Theorem icoreunrn 37892

Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreunrn.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreunrn	⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11254	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		peano2re 11382	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3		rexr 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5		ltp1 12054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6		lbico1 13426	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
7	1, 4, 5, 6	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8		df-ov 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
9	7, 8	eleqtrdi 2879	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10		opelxpi 5699	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
11	2, 10	mpdan 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12		fvres 6901	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
14	9, 13	eleqtrrd 2872	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15		icoreresf 37885	. . . . . . . 8 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
16	15	fdmi 6718	. . . . . . 7 ⊢ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
17	10, 16	eleqtrrdi 2880	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
18	2, 17	mpdan 699	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19		ffun 6709	. . . . . . . 8 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
20	15, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21		fvelrn 7072	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
22	20, 21	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23		icoreunrn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24		df-ima 5675	. . . . . . 7 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
25	23, 24	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
26	22, 25	eleqtrrdi 2880	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
27	18, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28		elunii 4881	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
29	14, 27, 28	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
30	29	ssriv 3949	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ 𝐼
31		frn 6714	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
32	15, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
33	25, 32	eqsstri 3991	. . 3 ⊢ 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34		uniss 4884	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ∪ 𝒫 ℝ)
35		unipw 5432	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ℝ = ℝ
36	34, 35	sseqtrdi 3985	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ℝ)
37	33, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝐼 ⊆ ℝ
38	30, 37	eqssi 3961	1 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Syntax hints:   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  𝒫 cpw 4567  ⟨cop 4600  ∪ cuni 4876   class class class wbr 5113   × cxp 5660  dom cdm 5662  ran crn 5663   ↾ cres 5664   “ cima 5665  Fun wfun 6531  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11098  1c1 11100   + caddc 11102  ℝ^*cxr 11241   < clt 11242  [,)cico 13373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-ico 13377

This theorem is referenced by:  istoprelowl  37893  relowlssretop  37896  relowlpssretop  37897