Theorem inf3lem4 9656

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9660 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem4	⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
2		inf3lem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3		inf3lem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		inf3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	inf3lem1 9653	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴)))
7	1, 2, 3, 4	inf3lem3 9655	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
8	6, 7	jcad 511	. 2 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
9		df-pss 3964	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
10	8, 9	imbitrrdi 251	1 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  {crab 3418  Vcvv 3461   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944   ⊊ wpss 3945  ∅c0 4322  ∪ cuni 4909   ↦ cmpt 5232   ↾ cres 5680  suc csuc 6373  ‘cfv 6549  ωcom 7871  reccrdg 8430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431

This theorem is referenced by:  inf3lem5  9657