Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsply0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsply0 34544
Description: Lemma for the rule of signs, based on Bolzano's intermediate value theorem for polynomials : If the lowest and highest coefficient 𝐴 and 𝐵 are of opposite signs, the polynomial admits a positive root. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b 𝐵 = (𝐶𝐷)
signsply0.a 𝐴 = (𝐶‘0)
signsply0.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
signsply0.2 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
signsply0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
signsply0 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem signsply0
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
3 rpxr 13041 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ*)
43xrleidd 13190 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑𝑑)
54ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑𝑑)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)
7 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → 𝑓 = 𝑑)
87breq2d 5159 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝑑𝑓𝑑𝑑))
97fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝐹𝑓) = (𝐹𝑑))
107oveq1d 7445 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝑓𝐷) = (𝑑𝐷))
119, 10oveq12d 7448 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) = ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
1211fvoveq1d 7452 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) = (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)))
1312breq1d 5157 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
148, 13imbi12d 344 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) ↔ (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
156, 14rspcdv 3613 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
161, 2, 5, 15syl3c 66 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)
17 signsply0.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
1817ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2019rpred 13074 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
2118, 20plyrecld 34542 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑑) ∈ ℝ)
22 signsply0.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (deg‘𝐹)
23 dgrcl 26286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2417, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2522, 24eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
2625ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
2720, 26reexpcld 14199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ)
2819rpcnd 13076 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
2919rpne0d 13079 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
3025nn0zd 12636 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
3130ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
3228, 29, 31expne0d 14188 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ≠ 0)
3321, 27, 32redivcld 12092 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∈ ℝ)
34 signsply0.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (𝐶𝐷)
35 0re 11260 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
36 signsply0.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = (coeff‘𝐹)
3736coef2 26284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
3835, 37mpan2 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
3938ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
4034, 39eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
4117, 25, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4241ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4342renegcld 11687 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ)
4433, 42, 43absdifltd 15468 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ ((𝐵 − -𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∧ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))))
4544simplbda 499 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))
4641recnd 11286 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4746ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
4847negidd 11607 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
4948adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
5045, 49breqtrd 5173 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0)
5119, 31rpexpcld 14282 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ+)
5221, 51ge0divd 13112 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐹𝑑) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
5352notbid 318 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (¬ 0 ≤ (𝐹𝑑) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
54 0red 11261 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
5521, 54ltnled 11405 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐹𝑑)))
5633, 54ltnled 11405 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
5753, 55, 563bitr4d 311 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0))
5857adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0))
5950, 58mpbird 257 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐹𝑑) < 0)
6016, 59syldan 591 . . . 4 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (𝐹𝑑) < 0)
61 0red 11261 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 ∈ ℝ)
62 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ+)
6362rpred 13074 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ)
6462rpgt0d 13077 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < 𝑑)
65 iccssre 13465 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
6635, 63, 65sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
67 ax-resscn 11209 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
6866, 67sstrdi 4007 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
69 plycn 26314 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7017, 69syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7170ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7217ad4antr 732 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
7366sselda 3994 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7472, 73plyrecld 34542 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
75 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (𝐹𝑑) < 0)
76 simplll 775 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝜑)
7776, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ+)
7978ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
80 negelrp 13065 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
8180biimpa 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 < 0)
8277, 79, 81syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐵 < 0)
83 signsply0.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝐶‘0)
8417, 35, 37sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶:ℕ0⟶ℝ)
85 0nn0 12538 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
8784, 86ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
8883, 87eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
89 signsply0.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
9088, 41, 89mul2lt0rlt0 13134 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
9190, 83breqtrdi 5188 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < (𝐶‘0))
9276, 82, 91syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < (𝐶‘0))
9336coefv0 26301 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9417, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9594ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9692, 95breqtrrd 5175 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < (𝐹‘0))
9775, 96jca 511 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ((𝐹𝑑) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘0)))
9861, 63, 61, 64, 68, 71, 74, 97ivth2 25503 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0)
99 0le0 12364 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
100 pnfge 13169 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ*𝑑 ≤ +∞)
1013, 100syl 17 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ≤ +∞)
102 0xr 11305 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
103 pnfxr 11312 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
104 ioossioo 13477 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
105102, 103, 104mpanl12 702 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
10699, 101, 105sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
107 ioorp 13461 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
108106, 107sseqtrdi 4045 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ ℝ+)
109 ssrexv 4064 . . . . . 6 ((0(,)𝑑) ⊆ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
11062, 108, 1093syl 18 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
11198, 110mpd 15 . . . 4 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
11260, 111syldan 591 . . 3 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
113 plyf 26251 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11417, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
115114ffnd 6737 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
116 ovex 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷) ∈ V
117116rgenw 3062 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V
118 eqid 2734 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
119118fnmpt 6708 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) Fn ℝ+)
120117, 119mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) Fn ℝ+)
121 cnex 11233 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ V)
123 rpssre 13039 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ ℝ
124123, 67sstri 4004 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
125121, 124ssexi 5327 . . . . . . . . . 10 + ∈ V
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ∈ V)
127 sseqin2 4230 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
128124, 127mpbi 230 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
129 eqidd 2735 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℂ) → (𝐹𝑓) = (𝐹𝑓))
130 eqidd 2735 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)))
