Theorem iscard 9930

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscard	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9899	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2849	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 235	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4		cardonle 9912	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
5		eqss 3951	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((card‘𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (card‘𝐴)))
6	5	baibr 544	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
8		dfss3 3925	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (card‘𝐴))
9		onelon 6367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		onenon 9904	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
12		cardsdomel 9929	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
13	9, 11, 12	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
14	13	ralbidva 3182	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
15	8, 14	bitr4id 292	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
16	7, 15	bitr3d 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
17	3, 16	biadanii 831	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099  dom cdm 5645  Oncon0 6342  ‘cfv 6517   ≺ csdm 8922  cardccrd 9890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-card 9894

This theorem is referenced by:  cardprclem  9934  cardmin2  9954  infxpenlem  9966  alephsuc2  10033  cardmin  10518  alephreg  10537  pwcfsdom  10538  winalim2  10651  gchina  10654  inar1  10730  r1tskina  10737  gruina  10773  iscard5  44076