Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsply0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsply0 33203
Description: Lemma for the rule of signs, based on Bolzano's intermediate value theorem for polynomials : If the lowest and highest coefficient 𝐴 and 𝐡 are of opposite signs, the polynomial admits a positive root. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (degβ€˜πΉ)
signsply0.c 𝐢 = (coeffβ€˜πΉ)
signsply0.b 𝐡 = (πΆβ€˜π·)
signsply0.a 𝐴 = (πΆβ€˜0)
signsply0.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„))
signsply0.2 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
signsply0.3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐡) < 0)
Assertion
Ref Expression
signsply0 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐹   πœ‘,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐢(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem signsply0
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑓 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
2 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡))
3 rpxr 12931 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ*)
43xrleidd 13078 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ≀ 𝑑)
54ad2antlr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑑)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
7 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ 𝑓 = 𝑑)
87breq2d 5122 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ (𝑑 ≀ 𝑓 ↔ 𝑑 ≀ 𝑑))
97fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = (πΉβ€˜π‘‘))
107oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ (𝑓↑𝐷) = (𝑑↑𝐷))
119, 10oveq12d 7380 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ ((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) = ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)))
1211fvoveq1d 7384 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) = (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)))
1312breq1d 5120 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡))
148, 13imbi12d 345 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ ((𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡) ↔ (𝑑 ≀ 𝑑 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)))
156, 14rspcdv 3576 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡) β†’ (𝑑 ≀ 𝑑 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)))
161, 2, 5, 15syl3c 66 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)
17 signsply0.1 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„))
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„))
19 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
2019rpred 12964 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
2118, 20plyrecld 33201 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
22 signsply0.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (degβ€˜πΉ)
23 dgrcl 25610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
2417, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
2522, 24eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
2720, 26reexpcld 14075 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
2819rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
2919rpne0d 12969 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 β‰  0)
3025nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ β„€)
3130ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
3228, 29, 31expne0d 14064 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑↑𝐷) β‰  0)
3321, 27, 32redivcld 11990 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
34 signsply0.b . . . . . . . . . . . 12 𝐡 = (πΆβ€˜π·)
35 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
36 signsply0.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐢 = (coeffβ€˜πΉ)
3736coef2 25608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„)
3835, 37mpan2 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„)
3938ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ (πΆβ€˜π·) ∈ ℝ)
4034, 39eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) ∧ 𝐷 ∈ β„•0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4117, 25, 40syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4342renegcld 11589 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ -𝐡 ∈ ℝ)
4433, 42, 43absdifltd 15325 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡 ↔ ((𝐡 βˆ’ -𝐡) < ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐡 + -𝐡))))
4544simplbda 501 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐡 + -𝐡))
4641recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4847negidd 11509 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡 + -𝐡) = 0)
4948adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡) β†’ (𝐡 + -𝐡) = 0)
5045, 49breqtrd 5136 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) < 0)
5119, 31rpexpcld 14157 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
5221, 51ge0divd 13002 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷))))
5352notbid 318 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (Β¬ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘‘) ↔ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷))))
54 0red 11165 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 0 ∈ ℝ)
5521, 54ltnled 11309 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘‘)))
5633, 54ltnled 11309 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷))))
5753, 55, 563bitr4d 311 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
5857adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
5950, 58mpbird 257 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) < 0)
6016, 59syldan 592 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) < 0)
61 0red 11165 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 0 ∈ ℝ)
62 simplr 768 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
6362rpred 12964 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
6462rpgt0d 12967 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 0 < 𝑑)
