Theorem signsply0 34535

Description: Lemma for the rule of signs, based on Bolzano's intermediate value theorem for polynomials : If the lowest and highest coefficient 𝐴 and 𝐵 are of opposite signs, the polynomial admits a positive root. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsply0.d	⊢ 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c	⊢ 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘𝐷)
signsply0.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘0)
signsply0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
signsply0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
signsply0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
signsply0	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem signsply0

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
3		rpxr 12937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ*)
4	3	xrleidd 13088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ≤ 𝑑)
5	4	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ+)
7		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → 𝑓 = 𝑑)
8	7	breq2d 5114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝑑 ≤ 𝑓 ↔ 𝑑 ≤ 𝑑))
9	7	fveq2d 6844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝐹‘𝑓) = (𝐹‘𝑑))
10	7	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝑓↑𝐷) = (𝑑↑𝐷))
11	9, 10	oveq12d 7387	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) = ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
12	11	fvoveq1d 7391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) = (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)))
13	12	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
14	8, 13	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) ↔ (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
15	6, 14	rspcdv 3577	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
16	1, 2, 5, 15	syl3c 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)
17		signsply0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 12971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
21	18, 20	plyrecld 34533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑑) ∈ ℝ)
22		signsply0.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (deg‘𝐹)
23		dgrcl 26171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
24	17, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
25	22, 24	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
27	20, 26	reexpcld 14104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
28	19	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
29	19	rpne0d 12976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
30	25	nn0zd 12531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
32	28, 29, 31	expne0d 14093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ≠ 0)
33	21, 27, 32	redivcld 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
34		signsply0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘𝐷)
35		0re 11152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		signsply0.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (coeff‘𝐹)
37	36	coef2 26169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
38	35, 37	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
39	38	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶‘𝐷) ∈ ℝ)
40	34, 39	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
41	17, 25, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
42	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	42	renegcld 11581	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ)
44	33, 42, 43	absdifltd 15378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ ((𝐵 − -𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))))
45	44	simplbda 499	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))
46	41	recnd 11178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	47	negidd 11499	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
49	48	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
50	45, 49	breqtrd 5128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0)
51	19, 31	rpexpcld 14188	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
52	21, 51	ge0divd 13009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
53	52	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (¬ 0 ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
54		0red 11153	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
55	21, 54	ltnled 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐹‘𝑑)))
56	33, 54	ltnled 11297	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
57	53, 55, 56	3bitr4d 311	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
58	57	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
59	50, 58	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐹‘𝑑) < 0)
60	16, 59	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (𝐹‘𝑑) < 0)
61		0red 11153	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 ∈ ℝ)
62		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ+)
63	62	rpred 12971	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ)
64	62	rpgt0d 12974	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < 𝑑)
65		iccssre 13366	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
66	35, 63, 65	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
67		ax-resscn 11101	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
68	66, 67	sstrdi 3956	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
69		plycn 26199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
70	17, 69	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71	70	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72	17	ad4antr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
73	66	sselda 3943	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	72, 73	plyrecld 34533	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
75		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (𝐹‘𝑑) < 0)
76		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝜑)
77	76, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ+)
79	78	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
80		negelrp 12962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
81	80	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 < 0)
82	77, 79, 81	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐵 < 0)
83		signsply0.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘0)
84	17, 35, 37	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
85		0nn0 12433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
87	84, 86	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
88	83, 87	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
89		signsply0.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
90	88, 41, 89	mul2lt0rlt0 13031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
91	90, 83	breqtrdi 5143	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < (𝐶‘0))
92	76, 82, 91	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < (𝐶‘0))
93	36	coefv0 26186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
94	17, 93	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
95	94	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
96	92, 95	breqtrrd 5130	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < (𝐹‘0))
97	75, 96	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘0)))
98	61, 63, 61, 64, 68, 71, 74, 97	ivth2 25389	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0)
99		0le0 12263	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
100		pnfge 13066	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ* → 𝑑 ≤ +∞)
101	3, 100	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ≤ +∞)
102		0xr 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
103		pnfxr 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
104		ioossioo 13378	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
105	102, 103, 104	mpanl12 702	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
106	99, 101, 105	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
107		ioorp 13362	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
108	106, 107	sseqtrdi 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ ℝ+)
109		ssrexv 4013	. . . . . 6 ⊢ ((0(,)𝑑) ⊆ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
110	62, 108, 109	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
111	98, 110	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
112	60, 111	syldan 591	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
113		plyf 26136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
114	17, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
115	114	ffnd 6671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
116		ovex 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥↑𝐷) ∈ V
117	116	rgenw 3048	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥↑𝐷) ∈ V
118		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))
119	118	fnmpt 6640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥↑𝐷) ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) Fn ℝ+)
120	117, 119	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) Fn ℝ+)
121		cnex 11125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
123		rpssre 12935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
124	123, 67	sstri 3953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
125	121, 124	ssexi 5272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ V
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ V)
127		sseqin2 4182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
128	124, 127	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
129		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑓) = (𝐹‘𝑓))
130		eqidd 2730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)))
131		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → 𝑥 = 𝑓)
132	131	oveq1d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → (𝑥↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
133		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℝ+)
