Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreunrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreunrn 37361
Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreunrn.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreunrn ℝ = 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 11308 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 peano2re 11435 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3 rexr 11308 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5 ltp1 12108 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6 lbico1 13442 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
71, 4, 5, 6syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8 df-ov 7435 . . . . . 6 (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
97, 8eleqtrdi 2850 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10 opelxpi 5721 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
112, 10mpdan 687 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12 fvres 6924 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
149, 13eleqtrrd 2843 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15 icoreresf 37354 . . . . . . . 8 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
1615fdmi 6746 . . . . . . 7 dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
1710, 16eleqtrrdi 2851 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
182, 17mpdan 687 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19 ffun 6738 . . . . . . . 8 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2015, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21 fvelrn 7095 . . . . . . 7 ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2220, 21mpan 690 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23 icoreunrn.1 . . . . . . 7 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24 df-ima 5697 . . . . . . 7 ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2523, 24eqtri 2764 . . . . . 6 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 25eleqtrrdi 2851 . . . . 5 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
2718, 26syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28 elunii 4911 . . . 4 ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 𝐼)
2914, 27, 28syl2anc 584 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 𝐼)
3029ssriv 3986 . 2 ℝ ⊆ 𝐼
31 frn 6742 . . . . 5 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
3215, 31ax-mp 5 . . . 4 ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
3325, 32eqsstri 4029 . . 3 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34 uniss 4914 . . . 4 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 𝒫 ℝ)
35 unipw 5454 . . . 4 𝒫 ℝ = ℝ
3634, 35sseqtrdi 4023 . . 3 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 ⊆ ℝ)
3733, 36ax-mp 5 . 2 𝐼 ⊆ ℝ
3830, 37eqssi 3999 1 ℝ = 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  wss 3950  𝒫 cpw 4599  cop 4631   cuni 4906   class class class wbr 5142   × cxp 5682  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  cima 5687  Fun wfun 6554  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  1c1 11157   + caddc 11159  *cxr 11295   < clt 11296  [,)cico 13390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-ico 13394
This theorem is referenced by:  istoprelowl  37362  relowlssretop  37365  relowlpssretop  37366
  Copyright terms: Public domain W3C validator