MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem4 9179
Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9183 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem4
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
2 inf3lem.2 . . . . 5 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3 inf3lem.3 . . . . 5 𝐴 ∈ V
4 inf3lem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ V
51, 2, 3, 4inf3lem1 9176 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴))
65a1i 11 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴)))
71, 2, 3, 4inf3lem3 9178 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
86, 7jcad 516 . 2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
9 df-pss 3872 . 2 ((𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
108, 9syl6ibr 255 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  {crab 3058  Vcvv 3400  cin 3852  wss 3853  wpss 3854  c0 4221   cuni 4806  cmpt 5120  cres 5537  suc csuc 6184  cfv 6349  ωcom 7611  reccrdg 8086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-reg 9141
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-om 7612  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087
This theorem is referenced by:  inf3lem5  9180
  Copyright terms: Public domain W3C validator