Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  inf3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem inf3lem4 8888
 Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8892 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
inf3lem.1 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3 𝐴 ∈ V
inf3lem.4 𝐵 ∈ V
Assertion
Ref Expression
inf3lem4 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem4
StepHypRef Expression
1 inf3lem.1 . . . . 5 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤𝑥 ∣ (𝑤𝑥) ⊆ 𝑦})
2 inf3lem.2 . . . . 5 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3 inf3lem.3 . . . . 5 𝐴 ∈ V
4 inf3lem.4 . . . . 5 𝐵 ∈ V
51, 2, 3, 4inf3lem1 8885 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴))
65a1i 11 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴)))
71, 2, 3, 4inf3lem3 8887 . . 3 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
86, 7jcad 505 . 2 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
9 df-pss 3845 . 2 ((𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ ((𝐹𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
108, 9syl6ibr 244 1 ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   ≠ wne 2967  {crab 3092  Vcvv 3415   ∩ cin 3828   ⊆ wss 3829   ⊊ wpss 3830  ∅c0 4178  ∪ cuni 4712   ↦ cmpt 5008   ↾ cres 5409  suc csuc 6031  ‘cfv 6188  ωcom 7396  reccrdg 7849 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-reg 8851 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850 This theorem is referenced by:  inf3lem5  8889
 Copyright terms: Public domain W3C validator