Theorem signsply0 35247

Description: Lemma for the rule of signs, based on Bolzano's intermediate value theorem for polynomials : If the lowest and highest coefficient 𝐴 and 𝐵 are of opposite signs, the polynomial admits a positive root. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsply0.d	⊢ 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c	⊢ 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘𝐷)
signsply0.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘0)
signsply0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
signsply0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
signsply0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
signsply0	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem signsply0

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
3		rpxr 13154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ*)
4	3	xrleidd 13305	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ≤ 𝑑)
5	4	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ+)
7		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → 𝑓 = 𝑑)
8	7	breq2d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝑑 ≤ 𝑓 ↔ 𝑑 ≤ 𝑑))
9	7	fveq2d 6909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝐹‘𝑓) = (𝐹‘𝑑))
10	7	oveq1d 7455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝑓↑𝐷) = (𝑑↑𝐷))
11	9, 10	oveq12d 7458	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) = ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
12	11	fvoveq1d 7462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) = (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)))
13	12	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
14	8, 13	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) ↔ (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
15	6, 14	rspcdv 3572	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
16	1, 2, 5, 15	syl3c 67	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)
17		signsply0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
19		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
21	18, 20	plyrecld 35245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑑) ∈ ℝ)
22		signsply0.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (deg‘𝐹)
23		dgrcl 26579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
24	17, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
25	22, 24	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
27	20, 26	reexpcld 14330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
28	19	rpcnd 13190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
29	19	rpne0d 13193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
30	25	nn0zd 12742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
32	28, 29, 31	expne0d 14319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ≠ 0)
33	21, 27, 32	redivcld 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
34		signsply0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘𝐷)
35		0re 11334	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		signsply0.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (coeff‘𝐹)
37	36	coef2 26577	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
38	35, 37	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
39	38	ffvelcdmda 7105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶‘𝐷) ∈ ℝ)
40	34, 39	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
41	17, 25, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	42	renegcld 11767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ)
44	33, 42, 43	absdifltd 15629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ ((𝐵 − -𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))))
45	44	simplbda 505	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))
46	41	recnd 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	47	negidd 11683	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
49	48	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
50	45, 49	breqtrd 5134	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0)
51	19, 31	rpexpcld 14415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
52	21, 51	ge0divd 13226	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
53	52	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (¬ 0 ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
54		0red 11335	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
55	21, 54	ltnled 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐹‘𝑑)))
56	33, 54	ltnled 11481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
57	53, 55, 56	3bitr4d 314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
58	57	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
59	50, 58	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐹‘𝑑) < 0)
60	16, 59	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (𝐹‘𝑑) < 0)
61		0red 11335	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 ∈ ℝ)
62		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ+)
63	62	rpred 13188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ)
64	62	rpgt0d 13191	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < 𝑑)
65		iccssre 13584	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
66	35, 63, 65	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
67		ax-resscn 11281	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
68	66, 67	sstrdi 3925	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
69		plycn 26607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
70	17, 69	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71	70	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72	17	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
73	66	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	72, 73	plyrecld 35245	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
75		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (𝐹‘𝑑) < 0)
76		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝜑)
77	76, 41	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ+)
79	78	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
80		negelrp 13179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → ( -𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
81	80	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 < 0)
82	77, 79, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐵 < 0)
83		signsply0.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘0)
84	17, 35, 37	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
85		0nn0 12645	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
87	84, 86	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
88	83, 87	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
89		signsply0.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
90	88, 41, 89	mul2lt0rlt0 13248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
91	90, 83	breqtrdi 5149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < (𝐶‘0))
92	76, 82, 91	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < (𝐶‘0))
93	36	coefv0 26594	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
94	17, 93	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
95	94	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
96	92, 95	breqtrrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < (𝐹‘0))
97	75, 96	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘0)))
98	61, 63, 61, 64, 68, 71, 74, 97	ivth2 25803	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0)
99		0le0 12468	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
100		pnfge 13283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ* → 𝑑 ≤ +∞)
101	3, 100	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ≤ +∞)
102		0xr 11380	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
103		pnfxr 11387	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
104		ioossioo 13596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
105	102, 103, 104	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
106	99, 101, 105	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
107		ioorp 13580	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
108	106, 107	sseqtrdi 3953	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ ℝ+)
109		ssrexv 3983	. . . . . 6 ⊢ ((0(,)𝑑) ⊆ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
110	62, 108, 109	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
111	98, 110	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
112	60, 111	syldan 603	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
113		plyf 26543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
114	17, 113	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
115	114	ffnd 6729	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
116		ovex 7473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥↑𝐷) ∈ V
117	116	rgenw 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥↑𝐷) ∈ V
118		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))
119	118	fnmpt 6698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥↑𝐷) ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) Fn ℝ+)
120	117, 119	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) Fn ℝ+)
121		cnex 11305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
123		rpssre 13152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
124	123, 67	sstri 3922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
125	121, 124	ssexi 5288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ V
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ V)
127		sseqin2 4123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
128	124, 127	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
129		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑓) = (𝐹‘𝑓))
130		eqidd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)))
131		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → 𝑥 = 𝑓)
132	131	oveq1d 7455	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → (𝑥↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
133		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℝ+)
134		ovexd 7475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ∈ V)
135	130, 132, 133, 134	fvmptd 7021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))‘𝑓) = (𝑓↑𝐷))
