Theorem iscard 9949

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscard	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9918	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2853	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 236	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4		cardonle 9931	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
5		eqss 3954	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((card‘𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (card‘𝐴)))
6	5	baibr 545	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
7	4, 6	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
8		dfss3 3928	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (card‘𝐴))
9		onelon 6375	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		onenon 9923	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
11	10	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
12		cardsdomel 9948	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
13	9, 11, 12	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
14	13	ralbidva 3186	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
15	8, 14	bitr4id 293	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
16	7, 15	bitr3d 284	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
17	3, 16	biadanii 833	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5105  dom cdm 5652  Oncon0 6350  ‘cfv 6525   ≺ csdm 8930  cardccrd 9909

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-int 4909  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-card 9913

This theorem is referenced by:  cardprclem  9953  cardmin2  9973  infxpenlem  9985  alephsuc2  10052  cardmin  10536  alephreg  10555  pwcfsdom  10556  winalim2  10669  gchina  10672  inar1  10748  r1tskina  10755  gruina  10791  iscard5  44124