65 iccssre 13353 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (0[,]𝑑) βŠ† ℝ)
6635, 63, 65sylancr 588 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ (0[,]𝑑) βŠ† ℝ)
67 ax-resscn 11115 . . . . . . 7 ℝ βŠ† β„‚
6866, 67sstrdi 3961 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ (0[,]𝑑) βŠ† β„‚)
69 plycn 25638 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
7017, 69syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
7170ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
7217ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝑑)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„))
7366sselda 3949 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7472, 73plyrecld 33201 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝑑)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
75 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) < 0)
76 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ πœ‘)
7776, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
78 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) β†’ -𝐡 ∈ ℝ+)
7978ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ -𝐡 ∈ ℝ+)
80 negelrp 12955 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (-𝐡 ∈ ℝ+ ↔ 𝐡 < 0))
8180biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 < 0)
8277, 79, 81syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 𝐡 < 0)
83 signsply0.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (πΆβ€˜0)
8417, 35, 37sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•0βŸΆβ„)
85 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ β„•0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
8784, 86ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜0) ∈ ℝ)
8883, 87eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
89 signsply0.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝐡) < 0)
9088, 41, 89mul2lt0rlt0 13024 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 0) β†’ 0 < 𝐴)
9190, 83breqtrdi 5151 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝐡 < 0) β†’ 0 < (πΆβ€˜0))
9276, 82, 91syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 0 < (πΆβ€˜0))
9336coefv0 25625 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (πΉβ€˜0) = (πΆβ€˜0))
9417, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜0) = (πΆβ€˜0))
9594ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ (πΉβ€˜0) = (πΆβ€˜0))
9692, 95breqtrrd 5138 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ 0 < (πΉβ€˜0))
9775, 96jca 513 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) < 0 ∧ 0 < (πΉβ€˜0)))
9861, 63, 61, 64, 68, 71, 74, 97ivth2 24835 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0(,)𝑑)(πΉβ€˜π‘§) = 0)
99 0le0 12261 . . . . . . . 8 0 ≀ 0
100 pnfge 13058 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ* β†’ 𝑑 ≀ +∞)
1013, 100syl 17 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ 𝑑 ≀ +∞)
102 0xr 11209 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
103 pnfxr 11216 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
104 ioossioo 13365 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≀ 0 ∧ 𝑑 ≀ +∞)) β†’ (0(,)𝑑) βŠ† (0(,)+∞))
105102, 103, 104mpanl12 701 . . . . . . . 8 ((0 ≀ 0 ∧ 𝑑 ≀ +∞) β†’ (0(,)𝑑) βŠ† (0(,)+∞))
10699, 101, 105sylancr 588 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ (0(,)𝑑) βŠ† (0(,)+∞))
107 ioorp 13349 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
108106, 107sseqtrdi 3999 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ (0(,)𝑑) βŠ† ℝ+)
109 ssrexv 4016 . . . . . 6 ((0(,)𝑑) βŠ† ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0(,)𝑑)(πΉβ€˜π‘§) = 0 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0))
11062, 108, 1093syl 18 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0(,)𝑑)(πΉβ€˜π‘§) = 0 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0))
11198, 110mpd 15 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (πΉβ€˜π‘‘) < 0) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
11260, 111syldan 592 . . 3 ((((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
113 plyf 25575 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
11417, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
115114ffnd 6674 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn β„‚)
116 ovex 7395 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯↑𝐷) ∈ V
117116rgenw 3069 . . . . . . . . . 10 βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯↑𝐷) ∈ V
118 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))
119118fnmpt 6646 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ (π‘₯↑𝐷) ∈ V β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷)) Fn ℝ+)
120117, 119mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷)) Fn ℝ+)
121 cnex 11139 . . . . . . . . . 10 β„‚ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
123 rpssre 12929 . . . . . . . . . . . 12 ℝ+ βŠ† ℝ
124123, 67sstri 3958 . . . . . . . . . . 11 ℝ+ βŠ† β„‚
125121, 124ssexi 5284 . . . . . . . . . 10 ℝ+ ∈ V
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ+ ∈ V)
127 sseqin2 4180 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ βŠ† β„‚ ↔ (β„‚ ∩ ℝ+) = ℝ+)
128124, 127mpbi 229 . . . . . . . . 9 (β„‚ ∩ ℝ+) = ℝ+
129 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ β„‚) β†’ (πΉβ€˜π‘“) = (πΉβ€˜π‘“))
130 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷)) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷)))
131 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = 𝑓) β†’ π‘₯ = 𝑓)
132131oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ = 𝑓) β†’ (π‘₯↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
133 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ 𝑓 ∈ ℝ+)
134 ovexd 7397 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ (𝑓↑𝐷) ∈ V)
135130, 132, 133, 134fvmptd 6960 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))β€˜π‘“) = (𝑓↑𝐷))
