Theorem dya2icoseg 34241

Description: For any point and any closed-below, open-above interval of ℝ centered on that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2icoseg.1	⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dya2icoseg	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝐷,𝑏   𝐼,𝑏,𝑥   𝑁,𝑏,𝑥   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7402	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8028	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn (ℤ × ℤ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐼 Fn (ℤ × ℤ))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		2rp 12932	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		dya2icoseg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))
8		1red 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
9		2z 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
10		uzid 12784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		relogbzcl 26660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 13	resubcld 11582	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 − (2 logb 𝐷)) ∈ ℝ)
15	14	flcld 13736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))) ∈ ℤ)
16	7, 15	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℤ)
17		rpexpcl 14021	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12971	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
19	6, 16, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
21	5, 20	remulcld 11180	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
22	21	flcld 13736	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
23	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		fnovrn 7544	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn (ℤ × ℤ) ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
26	22	zred 12614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
27	6, 23, 17	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
28		fllelt 13735	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
29	21, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
30	29	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)))
31	26, 21, 27, 30	lediv1dd 13029	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
32	5	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
33	20	recnd 11178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
34		2cnd 12240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
35		2ne0 12266	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
37	34, 36, 23	expne0d 14093	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	32, 33, 37	divcan4d 11940	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) = 𝑋)
39	31, 38	breqtrd 5128	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋)
40		1red 11151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
41	26, 40	readdcld 11179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ∈ ℝ)
42	29	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1))
43	21, 41, 27, 42	ltdiv1dd 13028	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
44	38, 43	eqbrtrrd 5126	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
45	26, 20, 37	redivcld 11986	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
46	41, 20, 37	redivcld 11986	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11200	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
48		elico2 13347	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
50	5, 39, 44, 49	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
51		sxbrsiga.0	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
52	51, 1	dya2iocival 34237	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
53	23, 22, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
54	50, 53	eleqtrrd 2831	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
56	55	rpred 12971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
57	5, 56	resubcld 11582	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ)
58	57	rexrd 11200	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ*)
59	5, 56	readdcld 11179	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 11200	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*)
61	20, 37	rereccld 11985	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
62	5, 61	resubcld 11582	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
63	7	oveq2i 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))
64	63	oveq2i 7380	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2↑𝑁)) = (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))))
65		dya2ub 34234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
66	65	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
67	64, 66	eqbrtrid 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) < 𝐷)
68	61, 56, 5, 67	ltsub2dd 11767	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
69	32, 33	mulcld 11170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70, 33, 37	divsubdird 11973	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))))
72	38	oveq1d 7384	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
73	71, 72	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
74	21, 40	resubcld 11582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ∈ ℝ)
75	21, 41, 40, 42	ltsub1dd 11766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1))
76	26	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
77	76, 70	pncand 11510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
78	75, 77	breqtrd 5128	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
79	74, 26, 78	ltled 11298	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ≤ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
80	74, 26, 27, 79	lediv1dd 13029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
81	73, 80	eqbrtrrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
82	57, 62, 45, 68, 81	ltletrd 11310	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
83	5, 61	readdcld 11179	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
84	21, 40	readdcld 11179	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
85	26, 21, 40, 30	leadd1dd 11768	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1))
86	41, 84, 27, 85	lediv1dd 13029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)))
87	69, 70, 33, 37	divdird 11972	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))))
88	38	oveq1d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
89	87, 88	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
90	86, 89	breqtrd 5128	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
91	61, 56, 5, 67	ltadd2dd 11309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) < (𝑋 + 𝐷))
92	46, 83, 59, 90, 91	lelttrd 11308	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) < (𝑋 + 𝐷))
93	46, 59, 92	ltled 11298	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))
94		icossioo 13377	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
95	58, 60, 82, 93, 94	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
96	53, 95	eqsstrd 3978	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
97		eleq2 2817	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁)))
98		sseq1 3969	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)) ↔ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
99	97, 98	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))) ↔ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))))
100	99	rspcev 3585	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼 ∧ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
101	25, 54, 96, 100	syl12anc 836	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   × cxp 5629  ran crn 5632   Fn wfn 6494  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∈ cmpo 7371  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  2c2 12217  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ℝ⁺crp 12927  (,)cioo 13282  [,)cico 13284  ⌊cfl 13728  ↑cexp 14002  topGenctg 17376   log_b clogb 26650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19225  df-cmn 19688  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22757  df-topon 22774  df-topsp 22796  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999  df-perf 23000  df-cn 23090  df-cnp 23091  df-haus 23178  df-tx 23425  df-hmeo 23618  df-fil 23709  df-fm 23801  df-flim 23802  df-flf 23803  df-xms 24184  df-ms 24185  df-tms 24186  df-cncf 24747  df-limc 25743  df-dv 25744  df-log 26441  df-cxp 26442  df-logb 26651

This theorem is referenced by:  dya2icoseg2  34242