorem is referenced by:  dya2icoseg2  34438