Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signsply0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signsply0 33163
Description: Lemma for the rule of signs, based on Bolzano's intermediate value theorem for polynomials : If the lowest and highest coefficient 𝐴 and 𝐵 are of opposite signs, the polynomial admits a positive root. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsply0.d 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b 𝐵 = (𝐶𝐷)
signsply0.a 𝐴 = (𝐶‘0)
signsply0.1 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
signsply0.2 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
signsply0.3 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
Assertion
Ref Expression
signsply0 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem signsply0
Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
3 rpxr 12924 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ*)
43xrleidd 13071 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑𝑑)
54ad2antlr 725 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑𝑑)
6 id 22 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+)
7 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → 𝑓 = 𝑑)
87breq2d 5117 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝑑𝑓𝑑𝑑))
97fveq2d 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝐹𝑓) = (𝐹𝑑))
107oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (𝑓𝐷) = (𝑑𝐷))
119, 10oveq12d 7375 . . . . . . . . . 10 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) = ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
1211fvoveq1d 7379 . . . . . . . . 9 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) = (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)))
1312breq1d 5115 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
148, 13imbi12d 344 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) ↔ (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
156, 14rspcdv 3573 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
161, 2, 5, 15syl3c 66 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)
17 signsply0.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
19 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2019rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
2118, 20plyrecld 33161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑑) ∈ ℝ)
22 signsply0.d . . . . . . . . . . . . 13 𝐷 = (deg‘𝐹)
23 dgrcl 25594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2417, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
2522, 24eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
2625ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
2720, 26reexpcld 14068 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ)
2819rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
2919rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
3025nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐷 ∈ ℤ)
3130ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
3228, 29, 31expne0d 14057 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ≠ 0)
3321, 27, 32redivcld 11983 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∈ ℝ)
34 signsply0.b . . . . . . . . . . . 12 𝐵 = (𝐶𝐷)
35 0re 11157 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
36 signsply0.c . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐶 = (coeff‘𝐹)
3736coef2 25592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
3835, 37mpan2 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
3938ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶𝐷) ∈ ℝ)
4034, 39eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
4117, 25, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4241ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
4342renegcld 11582 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ)
4433, 42, 43absdifltd 15318 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ ((𝐵 − -𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∧ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))))
4544simplbda 500 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))
4641recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
4847negidd 11502 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
4948adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
5045, 49breqtrd 5131 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0)
5119, 31rpexpcld 14150 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ+)
5221, 51ge0divd 12995 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐹𝑑) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
5352notbid 317 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (¬ 0 ≤ (𝐹𝑑) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
54 0red 11158 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
5521, 54ltnled 11302 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐹𝑑)))
5633, 54ltnled 11302 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
5753, 55, 563bitr4d 310 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0))
5857adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹𝑑) < 0 ↔ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < 0))
5950, 58mpbird 256 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐹𝑑) < 0)
6016, 59syldan 591 . . . 4 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (𝐹𝑑) < 0)
61 0red 11158 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 ∈ ℝ)
62 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ+)
6362rpred 12957 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ)
6462rpgt0d 12960 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < 𝑑)
65 iccssre 13346 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
6635, 63, 65sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
67 ax-resscn 11108 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℂ
6866, 67sstrdi 3956 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
69 plycn 25622 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7017, 69syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7170ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
7217ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
7366sselda 3944 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
7472, 73plyrecld 33161 . . . . . 6 (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
75 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (𝐹𝑑) < 0)
76 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝜑)
7776, 41syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
78 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ+)
7978ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
80 negelrp 12948 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 < 0))
8180biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 < 0)
8277, 79, 81syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 𝐵 < 0)
83 signsply0.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (𝐶‘0)
8417, 35, 37sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶:ℕ0⟶ℝ)
