Theorem iunhoiioo 46647

Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiioo.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiioo.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
iunhoiioo	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnn0 45347	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
2		iunconst 4961	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5		ixpeq1 8858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6		ixp0x 8876	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
8	5, 7	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
10	9	iuneq2dv 4976	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11		ixpeq1 8858	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12		ixp0x 8876	. . . . . 6 ⊢ X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
14	11, 13	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
15	4, 10, 14	3eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
16	15	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17		iunhoiioo.k	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
18		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
19	17, 18	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
20		iunhoiioo.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	21	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23		iunhoiioo.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	20	adantlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		nnrp 12939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
28	27	rpreccld 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
29	25, 28	ltaddrpd 13004	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
30	23	xrleidd 13088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≤ 𝐵)
31	30	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≤ 𝐵)
32		icossioo 13377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
33	22, 24, 29, 31, 32	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
34	19, 33	ixpssixp 45059	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
35	34	ralrimiva 3125	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
36		iunss 5004	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
37	35, 36	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
39		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
40	17, 39	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
41		nfcv 2891	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
42		nfixp1 8868	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
43	41, 42	nfel 2906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
44	40, 43	nfan 1899	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
45		iunhoiioo.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
46	45	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
47		neqne 2933	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
48	47	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
49	20	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
50	23	ad4ant14 752	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
51		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
52		eqid 2729	. . . 4 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑓‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑓‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
53	44, 46, 48, 49, 50, 51, 52	iunhoiioolem 46646	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
54	38, 53	eqelssd 3965	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
55	16, 54	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  {csn 4585  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  ran crn 5632  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Xcixp 8847  Fincfn 8895  infcinf 9368  ℝcr 11043  1c1 11045   + caddc 11047  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   − cmin 11381   / cdiv 11811  ℕcn 12162  ℝ⁺crp 12927  (,)cioo 13282  [,)cico 13284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-fl 13730

This theorem is referenced by:  vonioolem2  46652