Theorem signsply0 34745

Description: Lemma for the rule of signs, based on Bolzano's intermediate value theorem for polynomials : If the lowest and highest coefficient 𝐴 and 𝐵 are of opposite signs, the polynomial admits a positive root. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsply0.d	⊢ 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c	⊢ 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘𝐷)
signsply0.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘0)
signsply0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
signsply0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
signsply0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
signsply0	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem signsply0

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
3		rpxr 12947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ*)
4	3	xrleidd 13098	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ≤ 𝑑)
5	4	ad2antlr 734	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ+)
7		simpr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → 𝑓 = 𝑑)
8	7	breq2d 5086	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝑑 ≤ 𝑓 ↔ 𝑑 ≤ 𝑑))
9	7	fveq2d 6834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝐹‘𝑓) = (𝐹‘𝑑))
10	7	oveq1d 7374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝑓↑𝐷) = (𝑑↑𝐷))
11	9, 10	oveq12d 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) = ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
12	11	fvoveq1d 7381	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) = (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)))
13	12	breq1d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
14	8, 13	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) ↔ (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
15	6, 14	rspcdv 3553	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
16	1, 2, 5, 15	syl3c 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)
17		signsply0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
18	17	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
19		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
21	18, 20	plyrecld 34743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑑) ∈ ℝ)
22		signsply0.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (deg‘𝐹)
23		dgrcl 26219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
25	22, 24	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
26	25	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
27	20, 26	reexpcld 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
28	19	rpcnd 12983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
29	19	rpne0d 12986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
30	25	nn0zd 12544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
32	28, 29, 31	expne0d 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ≠ 0)
33	21, 27, 32	redivcld 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
34		signsply0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘𝐷)
35		0re 11142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		signsply0.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (coeff‘𝐹)
37	36	coef2 26217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
38	35, 37	mpan2 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
39	38	ffvelcdmda 7028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶‘𝐷) ∈ ℝ)
40	34, 39	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
41	17, 25, 40	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
42	41	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	42	renegcld 11573	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ)
44	33, 42, 43	absdifltd 15393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ ((𝐵 − -𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))))
45	44	simplbda 501	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))
46	41	recnd 11169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	47	negidd 11491	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
49	48	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
50	45, 49	breqtrd 5100	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0)
51	19, 31	rpexpcld 14204	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
52	21, 51	ge0divd 13019	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
53	52	notbid 320	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (¬ 0 ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
54		0red 11143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
55	21, 54	ltnled 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐹‘𝑑)))
56	33, 54	ltnled 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
57	53, 55, 56	3bitr4d 313	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
58	57	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
59	50, 58	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐹‘𝑑) < 0)
60	16, 59	syldan 598	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (𝐹‘𝑑) < 0)
61		0red 11143	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 ∈ ℝ)
62		simplr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ+)
63	62	rpred 12981	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ)
64	62	rpgt0d 12984	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < 𝑑)
65		iccssre 13377	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
66	35, 63, 65	sylancr 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
67		ax-resscn 11091	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
68	66, 67	sstrdi 3928	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
69		plycn 26247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
70	17, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71	70	ad3antrrr 737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72	17	ad4antr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
73	66	sselda 3916	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	72, 73	plyrecld 34743	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
75		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (𝐹‘𝑑) < 0)
76		simplll 781	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝜑)
77	76, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ+)
79	78	ad2antrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
80		negelrp 12972	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
81	80	biimpa 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 < 0)
82	77, 79, 81	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐵 < 0)
83		signsply0.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘0)
84	17, 35, 37	sylancl 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
85		0nn0 12447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
87	84, 86	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
88	83, 87	eqeltrid 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
89		signsply0.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
90	88, 41, 89	mul2lt0rlt0 13041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
91	90, 83	breqtrdi 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < (𝐶‘0))
