Theorem dya2icoseg 34247

Description: For any point and any closed-below, open-above interval of ℝ centered on that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2icoseg.1	⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dya2icoseg	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝐷,𝑏   𝐼,𝑏,𝑥   𝑁,𝑏,𝑥   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8012	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn (ℤ × ℤ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐼 Fn (ℤ × ℤ))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		2rp 12916	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		dya2icoseg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))
8		1red 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
9		2z 12525	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
10		uzid 12768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		relogbzcl 26700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 13	resubcld 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 − (2 logb 𝐷)) ∈ ℝ)
15	14	flcld 13720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))) ∈ ℤ)
16	7, 15	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℤ)
17		rpexpcl 14005	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12955	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
19	6, 16, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
21	5, 20	remulcld 11164	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
22	21	flcld 13720	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
23	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		fnovrn 7528	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn (ℤ × ℤ) ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
26	22	zred 12598	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
27	6, 23, 17	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
28		fllelt 13719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
29	21, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
30	29	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)))
31	26, 21, 27, 30	lediv1dd 13013	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
32	5	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
33	20	recnd 11162	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
34		2cnd 12224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
35		2ne0 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
37	34, 36, 23	expne0d 14077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	32, 33, 37	divcan4d 11924	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) = 𝑋)
39	31, 38	breqtrd 5121	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋)
40		1red 11135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
41	26, 40	readdcld 11163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ∈ ℝ)
42	29	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1))
43	21, 41, 27, 42	ltdiv1dd 13012	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
44	38, 43	eqbrtrrd 5119	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
45	26, 20, 37	redivcld 11970	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
46	41, 20, 37	redivcld 11970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
48		elico2 13331	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
50	5, 39, 44, 49	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
51		sxbrsiga.0	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
52	51, 1	dya2iocival 34243	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
53	23, 22, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
54	50, 53	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
56	55	rpred 12955	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
57	5, 56	resubcld 11566	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ)
58	57	rexrd 11184	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ*)
59	5, 56	readdcld 11163	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 11184	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*)
61	20, 37	rereccld 11969	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
62	5, 61	resubcld 11566	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
63	7	oveq2i 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))
64	63	oveq2i 7364	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2↑𝑁)) = (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))))
65		dya2ub 34240	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
66	65	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
67	64, 66	eqbrtrid 5130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) < 𝐷)
68	61, 56, 5, 67	ltsub2dd 11751	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
69	32, 33	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70, 33, 37	divsubdird 11957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))))
72	38	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
73	71, 72	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
74	21, 40	resubcld 11566	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ∈ ℝ)
75	21, 41, 40, 42	ltsub1dd 11750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1))
76	26	recnd 11162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
77	76, 70	pncand 11494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
78	75, 77	breqtrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
79	74, 26, 78	ltled 11282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ≤ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
80	74, 26, 27, 79	lediv1dd 13013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
81	73, 80	eqbrtrrd 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
82	57, 62, 45, 68, 81	ltletrd 11294	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
83	5, 61	readdcld 11163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
84	21, 40	readdcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
85	26, 21, 40, 30	leadd1dd 11752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1))
86	41, 84, 27, 85	lediv1dd 13013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)))
87	69, 70, 33, 37	divdird 11956	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))))
88	38	oveq1d 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
89	87, 88	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
90	86, 89	breqtrd 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
91	61, 56, 5, 67	ltadd2dd 11293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) < (𝑋 + 𝐷))
92	46, 83, 59, 90, 91	lelttrd 11292	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) < (𝑋 + 𝐷))
93	46, 59, 92	ltled 11282	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))
94		icossioo 13361	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
95	58, 60, 82, 93, 94	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
96	53, 95	eqsstrd 3972	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
97		eleq2 2817	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁)))
98		sseq1 3963	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)) ↔ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
99	97, 98	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))) ↔ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))))
100	99	rspcev 3579	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼 ∧ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
101	25, 54, 96, 100	syl12anc 836	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3905   class class class wbr 5095   × cxp 5621  ran crn 5624   Fn wfn 6481  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∈ cmpo 7355  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  2c2 12201  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12911  (,)cioo 13266  [,)cico 13268  ⌊cfl 13712  ↑cexp 13986  topGenctg 17359   log_b clogb 26690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-cxp 26482  df-logb 26691

This theorem is referenced by:  dya2icoseg2  34248