Theorem arglem1N 40487

Description: Lemma for Desargues's law. Theorem 13.3 of [Crawley] p. 110, third and fourth lines from bottom. In these lemmas, 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇, 𝑈, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, and 𝐺 represent Crawley's a₀, a₁, a₂, b₀, b₁, b₂, c, z₀, z₁, z₂, and p respectively. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
arglem1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
arglem1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
arglem1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
arglem1.f	⊢ 𝐹 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
arglem1.g	⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
arglem1N	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem arglem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arglem1.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
2		simpl11 1250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39661	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl12 1251	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		arglem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39586	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		simpl13 1252	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	5, 6	atbase 39586	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpl21 1253	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13	5, 6	atbase 39586	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
15		simpl22 1254	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝐴)
16	5, 6	atbase 39586	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
18		arglem1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
19	5, 18	latj4 18416	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
20	3, 8, 11, 14, 17, 19	syl122anc 1382	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
21		arglem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))
22		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ 𝐴)
23	21, 22	eqeltrrid 2842	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
24		simpl31 1256	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 𝑆)
25		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
26	18, 6, 25	llni2 39809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑆) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
27	2, 4, 12, 24, 26	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
28		simpl32 1257	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ 𝑇)
29	18, 6, 25	llni2 39809	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ≠ 𝑇) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
30	2, 9, 15, 28, 29	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
31		arglem1.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
32		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
33	18, 31, 6, 25, 32	2llnmj 39857	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
34	2, 27, 30, 33	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
35	23, 34	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
36	20, 35	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
37		simpl23 1255	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 𝑄)
38	18, 6, 25	llni2 39809	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
39	2, 4, 9, 37, 38	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
40		simpl33 1258	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≠ 𝑇)
41	18, 6, 25	llni2 39809	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
42	2, 12, 15, 40, 41	syl31anc 1376	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
43	18, 31, 6, 25, 32	2llnmj 39857	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
44	2, 39, 42, 43	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
45	36, 44	mpbird 257	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
46	1, 45	eqeltrid 2841	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  joincjn 18238  meetcmee 18239  Latclat 18358  Atomscatm 39560  HLchlt 39647  LLinesclln 39788  LPlanesclpl 39789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18221  df-poset 18240  df-plt 18255  df-lub 18271  df-glb 18272  df-join 18273  df-meet 18274  df-p0 18350  df-lat 18359  df-clat 18426  df-oposet 39473  df-ol 39475  df-oml 39476  df-covers 39563  df-ats 39564  df-atl 39595  df-cvlat 39619  df-hlat 39648  df-llines 39795  df-lplanes 39796

This theorem is referenced by: (None)