Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreunrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreunrn 35830
Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreunrn.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreunrn ℝ = 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 11201 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 peano2re 11328 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3 rexr 11201 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5 ltp1 11995 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6 lbico1 13318 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
71, 4, 5, 6syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8 df-ov 7360 . . . . . 6 (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
97, 8eleqtrdi 2848 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10 opelxpi 5670 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
112, 10mpdan 685 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12 fvres 6861 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
149, 13eleqtrrd 2841 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15 icoreresf 35823 . . . . . . . 8 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
1615fdmi 6680 . . . . . . 7 dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
1710, 16eleqtrrdi 2849 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
182, 17mpdan 685 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19 ffun 6671 . . . . . . . 8 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2015, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21 fvelrn 7027 . . . . . . 7 ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2220, 21mpan 688 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23 icoreunrn.1 . . . . . . 7 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24 df-ima 5646 . . . . . . 7 ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2523, 24eqtri 2764 . . . . . 6 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 25eleqtrrdi 2849 . . . . 5 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
2718, 26syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28 elunii 4870 . . . 4 ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 𝐼)
2914, 27, 28syl2anc 584 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 𝐼)
3029ssriv 3948 . 2 ℝ ⊆ 𝐼
31 frn 6675 . . . . 5 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
3215, 31ax-mp 5 . . . 4 ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
3325, 32eqsstri 3978 . . 3 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34 uniss 4873 . . . 4 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 𝒫 ℝ)
35 unipw 5407 . . . 4 𝒫 ℝ = ℝ
3634, 35sseqtrdi 3994 . . 3 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 ⊆ ℝ)
3733, 36ax-mp 5 . 2 𝐼 ⊆ ℝ
3830, 37eqssi 3960 1 ℝ = 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  𝒫 cpw 4560  cop 4592   cuni 4865   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  Fun wfun 6490  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054  *cxr 11188   < clt 11189  [,)cico 13266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-ico 13270
This theorem is referenced by:  istoprelowl  35831  relowlssretop  35834  relowlpssretop  35835
  Copyright terms: Public domain W3C validator