92	76, 82, 91	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < (𝐶‘0))
93	36	coefv0 26234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
94	17, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
95	94	ad3antrrr 737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
96	92, 95	breqtrrd 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < (𝐹‘0))
97	75, 96	jca 517	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘0)))
98	61, 63, 61, 64, 68, 71, 74, 97	ivth2 25443	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0)
99		0le0 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
100		pnfge 13076	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ* → 𝑑 ≤ +∞)
101	3, 100	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ≤ +∞)
102		0xr 11188	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
103		pnfxr 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
104		ioossioo 13389	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
105	102, 103, 104	mpanl12 709	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
106	99, 101, 105	sylancr 594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
107		ioorp 13373	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
108	106, 107	sseqtrdi 3956	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ ℝ+)
109		ssrexv 3986	. . . . . 6 ⊢ ((0(,)𝑑) ⊆ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
110	62, 108, 109	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
111	98, 110	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
112	60, 111	syldan 598	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
113		plyf 26184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
114	17, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
115	114	ffnd 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
116		ovex 7392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥↑𝐷) ∈ V
117	116	rgenw 3059	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥↑𝐷) ∈ V
118		eqid 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))
119	118	fnmpt 6628	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥↑𝐷) ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) Fn ℝ+)
120	117, 119	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) Fn ℝ+)
121		cnex 11115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
123		rpssre 12945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
124	123, 67	sstri 3925	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
125	121, 124	ssexi 5252	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ V
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ V)
127		sseqin2 4154	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
128	124, 127	mpbi 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
129		eqidd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑓) = (𝐹‘𝑓))
130		eqidd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)))
131		simpr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → 𝑥 = 𝑓)
132	131	oveq1d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → (𝑥↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
133		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℝ+)
134		ovexd 7394	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ∈ V)
135	130, 132, 133, 134	fvmptd 6946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))‘𝑓) = (𝑓↑𝐷))
136	115, 120, 122, 126, 128, 129, 135	offval 7632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))))
137		oveq1 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
138	137	cbvmptv 5178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (𝑓↑𝐷))
139	22, 36, 34, 138	signsplypnf 34744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
140	17, 139	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
141	136, 140	eqbrtrrd 5098	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
142	114	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
143	133	rpcnd 12983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℂ)
144	142, 143	ffvelcdmd 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑓) ∈ ℂ)
145	25	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
146	143, 145	expcld 14103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ∈ ℂ)
147	133	rpne0d 12986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ≠ 0)
148	30	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
149	143, 147, 148	expne0d 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ≠ 0)
150	144, 146, 149	divcld 11926	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) ∈ ℂ)
151	150	ralrimiva 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) ∈ ℂ)
152	123	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
153		1red 11141	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154	151, 152, 46, 153	rlim3 15455	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
155	141, 154	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
156		0lt1 11668	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
157		pnfge 13076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
158	103, 157	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ≤ +∞
159		icossioo 13388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 1 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
160	102, 103, 156, 158, 159	mp4an 700	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
161	160, 107	sseqtri 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
162		ssrexv 3986	. . . . . . . 8 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
163	161, 162	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
164	163	ralimi 3078	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
165	155, 164	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
166	165	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
167		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → 𝑒 = -𝐵)
168	167	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
169	168	imbi2d 342	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
170	169	rexralbidv 3207	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
171	78, 170	rspcdv 3553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
172	166, 171	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
173	112, 172	r19.29a 3149	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
174		simplr 775	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
175		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
176	4	ad2antlr 734	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
177	12	breq1d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
178	8, 177	imbi12d 346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) ↔ (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
179	6, 178	rspcdv 3553	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
180	174, 175, 176, 179	syl3c 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)
181	46	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
182	181	subidd 11489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
183	182	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
