Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioo 45165
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioo.k 𝑘𝜑
iunhoiioo.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioo.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioo.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
iunhoiioo (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝑘,𝑋,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunhoiioo
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnn0 43861 . . . . . 6 ℕ ≠ ∅
2 iunconst 4999 . . . . . 6 (ℕ ≠ ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅}
43a1i 11 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ {∅} = {∅})
5 ixpeq1 8885 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
6 ixp0x 8903 . . . . . . . 8 X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅}
76a1i 11 . . . . . . 7 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
85, 7eqtrd 2771 . . . . . 6 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
98adantr 481 . . . . 5 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = {∅})
109iuneq2dv 5014 . . . 4 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = 𝑛 ∈ ℕ {∅})
11 ixpeq1 8885 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵))
12 ixp0x 8903 . . . . . 6 X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅}
1312a1i 11 . . . . 5 (𝑋 = ∅ → X𝑘 ∈ ∅ (𝐴(,)𝐵) = {∅})
1411, 13eqtrd 2771 . . . 4 (𝑋 = ∅ → X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) = {∅})
154, 10, 143eqtr4d 2781 . . 3 (𝑋 = ∅ → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
1615adantl 482 . 2 ((𝜑𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
17 iunhoiioo.k . . . . . . . 8 𝑘𝜑
18 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
1917, 18nfan 1902 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
20 iunhoiioo.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
2120rexrd 11246 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
2221adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
23 iunhoiioo.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2423adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2520adantlr 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 nnrp 12967 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
2726ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝑛 ∈ ℝ+)
2827rpreccld 13008 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
2925, 28ltaddrpd 13031 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)))
3023xrleidd 13113 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
3130adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵𝐵)
32 icossioo 13399 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∧ 𝐵𝐵)) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3322, 24, 29, 31, 32syl22anc 837 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
3419, 33ixpssixp 43552 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3534ralrimiva 3145 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
36 iunss 5041 . . . . 5 ( 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3735, 36sylibr 233 . . . 4 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
3837adantr 481 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ⊆ X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
39 nfv 1917 . . . . . 6 𝑘 ¬ 𝑋 = ∅
4017, 39nfan 1902 . . . . 5 𝑘(𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅)
41 nfcv 2902 . . . . . 6 𝑘𝑓
42 nfixp1 8895 . . . . . 6 𝑘X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4341, 42nfel 2916 . . . . 5 𝑘 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)
4440, 43nfan 1902 . . . 4 𝑘((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
45 iunhoiioo.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4645ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ∈ Fin)
47 neqne 2947 . . . . 5 𝑋 = ∅ → 𝑋 ≠ ∅)
4847ad2antlr 725 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑋 ≠ ∅)
4920ad4ant14 750 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
5023ad4ant14 750 . . . 4 ((((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
51 simpr 485 . . . 4 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
52 eqid 2731 . . . 4 inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝑓𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5344, 46, 48, 49, 50, 51, 52iunhoiioolem 45164 . . 3 (((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) ∧ 𝑓X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵)) → 𝑓 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
5438, 53eqelssd 3999 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑋 = ∅) → 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
5516, 54pm2.61dan 811 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) = X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  wss 3944  c0 4318  {csn 4622   ciun 4990   class class class wbr 5141  cmpt 5224  ran crn 5670  cfv 6532  (class class class)co 7393  Xcixp 8874  Fincfn 8922  infcinf 9418  cr 11091  1c1 11093   + caddc 11095  *cxr 11229   < clt 11230  cle 11231  cmin 11426   / cdiv 11853  cn 12194  +crp 12956  (,)cioo 13306  [,)cico 13308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169  ax-pre-sup 11170
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-ixp 8875  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-sup 9419  df-inf 9420  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-rp 12957  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-fl 13739
This theorem is referenced by:  vonioolem2  45170
  Copyright terms: Public domain W3C validator