Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioo 43376
 Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioo.k 𝑘𝜑
iunhoiioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
iunhoiioo (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnn0 42072 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
2 iunconst 4891 . . . . . 6 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
43a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5 ixpeq1 8462 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6 ixp0x 8480 . . . . . . . 8 X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
85, 7eqtrd 2833 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
98adantr 484 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
109iuneq2dv 4906 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11 ixpeq1 8462 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12 ixp0x 8480 . . . . . 6 X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
1312a1i 11 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
1411, 13eqtrd 2833 . . . 4 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
154, 10, 143eqtr4d 2843 . . 3 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
1615adantl 485 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17 iunhoiioo.k . . . . . . . 8 𝑘𝜑
18 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1917, 18nfan 1900 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
20 iunhoiioo.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120rexrd 10687 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 iunhoiioo.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2520adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 nnrp 12395 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2827rpreccld 12436 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2925, 28ltaddrpd 12459 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
3023xrleidd 12540 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
3130adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
32 icossioo 12825 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3322, 24, 29, 31, 32syl22anc 837 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3419, 33ixpssixp 41792 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3534ralrimiva 3149 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
36 iunss 4933 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3735, 36sylibr 237 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3837adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
39 nfv 1915 . . . . . 6 𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
4017, 39nfan 1900 . . . . 5 𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
41 nfcv 2955 . . . . . 6 𝑘𝑓
42 nfixp1 8472 . . . . . 6 𝑘X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4341, 42nfel 2969 . . . . 5 𝑘 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4440, 43nfan 1900 . . . 4 𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
45 iunhoiioo.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4645ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
47 neqne 2995 . . . . 5 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
4847ad2antlr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
4920ad4ant14 751 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
5023ad4ant14 751 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
51 simpr 488 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
52 eqid 2798 . . . 4 inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5344, 46, 48, 49, 50, 51, 52iunhoiioolem 43375 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
5438, 53eqelssd 3936 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
5516, 54pm2.61dan 812 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  {csn 4525  ∪ ciun 4882   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ran crn 5521  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140  Xcixp 8451  Fincfn 8499  infcinf 8896  ℝcr 10532  1c1 10534   + caddc 10536  ℝ*cxr 10670   < clt 10671   ≤ cle 10672   − cmin 10866   / cdiv 11293  ℕcn 11632  ℝ+crp 12384  (,)cioo 12733  [,)cico 12735 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610  ax-pre-sup 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-oadd 8096  df-er 8279  df-ixp 8452  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-sup 8897  df-inf 8898  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-div 11294  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-fl 13164 This theorem is referenced by:  vonioolem2  43381
 Copyright terms: Public domain W3C validator