136115, 120, 122, 126, 128, 129, 135offval 7631 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f / (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷))))
137 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑓 β†’ (π‘₯↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
138137cbvmptv 5223 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷)) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (𝑓↑𝐷))
13922, 36, 34, 138signsplypnf 33202 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 ∘f / (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 𝐡)
14017, 139syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f / (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (π‘₯↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 𝐡)
141136, 140eqbrtrrd 5134 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 𝐡)
142114adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„‚βŸΆβ„‚)
143133rpcnd 12966 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ 𝑓 ∈ β„‚)
144142, 143ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘“) ∈ β„‚)
14525adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
146143, 145expcld 14058 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ (𝑓↑𝐷) ∈ β„‚)
147133rpne0d 12969 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ 𝑓 β‰  0)
14830adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
149143, 147, 148expne0d 14064 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ (𝑓↑𝐷) β‰  0)
150144, 146, 149divcld 11938 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) ∈ β„‚)
151150ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ ((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) ∈ β„‚)
152123a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
153 1red 11163 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
154151, 152, 46, 153rlim3 15387 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷))) β‡π‘Ÿ 𝐡 ↔ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒)))
155141, 154mpbid 231 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒))
156 0lt1 11684 . . . . . . . . . 10 0 < 1
157 pnfge 13058 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ ℝ* β†’ +∞ ≀ +∞)
158103, 157ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 +∞ ≀ +∞
159 icossioo 13364 . . . . . . . . . 10 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 1 ∧ +∞ ≀ +∞)) β†’ (1[,)+∞) βŠ† (0(,)+∞))
160102, 103, 156, 158, 159mp4an 692 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) βŠ† (0(,)+∞)
161160, 107sseqtri 3985 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) βŠ† ℝ+
162 ssrexv 4016 . . . . . . . 8 ((1[,)+∞) βŠ† ℝ+ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒)))
163161, 162ax-mp 5 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒))
164163ralimi 3087 . . . . . 6 (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ (1[,)+∞)βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒))
165155, 164syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒))
166165adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒))
167 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐡) β†’ 𝑒 = -𝐡)
168167breq2d 5122 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐡) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡))
169168imbi2d 341 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐡) β†’ ((𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)))
170169rexralbidv 3215 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐡) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)))
17178, 170rspcdv 3576 . . . 4 ((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡)))
172166, 171mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < -𝐡))
173112, 172r19.29a 3160 . 2 ((πœ‘ ∧ -𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
174 simplr 768 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
175 simpr 486 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)) β†’ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡))
1764ad2antlr 726 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)) β†’ 𝑑 ≀ 𝑑)
17712breq1d 5120 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡))
1788, 177imbi12d 345 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) β†’ ((𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡) ↔ (𝑑 ≀ 𝑑 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)))
1796, 178rspcdv 3576 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡) β†’ (𝑑 ≀ 𝑑 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)))
180174, 175, 176, 179syl3c 66 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)) β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)
18146ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
182181subidd 11507 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
183182adantr 482 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) = 0)
18417ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„))
185123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ ℝ+ βŠ† ℝ)
186185sselda 3949 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
187184, 186plyrecld 33201 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
18825ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„•0)
189186, 188reexpcld 14075 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
190186recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
191 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
192191rpne0d 12969 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 β‰  0)
19330ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ β„€)
194190, 192, 193expne0d 14064 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑↑𝐷) β‰  0)
195187, 189, 194redivcld 11990 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
19641ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
197195, 196, 196absdifltd 15325 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡 ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐡) < ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐡 + 𝐡))))
