Theorem icoreunrn 37325

Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreunrn.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreunrn	⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11336	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		peano2re 11463	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3		rexr 11336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5		ltp1 12134	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6		lbico1 13461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
7	1, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8		df-ov 7451	. . . . . 6 ⊢ (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
9	7, 8	eleqtrdi 2854	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10		opelxpi 5737	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
11	2, 10	mpdan 686	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12		fvres 6939	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
14	9, 13	eleqtrrd 2847	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15		icoreresf 37318	. . . . . . . 8 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
16	15	fdmi 6758	. . . . . . 7 ⊢ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
17	10, 16	eleqtrrdi 2855	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
18	2, 17	mpdan 686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19		ffun 6750	. . . . . . . 8 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
20	15, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21		fvelrn 7110	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
22	20, 21	mpan 689	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23		icoreunrn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24		df-ima 5713	. . . . . . 7 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
25	23, 24	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
26	22, 25	eleqtrrdi 2855	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
27	18, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28		elunii 4936	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
29	14, 27, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
30	29	ssriv 4012	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ 𝐼
31		frn 6754	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
32	15, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
33	25, 32	eqsstri 4043	. . 3 ⊢ 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34		uniss 4939	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ∪ 𝒫 ℝ)
35		unipw 5470	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ℝ = ℝ
36	34, 35	sseqtrdi 4059	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ℝ)
37	33, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝐼 ⊆ ℝ
38	30, 37	eqssi 4025	1 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  𝒫 cpw 4622  ⟨cop 4654  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   × cxp 5698  dom cdm 5700  ran crn 5701   ↾ cres 5702   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324  [,)cico 13409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-ico 13413

This theorem is referenced by:  istoprelowl  37326  relowlssretop  37329  relowlpssretop  37330