Theorem iunhoiioo 47780

Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiioo.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiioo.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
iunhoiioo	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnn0 46483	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
2		iunconst 4960	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5		ixpeq1 8940	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6		ixp0x 8958	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
8	5, 7	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
10	9	iuneq2dv 4975	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11		ixpeq1 8940	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12		ixp0x 8958	. . . . . 6 ⊢ X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
14	11, 13	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
15	4, 10, 14	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17		iunhoiioo.k	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
18		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
19	17, 18	nfan 1931	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
20		iunhoiioo.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	21	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23		iunhoiioo.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	20	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		nnrp 13136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
28	27	rpreccld 13178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
29	25, 28	ltaddrpd 13201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
30	23	xrleidd 13285	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≤ 𝐵)
31	30	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≤ 𝐵)
32		icossioo 13575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
33	22, 24, 29, 31, 32	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
34	19, 33	ixpssixp 46201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
35	34	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
36		iunss 5002	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
37	35, 36	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
38	37	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
39		nfv 1946	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
40	17, 39	nfan 1931	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
41		nfcv 2922	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
42		nfixp1 8950	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
43	41, 42	nfel 2936	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
44	40, 43	nfan 1931	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
45		iunhoiioo.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
46	45	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
47		neqne 2963	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
48	47	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
49	20	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
50	23	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
51		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
52		eqid 2760	. . . 4 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑓‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑓‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
53	44, 46, 48, 49, 50, 51, 52	iunhoiioolem 47779	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
54	38, 53	eqelssd 3929	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
55	16, 54	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  {csn 4584  ∪ ciun 4950   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Xcixp 8929  Fincfn 8977  infcinf 9437  ℝcr 11203  1c1 11205   + caddc 11207  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348   − cmin 11545   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℝ⁺crp 13124  (,)cioo 13480  [,)cico 13482

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-fl 13936

This theorem is used by:  vonioolem2  47785