MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem4 9626
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9630 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem4
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
2 inf3lem.2 . . . . 5 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3 inf3lem.3 . . . . 5 𝐴 ∈ V
4 inf3lem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ V
51, 2, 3, 4inf3lem1 9623 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴))
65a1i 11 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴)))
71, 2, 3, 4inf3lem3 9625 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
86, 7jcad 514 . 2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
9 df-pss 3968 . 2 ((𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
108, 9imbitrrdi 251 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475  cin 3948  wss 3949  wpss 3950  c0 4323   cuni 4909  cmpt 5232  cres 5679  suc csuc 6367  cfv 6544  ωcom 7855  reccrdg 8409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-reg 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410
This theorem is referenced by:  inf3lem5  9627
  Copyright terms: Public domain W3C validator