Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioo 46632
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioo.k 𝑘𝜑
iunhoiioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
iunhoiioo (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnn0 45328 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
2 iunconst 5006 . . . . . 6 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
43a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5 ixpeq1 8947 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6 ixp0x 8965 . . . . . . . 8 X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
85, 7eqtrd 2775 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
98adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
109iuneq2dv 5021 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11 ixpeq1 8947 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12 ixp0x 8965 . . . . . 6 X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
1312a1i 11 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
1411, 13eqtrd 2775 . . . 4 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
154, 10, 143eqtr4d 2785 . . 3 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
1615adantl 481 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17 iunhoiioo.k . . . . . . . 8 𝑘𝜑
18 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1917, 18nfan 1897 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
20 iunhoiioo.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120rexrd 11309 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 iunhoiioo.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2520adantlr 715 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 nnrp 13044 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2726ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2827rpreccld 13085 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2925, 28ltaddrpd 13108 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
3023xrleidd 13191 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
3130adantlr 715 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
32 icossioo 13477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3322, 24, 29, 31, 32syl22anc 839 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3419, 33ixpssixp 45032 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3534ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
36 iunss 5050 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3735, 36sylibr 234 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3837adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
39 nfv 1912 . . . . . 6 𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
4017, 39nfan 1897 . . . . 5 𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
41 nfcv 2903 . . . . . 6 𝑘𝑓
42 nfixp1 8957 . . . . . 6 𝑘X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4341, 42nfel 2918 . . . . 5 𝑘 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4440, 43nfan 1897 . . . 4 𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
45 iunhoiioo.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4645ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
47 neqne 2946 . . . . 5 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
4847ad2antlr 727 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
4920ad4ant14 752 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
5023ad4ant14 752 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
51 simpr 484 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
52 eqid 2735 . . . 4 inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5344, 46, 48, 49, 50, 51, 52iunhoiioolem 46631 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
5438, 53eqelssd 4017 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
5516, 54pm2.61dan 813 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wnf 1780  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   ciun 4996   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  cfv 6563  (class class class)co 7431  Xcixp 8936  Fincfn 8984  infcinf 9479  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,)cico 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-ico 13390  df-fl 13829
This theorem is referenced by:  vonioolem2  46637
  Copyright terms: Public domain W3C validator