Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreunrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreunrn 33640
Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreunrn.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreunrn ℝ = 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 10339 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 peano2re 10463 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3 rexr 10339 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5 ltp1 11115 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6 lbico1 12430 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
71, 4, 5, 6syl3anc 1490 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8 df-ov 6845 . . . . . 6 (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
97, 8syl6eleq 2854 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10 opelxpi 5314 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
112, 10mpdan 678 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12 fvres 6394 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
149, 13eleqtrrd 2847 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15 icoreresf 33633 . . . . . . . 8 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
1615fdmi 6233 . . . . . . 7 dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
1710, 16syl6eleqr 2855 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
182, 17mpdan 678 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19 ffun 6226 . . . . . . . 8 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2015, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21 fvelrn 6542 . . . . . . 7 ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2220, 21mpan 681 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23 icoreunrn.1 . . . . . . 7 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24 df-ima 5290 . . . . . . 7 ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2523, 24eqtri 2787 . . . . . 6 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 25syl6eleqr 2855 . . . . 5 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
2718, 26syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28 elunii 4599 . . . 4 ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 𝐼)
2914, 27, 28syl2anc 579 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 𝐼)
3029ssriv 3765 . 2 ℝ ⊆ 𝐼
31 frn 6229 . . . . 5 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
3215, 31ax-mp 5 . . . 4 ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
3325, 32eqsstri 3795 . . 3 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34 uniss 4617 . . . 4 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 𝒫 ℝ)
35 unipw 5074 . . . 4 𝒫 ℝ = ℝ
3634, 35syl6sseq 3811 . . 3 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 ⊆ ℝ)
3733, 36ax-mp 5 . 2 𝐼 ⊆ ℝ
3830, 37eqssi 3777 1 ℝ = 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3732  𝒫 cpw 4315  cop 4340   cuni 4594   class class class wbr 4809   × cxp 5275  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280  Fun wfun 6062  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192  *cxr 10327   < clt 10328  [,)cico 12379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-ico 12383
This theorem is referenced by:  istoprelowl  33641  relowlssretop  33644  relowlpssretop  33645
  Copyright terms: Public domain W3C validator