Theorem iscard 9890

Description: Two ways to express the property of being a cardinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
iscard	⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem iscard

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardon 9859	. . 3 ⊢ (card‘𝐴) ∈ On
2		eleq1 2825	. . 3 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → ((card‘𝐴) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On))
3	1, 2	mpbii 233	. 2 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 → 𝐴 ∈ On)
4		cardonle 9872	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (card‘𝐴) ⊆ 𝐴)
5		eqss 3938	. . . . 5 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ ((card‘𝐴) ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ (card‘𝐴)))
6	5	baibr 536	. . . 4 ⊢ ((card‘𝐴) ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ (card‘𝐴) = 𝐴))
8		dfss3 3911	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (card‘𝐴))
9		onelon 6342	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ On)
10		onenon 9864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ On → 𝐴 ∈ dom card)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ dom card)
12		cardsdomel 9889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ dom card) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
13	9, 11, 12	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥 ≺ 𝐴 ↔ 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
14	13	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ (card‘𝐴)))
15	8, 14	bitr4id 290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ⊆ (card‘𝐴) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
16	7, 15	bitr3d 281	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))
17	3, 16	biadanii 822	1 ⊢ ((card‘𝐴) = 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ≺ 𝐴))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086  dom cdm 5624  Oncon0 6317  ‘cfv 6492   ≺ csdm 8885  cardccrd 9850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-card 9854

This theorem is referenced by:  cardprclem  9894  cardmin2  9914  infxpenlem  9926  alephsuc2  9993  cardmin  10477  alephreg  10496  pwcfsdom  10497  winalim2  10610  gchina  10613  inar1  10689  r1tskina  10696  gruina  10732  iscard5  43981