Theorem icoreunrn 36543

Description: The union of all closed-below, open-above intervals of reals is the set of reals. (Contributed by ML, 27-Jul-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
icoreunrn.1	⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))

Assertion

Ref	Expression
icoreunrn	⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Proof of Theorem icoreunrn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11264	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		peano2re 11391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ)
3		rexr 11264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 + 1) ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 + 1) ∈ ℝ*)
5		ltp1 12058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < (𝑥 + 1))
6		lbico1 13382	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 < (𝑥 + 1)) → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
7	1, 4, 5, 6	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (𝑥[,)(𝑥 + 1)))
8		df-ov 7414	. . . . . 6 ⊢ (𝑥[,)(𝑥 + 1)) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩)
9	7, 8	eleqtrdi 2841	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
10		opelxpi 5712	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
11	2, 10	mpdan 683	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ))
12		fvres 6909	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ (ℝ × ℝ) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) = ([,)‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
14	9, 13	eleqtrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩))
15		icoreresf 36536	. . . . . . . 8 ⊢ ([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ
16	15	fdmi 6728	. . . . . . 7 ⊢ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) = (ℝ × ℝ)
17	10, 16	eleqtrrdi 2842	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℝ) → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
18	2, 17	mpdan 683	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
19		ffun 6719	. . . . . . . 8 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
20	15, 19	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
21		fvelrn 7077	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ∧ ⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ))) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
22	20, 21	mpan 686	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)))
23		icoreunrn.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = ([,) “ (ℝ × ℝ))
24		df-ima 5688	. . . . . . 7 ⊢ ([,) “ (ℝ × ℝ)) = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
25	23, 24	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ))
26	22, 25	eleqtrrdi 2842	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩ ∈ dom ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
27	18, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼)
28		elunii 4912	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∧ (([,) ↾ (ℝ × ℝ))‘⟨𝑥, (𝑥 + 1)⟩) ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
29	14, 27, 28	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ∪ 𝐼)
30	29	ssriv 3985	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ∪ 𝐼
31		frn 6723	. . . . 5 ⊢ (([,) ↾ (ℝ × ℝ)):(ℝ × ℝ)⟶𝒫 ℝ → ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ)
32	15, 31	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ran ([,) ↾ (ℝ × ℝ)) ⊆ 𝒫 ℝ
33	25, 32	eqsstri 4015	. . 3 ⊢ 𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ
34		uniss 4915	. . . 4 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ∪ 𝒫 ℝ)
35		unipw 5449	. . . 4 ⊢ ∪ 𝒫 ℝ = ℝ
36	34, 35	sseqtrdi 4031	. . 3 ⊢ (𝐼 ⊆ 𝒫 ℝ → ∪ 𝐼 ⊆ ℝ)
37	33, 36	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ 𝐼 ⊆ ℝ
38	30, 37	eqssi 3997	1 ⊢ ℝ = ∪ 𝐼

Syntax hints:   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4601  ⟨cop 4633  ∪ cuni 4907   class class class wbr 5147   × cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676   ↾ cres 5677   “ cima 5678  Fun wfun 6536  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  ℝ^*cxr 11251   < clt 11252  [,)cico 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-ico 13334

This theorem is referenced by:  istoprelowl  36544  relowlssretop  36547  relowlpssretop  36548