136	115, 120, 122, 126, 128, 129, 135	offval 7723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))))
137		oveq1 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
138	137	cbvmptv 5212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (𝑓↑𝐷))
139	22, 36, 34, 138	signsplypnf 35246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
140	17, 139	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
141	136, 140	eqbrtrrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
142	114	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
143	133	rpcnd 13190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℂ)
144	142, 143	ffvelcdmd 7106	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑓) ∈ ℂ)
145	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
146	143, 145	expcld 14313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ∈ ℂ)
147	133	rpne0d 13193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ≠ 0)
148	30	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
149	143, 147, 148	expne0d 14319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ≠ 0)
150	144, 146, 149	divcld 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) ∈ ℂ)
151	150	ralrimiva 3158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) ∈ ℂ)
152	123	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
153		1red 11333	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154	151, 152, 46, 153	rlim3 15691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
155	141, 154	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
156		0lt1 11862	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
157		pnfge 13283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
158	103, 157	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ≤ +∞
159		icossioo 13595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 1 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
160	102, 103, 156, 158, 159	mp4an 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
161	160, 107	sseqtri 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
162		ssrexv 3983	. . . . . . . 8 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
163	161, 162	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
164	163	ralimi 3103	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
165	155, 164	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
166	165	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
167		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → 𝑒 = -𝐵)
168	167	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
169	168	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
170	169	rexralbidv 3232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
171	78, 170	rspcdv 3572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
172	166, 171	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
173	112, 172	r19.29a 3174	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
174		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
175		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
176	4	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
177	12	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
178	8, 177	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) ↔ (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
179	6, 178	rspcdv 3572	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
180	174, 175, 176, 179	syl3c 67	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)
181	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
182	181	subidd 11681	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
183	182	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
184	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
185	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ+ ⊆ ℝ)
186	185	sselda 3913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
187	184, 186	plyrecld 35245	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑑) ∈ ℝ)
188	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
189	186, 188	reexpcld 14330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
190	186	recnd 11361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
191		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
192	191	rpne0d 13193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
193	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
194	190, 192, 193	expne0d 14319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ≠ 0)
195	187, 189, 194	redivcld 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
196	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
197	195, 196, 196	absdifltd 15629	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((𝐵 − 𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + 𝐵))))
198	197	simprbda 504	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
199	183, 198	eqbrtrrd 5132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
200	191, 193	rpexpcld 14415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
201	187, 200	gt0divd 13225	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 < (𝐹‘𝑑) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
202	201	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (0 < (𝐹‘𝑑) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
203	199, 202	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < (𝐹‘𝑑))
204	180, 203	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 0 < (𝐹‘𝑑))
205		0red 11335	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
206		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
207	206	rpred 13188	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
208	206	rpgt0d 13191	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < 𝑑)
209	35, 207, 65	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
210	209, 67	sstrdi 3925	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
211	70	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
212	17	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
213	209	sselda 3913	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
214	212, 213	plyrecld 35245	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
215	94	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
216		simplll 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝜑)
217		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹‘𝑑))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
218	217	rpgt0d 13191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹‘𝑑))) → 0 < 𝐵)
219	218	3anassrs 1382	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < 𝐵)
220	88, 41, 89	mul2lt0rgt0 13249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
221	216, 219, 220	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝐴 < 0)
222	83, 221	eqbrtrrid 5144	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐶‘0) < 0)
223	215, 222	eqbrtrd 5130	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘0) < 0)
224		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < (𝐹‘𝑑))
225	223, 224	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ((𝐹‘0) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)))
226	205, 207, 205, 208, 210, 211, 214, 225	ivth 25802	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0)
227	206, 108, 109	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
228	226, 227	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
229	204, 228	syldan 603	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
230	165	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
231		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
232		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → 𝑒 = 𝐵)
233	232	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
234	233	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
235	234	rexralbidv 3232	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
236	231, 235	rspcdv 3572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
237	230, 236	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
238	229, 237	r19.29a 3174	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
239		signsply0.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
240	22, 36	dgreq0 26611	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) = 0))
241	17, 240	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) = 0))
242	241	necon3bid 3003	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) ≠ 0))
243	239, 242	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐷) ≠ 0)
244	34	neeq1i 3023	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝐶‘𝐷) ≠ 0)
245	243, 244	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
246		rpneg 13178	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐵 ∈ ℝ+))
247	246	biimprd 251	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ -𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ+))
248	247	orrd 877	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → ( -𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 ∈ ℝ+))
249	41, 245, 248	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ( -𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 ∈ ℝ+))
250	173, 238, 249	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Fn wfn 6550  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∘_f cof 7712  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224  1c1 11225   + caddc 11227   · cmul 11229  +∞cpnf 11364  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367   ≤ cle 11368   − cmin 11565   -cneg 11566   / cdiv 11997  ℕ₀cn0 12630  ℤcz 12717  ℝ⁺crp 13144  (,)cioo 13500  [,)cico 13502  [,]cicc 13503  ↑cexp 14228  abscabs 15427   ⇝_𝑟 crli 15678  –cn→ccncf 25224  0_𝑝c0p 26017  Polycply 26529  coeffccoe 26531  degcdgr 26532

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ioc 13505  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-mod 14034  df-seq 14169  df-exp 14229  df-fac 14442  df-bc 14471  df-hash 14499  df-shft 15246  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-limsup 15664  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-ef 16259  df-sin 16261  df-cos 16262  df-pi 16264  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-0p 26018  df-limc 26213  df-dv 26214  df-ply 26533  df-coe 26535  df-dgr 26536  df-log 26911  df-cxp 26912

This theorem is used by: (None)