Users' Mathboxes Mathbox for ML < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icoreunrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icoreunrn 37342
Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
icoreunrn.1 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
icoreunrn ℝ = 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexr 11305 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 peano2re 11432 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3 rexr 11305 . . . . . . . 8 ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
42, 3syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5 ltp1 12105 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6 lbico1 13438 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ*𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
71, 4, 5, 6syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8 df-ov 7434 . . . . . 6 (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
97, 8eleqtrdi 2849 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10 opelxpi 5726 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
112, 10mpdan 687 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12 fvres 6926 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
149, 13eleqtrrd 2842 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15 icoreresf 37335 . . . . . . . 8 ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
1615fdmi 6748 . . . . . . 7 dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
1710, 16eleqtrrdi 2850 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
182, 17mpdan 687 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19 ffun 6740 . . . . . . . 8 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2015, 19ax-mp 5 . . . . . . 7 Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21 fvelrn 7096 . . . . . . 7 ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
2220, 21mpan 690 . . . . . 6 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23 icoreunrn.1 . . . . . . 7 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24 df-ima 5702 . . . . . . 7 ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2523, 24eqtri 2763 . . . . . 6 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
2622, 25eleqtrrdi 2850 . . . . 5 (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
2718, 26syl 17 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28 elunii 4917 . . . 4 ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 𝐼)
2914, 27, 28syl2anc 584 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 𝐼)
3029ssriv 3999 . 2 ℝ ⊆ 𝐼
31 frn 6744 . . . . 5 (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
3215, 31ax-mp 5 . . . 4 ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
3325, 32eqsstri 4030 . . 3 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34 uniss 4920 . . . 4 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 𝒫 ℝ)
35 unipw 5461 . . . 4 𝒫 ℝ = ℝ
3634, 35sseqtrdi 4046 . . 3 (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → 𝐼 ⊆ ℝ)
3733, 36ax-mp 5 . 2 𝐼 ⊆ ℝ
3830, 37eqssi 4012 1 ℝ = 𝐼
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  𝒫 cpw 4605  cop 4637   cuni 4912   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  [,)cico 13386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-ico 13390
This theorem is referenced by:  istoprelowl  37343  relowlssretop  37346  relowlpssretop  37347
  Copyright terms: Public domain W3C validator