Theorem icoreunrn 38391

Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreunrn.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreunrn	⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		peano2re 11490	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3		rexr 11362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5		ltp1 12164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6		lbico1 13538	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
7	1, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8		df-ov 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
9	7, 8	eleqtrdi 2870	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10		opelxpi 5688	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
11	2, 10	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12		fvres 6909	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
13	11, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
14	9, 13	eleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15		icoreresf 38384	. . . . . . . 8 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
16	15	fdmi 6726	. . . . . . 7 ⊢ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
17	10, 16	eleqtrrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
18	2, 17	mpdan 700	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19		ffun 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
20	15, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21		fvelrn 7081	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
22	20, 21	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23		icoreunrn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24		df-ima 5664	. . . . . . 7 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
25	23, 24	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
26	22, 25	eleqtrrdi 2871	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
27	18, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28		elunii 4871	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
29	14, 27, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
30	29	ssriv 3913	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ 𝐼
31		frn 6722	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
32	15, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
33	25, 32	eqsstri 3955	. . 3 ⊢ 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34		uniss 4874	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ∪ 𝒫 ℝ)
35		unipw 5418	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ℝ = ℝ
36	34, 35	sseqtrdi 3949	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ℝ)
37	33, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝐼 ⊆ ℝ
38	30, 37	eqssi 3925	1 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  𝒫 cpw 4556  ⟨cop 4834  ∪ cuni 4866   class class class wbr 5102   × cxp 5649  dom cdm 5651  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654  Fun wfun 6537  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  1c1 11208   + caddc 11210  ℝ^*cxr 11349   < clt 11350  [,)cico 13485

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-ico 13489

This theorem is used by:  istoprelowl  38392  relowlssretop  38395  relowlpssretop  38396