184	17	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
185	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ+ ⊆ ℝ)
186	185	sselda 3916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
187	184, 186	plyrecld 34743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑑) ∈ ℝ)
188	25	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
189	186, 188	reexpcld 14120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
190	186	recnd 11169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
191		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
192	191	rpne0d 12986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
193	30	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
194	190, 192, 193	expne0d 14109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ≠ 0)
195	187, 189, 194	redivcld 11978	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
196	41	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
197	195, 196, 196	absdifltd 15393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((𝐵 − 𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + 𝐵))))
198	197	simprbda 500	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
199	183, 198	eqbrtrrd 5098	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
200	191, 193	rpexpcld 14204	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
201	187, 200	gt0divd 13018	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 < (𝐹‘𝑑) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
202	201	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (0 < (𝐹‘𝑑) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
203	199, 202	mpbird 259	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < (𝐹‘𝑑))
204	180, 203	syldan 598	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 0 < (𝐹‘𝑑))
205		0red 11143	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
206		simplr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
207	206	rpred 12981	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
208	206	rpgt0d 12984	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < 𝑑)
209	35, 207, 65	sylancr 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
210	209, 67	sstrdi 3928	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
211	70	ad3antrrr 737	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
212	17	ad4antr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
213	209	sselda 3916	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
214	212, 213	plyrecld 34743	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
215	94	ad3antrrr 737	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
216		simplll 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝜑)
217		simpr1 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹‘𝑑))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
218	217	rpgt0d 12984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹‘𝑑))) → 0 < 𝐵)
219	218	3anassrs 1368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < 𝐵)
220	88, 41, 89	mul2lt0rgt0 13042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
221	216, 219, 220	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝐴 < 0)
222	83, 221	eqbrtrrid 5110	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐶‘0) < 0)
223	215, 222	eqbrtrd 5096	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘0) < 0)
224		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < (𝐹‘𝑑))
225	223, 224	jca 517	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ((𝐹‘0) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)))
226	205, 207, 205, 208, 210, 211, 214, 225	ivth 25442	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0)
227	206, 108, 109	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
228	226, 227	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
229	204, 228	syldan 598	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
230	165	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
231		simpr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
232		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → 𝑒 = 𝐵)
233	232	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
234	233	imbi2d 342	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
235	234	rexralbidv 3207	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
236	231, 235	rspcdv 3553	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
237	230, 236	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
238	229, 237	r19.29a 3149	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
239		signsply0.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
240	22, 36	dgreq0 26251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) = 0))
241	17, 240	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) = 0))
242	241	necon3bid 2980	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) ≠ 0))
243	239, 242	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐷) ≠ 0)
244	34	neeq1i 3000	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝐶‘𝐷) ≠ 0)
245	243, 244	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
246		rpneg 12971	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐵 ∈ ℝ+))
247	246	biimprd 250	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ -𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ+))
248	247	orrd 870	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 ∈ ℝ+))
249	41, 245, 248	syl2anc 591	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 ∈ ℝ+))
250	173, 238, 249	mpjaodan 967	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∨ wo 854   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  Vcvv 3433   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155   Fn wfn 6483  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   ∘_f cof 7621  ℂcc 11032  ℝcr 11033  0cc0 11034  1c1 11035   + caddc 11037   · cmul 11039  +∞cpnf 11172  ℝ^*cxr 11174   < clt 11175   ≤ cle 11176   − cmin 11373  -cneg 11374   / cdiv 11803  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℝ⁺crp 12937  (,)cioo 13293  [,)cico 13295  [,]cicc 13296  ↑cexp 14018  abscabs 15191   ⇝_𝑟 crli 15442  –cn→ccncf 24864  0_𝑝c0p 25657  Polycply 26170  coeffccoe 26172  degcdgr 26173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112  ax-addf 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-of 7623  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15024  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-ef 16027  df-sin 16029  df-cos 16030  df-pi 16032  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-psmet 21342  df-xmet 21343  df-met 21344  df-bl 21345  df-mopn 21346  df-fbas 21347  df-fg 21348  df-cnfld 21351  df-top 22880  df-topon 22897  df-topsp 22919  df-bases 22932  df-cld 23005  df-ntr 23006  df-cls 23007  df-nei 23084  df-lp 23122  df-perf 23123  df-cn 23213  df-cnp 23214  df-haus 23301  df-tx 23548  df-hmeo 23741  df-fil 23832  df-fm 23924  df-flim 23925  df-flf 23926  df-xms 24306  df-ms 24307  df-tms 24308  df-cncf 24866  df-0p 25658  df-limc 25854  df-dv 25855  df-ply 26174  df-coe 26176  df-dgr 26177  df-log 26541  df-cxp 26542

This theorem is referenced by: (None)