Theorem arglem1N 40992

Description: Lemma for Desargues's law. Theorem 13.3 of [Crawley] p. 110, third and fourth lines from bottom. In these lemmas, 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇, 𝑈, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, and 𝐺 represent Crawley's a₀, a₁, a₂, b₀, b₁, b₂, c, z₀, z₁, z₂, and p respectively. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
arglem1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
arglem1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
arglem1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
arglem1.f	⊢ 𝐹 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
arglem1.g	⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
arglem1N	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem arglem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arglem1.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
2		simpl11 1266	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 40166	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl12 1267	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		arglem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 40091	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		simpl13 1268	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	5, 6	atbase 40091	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpl21 1269	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13	5, 6	atbase 40091	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
15		simpl22 1270	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝐴)
16	5, 6	atbase 40091	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
18		arglem1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
19	5, 18	latj4 18551	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
20	3, 8, 11, 14, 17, 19	syl122anc 1405	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
21		arglem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))
22		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ 𝐴)
23	21, 22	eqeltrrid 2867	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
24		simpl31 1272	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 𝑆)
25		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
26	18, 6, 25	llni2 40314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑆) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
27	2, 4, 12, 24, 26	syl31anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
28		simpl32 1273	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ 𝑇)
29	18, 6, 25	llni2 40314	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ≠ 𝑇) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
30	2, 9, 15, 28, 29	syl31anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
31		arglem1.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
32		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
33	18, 31, 6, 25, 32	2llnmj 40362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
34	2, 27, 30, 33	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
35	23, 34	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
36	20, 35	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
37		simpl23 1271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 𝑄)
38	18, 6, 25	llni2 40314	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
39	2, 4, 9, 37, 38	syl31anc 1399	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
40		simpl33 1274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≠ 𝑇)
41	18, 6, 25	llni2 40314	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
42	2, 12, 15, 40, 41	syl31anc 1399	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
43	18, 31, 6, 25, 32	2llnmj 40362	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
44	2, 39, 42, 43	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
45	36, 44	mpbird 260	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
46	1, 45	eqeltrid 2866	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  joincjn 18373  meetcmee 18374  Latclat 18493  Atomscatm 40065  HLchlt 40152  LLinesclln 40293  LPlanesclpl 40294

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-lat 18494  df-clat 18561  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301

This theorem is used by: (None)