Theorem iscard 9899

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscard	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9868	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2824	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 233	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4		cardonle 9881	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
5		eqss 3937	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((card‘𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (card‘𝐴)))
6	5	baibr 536	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
8		dfss3 3910	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (card‘𝐴))
9		onelon 6348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		onenon 9873	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
12		cardsdomel 9898	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
13	9, 11, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
14	13	ralbidva 3158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
15	8, 14	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
16	7, 15	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
17	3, 16	biadanii 822	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ⊆ wss 3889   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  Oncon0 6323  ‘cfv 6498   ≺ csdm 8892  cardccrd 9859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-card 9863

This theorem is referenced by:  cardprclem  9903  cardmin2  9923  infxpenlem  9935  alephsuc2  10002  cardmin  10486  alephreg  10505  pwcfsdom  10506  winalim2  10619  gchina  10622  inar1  10698  r1tskina  10705  gruina  10741  iscard5  43963