Theorem inf3lem4 9389

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 9393 for detailed description. (Contributed by NM, 29-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1	⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
inf3lem.2	⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
inf3lem.3	⊢ 𝐴 ∈ V
inf3lem.4	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
inf3lem4	⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑤)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑤)

Proof of Theorem inf3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inf3lem.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑦 ∈ V ↦ {𝑤 ∈ 𝑥 ∣ (𝑤 ∩ 𝑥) ⊆ 𝑦})
2		inf3lem.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (rec(𝐺, ∅) ↾ ω)
3		inf3lem.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		inf3lem.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ V
5	1, 2, 3, 4	inf3lem1 9386	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴)))
7	1, 2, 3, 4	inf3lem3 9388	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
8	6, 7	jcad 513	. 2 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴))))
9		df-pss 3906	. 2 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴) ↔ ((𝐹‘𝐴) ⊆ (𝐹‘suc 𝐴) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ (𝐹‘suc 𝐴)))
10	8, 9	syl6ibr 251	1 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) → (𝐴 ∈ ω → (𝐹‘𝐴) ⊊ (𝐹‘suc 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  {crab 3068  Vcvv 3432   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888  ∅c0 4256  ∪ cuni 4839   ↦ cmpt 5157   ↾ cres 5591  suc csuc 6268  ‘cfv 6433  ωcom 7712  reccrdg 8240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-reg 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241

This theorem is referenced by:  inf3lem5  9390