85 0nn0 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℕ0
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
8784, 86ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
8883, 87eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
89 signsply0.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
9088, 41, 89mul2lt0rlt0 13017 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
9190, 83breqtrdi 5146 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐵 < 0) → 0 < (𝐶‘0))
9276, 82, 91syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < (𝐶‘0))
9336coefv0 25609 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9417, 93syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9594ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
9692, 95breqtrrd 5133 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → 0 < (𝐹‘0))
9775, 96jca 512 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ((𝐹𝑑) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘0)))
9861, 63, 61, 64, 68, 71, 74, 97ivth2 24819 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0)
99 0le0 12254 . . . . . . . 8 0 ≤ 0
100 pnfge 13051 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ*𝑑 ≤ +∞)
1013, 100syl 17 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ+𝑑 ≤ +∞)
102 0xr 11202 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
103 pnfxr 11209 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
104 ioossioo 13358 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
105102, 103, 104mpanl12 700 . . . . . . . 8 ((0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
10699, 101, 105sylancr 587 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
107 ioorp 13342 . . . . . . 7 (0(,)+∞) = ℝ+
108106, 107sseqtrdi 3994 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ ℝ+)
109 ssrexv 4011 . . . . . 6 ((0(,)𝑑) ⊆ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
11062, 108, 1093syl 18 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
11198, 110mpd 15 . . . 4 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
11260, 111syldan 591 . . 3 ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
113 plyf 25559 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
11417, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℂ⟶ℂ)
115114ffnd 6669 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 Fn ℂ)
116 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐷) ∈ V
117116rgenw 3068 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V
118 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))
119118fnmpt 6641 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥𝐷) ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) Fn ℝ+)
120117, 119mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) Fn ℝ+)
121 cnex 11132 . . . . . . . . . 10 ℂ ∈ V
122121a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℂ ∈ V)
123 rpssre 12922 . . . . . . . . . . . 12 + ⊆ ℝ
124123, 67sstri 3953 . . . . . . . . . . 11 + ⊆ ℂ
125121, 124ssexi 5279 . . . . . . . . . 10 + ∈ V
126125a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℝ+ ∈ V)
127 sseqin2 4175 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
128124, 127mpbi 229 . . . . . . . . 9 (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
129 eqidd 2737 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℂ) → (𝐹𝑓) = (𝐹𝑓))
130 eqidd 2737 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)))
131 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → 𝑥 = 𝑓)
132131oveq1d 7372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → (𝑥𝐷) = (𝑓𝐷))
133 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℝ+)
134 ovexd 7392 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ∈ V)
135130, 132, 133, 134fvmptd 6955 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))‘𝑓) = (𝑓𝐷))
136115, 120, 122, 126, 128, 129, 135offval 7626 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))))
137 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥𝐷) = (𝑓𝐷))
138137cbvmptv 5218 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷)) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (𝑓𝐷))
13922, 36, 34, 138signsplypnf 33162 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
14017, 139syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
141136, 140eqbrtrrd 5129 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
142114adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
143133rpcnd 12959 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℂ)
144142, 143ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑓) ∈ ℂ)
14525adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
146143, 145expcld 14051 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ∈ ℂ)
147133rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ≠ 0)
14830adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
149143, 147, 148expne0d 14057 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓𝐷) ≠ 0)
150144, 146, 149divcld 11931 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) ∈ ℂ)
151150ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) ∈ ℂ)
152123a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
153 1red 11156 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154151, 152, 46, 153rlim3 15380 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷))) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
155141, 154mpbid 231 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
156 0lt1 11677 . . . . . . . . . 10 0 < 1
157 pnfge 13051 . . . . . . . . . . 11 (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
158103, 157ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 +∞ ≤ +∞
159 icossioo 13357 . . . . . . . . . 10 (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 1 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
160102, 103, 156, 158, 159mp4an 691 . . . . . . . . 9 (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
161160, 107sseqtri 3980 . . . . . . . 8 (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
162 ssrexv 4011 . . . . . . . 8 ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
163161, 162ax-mp 5 . . . . . . 7 (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
164163ralimi 3086 . . . . . 6 (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
165155, 164syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
166165adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
167 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → 𝑒 = -𝐵)
168167breq2d 5117 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
169168imbi2d 340 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
170169rexralbidv 3214 . . . . 5 (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
17178, 170rspcdv 3573 . . . 4 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
172166, 171mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
173112, 172r19.29a 3159 . 2 ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
174 simplr 767 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
175 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
1764ad2antlr 725 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑𝑑)
17712breq1d 5115 . . . . . . . 8 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
1788, 177imbi12d 344 . . . . . . 7 ((𝑑 ∈ ℝ+𝑓 = 𝑑) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) ↔ (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
1796, 178rspcdv 3573 . . . . . 6 (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝑑𝑑 → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
180174, 175, 176, 179syl3c 66 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)
18146ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
182181subidd 11500 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵𝐵) = 0)
183182adantr 481 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵𝐵) = 0)
18417ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
185123a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ+ ⊆ ℝ)
186185sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
187184, 186plyrecld 33161 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹𝑑) ∈ ℝ)
18825ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
189186, 188reexpcld 14068 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ)
190186recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
191 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
192191rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
19330ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
194190, 192, 193expne0d 14057 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ≠ 0)
195187, 189, 194redivcld 11983 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∈ ℝ)
19641ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
197195, 196, 196absdifltd 15318 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((𝐵𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) ∧ ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) < (𝐵 + 𝐵))))
198197simprbda 499 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵𝐵) < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
199183, 198eqbrtrrd 5129 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)))
200191, 193rpexpcld 14150 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑𝐷) ∈ ℝ+)
201187, 200gt0divd 12994 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 < (𝐹𝑑) ↔ 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
202201adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (0 < (𝐹𝑑) ↔ 0 < ((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷))))
203199, 202mpbird 256 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹𝑑) / (𝑑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < (𝐹𝑑))
204180, 203syldan 591 . . . 4 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 0 < (𝐹𝑑))
205 0red 11158 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
206 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
207206rpred 12957 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
208206rpgt0d 12960 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < 𝑑)
20935, 207, 65sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
210209, 67sstrdi 3956 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
21170ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
21217ad4antr 730 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
213209sselda 3944 . . . . . . 7 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
214212, 213plyrecld 33161 . . . . . 6 (((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
21594ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
216 simplll 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝜑)
217 simpr1 1194 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹𝑑))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
218217rpgt0d 12960 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹𝑑))) → 0 < 𝐵)
2192183anassrs 1360 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < 𝐵)
22088, 41, 89mul2lt0rgt0 13018 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
221216, 219, 220syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 𝐴 < 0)
22283, 221eqbrtrrid 5141 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐶‘0) < 0)
223215, 222eqbrtrd 5127 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (𝐹‘0) < 0)
224 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → 0 < (𝐹𝑑))
225223, 224jca 512 . . . . . 6 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ((𝐹‘0) < 0 ∧ 0 < (𝐹𝑑)))
226205, 207, 205, 208, 210, 211, 214, 225ivth 24818 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0)
227206, 108, 1093syl 18 . . . . 5 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0))
228226, 227mpd 15 . . . 4 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
229204, 228syldan 591 . . 3 ((((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
230165adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
231 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
232 simpr 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → 𝑒 = 𝐵)
233232breq2d 5117 . . . . . . 7 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
234233imbi2d 340 . . . . . 6 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
235234rexralbidv 3214 . . . . 5 (((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
236231, 235rspcdv 3573 . . . 4 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
237230, 236mpd 15 . . 3 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑𝑓 → (abs‘(((𝐹𝑓) / (𝑓𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
238229, 237r19.29a 3159 . 2 ((𝜑𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
239 signsply0.2 . . . . 5 (𝜑𝐹 ≠ 0𝑝)
24022, 36dgreq0 25626 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) = 0))
24117, 240syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) = 0))
242241necon3bid 2988 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐶𝐷) ≠ 0))
243239, 242mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝐷) ≠ 0)
24434neeq1i 3008 . . . 4 (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝐶𝐷) ≠ 0)
245243, 244sylibr 233 . . 3 (𝜑𝐵 ≠ 0)
246 rpneg 12947 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐵 ∈ ℝ+))
247246biimprd 247 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ -𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
248247orrd 861 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
24941, 245, 248syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+𝐵 ∈ ℝ+))
250173, 238, 249mpjaodan 957 1 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹𝑧) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  0cn0 12413  cz 12499  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  cexp 13967  abscabs 15119  𝑟 crli 15367  cnccncf 24239  0𝑝c0p 25033  Polycply 25545  coeffccoe 25547  degcdgr 25548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-ply 25549  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator