Theorem iunhoiioo 47423

Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunhoiioo.k	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
iunhoiioo.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
iunhoiioo	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnn0 46126	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≠ ∅
2		iunconst 4968	. . . . . 6 ⊢ (ℕ ≠ ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5		ixpeq1 8908	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6		ixp0x 8926	. . . . . . . 8 ⊢ X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
7	6	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
8	5, 7	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
10	9	iuneq2dv 4983	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11		ixpeq1 8908	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12		ixp0x 8926	. . . . . 6 ⊢ X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
14	11, 13	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
15	4, 10, 14	3eqtr4d 2810	. . 3 ⊢ (𝑋 = ∅ → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
16	15	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17		iunhoiioo.k	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
18		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑛 ∈ ℕ
19	17, 18	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
20		iunhoiioo.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
21	20	rexrd 11270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
22	21	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23		iunhoiioo.b	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
24	23	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
25	20	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26		nnrp 13039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
27	26	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
28	27	rpreccld 13081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
29	25, 28	ltaddrpd 13104	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
30	23	xrleidd 13188	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≤ 𝐵)
31	30	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ≤ 𝐵)
32		icossioo 13478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵 ≤ 𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
33	22, 24, 29, 31, 32	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
34	19, 33	ixpssixp 45843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
35	34	ralrimiva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
36		iunss 5011	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
37	35, 36	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
38	37	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
39		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
40	17, 39	nfan 1932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
41		nfcv 2927	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝑓
42		nfixp1 8918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
43	41, 42	nfel 2941	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)
44	40, 43	nfan 1932	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
45		iunhoiioo.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
46	45	ad2antrr 739	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
47		neqne 2968	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
48	47	ad2antlr 740	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
49	20	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
50	23	ad4ant14 765	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
51		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
52		eqid 2765	. . . 4 ⊢ inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑓‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑓‘𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
53	44, 46, 48, 49, 50, 51, 52	iunhoiioolem 47422	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓 ∈ X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 ∈ ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
54	38, 53	eqelssd 3959	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))
55	16, 54	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ X𝑘 ∈ 𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ 𝑋 (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  {csn 4591  ∪ ciun 4958   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ran crn 5664  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Xcixp 8897  Fincfn 8945  infcinf 9404  ℝcr 11110  1c1 11112   + caddc 11114  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  ℝ⁺crp 13027  (,)cioo 13383  [,)cico 13385

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-rp 13028  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-fl 13838

This theorem is used by:  vonioolem2  47428