Theorem dya2icoseg 30880

Description: For any point and any closed-below, open-above interval of ℝ centered on that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2icoseg.1	⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dya2icoseg	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝐷,𝑏   𝐼,𝑏,𝑥   𝑁,𝑏,𝑥   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 6942	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	fnmpt2i 7507	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn (ℤ × ℤ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐼 Fn (ℤ × ℤ))
5		simpl 476	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		2rp 12124	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		dya2icoseg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))
8		1red 10364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
9		2z 11744	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
10		uzid 11990	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		relogbzcl 24921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 13	resubcld 10789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 − (2 logb 𝐷)) ∈ ℝ)
15	14	flcld 12901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))) ∈ ℤ)
16	7, 15	syl5eqel 2910	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℤ)
17		rpexpcl 13180	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12163	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
19	6, 16, 18	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 475	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
21	5, 20	remulcld 10394	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
22	21	flcld 12901	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
23	16	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		fnovrn 7074	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn (ℤ × ℤ) ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1494	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
26	22	zred 11817	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
27	6, 23, 17	sylancr 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
28		fllelt 12900	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
29	21, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
30	29	simpld 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)))
31	26, 21, 27, 30	lediv1dd 12221	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
32	5	recnd 10392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
33	20	recnd 10392	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
34		2cnd 11436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
35		2ne0 11469	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
37	34, 36, 23	expne0d 13315	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	32, 33, 37	divcan4d 11140	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) = 𝑋)
39	31, 38	breqtrd 4901	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋)
40		1red 10364	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
41	26, 40	readdcld 10393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ∈ ℝ)
42	29	simprd 491	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1))
43	21, 41, 27, 42	ltdiv1dd 12220	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
44	38, 43	eqbrtrrd 4899	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
45	26, 20, 37	redivcld 11186	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
46	41, 20, 37	redivcld 11186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 10413	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
48		elico2 12532	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
49	45, 47, 48	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
50	5, 39, 44, 49	mpbir3and 1446	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
51		sxbrsiga.0	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
52	51, 1	dya2iocival 30876	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
53	23, 22, 52	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
54	50, 53	eleqtrrd 2909	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁))
55		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
56	55	rpred 12163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
57	5, 56	resubcld 10789	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ)
58	57	rexrd 10413	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ*)
59	5, 56	readdcld 10393	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 10413	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*)
61	20, 37	rereccld 11185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
62	5, 61	resubcld 10789	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
63	7	oveq2i 6921	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))
64	63	oveq2i 6921	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2↑𝑁)) = (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))))
65		dya2ub 30873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
66	65	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
67	64, 66	syl5eqbr 4910	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) < 𝐷)
68	61, 56, 5, 67	ltsub2dd 10972	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
69	32, 33	mulcld 10384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70		1cnd 10358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70, 33, 37	divsubdird 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))))
72	38	oveq1d 6925	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
73	71, 72	eqtrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
74	21, 40	resubcld 10789	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ∈ ℝ)
75	21, 41, 40, 42	ltsub1dd 10971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1))
76	26	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
77	76, 70	pncand 10721	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
78	75, 77	breqtrd 4901	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
79	74, 26, 78	ltled 10511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ≤ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
80	74, 26, 27, 79	lediv1dd 12221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
81	73, 80	eqbrtrrd 4899	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
82	57, 62, 45, 68, 81	ltletrd 10523	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
83	5, 61	readdcld 10393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
84	21, 40	readdcld 10393	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
85	26, 21, 40, 30	leadd1dd 10973	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1))
86	41, 84, 27, 85	lediv1dd 12221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)))
87	69, 70, 33, 37	divdird 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))))
88	38	oveq1d 6925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
89	87, 88	eqtrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
90	86, 89	breqtrd 4901	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
91	61, 56, 5, 67	ltadd2dd 10522	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) < (𝑋 + 𝐷))
92	46, 83, 59, 90, 91	lelttrd 10521	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) < (𝑋 + 𝐷))
93	46, 59, 92	ltled 10511	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))
94		icossioo 12560	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
95	58, 60, 82, 93, 94	syl22anc 872	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
96	53, 95	eqsstrd 3864	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
97		eleq2 2895	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁)))
98		sseq1 3851	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)) ↔ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
99	97, 98	anbi12d 624	. . 3 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))) ↔ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))))
100	99	rspcev 3526	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼 ∧ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
101	25, 54, 96, 100	syl12anc 870	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∃wrex 3118   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875   × cxp 5344  ran crn 5347   Fn wfn 6122  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↦ cmpt2 6912  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  ℝ^*cxr 10397   < clt 10398   ≤ cle 10399   − cmin 10592   / cdiv 11016  2c2 11413  ℤcz 11711  ℤ_≥cuz 11975  ℝ⁺crp 12119  (,)cioo 12470  [,)cico 12472  ⌊cfl 12893  ↑cexp 13161  topGenctg 16458   log_b clogb 24911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-pi 15182  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037  df-log 24709  df-cxp 24710  df-logb 24912

This theorem is referenced by:  dya2icoseg2  30881