Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioo 45003
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioo.k 𝑘𝜑
iunhoiioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
iunhoiioo (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnn0 43699 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
2 iunconst 4964 . . . . . 6 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
43a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5 ixpeq1 8849 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6 ixp0x 8867 . . . . . . . 8 X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
85, 7eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
98adantr 482 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
109iuneq2dv 4979 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11 ixpeq1 8849 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12 ixp0x 8867 . . . . . 6 X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
1312a1i 11 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
1411, 13eqtrd 2773 . . . 4 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
154, 10, 143eqtr4d 2783 . . 3 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
1615adantl 483 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17 iunhoiioo.k . . . . . . . 8 𝑘𝜑
18 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1917, 18nfan 1903 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
20 iunhoiioo.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120rexrd 11210 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 iunhoiioo.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2520adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 nnrp 12931 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2827rpreccld 12972 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2925, 28ltaddrpd 12995 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
3023xrleidd 13077 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
3130adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
32 icossioo 13363 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3322, 24, 29, 31, 32syl22anc 838 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3419, 33ixpssixp 43390 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3534ralrimiva 3140 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
36 iunss 5006 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3735, 36sylibr 233 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3837adantr 482 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
39 nfv 1918 . . . . . 6 𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
4017, 39nfan 1903 . . . . 5 𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
41 nfcv 2904 . . . . . 6 𝑘𝑓
42 nfixp1 8859 . . . . . 6 𝑘X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4341, 42nfel 2918 . . . . 5 𝑘 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4440, 43nfan 1903 . . . 4 𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
45 iunhoiioo.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4645ad2antrr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
47 neqne 2948 . . . . 5 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
4847ad2antlr 726 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
4920ad4ant14 751 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
5023ad4ant14 751 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
51 simpr 486 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
52 eqid 2733 . . . 4 inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5344, 46, 48, 49, 50, 51, 52iunhoiioolem 45002 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
5438, 53eqelssd 3966 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
5516, 54pm2.61dan 812 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wne 2940  wral 3061  wss 3911  c0 4283  {csn 4587   ciun 4955   class class class wbr 5106  cmpt 5189  ran crn 5635  cfv 6497  (class class class)co 7358  Xcixp 8838  Fincfn 8886  infcinf 9382  cr 11055  1c1 11057   + caddc 11059  *cxr 11193   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390   / cdiv 11817  cn 12158  +crp 12920  (,)cioo 13270  [,)cico 13272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-fl 13703
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45008
  Copyright terms: Public domain W3C validator