Theorem icoreunrn 36696

Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreunrn.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreunrn	⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		peano2re 11383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3		rexr 11256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5		ltp1 12050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6		lbico1 13374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
7	1, 4, 5, 6	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8		df-ov 7404	. . . . . 6 ⊢ (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
9	7, 8	eleqtrdi 2835	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10		opelxpi 5703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
11	2, 10	mpdan 684	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12		fvres 6900	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
14	9, 13	eleqtrrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15		icoreresf 36689	. . . . . . . 8 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
16	15	fdmi 6719	. . . . . . 7 ⊢ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
17	10, 16	eleqtrrdi 2836	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
18	2, 17	mpdan 684	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19		ffun 6710	. . . . . . . 8 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
20	15, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21		fvelrn 7068	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
22	20, 21	mpan 687	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23		icoreunrn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24		df-ima 5679	. . . . . . 7 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
25	23, 24	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
26	22, 25	eleqtrrdi 2836	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
27	18, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28		elunii 4904	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
29	14, 27, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
30	29	ssriv 3978	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ 𝐼
31		frn 6714	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
32	15, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
33	25, 32	eqsstri 4008	. . 3 ⊢ 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34		uniss 4907	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ∪ 𝒫 ℝ)
35		unipw 5440	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ℝ = ℝ
36	34, 35	sseqtrdi 4024	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ℝ)
37	33, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝐼 ⊆ ℝ
38	30, 37	eqssi 3990	1 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3940  𝒫 cpw 4594  ⟨cop 4626  ∪ cuni 4899   class class class wbr 5138   × cxp 5664  dom cdm 5666  ran crn 5667   ↾ cres 5668   “ cima 5669  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  ℝcr 11104  1c1 11106   + caddc 11108  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244  [,)cico 13322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-ico 13326

This theorem is referenced by:  istoprelowl  36697  relowlssretop  36700  relowlpssretop  36701