Theorem dya2icoseg 34362

Description: For any point and any closed-below, open-above interval of ℝ centered on that point, there is a closed-below open-above dyadic rational interval which contains that point and is included in the original interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
dya2ioc.1	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
dya2icoseg.1	⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))

Assertion

Ref	Expression
dya2icoseg	⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛   𝑥,𝐼   𝐷,𝑏   𝐼,𝑏,𝑥   𝑁,𝑏,𝑥   𝑋,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑥,𝑛)   𝐼(𝑛)   𝐽(𝑥,𝑛,𝑏)   𝑁(𝑛)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem dya2icoseg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dya2ioc.1	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑛 ∈ ℤ ↦ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))))
2		ovex 7388	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 / (2↑𝑛))[,)((𝑥 + 1) / (2↑𝑛))) ∈ V
3	1, 2	fnmpoi 8011	. . . 4 ⊢ 𝐼 Fn (ℤ × ℤ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐼 Fn (ℤ × ℤ))
5		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		2rp 12901	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ+
7		dya2icoseg.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))
8		1red 11124	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
9		2z 12514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℤ
10		uzid 12757	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
12		relogbzcl 26731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
13	11, 12	mpan 690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝐷) ∈ ℝ)
14	8, 13	resubcld 11556	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 − (2 logb 𝐷)) ∈ ℝ)
15	14	flcld 13709	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))) ∈ ℤ)
16	7, 15	eqeltrid 2837	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → 𝑁 ∈ ℤ)
17		rpexpcl 13994	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
18	17	rpred 12940	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
19	6, 16, 18	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ)
21	5, 20	remulcld 11153	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
22	21	flcld 13709	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ)
23	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
24		fnovrn 7530	. . 3 ⊢ ((𝐼 Fn (ℤ × ℤ) ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼)
26	22	zred 12587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
27	6, 23, 17	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℝ+)
28		fllelt 13708	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
29	21, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)) ∧ (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1)))
30	29	simpld 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ≤ (𝑋 · (2↑𝑁)))
31	26, 21, 27, 30	lediv1dd 12998	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)))
32	5	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℂ)
33	20	recnd 11151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ∈ ℂ)
34		2cnd 12214	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
35		2ne0 12240	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
36	35	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
37	34, 36, 23	expne0d 14066	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (2↑𝑁) ≠ 0)
38	32, 33, 37	divcan4d 11914	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) = 𝑋)
39	31, 38	breqtrd 5121	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋)
40		1red 11124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℝ)
41	26, 40	readdcld 11152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ∈ ℝ)
42	29	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1))
43	21, 41, 27, 42	ltdiv1dd 12997	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
44	38, 43	eqbrtrrd 5119	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))
45	26, 20, 37	redivcld 11960	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
46	41, 20, 37	redivcld 11960	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11173	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*)
48		elico2 13317	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
49	45, 47, 48	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)))))
50	5, 39, 44, 49	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
51		sxbrsiga.0	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
52	51, 1	dya2iocival 34358	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℤ) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
53	23, 22, 52	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) = (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))))
54	50, 53	eleqtrrd 2836	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁))
55		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
56	55	rpred 12940	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ)
57	5, 56	resubcld 11556	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ)
58	57	rexrd 11173	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ*)
59	5, 56	readdcld 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 11173	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*)
61	20, 37	rereccld 11959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
62	5, 61	resubcld 11556	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
63	7	oveq2i 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))
64	63	oveq2i 7366	. . . . . . 7 ⊢ (1 / (2↑𝑁)) = (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷)))))
65		dya2ub 34355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
66	65	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝐷))))) < 𝐷)
67	64, 66	eqbrtrid 5130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (1 / (2↑𝑁)) < 𝐷)
68	61, 56, 5, 67	ltsub2dd 11741	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
69	32, 33	mulcld 11143	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
70		1cnd 11118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
71	69, 70, 33, 37	divsubdird 11947	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))))
72	38	oveq1d 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) − (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
73	71, 72	eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))))
74	21, 40	resubcld 11556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ∈ ℝ)
75	21, 41, 40, 42	ltsub1dd 11740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1))
76	26	recnd 11151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) ∈ ℂ)
77	76, 70	pncand 11484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) − 1) = (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
78	75, 77	breqtrd 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) < (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
79	74, 26, 78	ltled 11272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) ≤ (⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))))
80	74, 26, 27, 79	lediv1dd 12998	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) − 1) / (2↑𝑁)) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
81	73, 80	eqbrtrrd 5119	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − (1 / (2↑𝑁))) ≤ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
82	57, 62, 45, 68, 81	ltletrd 11284	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)))
83	5, 61	readdcld 11152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) ∈ ℝ)
84	21, 40	readdcld 11152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℝ)
85	26, 21, 40, 30	leadd1dd 11742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) ≤ ((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1))
86	41, 84, 27, 85	lediv1dd 12998	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)))
87	69, 70, 33, 37	divdird 11946	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))))
88	38	oveq1d 7370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) / (2↑𝑁)) + (1 / (2↑𝑁))) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
89	87, 88	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((𝑋 · (2↑𝑁)) + 1) / (2↑𝑁)) = (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
90	86, 89	breqtrd 5121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))))
91	61, 56, 5, 67	ltadd2dd 11283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (𝑋 + (1 / (2↑𝑁))) < (𝑋 + 𝐷))
92	46, 83, 59, 90, 91	lelttrd 11282	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) < (𝑋 + 𝐷))
93	46, 59, 92	ltled 11272	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))
94		icossioo 13347	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 − 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝑋 + 𝐷) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑋 − 𝐷) < ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁)) ∧ (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁)) ≤ (𝑋 + 𝐷))) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
95	58, 60, 82, 93, 94	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → (((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) / (2↑𝑁))[,)(((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁))) + 1) / (2↑𝑁))) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
96	53, 95	eqsstrd 3965	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))
97		eleq2 2822	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑋 ∈ 𝑏 ↔ 𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁)))
98		sseq1 3956	. . . 4 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → (𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)) ↔ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
99	97, 98	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝑏 = ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) → ((𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))) ↔ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))))
100	99	rspcev 3573	. 2 ⊢ ((((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∈ ran 𝐼 ∧ (𝑋 ∈ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ∧ ((⌊‘(𝑋 · (2↑𝑁)))𝐼𝑁) ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷)))) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))
101	25, 54, 96, 100	syl12anc 836	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ran 𝐼(𝑋 ∈ 𝑏 ∧ 𝑏 ⊆ ((𝑋 − 𝐷)(,)(𝑋 + 𝐷))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5095   × cxp 5619  ran crn 5622   Fn wfn 6484  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∈ cmpo 7357  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355   / cdiv 11785  2c2 12191  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ℝ⁺crp 12896  (,)cioo 13252  [,)cico 13254  ⌊cfl 13701  ↑cexp 13975  topGenctg 17348   log_b clogb 26721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-pi 15986  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815  df-log 26512  df-cxp 26513  df-logb 26722

This theorem is referenced by:  dya2icoseg2  34363