Theorem arglem1N 40683

Description: Lemma for Desargues's law. Theorem 13.3 of [Crawley] p. 110, third and fourth lines from bottom. In these lemmas, 𝑃, 𝑄, 𝑅, 𝑆, 𝑇, 𝑈, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, and 𝐺 represent Crawley's a₀, a₁, a₂, b₀, b₁, b₂, c, z₀, z₁, z₂, and p respectively. (Contributed by NM, 28-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
arglem1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
arglem1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
arglem1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
arglem1.f	⊢ 𝐹 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
arglem1.g	⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))

Assertion

Ref	Expression
arglem1N	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐴)

Proof of Theorem arglem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		arglem1.f	. 2 ⊢ 𝐹 = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇))
2		simpl11 1255	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39857	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpl12 1256	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		arglem1.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39782	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		simpl13 1257	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	5, 6	atbase 39782	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpl21 1258	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13	5, 6	atbase 39782	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
15		simpl22 1259	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ 𝐴)
16	5, 6	atbase 39782	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
18		arglem1.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
19	5, 18	latj4 18453	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
20	3, 8, 11, 14, 17, 19	syl122anc 1387	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)))
21		arglem1.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇))
22		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ 𝐴)
23	21, 22	eqeltrrid 2845	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
24		simpl31 1261	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 𝑆)
25		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
26	18, 6, 25	llni2 40005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑆) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
27	2, 4, 12, 24, 26	syl31anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
28		simpl32 1262	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑄 ≠ 𝑇)
29	18, 6, 25	llni2 40005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ≠ 𝑇) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
30	2, 9, 15, 28, 29	syl31anc 1381	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
31		arglem1.m	. . . . . . 7 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
32		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
33	18, 31, 6, 25, 32	2llnmj 40053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
34	2, 27, 30, 33	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
35	23, 34	mpbid 233	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑆) ∨ (𝑄 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
36	20, 35	eqeltrd 2840	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
37		simpl23 1260	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑃 ≠ 𝑄)
38	18, 6, 25	llni2 40005	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
39	2, 4, 9, 37, 38	syl31anc 1381	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
40		simpl33 1263	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝑆 ≠ 𝑇)
41	18, 6, 25	llni2 40005	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
42	2, 12, 15, 40, 41	syl31anc 1381	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾))
43	18, 31, 6, 25, 32	2llnmj 40053	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
44	2, 39, 42, 43	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
45	36, 44	mpbird 258	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ 𝐴)
46	1, 45	eqeltrid 2844	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑃 ≠ 𝑆 ∧ 𝑄 ≠ 𝑇 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ 𝐺 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  joincjn 18275  meetcmee 18276  Latclat 18395  Atomscatm 39756  HLchlt 39843  LLinesclln 39984  LPlanesclpl 39985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39669  df-ol 39671  df-oml 39672  df-covers 39759  df-ats 39760  df-atl 39791  df-cvlat 39815  df-hlat 39844  df-llines 39991  df-lplanes 39992

This theorem is referenced by: (None)