198197simprbda 500 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐡) < ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)))
199183, 198eqbrtrrd 5134 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡) β†’ 0 < ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)))
200191, 193rpexpcld 14157 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
201187, 200gt0divd 13001 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (0 < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷))))
202201adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡) β†’ (0 < (πΉβ€˜π‘‘) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷))))
203199, 202mpbird 257 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘‘) / (𝑑↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘‘))
204180, 203syldan 592 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘‘))
205 0red 11165 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ 0 ∈ ℝ)
206 simplr 768 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ+)
207206rpred 12964 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
208206rpgt0d 12967 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ 0 < 𝑑)
20935, 207, 65sylancr 588 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (0[,]𝑑) βŠ† ℝ)
210209, 67sstrdi 3961 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (0[,]𝑑) βŠ† β„‚)
21170ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ 𝐹 ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
21217ad4antr 731 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝑑)) β†’ 𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„))
213209sselda 3949 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝑑)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
214212, 213plyrecld 33201 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) ∧ π‘₯ ∈ (0[,]𝑑)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
21594ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (πΉβ€˜0) = (πΆβ€˜0))
216 simplll 774 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ πœ‘)
217 simpr1 1195 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
218217rpgt0d 12967 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐡 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘))) β†’ 0 < 𝐡)
2192183anassrs 1361 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ 0 < 𝐡)
22088, 41, 89mul2lt0rgt0 13025 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 0 < 𝐡) β†’ 𝐴 < 0)
221216, 219, 220syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ 𝐴 < 0)
22283, 221eqbrtrrid 5146 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (πΆβ€˜0) < 0)
223215, 222eqbrtrd 5132 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (πΉβ€˜0) < 0)
224 simpr 486 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ 0 < (πΉβ€˜π‘‘))
225223, 224jca 513 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ ((πΉβ€˜0) < 0 ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)))
226205, 207, 205, 208, 210, 211, 214, 225ivth 24834 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ (0(,)𝑑)(πΉβ€˜π‘§) = 0)
227206, 108, 1093syl 18 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ (0(,)𝑑)(πΉβ€˜π‘§) = 0 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0))
228226, 227mpd 15 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (πΉβ€˜π‘‘)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
229204, 228syldan 592 . . 3 ((((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
230165adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒))
231 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ 𝐡 ∈ ℝ+)
232 simpr 486 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐡) β†’ 𝑒 = 𝐡)
233232breq2d 5122 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐡) β†’ ((absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡))
234233imbi2d 341 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐡) β†’ ((𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)))
235234rexralbidv 3215 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)))
236231, 235rspcdv 3576 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡)))
237230, 236mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘“ ∈ ℝ+ (𝑑 ≀ 𝑓 β†’ (absβ€˜(((πΉβ€˜π‘“) / (𝑓↑𝐷)) βˆ’ 𝐡)) < 𝐡))
238229, 237r19.29a 3160 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝐡 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
239 signsply0.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 β‰  0𝑝)
24022, 36dgreq0 25642 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜β„) β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (πΆβ€˜π·) = 0))
24117, 240syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 = 0𝑝 ↔ (πΆβ€˜π·) = 0))
242241necon3bid 2989 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 β‰  0𝑝 ↔ (πΆβ€˜π·) β‰  0))
243239, 242mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΆβ€˜π·) β‰  0)
24434neeq1i 3009 . . . 4 (𝐡 β‰  0 ↔ (πΆβ€˜π·) β‰  0)
245243, 244sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 β‰  0)
246 rpneg 12954 . . . . 5 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (𝐡 ∈ ℝ+ ↔ Β¬ -𝐡 ∈ ℝ+))
247246biimprd 248 . . . 4 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (Β¬ -𝐡 ∈ ℝ+ β†’ 𝐡 ∈ ℝ+))
248247orrd 862 . . 3 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ (-𝐡 ∈ ℝ+ ∨ 𝐡 ∈ ℝ+))
24941, 245, 248syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ (-𝐡 ∈ ℝ+ ∨ 𝐡 ∈ ℝ+))
250173, 238, 249mpjaodan 958 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ (πΉβ€˜π‘§) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∘f cof 7620  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  [,]cicc 13274  β†‘cexp 13974  abscabs 15126   β‡π‘Ÿ crli 15374  β€“cnβ†’ccncf 24255  0𝑝c0p 25049  Polycply 25561  coeffccoe 25563  degcdgr 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247  df-ply 25565  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-log 25928  df-cxp 25929
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator