Theorem iunhoiioo 47959

Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiioo.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiioo.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
iunhoiioo	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnn0 46662	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
2		iunconst 4966	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5		ixpeq1 8974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6		ixp0x 8992	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
8	5, 7	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
10	9	iuneq2dv 4981	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11		ixpeq1 8974	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12		ixp0x 8992	. . . . . 6 ⊢ X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
14	11, 13	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
15	4, 10, 14	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17		iunhoiioo.k	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
18		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
19	17, 18	nfan 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
20		iunhoiioo.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	21	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23		iunhoiioo.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	20	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		nnrp 13172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
28	27	rpreccld 13214	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
29	25, 28	ltaddrpd 13237	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
30	23	xrleidd 13321	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≤ 𝐵)
31	30	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≤ 𝐵)
32		icossioo 13611	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
33	22, 24, 29, 31, 32	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
34	19, 33	ixpssixp 46380	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
35	34	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
36		iunss 5008	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
37	35, 36	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
38	37	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
39		nfv 1949	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
40	17, 39	nfan 1934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
41		nfcv 2926	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
42		nfixp1 8984	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
43	41, 42	nfel 2940	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
44	40, 43	nfan 1934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
45		iunhoiioo.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
46	45	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
47		neqne 2967	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
48	47	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
49	20	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
50	23	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
51		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
52		eqid 2763	. . . 4 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑓‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑓‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
53	44, 46, 48, 49, 50, 51, 52	iunhoiioolem 47958	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
54	38, 53	eqelssd 3934	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
55	16, 54	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  {csn 4588  ∪ ciun 4956   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ran crn 5659  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Xcixp 8963  Fincfn 9011  infcinf 9470  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   / cdiv 12013  ℕcn 12375  ℝ⁺crp 13160  (,)cioo 13516  [,)cico 13518

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-ioo 13520  df-ico 13522  df-fl 13972

This theorem is used by:  vonioolem2  47964