134		ovexd 7404	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ∈ V)
135	130, 132, 133, 134	fvmptd 6957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))‘𝑓) = (𝑓↑𝐷))
136	115, 120, 122, 126, 128, 129, 135	offval 7642	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))))
137		oveq1 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
138	137	cbvmptv 5206	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (𝑓↑𝐷))
139	22, 36, 34, 138	signsplypnf 34534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
140	17, 139	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
141	136, 140	eqbrtrrd 5126	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
142	114	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
143	133	rpcnd 12973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℂ)
144	142, 143	ffvelcdmd 7039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑓) ∈ ℂ)
145	25	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
146	143, 145	expcld 14087	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ∈ ℂ)
147	133	rpne0d 12976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ≠ 0)
148	30	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
149	143, 147, 148	expne0d 14093	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ≠ 0)
150	144, 146, 149	divcld 11934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) ∈ ℂ)
151	150	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) ∈ ℂ)
152	123	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
153		1red 11151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154	151, 152, 46, 153	rlim3 15440	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
155	141, 154	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
156		0lt1 11676	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
157		pnfge 13066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
158	103, 157	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ≤ +∞
159		icossioo 13377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 1 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
160	102, 103, 156, 158, 159	mp4an 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
161	160, 107	sseqtri 3992	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
162		ssrexv 4013	. . . . . . . 8 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
163	161, 162	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
164	163	ralimi 3066	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
165	155, 164	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
166	165	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
167		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → 𝑒 = -𝐵)
168	167	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
169	168	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
170	169	rexralbidv 3201	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
171	78, 170	rspcdv 3577	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
172	166, 171	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
173	112, 172	r19.29a 3141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
174		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
175		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
176	4	ad2antlr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
177	12	breq1d 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
178	8, 177	imbi12d 344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) ↔ (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
179	6, 178	rspcdv 3577	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
180	174, 175, 176, 179	syl3c 66	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)
181	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
182	181	subidd 11497	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
183	182	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
184	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
185	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ+ ⊆ ℝ)
186	185	sselda 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
187	184, 186	plyrecld 34533	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑑) ∈ ℝ)
188	25	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
189	186, 188	reexpcld 14104	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
190	186	recnd 11178	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
191		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
192	191	rpne0d 12976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
193	30	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
194	190, 192, 193	expne0d 14093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ≠ 0)
195	187, 189, 194	redivcld 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
196	41	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
197	195, 196, 196	absdifltd 15378	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((𝐵 − 𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + 𝐵))))
198	197	simprbda 498	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
199	183, 198	eqbrtrrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
200	191, 193	rpexpcld 14188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
201	187, 200	gt0divd 13008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 < (𝐹‘𝑑) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
202	201	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (0 < (𝐹‘𝑑) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
203	199, 202	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < (𝐹‘𝑑))
204	180, 203	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 0 < (𝐹‘𝑑))
205		0red 11153	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
206		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
207	206	rpred 12971	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
208	206	rpgt0d 12974	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < 𝑑)
209	35, 207, 65	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
210	209, 67	sstrdi 3956	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
211	70	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
212	17	ad4antr 732	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
213	209	sselda 3943	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
214	212, 213	plyrecld 34533	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
215	94	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
216		simplll 774	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝜑)
217		simpr1 1195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹‘𝑑))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
218	217	rpgt0d 12974	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹‘𝑑))) → 0 < 𝐵)
219	218	3anassrs 1361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < 𝐵)
220	88, 41, 89	mul2lt0rgt0 13032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
221	216, 219, 220	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝐴 < 0)
222	83, 221	eqbrtrrid 5138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐶‘0) < 0)
223	215, 222	eqbrtrd 5124	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘0) < 0)
224		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < (𝐹‘𝑑))
225	223, 224	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ((𝐹‘0) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)))
226	205, 207, 205, 208, 210, 211, 214, 225	ivth 25388	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0)
227	206, 108, 109	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
228	226, 227	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
229	204, 228	syldan 591	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
230	165	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
231		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
232		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → 𝑒 = 𝐵)
233	232	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
234	233	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
235	234	rexralbidv 3201	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
236	231, 235	rspcdv 3577	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
237	230, 236	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
238	229, 237	r19.29a 3141	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
239		signsply0.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
240	22, 36	dgreq0 26204	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) = 0))
241	17, 240	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) = 0))
242	241	necon3bid 2969	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) ≠ 0))
243	239, 242	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐷) ≠ 0)
244	34	neeq1i 2989	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝐶‘𝐷) ≠ 0)
245	243, 244	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
246		rpneg 12961	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐵 ∈ ℝ+))
247	246	biimprd 248	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ -𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ+))
248	247	orrd 863	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 ∈ ℝ+))
249	41, 245, 248	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 ∈ ℝ+))
250	173, 238, 249	mpjaodan 960	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381  -cneg 11382   / cdiv 11811  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ℝ⁺crp 12927  (,)cioo 13282  [,)cico 13284  [,]cicc 13285  ↑cexp 14002  abscabs 15176   ⇝_𝑟 crli 15427  –cn→ccncf 24802  0_𝑝c0p 25603  Polycply 26122  coeffccoe 26124  degcdgr 26125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-fac 14215  df-bc 14244  df-hash 14272  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15413  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-ef 16009  df-sin 16011  df-cos 16012  df-pi 16014  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cncf 24804  df-0p 25604  df-limc 25800  df-dv 25801  df-ply 26126  df-coe 26128  df-dgr 26129  df-log 26498  df-cxp 26499

This theorem is referenced by: (None)