131 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → 𝑥 = 𝑓)
132131oveq1d 7445 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → (𝑥𝐷) = (𝑓𝐷))
133 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℝ+)
134 ovexd 7465 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ∈ V)
135130, 132, 133, 134fvmptd 7022 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))‘𝑓) = (𝑓𝐷))
136115, 120, 122, 126, 128, 129, 135offval 7705 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))))
137 oveq1 7437 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥𝐷) = (𝑓𝐷))
138137cbvmptv 5260 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (𝑓𝐷))
13922, 36, 34, 138signsplypnf 34543 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
14017, 139syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
141136, 140eqbrtrrd 5171 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
142114adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
143133rpcnd 13076 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℂ)
144142, 143ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑓) ∈ ℂ)
14525adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
146143, 145expcld 14182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ∈ ℂ)
147133rpne0d 13079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ≠ 0)
14830adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
149143, 147, 148expne0d 14188 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ≠ 0)
150144, 146, 149divcld 12040 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) ∈ ℂ)
151150ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) ∈ ℂ)
152123a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
153 1red 11259 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154151, 152, 46, 153rlim3 15530 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
155141, 154mpbid 232 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
156 0lt1 11782 . . . . . . . . . 10 0 < 1
157 pnfge 13169 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
158103, 157ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 +∞ ≤ +∞
159 icossioo 13476 . . . . . . . . . 10 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 1 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
160102, 103, 156, 158, 159mp4an 693 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
161160, 107sseqtri 4031 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
162 ssrexv 4064 . . . . . . . 8 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
163161, 162ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
164163ralimi 3080 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
165155, 164syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
166165adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
167 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → 𝑒 = -𝐵)
168167breq2d 5159 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
169168imbi2d 340 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
170169rexralbidv 3220 . . . . 5 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
17178, 170rspcdv 3613 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
172166, 171mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
173112, 172r19.29a 3159 . 2 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
174 simplr 769 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
175 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
1764ad2antlr 727 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑𝑑)
17712breq1d 5157 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
1788, 177imbi12d 344 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) ↔ (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
1796, 178rspcdv 3613 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
180174, 175, 176, 179syl3c 66 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)
18146ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
182181subidd 11605 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵𝐵) = 0)
183182adantr 480 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵𝐵) = 0)
18417ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
185123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ+ ⊆ ℝ)
186185sselda 3994 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
187184, 186plyrecld 34542 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑑) ∈ ℝ)
18825ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
189186, 188reexpcld 14199 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ)
190186recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
191 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
192191rpne0d 13079 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
19330ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
194190, 192, 193expne0d 14188 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ≠ 0)
195187, 189, 194redivcld 12092 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∈ ℝ)
19641ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
197195, 196, 196absdifltd 15468 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((𝐵𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∧ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + 𝐵))))
198197simprbda 498 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
199183, 198eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
200191, 193rpexpcld 14282 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ+)
201187, 200gt0divd 13111 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 < (𝐹𝑑) ↔ 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
202201adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (0 < (𝐹𝑑) ↔ 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
203199, 202mpbird 257 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < (𝐹𝑑))
204180, 203syldan 591 . . . 4 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 0 < (𝐹𝑑))
205 0red 11261 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
206 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
207206rpred 13074 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
208206rpgt0d 13077 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < 𝑑)
20935, 207, 65sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
210209, 67sstrdi 4007 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
21170ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
21217ad4antr 732 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
213209sselda 3994 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
214212, 213plyrecld 34542 . . . . . 6 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
21594ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
216 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝜑)
217 simpr1 1193 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹𝑑))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
218217rpgt0d 13077 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹𝑑))) → 0 < 𝐵)
2192183anassrs 1359 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < 𝐵)
22088, 41, 89mul2lt0rgt0 13135 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
221216, 219, 220syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝐴 < 0)
22283, 221eqbrtrrid 5183 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐶‘0) < 0)
223215, 222eqbrtrd 5169 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐹‘0) < 0)
224 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < (𝐹𝑑))
225223, 224jca 511 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ((𝐹‘0) < 0 ∧ 0 < (𝐹𝑑)))
226205, 207, 205, 208, 210, 211, 214, 225ivth 25502 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0)
227206, 108, 1093syl 18 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
228226, 227mpd 15 . . . 4 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
229204, 228syldan 591 . . 3 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
230165adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
231 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
232 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → 𝑒 = 𝐵)
233232breq2d 5159 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
234233imbi2d 340 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
235234rexralbidv 3220 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
236231, 235rspcdv 3613 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
237230, 236mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
238229, 237r19.29a 3159 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
239 signsply0.2 . . . . 5 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
24022, 36dgreq0 26319 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) = 0))
24117, 240syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) = 0))
242241necon3bid 2982 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) ≠ 0))
243239, 242mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) ≠ 0)
24434neeq1i 3002 . . . 4 (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝐶𝐷) ≠ 0)
245243, 244sylibr 234 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
246 rpneg 13064 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐵 ∈ ℝ+))
247246biimprd 248 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ -𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
248247orrd 863 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
24941, 245, 248syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
250173, 238, 249mpjaodan 960 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3477  cin 3961  wss 3962   class class class wbr 5147  cmpt 5230   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489  -cneg 11490   / cdiv 11917  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,)cico 13385  [,]cicc 13386  cexp 14098  abscabs 15269  𝑟 crli 15517  cnccncf 24915  0𝑝c0p 25717  Polycply 26237  coeffccoe 26239  degcdgr 26240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-0p 25718  df-limc 25915  df-dv 25916  df-ply 26241  df-coe 26243  df-dgr 26244  df-log 26612  df-cxp 26613
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator