Theorem signsply0 35100

Description: Lemma for the rule of signs, based on Bolzano's intermediate value theorem for polynomials : If the lowest and highest coefficient 𝐴 and 𝐵 are of opposite signs, the polynomial admits a positive root. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsply0.d	⊢ 𝐷 = (deg‘𝐹)
signsply0.c	⊢ 𝐶 = (coeff‘𝐹)
signsply0.b	⊢ 𝐵 = (𝐶‘𝐷)
signsply0.a	⊢ 𝐴 = (𝐶‘0)
signsply0.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
signsply0.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
signsply0.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)

Assertion

Ref	Expression
signsply0	⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐹   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧)   𝐶(𝑧)   𝐷(𝑧)

Proof of Theorem signsply0

Dummy variables 𝑒 𝑑 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
2		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
3		rpxr 13085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ*)
4	3	xrleidd 13236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ≤ 𝑑)
5	4	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
6		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ∈ ℝ+)
7		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → 𝑓 = 𝑑)
8	7	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝑑 ≤ 𝑓 ↔ 𝑑 ≤ 𝑑))
9	7	fveq2d 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝐹‘𝑓) = (𝐹‘𝑑))
10	7	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (𝑓↑𝐷) = (𝑑↑𝐷))
11	9, 10	oveq12d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) = ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
12	11	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) = (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)))
13	12	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
14	8, 13	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) ↔ (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
15	6, 14	rspcdv 3568	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
16	1, 2, 5, 15	syl3c 67	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)
17		signsply0.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
18	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
19		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
20	19	rpred 13119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
21	18, 20	plyrecld 35098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑑) ∈ ℝ)
22		signsply0.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐷 = (deg‘𝐹)
23		dgrcl 26499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
24	17, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
25	22, 24	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ0)
26	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
27	20, 26	reexpcld 14260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
28	19	rpcnd 13121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
29	19	rpne0d 13124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
30	25	nn0zd 12673	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℤ)
31	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
32	28, 29, 31	expne0d 14249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ≠ 0)
33	21, 27, 32	redivcld 12100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
34		signsply0.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (𝐶‘𝐷)
35		0re 11267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
36		signsply0.c	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐶 = (coeff‘𝐹)
37	36	coef2 26497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 0 ∈ ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
38	35, 37	mpan2 704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
39	38	ffvelcdmda 7073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → (𝐶‘𝐷) ∈ ℝ)
40	34, 39	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) ∧ 𝐷 ∈ ℕ0) → 𝐵 ∈ ℝ)
41	17, 25, 40	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
42	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
43	42	renegcld 11698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ)
44	33, 42, 43	absdifltd 15556	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵 ↔ ((𝐵 − -𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))))
45	44	simplbda 505	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + -𝐵))
46	41	recnd 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
48	47	negidd 11616	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
49	48	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐵 + -𝐵) = 0)
50	45, 49	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0)
51	19, 31	rpexpcld 14344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
52	21, 51	ge0divd 13157	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
53	52	notbid 321	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (¬ 0 ≤ (𝐹‘𝑑) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
54		0red 11268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
55	21, 54	ltnled 11414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ (𝐹‘𝑑)))
56	33, 54	ltnled 11414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
57	53, 55, 56	3bitr4d 314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
58	57	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ↔ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < 0))
59	50, 58	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵) → (𝐹‘𝑑) < 0)
60	16, 59	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → (𝐹‘𝑑) < 0)
61		0red 11268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 ∈ ℝ)
62		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ+)
63	62	rpred 13119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝑑 ∈ ℝ)
64	62	rpgt0d 13122	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < 𝑑)
65		iccssre 13515	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
66	35, 63, 65	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
67		ax-resscn 11214	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
68	66, 67	sstrdi 3943	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
69		plycn 26527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
70	17, 69	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
71	70	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
72	17	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
73	66	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	72, 73	plyrecld 35098	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
75		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (𝐹‘𝑑) < 0)
76		simplll 787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝜑)
77	76, 41	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
78		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → -𝐵 ∈ ℝ+)
79	78	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → -𝐵 ∈ ℝ+)
80		negelrp 13110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (-𝐵 ∈ ℝ+ ↔ 𝐵 < 0))
81	80	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 < 0)
82	77, 79, 81	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 𝐵 < 0)
83		signsply0.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (𝐶‘0)
84	17, 35, 37	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶:ℕ0⟶ℝ)
85		0nn0 12576	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
87	84, 86	ffvelcdmd 7074	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘0) ∈ ℝ)
88	83, 87	eqeltrid 2864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
89		signsply0.3	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) < 0)
90	88, 41, 89	mul2lt0rlt0 13179	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < 𝐴)
91	90, 83	breqtrdi 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 < 0) → 0 < (𝐶‘0))
92	76, 82, 91	syl2anc 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < (𝐶‘0))
93	36	coefv0 26514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
94	17, 93	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
95	94	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
96	92, 95	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → 0 < (𝐹‘0))
97	75, 96	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ((𝐹‘𝑑) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘0)))
98	61, 63, 61, 64, 68, 71, 74, 97	ivth2 25723	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0)
99		0le0 12399	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 0
100		pnfge 13214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ* → 𝑑 ≤ +∞)
101	3, 100	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → 𝑑 ≤ +∞)
102		0xr 11313	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
103		pnfxr 11320	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
104		ioossioo 13527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞)) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
105	102, 103, 104	mpanl12 715	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ≤ 0 ∧ 𝑑 ≤ +∞) → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
106	99, 101, 105	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ (0(,)+∞))
107		ioorp 13511	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
108	106, 107	sseqtrdi 3971	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (0(,)𝑑) ⊆ ℝ+)
109		ssrexv 4001	. . . . . 6 ⊢ ((0(,)𝑑) ⊆ ℝ+ → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
110	62, 108, 109	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
111	98, 110	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (𝐹‘𝑑) < 0) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
112	60, 111	syldan 603	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
113		plyf 26463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
114	17, 113	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
115	114	ffnd 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn ℂ)
116		ovex 7442	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥↑𝐷) ∈ V
117	116	rgenw 3080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥↑𝐷) ∈ V
118		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))
119	118	fnmpt 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℝ+ (𝑥↑𝐷) ∈ V → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) Fn ℝ+)
120	117, 119	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) Fn ℝ+)
121		cnex 11238	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ ∈ V
122	121	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
123		rpssre 13083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ+ ⊆ ℝ
124	123, 67	sstri 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
125	121, 124	ssexi 5284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ ∈ V
126	125	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ∈ V)
127		sseqin2 4169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ ↔ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+)
128	124, 127	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℂ ∩ ℝ+) = ℝ+
129		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℂ) → (𝐹‘𝑓) = (𝐹‘𝑓))
130		eqidd 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)))
131		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → 𝑥 = 𝑓)
132	131	oveq1d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 = 𝑓) → (𝑥↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
133		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℝ+)
134		ovexd 7444	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ∈ V)
135	130, 132, 133, 134	fvmptd 6990	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))‘𝑓) = (𝑓↑𝐷))
136	115, 120, 122, 126, 128, 129, 135	offval 7686	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))))
137		oveq1 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑓 → (𝑥↑𝐷) = (𝑓↑𝐷))
138	137	cbvmptv 5209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷)) = (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ (𝑓↑𝐷))
139	22, 36, 34, 138	signsplypnf 35099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
140	17, 139	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f / (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (𝑥↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
141	136, 140	eqbrtrrd 5129	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵)
142	114	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℂ⟶ℂ)
143	133	rpcnd 13121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ∈ ℂ)
144	142, 143	ffvelcdmd 7074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑓) ∈ ℂ)
145	25	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
146	143, 145	expcld 14243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ∈ ℂ)
147	133	rpne0d 13124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝑓 ≠ 0)
148	30	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
149	143, 147, 148	expne0d 14249	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → (𝑓↑𝐷) ≠ 0)
150	144, 146, 149	divcld 12048	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) ∈ ℂ)
151	150	ralrimiva 3154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ℝ+ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) ∈ ℂ)
152	123	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℝ+ ⊆ ℝ)
153		1red 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
154	151, 152, 46, 153	rlim3 15618	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑓 ∈ ℝ+ ↦ ((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷))) ⇝𝑟 𝐵 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
155	141, 154	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
156		0lt1 11793	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 < 1
157		pnfge 13214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → +∞ ≤ +∞)
158	103, 157	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ +∞ ≤ +∞
159		icossioo 13526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (0 < 1 ∧ +∞ ≤ +∞)) → (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞))
160	102, 103, 156, 158, 159	mp4an 706	. . . . . . . . 9 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ (0(,)+∞)
161	160, 107	sseqtri 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (1[,)+∞) ⊆ ℝ+
162		ssrexv 4001	. . . . . . . 8 ⊢ ((1[,)+∞) ⊆ ℝ+ → (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒)))
163	161, 162	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
164	163	ralimi 3099	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ (1[,)+∞)∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
165	155, 164	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
166	165	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
167		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → 𝑒 = -𝐵)
168	167	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
169	168	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
170	169	rexralbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = -𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
171	78, 170	rspcdv 3568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵)))
172	166, 171	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < -𝐵))
173	112, 172	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ -𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
174		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
175		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
176	4	ad2antlr 740	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 𝑑 ≤ 𝑑)
177	12	breq1d 5113	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
178	8, 177	imbi12d 347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 𝑓 = 𝑑) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) ↔ (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
179	6, 178	rspcdv 3568	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ+ → (∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝑑 ≤ 𝑑 → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
180	174, 175, 176, 179	syl3c 67	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)
181	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
182	181	subidd 11614	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
183	182	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐵) = 0)
184	17	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
185	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ℝ+ ⊆ ℝ)
186	185	sselda 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ)
187	184, 186	plyrecld 35098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝐹‘𝑑) ∈ ℝ)
188	25	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℕ0)
189	186, 188	reexpcld 14260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ)
190	186	recnd 11294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℂ)
191		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ∈ ℝ+)
192	191	rpne0d 13124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝑑 ≠ 0)
193	30	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℤ)
194	190, 192, 193	expne0d 14249	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ≠ 0)
195	187, 189, 194	redivcld 12100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∈ ℝ)
196	41	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
197	195, 196, 196	absdifltd 15556	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵 ↔ ((𝐵 − 𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) ∧ ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) < (𝐵 + 𝐵))))
198	197	simprbda 504	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (𝐵 − 𝐵) < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
199	183, 198	eqbrtrrd 5129	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)))
200	191, 193	rpexpcld 14344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (𝑑↑𝐷) ∈ ℝ+)
201	187, 200	gt0divd 13156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (0 < (𝐹‘𝑑) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
202	201	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → (0 < (𝐹‘𝑑) ↔ 0 < ((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷))))
203	199, 202	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ (abs‘(((𝐹‘𝑑) / (𝑑↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵) → 0 < (𝐹‘𝑑))
204	180, 203	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → 0 < (𝐹‘𝑑))
205		0red 11268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 ∈ ℝ)
206		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ+)
207	206	rpred 13119	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝑑 ∈ ℝ)
208	206	rpgt0d 13122	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < 𝑑)
209	35, 207, 65	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℝ)
210	209, 67	sstrdi 3943	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (0[,]𝑑) ⊆ ℂ)
211	70	ad3antrrr 743	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝐹 ∈ (ℂ–cn→ℂ))
212	17	ad4antr 745	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝐹 ∈ (Poly‘ℝ))
213	209	sselda 3931	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → 𝑥 ∈ ℝ)
214	212, 213	plyrecld 35098	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) ∧ 𝑥 ∈ (0[,]𝑑)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
215	94	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘0) = (𝐶‘0))
216		simplll 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝜑)
217		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹‘𝑑))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
218	217	rpgt0d 13122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐵 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ+ ∧ 0 < (𝐹‘𝑑))) → 0 < 𝐵)
219	218	3anassrs 1381	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < 𝐵)
220	88, 41, 89	mul2lt0rgt0 13180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 0 < 𝐵) → 𝐴 < 0)
221	216, 219, 220	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 𝐴 < 0)
222	83, 221	eqbrtrrid 5141	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐶‘0) < 0)
223	215, 222	eqbrtrd 5127	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (𝐹‘0) < 0)
224		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → 0 < (𝐹‘𝑑))
225	223, 224	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ((𝐹‘0) < 0 ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)))
226	205, 207, 205, 208, 210, 211, 214, 225	ivth 25722	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0)
227	206, 108, 109	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → (∃𝑧 ∈ (0(,)𝑑)(𝐹‘𝑧) = 0 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0))
228	226, 227	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 0 < (𝐹‘𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
229	204, 228	syldan 603	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
230	165	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒))
231		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
232		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → 𝑒 = 𝐵)
233	232	breq2d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
234	233	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → ((𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
235	234	rexralbidv 3228	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) ∧ 𝑒 = 𝐵) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
236	231, 235	rspcdv 3568	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵)))
237	230, 236	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑓 ∈ ℝ+ (𝑑 ≤ 𝑓 → (abs‘(((𝐹‘𝑓) / (𝑓↑𝐷)) − 𝐵)) < 𝐵))
238	229, 237	r19.29a 3170	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)
239		signsply0.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ≠ 0𝑝)
240	22, 36	dgreq0 26531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘ℝ) → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) = 0))
241	17, 240	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 = 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) = 0))
242	241	necon3bid 2999	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ≠ 0𝑝 ↔ (𝐶‘𝐷) ≠ 0))
243	239, 242	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝐷) ≠ 0)
244	34	neeq1i 3019	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ (𝐶‘𝐷) ≠ 0)
245	243, 244	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
246		rpneg 13109	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ+ ↔ ¬ -𝐵 ∈ ℝ+))
247	246	biimprd 251	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (¬ -𝐵 ∈ ℝ+ → 𝐵 ∈ ℝ+))
248	247	orrd 877	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (-𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 ∈ ℝ+))
249	41, 245, 248	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (-𝐵 ∈ ℝ+ ∨ 𝐵 ∈ ℝ+))
250	173, 238, 249	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℝ+ (𝐹‘𝑧) = 0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Fn wfn 6523  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7675  ℂcc 11155  ℝcr 11156  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162  +∞cpnf 11297  ℝ^*cxr 11299   < clt 11300   ≤ cle 11301   − cmin 11498  -cneg 11499   / cdiv 11928  ℕ₀cn0 12561  ℤcz 12648  ℝ⁺crp 13075  (,)cioo 13431  [,)cico 13433  [,]cicc 13434  ↑cexp 14158  abscabs 15354   ⇝_𝑟 crli 15605  –cn→ccncf 25144  0_𝑝c0p 25937  Polycply 26449  coeffccoe 26451  degcdgr 26452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235  ax-addf 11236

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-4 12362  df-5 12363  df-6 12364  df-7 12365  df-8 12366  df-9 12367  df-n0 12562  df-z 12649  df-dec 12770  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ioc 13436  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-mod 13964  df-seq 14099  df-exp 14159  df-fac 14371  df-bc 14400  df-hash 14428  df-shft 15173  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-limsup 15591  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-ef 16186  df-sin 16188  df-cos 16189  df-pi 16191  df-struct 17272  df-sets 17289  df-slot 17307  df-ndx 17319  df-base 17335  df-ress 17356  df-plusg 17388  df-mulr 17389  df-starv 17390  df-sca 17391  df-vsca 17392  df-ip 17393  df-tset 17394  df-ple 17395  df-ds 17397  df-unif 17398  df-hom 17399  df-cco 17400  df-rest 17540  df-topn 17541  df-0g 17559  df-gsum 17560  df-topgen 17561  df-pt 17562  df-prds 17565  df-xrs 17621  df-qtop 17626  df-imas 17627  df-xps 17629  df-mre 17703  df-mrc 17704  df-acs 17706  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-submnd 18926  df-mulg 19225  df-cntz 19478  df-cmn 19943  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-fbas 21622  df-fg 21623  df-cnfld 21626  df-top 23159  df-topon 23176  df-topsp 23198  df-bases 23211  df-cld 23284  df-ntr 23285  df-cls 23286  df-nei 23363  df-lp 23401  df-perf 23402  df-cn 23492  df-cnp 23493  df-haus 23580  df-tx 23828  df-hmeo 24021  df-fil 24112  df-fm 24204  df-flim 24205  df-flf 24206  df-xms 24586  df-ms 24587  df-tms 24588  df-cncf 25146  df-0p 25938  df-limc 26133  df-dv 26134  df-ply 26453  df-coe 26455  df-dgr 26456  df-log 26833  df-cxp 26834

This theorem is used by: (None)